机械工程控制基础课件第四节 Nyquist稳定判据
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控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
5.5Nyquist稳定判据
由于F（jw）与 G（jw）H（jw）这两个矢量之间相差1，
所以可以直接用系统开环的Nyquist轨迹来判断稳定性。
4、总结：
Nyquist稳定判据（系统稳定的充要条件）
①系统开环稳定，G j H j Nyquist曲线 不包围 1, j 0 点，系统闭环后稳定。 ②若系统开环不稳定，有q个特征根都在S
N S S 2n S n S p1 S p2 0
2 2
① 1 A
稳 定 1 状 2 态 p p1 2
Im
不 稳 j j 定 1 Re 状 2 0 0 p p2 1 态
2
Im
B
Re
N j 2
:0
A 20 1 2 1 (2 ) 2 1 (5 ) 2
0 tg 1 tg 1 2 tg 1 5
A 0 20 A 0
0 0 270
四、“穿越”与系统稳定性的判 定 （1）
2
:0
称米哈伊洛夫稳定定理
二、Nyquist稳定判据
1、开环特征方程式与闭环特征方程式的关系
FS 1 GSHS
F
KNS 令 G SHS DS
S
D S KN DS
S
DB DK
S S
K1 S S1 S S 2 S S n K 2 S p1 S p2 S pn
2
③无论开环稳定或不稳定，若闭环不稳定， 则系统闭环后在右半平面根的个数为Z ,则
Z q 2 N q 2( N N )
N ：开环 Nyquist曲线在实轴 (,1) 段的正 穿越次数， N 负穿越次数。
5-3 Nyquist稳定判据
由于G(s)H(s)曲线的对称性，因此可以用系统的开环频率 特性曲线G(j)H(j)对(-1,j0)的包围情况来判断。
设特性曲线G(j)H(j)对(-1,j0)的逆时针包围次数为N 则R=2N（注意补充积分环节Nyquist围线上小1/4圆的象） 也可用G(j)H(j)曲线对(-∞, -1)实轴段的穿越计算N
3
5.3.1 预备知识
1. 幅角原理
s：复变量; F(s)：复变量s的有理函数
对于s平面上一条不通过F(s)任何奇点的连续封闭曲 线Γ，在F(s)平面必存在一条封闭曲线ΓF与之对应j
F
F(s)平面
F (s )
F
映射关系
4
( s z1 )( s z2 ) 设 F ( s) ( s p1 )( s p2 )
终点
A() 0
() 270
20
与实轴交点
52(10 4 2 ) j52 (9 2 ) G( j ) (4 2 ) (5 2 ) 2 4 2
(9 2 ) 0 0, 3
52(10 4 2 ) G(3 j ) (4 2 ) (5 2 ) 2 4 2
5
Im[F(s)] [F(s)]
F
F(s)
s沿Γ顺时针运动一周时
(s z1 ) (s p1 ) 2
(s z2 ) (s p2 ) 0
即ΓF不包围F(s)平面上的原点
F ( s) 0
6
幅角原理：设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和 P个极点，当s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平面 上，对应的闭合曲线ΓF逆时针包围原点的圈数
第四章 稳定性分析——劳斯判据(4-1)PPT课件
或不全为零，此时，用一个任意小的正数 代 替 这个零，然后按通常的规则继续完成劳斯表中其余 各项元素的计算。如果零（ ）上面这项系数符号 与零（ ）下面这项系数符号相反，表明这里有一 个符号变化。 例：特征方程如下：
s5 s4 5s3 5s2 2s 1 0
试用劳斯判据判别其稳定性。 解：列出劳斯表
11
例：系统的特征方程为： s3 4s2 10s 50 0 试用劳斯判据判别其稳定性。
解: 列出劳斯表
s3 1 10 s 2 4 50 s1 2.5 0 s 0 50 0
因为劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明 该系统有两个特征方程的根在右半s平面，所以系统 不稳定。
12
2．劳斯判据的两种特殊情况 （1）劳斯表中某一行第一项元素为零，其余项不为零
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a5 s5 a4 s 4 a3s3 a2 s 2 a1s a0 0
9
s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a2 a4 A2 A1
B2
A1a0 0 A1
彼此不等。干扰为理想脉冲函数：R(s) 1
C(s) B(s) R(s) B(s)
D(s)
D(s)
则
k
ci
r
js j
i1 s pi j1 s ( j j j ) s ( j j j )
k 2r n
k
r
c(t) cie pit e jt ( Aj cos jt B j sin jt)
s5 s4 5s3 5s2 2s 1 0
试用劳斯判据判别其稳定性。 解：列出劳斯表
11
例：系统的特征方程为： s3 4s2 10s 50 0 试用劳斯判据判别其稳定性。
解: 列出劳斯表
s3 1 10 s 2 4 50 s1 2.5 0 s 0 50 0
