职高数学第七章平面向量习题及复习资料
中职数学第七章平面向量章节复习课件
D. 63 65
（5）若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角是135°，则m·n等于（C ）
A.12
B.12 2
C.-12 2
D.-12
A.(7，1)
B.(-7，-1)
C.(-7，1)
D.(7，-1)
（3）已知a=(-1，3)，b=(x，-1)，且a∥b，则x等于（ C ）
A.3
B.-3
C. 1 3
D. 1 3
（4）若a=(3，4)，b=(5，12)，则a与b的夹角的余弦值为（ A ）
A. 63 65
B. 33 65
C. 33 65
(3a b)2 9a2 6a b b2 109 3a b 109
例3 平面向量a=(3，-4)，b=(2，x)，c=(2，y)，已知a∥b，a⊥c， 求b，c及b与c的夹角.
答案： a=(3，-4)，b=(2，x)， a∥b 3 4
2x
c (2，y)a c y 3 2
课堂探究
1.探究问题 【探究】向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广 泛的应用，应引起足够的重视. 思考一下，向量学习主要有哪些数学 思想？ 答案：（1）数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和 几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现 了数形结合的思想方法.（2）化归转化的思想方法。向量的夹角、 平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算 问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量 的数量积公式 a2 a 2 ，沟通了向量与实数间的转化关系；一些 实际问题也可以运用向量知识去解决.（3）分类讨论的思想方法。 如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可 分为同向向量和反向向量；向量a在b方向上的投影随着它们之间 的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形.
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
(2021年整理)中职数学平面向量复习
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复习模块:平面向量一 、知识点（1)平面向量的概念及线性运算平面向量两要素：大小，方向。
零向量:记作0，手写时记做0，方向不确定。
单位向量:模为1的向量.平行的向量（共线向量)：方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。
规定：零向量与任何一个向量平行。
相等向量：模相等，方向相同，记作a = b 。
负向量:与非零向量a 的模相等，方向相反的向量,记作-a .规定：零向量的负向量仍为零向量。
向量加法的三角形法则：如图1,作AB =a , BC =b ，则向量AC 记作a ＋b ，即，和向量的起点是向量a 的起点,终点是向量b 的终点．向量加法的平行四边形法则:如图2，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD =AB ＋BC =AC ，AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。
向量的加法具有以下的性质：（1)a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0；(2)a ＋b =b ＋a ；(3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c )．向量的减法：起点相同的两个不共线向量a 、 b ，a 与b 的差运算的结果仍然是向量,叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a的终点．如图3。
a −b =a+（−b ），设a =OA ，b =OB ， 向量的数乘运算：数与向量的乘法运算。
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ,它的模为若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同,当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．aAa -b Bb O 图3 图1A CBa ba +b a b 图2 C B共线向量充要条件：对于非零向量a 、b ，当0λ≠一般地，有 0a = 0， λ0 = 0 .线性组合：一般地，λa ＋μb 叫做a ， b 的一个线性组合．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l可以用a ,b 线性表示．（2）平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)A x y B x y ， ,则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，．设平面直角坐标系中，11(,)x y =a ，22(,)x y =b ,则由此得到，对非零向量a 、 b ，设1122(,),(,),a b ==x y x y当0≠λ（3）平面向量的内积 向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉。