因为劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明 该系统有两个特征方程的根在右半s平面，所以系统 不稳定。
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2．劳斯判据的两种特殊情况 （1）劳斯表中某一行第一项元素为零，其余项不为零
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a5 s5 a4 s 4 a3s3 a2 s 2 a1s a0 0
9
s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a2 a4 A2 A1
B2
A1a0 0 A1
彼此不等。干扰为理想脉冲函数：R(s) 1
C(s) B(s) R(s) B(s)
D(s)
D(s)
则
k
ci
r
js j
i1 s pi j1 s ( j j j ) s ( j j j )
k 2r n
k
r
c(t) cie pit e jt ( Aj cos jt B j sin jt)
机械控制理论基础稳定性PPT学习教案
第4页/共54页
机 械 控 制 理 论
第六章 系统的稳定性
6-2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据
1、劳斯判据
代数判据
当 系 统 特 征 方程阶 次越高 ，利用 胡氏判 据时， 行列式 计算工 作量越 大，所 以高阶 时，可 用劳斯 判据判 别系统 的稳定 性。
劳 斯 判 据 步 骤如下 ： 1） 列 出 系 统 特征方 程：
以一个很小的正数 来e 代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成
劳斯表的排列。 2.劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这 种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并 以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯 表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助 方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
R( s ) G(s)
R(s) E(s)
C(s)
K
C(s)
系统的开环传递函数为：
Gk (s) G(s)H(s)
s s 1
闭环传递函数为：
H (s)
G(s)
G(s)
设：
G(
sG) k MNs11((ss)G) ,Hs(Hs)
s
MN22(s(ss))sK
GB
1
(s)
1
G(s)H
(
s)
1
Gk
(s)
设 输 入 信 号 为单位 脉冲信 号，则 有：
Xo
(s)
1
G(s) G(s)H(s)
(s
s1)(s
G(s) s2 )
(s sn )
c1 c2
cn
n
ci
s s1 s s2
机械工程控制基础稳定性培训课件
本例中辅助多项式为：
F (s) 2s4 48s2 50 0
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
第二十六页，共100页。
系统的稳定性—Routh稳定判据
五、相对(xiāngduì)稳定性的 检验应用Routh判据可检验稳定系统的相对稳定性方
法(fāngfǎ)如下：
第十六页，共100页。
从根与系数的关系可以看出，仅仅(jǐnjǐn)有各项系数大于0， 还不能判定特征根均具有负实部，也许特征根中有正有负，它 们组合起来仍能满足“根与系数的关系”中的各式。也就是说上 式为系统稳定的必要条件，而不是充要条件。
第十七页，共100页。
第十八页，共100页。
实例分析(fēnxī)1 系统特 D(s) s4 s3 19s2 11s 30 0
第二十页，共100页。
低阶系统(xìtǒng)的劳斯稳定判据
二阶系统(xìtǒng) D(s) a0s2 a1s a2 0
劳斯阵列为： s2 a0 a2 s1 a1 0 s0 a2 从而，二阶系统稳定的充要条件为：
a0>0，a1>0，a2>0
第二十一页，共100页。
三阶(sān jiē)系统
系统的稳定性—Routh稳定判据
实例(shílì)分析4
系统(xìtǒng)传递函数 Xi(s) 方框图如下图所示，已知T1 ＝0.1s，T2＝0.25s，试求:
K s(1 T1s)(1 T2s)
X o (s)
（1）系统稳定时K值的取值范围； （2）若要求系统的特征根均 位于s＝－1线的左侧，K值的 取值范围。
i1, j 2
第十五页，共100页。
sn an1 sn1 a1 s a0
F (s) 2s4 48s2 50 0
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
第二十六页，共100页。
系统的稳定性—Routh稳定判据
五、相对(xiāngduì)稳定性的 检验应用Routh判据可检验稳定系统的相对稳定性方
法(fāngfǎ)如下：
第十六页，共100页。
从根与系数的关系可以看出，仅仅(jǐnjǐn)有各项系数大于0， 还不能判定特征根均具有负实部，也许特征根中有正有负，它 们组合起来仍能满足“根与系数的关系”中的各式。也就是说上 式为系统稳定的必要条件，而不是充要条件。
第十七页，共100页。
第十八页，共100页。
实例分析(fēnxī)1 系统特 D(s) s4 s3 19s2 11s 30 0
第二十页，共100页。
低阶系统(xìtǒng)的劳斯稳定判据
二阶系统(xìtǒng) D(s) a0s2 a1s a2 0
劳斯阵列为： s2 a0 a2 s1 a1 0 s0 a2 从而，二阶系统稳定的充要条件为：
a0>0，a1>0，a2>0
第二十一页，共100页。
三阶(sān jiē)系统
系统的稳定性—Routh稳定判据
实例(shílì)分析4
系统(xìtǒng)传递函数 Xi(s) 方框图如下图所示，已知T1 ＝0.1s，T2＝0.25s，试求:
K s(1 T1s)(1 T2s)
X o (s)
（1）系统稳定时K值的取值范围； （2）若要求系统的特征根均 位于s＝－1线的左侧，K值的 取值范围。
i1, j 2
第十五页，共100页。
sn an1 sn1 a1 s a0
现代机械工程自动控制系统的稳定性分析方法PPT课件
2020/7/21
37
3.2 几何稳定性判据 F (s)函数的性质：
（ 1）F(s)的零点Gb即 (s)的 为极点；
Gb
(s)
G(s) 1G(s)H(s)
（2）F(s)的极点即为开环传递数函 G(s)H(s)的极点。
2020/7/21
38
3.2.1 奈奎斯特稳定性判据
1 奈奎斯特路径
奈奎斯特路径是包围[s]平面右半面的顺时针方向的封闭 曲线Ls, ，它由两段有向线构成，如图5.3，其中L1为沿[s]的 虚轴由 到的直线，为以为半径从虚轴的正向顺时针 转π角到虚轴的负向的半径为无穷大的半圆。
表格第一列元素的符号改变两次，因此方程有 两个根在复平面的右半部分。求解特征方程，可以 得到4个根，分别为：
s1,21.005j0.933
s3,40.755j1.444
显然，后面一对复根在复平面右半平面，
因而系统不稳定。
2020/7/21
34
3.1.3 谢绪凯判据
2020/7/21
35
3.2 几何稳定性判据
16
2. 什么是控制系统的稳定性？
G (s )
G (s )
X o (s ) 1 G (s )H (s ) (s s 1 )s( s 2 ) (s s n )
部分分解
X o(s)s c 1 s1s c2 s2 s cn sni n 1s cisi
拉氏反变换
n
xo(t) ci esi t
i1
a1
1
b2a13 a a4 3
a0 2011010
0
1
c1b 11a b1 3
a1110(7)56.43
b2
7
Nyquist 稳定性判定
开环Nyquist曲线在(-1,j0)点以左穿过负实轴 ➢负穿越——相位角减小的穿越 ➢正穿越——相位角增大的穿越 ➢半次穿越—开环Nyquist曲线从(-1,j0)点以左的负实轴开始的穿越
正负穿越次数的代数和即为N
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
三、开环含有积分环节时的Nyquist稳定判据 存在的问题：
53nyquist稳定判据例57reim1开环不稳定n12p2n闭环系统稳定53nyquist稳定判据例58n12120p2n闭环系统稳定1n121212122p2n闭环系统不稳定1imren12p2n闭环系统稳定1imren12121p2n闭环系统不稳定二穿越的概念53nyquist稳定判据开环nyquist曲线在1j0点以左穿过负实轴负穿越相位角减小的穿越正穿越相位角增大的穿越半次穿越开环nyquist曲线从1j0点以左的负实轴开始的穿越正负穿越次数的代数和即为n三开环含有积分环节时的nyquist稳定判据开环nyquist曲线不封闭无法准确判断其包围1j0点的圈数存在的问题
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
一、Nyquist稳定判据
P:169 当ω从-∞→＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist曲线逆时针方向 包围(-1,j0)点P圈，则闭环系统稳定。其中，P为开环右 极点的个数。
注意：
GK(jω)的Nyquist曲线当ω从-∞→0变化时与其从0→ +∞变化
P=1
Im
ω=0
-1
ω=+∞Re
(c)
N=1/2 P=2N →闭环系统稳定
(b)
N=1/2+1/2+1/2+1/2=2 P≠2N →闭环系统不稳定
正负穿越次数的代数和即为N
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
三、开环含有积分环节时的Nyquist稳定判据 存在的问题：
53nyquist稳定判据例57reim1开环不稳定n12p2n闭环系统稳定53nyquist稳定判据例58n12120p2n闭环系统稳定1n121212122p2n闭环系统不稳定1imren12p2n闭环系统稳定1imren12121p2n闭环系统不稳定二穿越的概念53nyquist稳定判据开环nyquist曲线在1j0点以左穿过负实轴负穿越相位角减小的穿越正穿越相位角增大的穿越半次穿越开环nyquist曲线从1j0点以左的负实轴开始的穿越正负穿越次数的代数和即为n三开环含有积分环节时的nyquist稳定判据开环nyquist曲线不封闭无法准确判断其包围1j0点的圈数存在的问题
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