中职数学平面向量复习
复习模块:平面向量一 、知识点(1)平面向量的概念及线性运算平面向量两要素:大小,方向。
零向量:记作0,手写时记做0 ,方向不确定。
单位向量:模为1的向量。
平行的向量(共线向量):方向相同或相反的两个非零向量,记作a //b 。
规定:零向量与任何一个向量平行。
相等向量:模相等,方向相同,记作a = b 。
负向量:与非零向量a 的模相等,方向相反的向量,记作-a 。
规定:零向量的负向量仍为零向量。
向量加法的三角形法则:如图1,作AB =a , BC =b ,则向量AC 记作a ＋b ,即AB ＋BC =AC a 的起点,终点就是向量b 的终点.向量加法的平行四边形法则:如图2,在平行四边形ABCD 中,AB ＋AD =AB ＋BC =AC , AC 所表示的向量就就是AB 与AD 的与.平行四边形法则不适用于共线向量。
向量的加法具有以下的性质:(1)a ＋0 = 0＋a = a ; a ＋(−a )= 0;(2)a ＋b =b ＋a ;(3)(a ＋b )＋ c = a ＋(b ＋c ).向量的减法:起点相同的两个不共线向量a 、 b ,a 与b 的差运算的结果仍然就是向量,叫做a 与b 的差向量,其起点就是减向量b 的终点,终点就是被减向量a 的终点.如图3。
a −b =a+(−b ),设a =OA ,b =OB , 向量的数乘运算:数与向量的乘法运算。
一般地,实数λ与向量a 的积就是一个向量,记作λa ,它的模为若||λ≠a 0,则当λ＞0时,λa 的方向与a 的方向相同,当λ＜0时,λa 的方向与a 的方向相反.共线向量充要条件:对于非零向量a 、b ,当0λ≠时,有一般地,有 0a = 0, λ0 = 0 、aAa -b Bb O 图3 图1 A C B a a +b b 图2 C B线性组合:一般地,λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合.如果l ＝λa ＋μ b ,则称l 可以用a ,b 线性表示.(2)平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)A x y B x y ， ,则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，． 设平面直角坐标系中,11(,)x y =a ,22(,)x y =b ,则由此得到,对非零向量a 、 b ,设1122(,),(,),a b ==xy x y当0≠λ时(3)平面向量的内积 向量a 与向量b 的夹角,记作<a ,b>。
平面向量(附例题,习题及答案)
向量的线性运算一．教学目标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3。
理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4。
理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5。
理解用坐标表示平面向量的共线条件。
二．知识清单1。
向量基本概念（1）向量的定义：既有又有称为向量；（2）向量的大小(或称模）：有向线段的表示向量的大小；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量; （4)共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平行向量），叫做相等向量。
2。
向量的线性运算（1）向量的加法a。
向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则.b.向量加法满足的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
(2）向量的减法a。
定义:a—b=a+（—b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA.b。
三角形法则：“共始点,连终点，指向被减"。
（3）数乘向量a.定义：一般地，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa。
b.数乘向量满足的运算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b)=3。