一、Nyquist稳定判据
P:169 当ω从-∞→＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist曲线逆时针方向 包围(-1,j0)点P圈，则闭环系统稳定。其中，P为开环右 极点的个数。
注意：
GK(jω)的Nyquist曲线当ω从-∞→0变化时与其从0→ +∞变化
P=1
Im
ω=0
-1
ω=+∞Re
(c)
N=1/2 P=2N →闭环系统稳定
(b)
N=1/2+1/2+1/2+1/2=2 P≠2N →闭环系统不稳定
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机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
第四节 Nyquist稳定判据
主讲人 ：王 辉
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
一、Nyquist稳定判据优点： (1) 作图分析，计算量小，信息量大。
(2) 不但判稳定，也能给出稳定裕量。
(3) 可以用实验手段得到频率特性。
二、柯西复角定理：
对于复变函数
F ( s ) k( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
Gk ( j) 幅频特性
Gk
(
j
相频特性
)
D形围线在Gk(s)平面上的映射就是系统在Gk(s)平面上的 Nyquist图，也就是系统的开环幅相频率特性曲线。
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
F(s)平面上的原点即Gk(s)平面上的(－1，j0)点
S平面
j
j
D形围线
F(s)=1+Gk (s)
F平面 Im' Im GK 平面
（n>m） （n=m）
多数情况n>m，当s从0 ± j∞ 时，Gk(s) 0， F(s) = 1+Gk(s) 1
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
(3)开环频率特性Gk(jω )和Nyuist图
开环传递函数Gk(s)，令s = jω ，即开环频率特性Gk(jω )
当ω 由0 ∞ (负频部分无物理意义)
利用柯西复角原理判稳定的思路：
(1)使F(s)与系统传递函数相联系 (2)封闭曲线域为右半平面（或左半平面） (3)使封闭曲线为虚轴，与频率特性相联系
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
3、D形围线和Nyquist图：
+
开环传递函数 GK (s) G(s)H(s) -
闭环传递函数
GB
(s)
1
G(s) G(s)H (s)
当[s]平面上顺时针沿D形围线连续变化一周时，F(s)平面上的 Nyuist图顺时针包围原点N次。
N=Z― P
Db(s)=0的根 闭环极点
Dk(s)的根 开环极点
对于物理上可实现的开环系统，其Gk (s) 的分母的阶次n应大于或 等于分子的阶次m，故有
0
lim
s
GK
(
s)
lim
s
Hale Waihona Puke G(s)H
(s)
常量
平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针旋转的圈数为N＝Z －P。
机械工程控制基础
例： F( s ) s 2
s3
单域问题
第六章 系统的稳定性
－3 －2
j S平面
Im F平面 原点 Re
无穷远点
j S平面
Im F平面 Re
j S平面
Im F平面 Re
N＝1
N=－1
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
N、Z、P的关系为：N=Z-P
N>0 F(s)顺时针运动，包围原点； N<0 F(s)逆时针运动，包围原点； N=0 F(s)顺时针运动，不包围原点。
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
由于
F (s) K (s z1)(s z2 )L (s zm ) (s p1)(s p2 )L (s pn )
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点，则在
[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针旋转Z圈。同理， 若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点，则在[F(s)]
平面上的映射曲线LF将绕原点逆时针旋转P圈。若[s]平面 上的封闭曲线包围着F(s)的Z零点和P个极点，则在[F(s)]
(1) 沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为D形围线。
F(s)=1+Gk (s)
j S平面
j
D形围线 R
j
Im F平面 1 Re
Nyquist图
(2)设F(s)=1+Gk (s)，[s]平面上的D形围线在[F(s)]平面上映射的有 向闭曲线称为Nyquist图。
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
j
1 Re
(-1,j0)
Nyquist图
柯西复角原理：对于复变函数F(s)=1+Gk (s)，当S平面上沿D形 围线顺时针变化一周，则在Gk(s)平面上顺时针包围(-1,j0)点 N=m-n次。 其中：n为Gk(s)在右半平面的极点，也是F(s)=1+Gk (s) 的极点。
②对于s平面上任意给定的一条不通过F(s)任何奇异 点的连续封闭曲线Ls,也可以在F(s)平面上找到一条与之 对应的封闭曲线F(s)
F1(s) Ls1
Ls2
F2(s)
s平面与F平面的映射关系
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
(2)幅角定理
s平面上不通过F(s)任何奇点的封闭曲线Ls，它包围 F(s) 在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿 封闭曲线Ls移动一周时，在F平面上相对应于封闭曲线 F(s)将以顺时针方向绕原点旋转N圈。
G(s) 1 Gk (s)
闭环传递函数分母
G(s) H(s)
F (s)
1 GK
(s)
1
Nk (s) Dk (s)
Dk
(s) Nk Dk (s)
(s)
Db (s) Dk (s)
Db(s) 闭环特征多项式
Dk(s) 开环特征多项式
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
为了研究F(s)有无零点位于[s]平面的右半平面，可选择一条包 围整个[s]右半平面的封闭曲线Ls，具体过程如下：
2.幅角定理(映射定理)
(1)预备知识
F(s) 1 G(s)H(s)
F(s)是复变量s的单值有理函数。可以证明：
①如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则 对于此区域内的任何一点d都可以在F(s)平面上找到一个相 应的点d／，d／称为d在F(s)平面上的映射。
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
m
n
则相位角： F (s) (s zi ) (s p j )
i 1
j 1
j
p1 z1
[s]
zi Lps 3
p2
Im [F(s)]
LF F(s)
Re
假设Ls内只包围了F(s)的一个零点zi ,其他零点均位于Ls 之外， 当s沿Ls 顺时针移动一周时，向量(s-zi)的相位变化－2π，而其 他各向量的相位不变，即为0；即相量F(s)的相位也变化－2π， 即F(s)在[F(s)]平面上没LF绕原点顺时针旋转了一周。
在S平面上封闭曲线C域内共有n个极点和m个零点，且 封闭 曲线C不穿过F(s)的任一个极点和零点。
当S顺时针沿 封闭曲线C变化一周时，函数F(s)在F平面上的 轨迹将按顺时针包围原点 N = m – n 次。
(零点个数考虑重根数，N > 0 顺时针，N < 0逆时针。)
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第六章 系统的稳定性
第六章 系统的稳定性
第四节 Nyquist稳定判据
主讲人 ：王 辉
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第六章 系统的稳定性
一、Nyquist稳定判据优点： (1) 作图分析，计算量小，信息量大。
(2) 不但判稳定，也能给出稳定裕量。
(3) 可以用实验手段得到频率特性。
二、柯西复角定理：
对于复变函数
F ( s ) k( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
Gk ( j) 幅频特性
Gk
(
j
相频特性
)
D形围线在Gk(s)平面上的映射就是系统在Gk(s)平面上的 Nyquist图，也就是系统的开环幅相频率特性曲线。
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F(s)平面上的原点即Gk(s)平面上的(－1，j0)点
S平面
j
j
D形围线
F(s)=1+Gk (s)
F平面 Im' Im GK 平面
（n>m） （n=m）
多数情况n>m，当s从0 ± j∞ 时，Gk(s) 0， F(s) = 1+Gk(s) 1
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(3)开环频率特性Gk(jω )和Nyuist图
开环传递函数Gk(s)，令s = jω ，即开环频率特性Gk(jω )
当ω 由0 ∞ (负频部分无物理意义)
利用柯西复角原理判稳定的思路：
(1)使F(s)与系统传递函数相联系 (2)封闭曲线域为右半平面（或左半平面） (3)使封闭曲线为虚轴，与频率特性相联系
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3、D形围线和Nyquist图：
+
开环传递函数 GK (s) G(s)H(s) -
闭环传递函数
GB
(s)
1
G(s) G(s)H (s)
当[s]平面上顺时针沿D形围线连续变化一周时，F(s)平面上的 Nyuist图顺时针包围原点N次。
N=Z― P
Db(s)=0的根 闭环极点
Dk(s)的根 开环极点
对于物理上可实现的开环系统，其Gk (s) 的分母的阶次n应大于或 等于分子的阶次m，故有
0
lim
s
GK
(
s)
lim
s
Hale Waihona Puke G(s)H
(s)
常量