向量共线的条件与轴上向量坐标运算(1）向量共线的条件平行向量基本定理:如果，则；反之，如果，且 ,则一定存在，使。
（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理如果是一平面内的的向量,那么该平面内的任一向量a，存在，使。
（2）平面向量的正交分解定义: 把一个向量分解为，叫做把向量正交分解。
（3）向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y使得____________,这样，平面内的任一向量a都可由 __________唯一确定,我们把有序数对________叫做向量的坐标,记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.（4）向量的坐标运算向量坐标的加减与数乘若a=（a1，a2)，b=（b1，b2），则a+b=(a1+b1,a2+b2）,a-b=（a1-b1，a2—b2）,λa=(λa1，λa2).（5)用平面向量坐标表示向量共线条件两个向量a, b平行的条件：a=λb，b≠0。
职高数学 平面向量
(平行四边形法则)λba(数乘向量)l平面向量一．内容提要： 1．向量的有关概念：○向量：有大小和方向的量（位移），向量的长度叫模。
记法：a ,, | a |, || ○相等的向量：方向相同、长度相等。
○相反向量：方向相反、长度相等。
（坐标互为相反数，对应点关于原点对称） ○零向量：长度为零的向量。
用o 表示。
○单位向量：长度为1的向量，用e 表示。
a 0 =||a a也是单位向量。
○向量的线性组合：a = a 1e 1 + a 2e 2 ，其中e 1、e 2是不平行的两向量（不一定是单位向量），e 1、e 2叫基向量。
a 叫e 1和e 2的线性组合。
○向量的正射影：向量a 在轴l 上的正射影a l , 向量a 在轴l 上正射影的数量a l , 向量的方向角θ ( 0≤θ≤π ). 正射影的数量的计算：a l = | a | cos θ2．向量的直角坐标： 轴上向量的坐标：3．向量的运算：包括加、减、数乘、内积四种运算 （1）几何运算：加法：a + b , 平行四边形法则，三角形法则（推广：首尾相接法） 减法：a - b , 三角形法则（减向量的终点到被减向量的终点）性质：AC BC AB =+（推广：n n n A A A A A A A A A A 11433221=+++--=，-=运算律：a + b = b + a ，( a + b ) + c = a + ( b + c )a + ( -a ) = 0，a +b =c ⇔ a = c - b数乘：a = λb （λ > 0 ⇒ λb 与a 同向; λ < 0 ⇒ λb 与a 反向） 性质：| λa | = | λ | ⋅ | a | (λ、μ ∈R)运算律：( λ + μ )a = λa + μa ，λ( μa ) = ( λμ )a ，λ( a + b ) = λa + λb 内积：a · b = | a | · | b |cos< a , b >, 其中< a , b > 表示向量a 与b 的夹角θ，0≤< a , b >≤π性质：a · e = | a | cos< a , e >, a · a = | a |2 , | a · b |≤| a | · |运算律：a · b = b · a , λ(a · b ) = (λa ) · b = a · (λb ), ( a + b ) · c = a · c + b · cdabc a+b+c+d(首尾相接法)baa -b(三角形法则)baa -b (三角形法则)bC（2）坐标运算：在直角坐标系中，以原点O 为起点、A( x, y )为终点的向量的坐标是( x, y ), 而的坐标是终点的分量坐标减起点对应的分量坐标，即：= (x B - x A , y B - y A ) 若a = ( a 1, a 2 ), b = ( b 1, b 2 )，则a ± b = ( a 1 ± b 1, a 2 ± b 2 ) a = ( a 1, a 2 ), b = ( b 1, b 2 ) ⇒ a · b = a 1b 1 + a 2b 2 4．向量的平行与垂直两向量平行：a // b ⇔ a = λb , //⇔=λ(坐标形式：( a , b ) =λ( c , d )) 两向量垂直：a ⊥b ⇔ a · b = 0 (坐标形式：(a , b ) · ( c , d ) = 0 ) 其中：a = ( x 1, y 1 ), b = ( x 2, y 2 ) 注意：与向量a = ( x, y )平行的向量可写成：(λx, λy ), 与向量a = ( x, y )垂直的一向量可写成：( y, -x )或(-y, x ) 5．其它相关知识： ○中点公式：向量式)(21OB OA OM +=，坐标式( x M , y M ) = (2,2B B A Ay x y x ++) ○直线的向量参数方程：t t +-=)1(，其中：O 是直线AB 外一点，t ∈R 注：直线的向量参数方程可以应用于三点共线。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
(完整word版)职高数学第七章平面向量习题及答案(2).docx
第 7 章平面向量习题练习 7.1.11、填空题（1）只有大小，没有方向的量叫做；既有大小，又有方向的量叫做；（2）向量的大小叫做向量的，模为零的向量叫做，模为 1 的向量叫做；（3）方向相同或相反的两个非零向量互相，平行向量又叫，规定：与任何一个向量平行；（4）当向量 a 与向量 b 的模相等，且方向相同时，称向量 a 与向量 b；（5）与非零向量 a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量 a 的；2、选择题（1）下列说法正确的是（）A ．若 |a|=0，则 a=0B．若 |a|=|b|，则 a=bC．若 |a|=|b|，则 a 与 b是平行向量D．若 a∥b，则 a=b（2）下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或uuur uuura∥ b， b∥c. 那么 a 相反；③向量 AB 与向量 CD 共线，则 A、 B、 C、D 四点共线；④如果∥c正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.0参考答案：1、（ 1）数量；向量（ 2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量（4）相等（ 5）负向量2、（ 1） A （ 2） B练习 7.1.21、选择题（1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（）uuur uuur uuur uuur uuurA ． AB=DCB ． AD+AB=ACuuur uuur uuur uuur uuur r C． AB +AD=BD D． AD+CB=0uuur uuur uuur（2）化简： AB+BC CD =（）D C A Buuur uuur uuur rA ． AC B． AD C． BD D ． 02、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a+bba参考答案：1、（ 1） C（ 2） B2、方法一：三角形法则方法二：平行四边行法则ba+b a+bba a练习 7.1.31、填空题uuur r uuur r uuur uuur（1）在平行四边形 ABCD 中，若 AB=a ， BD=b ，则 AB+CBuuur uuur uuur uur（2）化简 : OP QP PS SP；2、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a- bba参考答案：r r uuur1、（ 1）b ； a （ 2） OQ2、a- buuur uuur， AD -CD；ba练习 7.1.41、选择题（1）如图所示， D 是△ ABC 的边 AB 的中点，则向量ADB Cuuur CD 等于（）uuur 1 uuuruuur 1 uuurA ． BC+ BAB ． BC+BA22uuur 1 uuuruuur 1 uuurC ． BCBAD ． BCBA2 2 uuur uuur uuuur（2）化简 PM PN MN 所得结果是（ ）uuuruuurruuuurA ． MPB ． NPC ． 0D ． MN2、化简题：（ 1） 3（ a - 2 b ）－（ 2 a ＋ b ）；（ 2） a - 2（ a - 4 b ）＋ 3（ 2a - b ）．参考答案：1、（ 1） B （ 2） C2、（ 1） a - 7 b （ 2）5a +5 by练习 7.2.131、填空题：2（1）对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数b（x ，y ），使得 a=xi +yj 。
职高数学第七章复习
第七章 平面向量 复习卷第一节 平面向量的基本概念与其基本运算 1．向量的概念(1)定义：既有大小又有方向的量．(2)向量的表示：用a 、b 、m 等来表示，或用AB →来表示(它表示以A 为始点，B 为终点的向量)．(3)向量的长度(或模)：记为|a |或|AB →|.(4)0(零向量)：长度为0的向量，其方向任意，零向量没有确定的方向． (5)e (单位向量)：|e |＝(6) a 的相反向量：是指与a 长度相等且方向相反的向量，记为 (7) 相等向量(同一向量)：大小相等且方向相同的向量． 2．向量的加法运算(1)加法法则：三角形法则与平行四边形法则． (2)若干个向量相加的多边形法则A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋A 4A 5→＋…＋A n－1A n＝ (首尾相接)(3)加法运算律：a ＋b ＝b ＋a (交换律) (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(结合律) a ＋0＝0＋a ＝a ；a ＋(－a )＝0； AB →＋BA →＝0.3．