平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针旋转的圈数为N＝Z －P。
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例： F( s ) s 2
s3
单域问题
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－3 －2
j S平面
Im F平面 原点 Re
无穷远点
j S平面
Im F平面 Re
j S平面
Im F平面 Re
N＝1
N=－1
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N、Z、P的关系为：N=Z-P
N>0 F(s)顺时针运动，包围原点； N<0 F(s)逆时针运动，包围原点； N=0 F(s)顺时针运动，不包围原点。
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由于
F (s) K (s z1)(s z2 )L (s zm ) (s p1)(s p2 )L (s pn )
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若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点，则在
[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针旋转Z圈。同理， 若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点，则在[F(s)]
平面上的映射曲线LF将绕原点逆时针旋转P圈。若[s]平面 上的封闭曲线包围着F(s)的Z零点和P个极点，则在[F(s)]
(1) 沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为D形围线。
F(s)=1+Gk (s)
j S平面
j
D形围线 R
j
Im F平面 1 Re
Nyquist图
(2)设F(s)=1+Gk (s)，[s]平面上的D形围线在[F(s)]平面上映射的有 向闭曲线称为Nyquist图。
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j
1 Re
(-1,j0)
Nyquist图
柯西复角原理：对于复变函数F(s)=1+Gk (s)，当S平面上沿D形 围线顺时针变化一周，则在Gk(s)平面上顺时针包围(-1,j0)点 N=m-n次。 其中：n为Gk(s)在右半平面的极点，也是F(s)=1+Gk (s) 的极点。
②对于s平面上任意给定的一条不通过F(s)任何奇异 点的连续封闭曲线Ls,也可以在F(s)平面上找到一条与之 对应的封闭曲线F(s)
F1(s) Ls1
Ls2
F2(s)
s平面与F平面的映射关系
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(2)幅角定理
s平面上不通过F(s)任何奇点的封闭曲线Ls，它包围 F(s) 在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿 封闭曲线Ls移动一周时，在F平面上相对应于封闭曲线 F(s)将以顺时针方向绕原点旋转N圈。
G(s) 1 Gk (s)
闭环传递函数分母
G(s) H(s)
F (s)
1 GK
(s)
1
Nk (s) Dk (s)
Dk
(s) Nk Dk (s)
(s)
Db (s) Dk (s)
Db(s) 闭环特征多项式
Dk(s) 开环特征多项式
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为了研究F(s)有无零点位于[s]平面的右半平面，可选择一条包 围整个[s]右半平面的封闭曲线Ls，具体过程如下：
2.幅角定理(映射定理)
(1)预备知识
F(s) 1 G(s)H(s)
F(s)是复变量s的单值有理函数。可以证明：
①如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则 对于此区域内的任何一点d都可以在F(s)平面上找到一个相 应的点d／，d／称为d在F(s)平面上的映射。
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m
n
则相位角： F (s) (s zi ) (s p j )
i 1
j 1
j
p1 z1
[s]
zi Lps 3
p2
Im [F(s)]
LF F(s)
Re
假设Ls内只包围了F(s)的一个零点zi ,其他零点均位于Ls 之外， 当s沿Ls 顺时针移动一周时，向量(s-zi)的相位变化－2π，而其 他各向量的相位不变，即为0；即相量F(s)的相位也变化－2π， 即F(s)在[F(s)]平面上没LF绕原点顺时针旋转了一周。
在S平面上封闭曲线C域内共有n个极点和m个零点，且 封闭 曲线C不穿过F(s)的任一个极点和零点。
当S顺时针沿 封闭曲线C变化一周时，函数F(s)在F平面上的 轨迹将按顺时针包围原点 N = m – n 次。
(零点个数考虑重根数，N > 0 顺时针，N < 0逆时针。)
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