向量的减法运算(1)减法法则(如图所示)．(2)a－b＝a＋(－b)即OA→－OB→＝BA→(连接两个向量的终点，且方向指向被减向量)．(3)向量不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|4．实数与向量的积(数乘向量)实数λ与向量a的乘积，叫做数乘向量，记作λa.(1)大小：|λa|＝(2)方向：λ＞0，λa与方向；λ＜0，λa与a方向；λ＝0，λa＝0.(3)运算律：λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa ；λ(a＋b)＝λa＋λb，（λ，μ为实数）5．两个向量平行(共线)的充要条件: a∥b⇔ (a≠0，λ∈R，λ存在且唯一)练习题1．下列说法正确的是( )A．相等向量就是与向量长度相等的向量 B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量是指在一条直线上的向量 D．0与任一向量共线2．a的负向量是( )A．与a方向相反的向量 B．与|a|符号相反的向量C．与a反向且大小相等的向量 D．以上均不对3．下列关于向量的关系式中，正确的是( )A．AB→＋BA→＝0 B．AB→－AC→＝BC→ C．AB→＋AC→＝CB→ D．AB→－AC→＝CB→4．－3(a－b)＋4(a－34b)＝( )A．a B．a＋b C．a－b D．2a＋b5．AB→＋CA→＋BC→＝．6．在菱形ABCD中，若AB→＝a，BC→＝b，则CD→＝________，CA→＝________．7．若向量a表示“向东走6km”，向量b表示“向北走6km”，则向量a＋b表示________．8．下列命题正确的是( )A．若|a|＝0，则a＝0 B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b C．若a∥b，则|a|＝|b| D．若a＝0，则－a＝09．平行四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，则BD→＝( )A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b10．2(a＋b)－3(2a－b)＝( )A．4a＋5b B．－4a＋5b C．5a＋4b D．－5a＋4b 11.AB→＋CA→＋DE→－DF→＋BD→＋EF→＝________．12．已知AB→＝(1，3)，CD→＝(3，9)，CD→＝λAB→，则λ＝________．第二节平面向量的坐标表示1．向量的坐标与其运算(1)向量的坐标在直角坐标系中，i、j分别为x，y轴正方向上的单位向量，则i、j称为基底，从而平面内任一向量a都可以表示成a＝x i＋y j，把(x，y)叫做a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x称为a在x轴上的坐标，y称为a在y轴上的坐标．(2)在坐标平面内，把任一向量的始点移到坐标原点后，向量的终点坐标即为该向量的坐标．即：若OA→＝a，且A(x，y)，则有a＝(x，y)．(3)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有AB→＝(x2－x1，y2－y1)．(4)向量的坐标运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.2．a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.3．中点坐标公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B中点记为C(x，y)，则有x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.4．向量的长度(模)计算公式：若a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.5．两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.练习题1．若向量a＝(3，－1)，b＝(－1，2)，则－3a－2b等于( ) A．(7，1) B．(－7，－1) C．(－7，1) D．(7，－1) 2．点A(2，－1)，B(－1，3)则AB→＝( )A．5 B． 5 C．(－3，4) D．(3，－4)3．已知点A(2，3)，B(4，3)，则其中点D的坐标为( )A．(2，1) B．(2，2) C．(3，3) D．(6，6)4．已知A(1，－1)，B(1，3)，则|AB→|＝________．5．已知a＝(2，5)，b＝(λ，3)，a∥b，则λ＝________．6．已知点A(－2，1)和B(3，－2)且AP→＝4PB→，则点P的坐标为________．7．已知平面上三点A(1，2)、B(4，3)、C(6，1)，若AB→＝CD→，则点D坐标为________．8．若平行四边形ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标．第三节平面向量的内积1．向量a与b的夹角：把向量a与b的始点移到同一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB称为向量a、b的夹角，记作〈a，b〉，则〈a，b〉∈[0，π]．2．向量a与b的内积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．3．两向量a、b夹角的计算公式：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.4．向量内积的重要结论：设a、b是两个非零向量，则有(1)a⊥b⇔〈a，b〉＝90°⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(2)a与b平行，则a·b＝±|a||b|，且同向取正，反向取负．特别地，a·a＝a2＝|a|2即|a|＝a·a.5．向量内积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2 6．向量内积的运算律 (1)a·b＝b·a (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c练习题1．若四边形ABCD中，AB→＝DC→，且AB→·BC→＝0，则四边形ABCD一定是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2．已知向量a＝(3，2)，b＝(13，4)，则a·b＝( )A．6 B．7 C．8 D．93．下列等式正确的为( )A．0·a＝0 B．0·a＝0 C．|a·b|＝|a|·|b| D．a －a＝04．设|a|＝3，|b|＝2，且〈a，b〉＝120°，则a·b＝( ) A．3 B．－3 C．6 D．－65．向量a＝(－2，3)，b＝(x，4)，且a⊥b，则x＝( )A．6 B．－6 C.83D．－836．已知a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2，则〈a，b〉＝________.7．已知a＝(2，2)，b＝(0，2)，则a·(2b)＝________．8．已知a＝(k，－2)，b＝(2k，k＋1)，求k的值，分别使：(1)a⊥b；(2)a ∥b.9．若向量a＝(4，－3)，则下列向量中与a垂直的向量是( )A．(3，－4) B．(3，4) C．(－35，45) D．(35，－45)10．已知a＝(3，－4)，b＝(－2，3)，则a·(a＋b)＝( ) A．－13 B．7 C．6 D．26。
中职数学(基础模块)下册7
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0． （7．9）
巩固知识 典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
解 由于 3×2−1×6＝0， 故由公式（7．9）知，a ∥ b ， 即向量a、 b共线．
AB OB OA (x2i + y2 j) (x1i + y1 j) (x2 x1)i ( y2 y1) j．
y M(x,y)
j Oi
图7－18(1)
y
A
B 向量的坐标等
j
于原点到终点的
向量的坐标减去
x
O
i
原点到起点x 的向
量的坐标．
图7－18(2)
动脑思考 探索新知
由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对 有序实数 (x, y)， 使得 a xi yj ．有序实数对 (x, y)
OA 2，3
=-2i 3 j．
2． 设向量 a 3i 4 j,写出向量e的坐标．
a 3， 4．
运用知识 强化练习
已知A，B两点的坐标，求 AB，BA 的坐标．
(1) A(5,3), B(3, 1); (2) A(1, 2), B(2,1);
(3)A(4,0), B(0, 3)． (1) AB (2,4), BA (2,4)； (2) AB (1,1), BA (1,1)； (3) AB (4,3), BA (4,3)．
叫做向量a的坐标，记作 a (x, y)．
巩固知识 典型例题
例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示 向量a、b, 并写出它们的坐标．
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第7章平面向量习题7.1.1练习
、填空题1；既有大小，又有）只有大小，没有方向的量叫做1（方向的量叫做；（2）向量的大小叫做向量的，模为零的向量叫做，模为1的向量叫做；
（3）方向相同或相反的两个非零向量互相，平行向量又叫，规定：与任何一个向量平行；
aba与与向量的模相等，且方向相同时，称向量）当向量
（4b；向量
aa的模相等，且方向相反的向量叫做向量（5）与非零向量的；
2、选择题
（1）下列说法正确的是（）
A．若0，则0 B．若，则
abab，则．若 DC．若，则与∥是平行向量（2）下列命题：
ab平②向量与向量①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
ab的方向相同或相反；③向量与向量共线，则A行，则与、abbcac 四点共线；④如果、、BCD∥，∥.那么∥1 / 8
）正确的命题个数为（
A.1
B.2
C.3
D.0 参考答案：）平行的向）模；零向量；单位向量（31、（1）数量；向量（2 量；共线向量；零向量）负向量（4）相等（5 B）A（2）（2、17.1.2 练习
1、选择题 1）如右图所示，在平行四边行中，下列结论错误的是（）
（
． BA．D C
．C D．A B
（2（）化简：= ）
C．．．A B． D ba与2、作图题：如图所示，已知向量，求
a
参考答案：2 / 8
B 1、（1）C（2）、2方法方法一：三角形法则二：平行四边行法则
a a
7.1.3练习
、填空题1
，（1）在平行四边形中，若，，则
；
；）化简（2:ba与，求、作图题：如图所示，已知向量2
a
3 / 8
参考答案：
；（21、（1））、2
a
7.1.4练习
1、选择题
1（）如图所示，D等于（是△的边的中点，则向量）
BA．．A
．．C D
是结果所2（）化简得
）
（
． BA．． C． D 、化简题：2bba a a b a ba．2422231（）（?2）－（；＋）（）?（?3）＋（?）参考答案：4 / 8
1、（1）B（2）C
a b a b +5）?75（2、（1）2
y
7.2.1练3
2ab
1、填空题1
e，都存在（1）对任一个平面向O12x
3 yx），使得。
有，着一对有序实数d
c
－叫做向量的坐序实数对－标。
yB xA xy。
))，点，（2）已知((则的坐标为，，
2112dbceea，并求出它，，、如图，用基向量分别表示向量，，221们的坐标． AB 的坐标：两点的坐标，求
3、已知，，B AAB．8，－6)，7)(4)，－(6，3)；(2)3(－，
(1) (－3，参考答案：yyxxxy)
－(（1、1）（－，，）（2）1122ebeeae 3)，－2＝－2，＋3(2、＝3
＝＋2＝(3，2 )，2121eedcee．，－3)－3＝2(2－3＝(－2，－3)，＝2＝－2211 1）=（－9，），（3、1）=（9，－1 ）5，1313（－5，－），=（= （2）7.2.2练习
、填空题：1baabbbaaab－，则，，，如果＝()＝()＋
＝，2121 5 / 8
λaλ是实数。
其中＝，＝
abababab．，＋－4＝(－3，4)，求，＋32、已知(2＝，1)，参考答案：
ababababλaλa)
)＋，)，(－(，1、(＋，，－2122121211abab＝(2，1)－(－(－1，5)；3－2、，＋3＝(2，1)＋(－，4)＝4)＝(5，－3)；
ab＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋34＋(－12，16)＝(－6，19) 练习7.2.3
1、判断下列两个向量是否平行：
abef＝(0，，0)，－15)；(2) ，(1) ＝＝(－1，3)，(2＝(53) AB a y a，，，并且∥，4)，向量)＝2、已知点(－2，－1)，(1(0a y 的纵坐标求ABCABC三，(2，5)，－2，－3)，求证：(0，1)，3、已知点，(点共线．
参考答案：
a b 平和向量，所以向量－(－15)3×5＝0因为1、(1) (－1)×行；
e f 不平行．和×0＝6≠0，所以向量(2) 因为2×3－02、
由已知条件得＝(0，4)－(－2，－1)＝(2，5)，
a yy＝．．解得 2×＝0因为∥，所以1×5－3、由已知条件得＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)．AA，，又线段和有公共点，所以∥，所以＝×－×因为28440 BC三点共线．，
6 / 8
7.3.1练习
baaba b ·?，求|，| |，?：，1．已知 |
b ba a b a| ，|，?＝，8?＝12(1) | 0°；|＝7，| (2) | |
＝12ba4，??＝π；，|＝bbaa b a?|，?：·，2．已知 | ，求|，|
baba b aa b ．·|＝12＝16，·，＝－8；(2) | ＝(1) | 6|a aa| 3、已知·| ＝16，求参考答案：32 ）－421、（1）－（2 0°
2、（1）120°（2）34
3、7.3.2练习
a abba (2) | ，求：(1) ；、设1·＝(3，－1)，＝(1，－2)ba
b ?．，|； (3) | ；| (4)?BA||2、已知．(2，－4)，(－2，3)，求CBA (－，求证：，3)5)．2，3、已知(1，2)，(2，参考答案：ba；＋－－×＝31＋(1)×(2)＝32＝5(1) 1、·a ＝＝；(2) | |b |＝＝；(3) |
ba )(4)因为?，?＝＝×＝，,2)ba，所以??＝．7 / 8
BA4)，－－(2(－2，3) 、因为(2，－4)，，(－23)，所以＝2 7)，，＝(－4)|所以|＝＝．，－32)5－＝(1((13－1，－2)＝，1)，＝－2－，(23、因为＝ 3)，1)·(－3，＝0． (1可得·＝，3)．所
以
8 / 8。