5.3 微积分基本定理(1-30)

根据求导公式可得以下不定积分公式 根据求导公式可得以下不定积分公式: 不定积分公式
(sinx)'= cos x ⇒ (−cos x)'= sinx ⇒
2 (tan x)'= sec x ⇒
(1) ∫ cos xdx = sinx + c
(2) ∫ sinxdx = −cos x + c
(3) ∫ sec2 xdx = tan x + c
表达式 F(x) + c 称为 f (x) 在 [ a , b ] 上的不定积分 , 上的不定积分 记为 ∫ f ( x)dx , 即
∫ f ( x)dx = F( x) + c
其中 F(x)是 f (x) 在 [ a , b ]上的某一原函数 , c 为 是 上的某一原函数 任意常数
说明: 说明 (1) ∫ F'( x)dx = ∫ dF( x) = F( x) + c
A(x) 具有性质 具有性质:
A'( x) = f ( x)
b
自然要问: 自然要问 对一般的积分 ∫ f ( x)dx 是否成立
a
∫ f ( x)dx = F(b) − F(a) ?
b a
其中 F'( x) = f ( x)
问题一: 问题一 能否求一个函数 F(x)使在 [a , b]上成立 使在 上成立
0 1
2 1 31 1 2 = x + [ x − x] 1 3 0 2
1 1 5 = + = 3 2 6
变上限积分函数的进一步讨论: 变上限积分函数的进一步讨论 变限积分函数既然是一函数 , 就可讨论其一系列 的函数性质 ( 例如 , 单调性 , 最值 , 凹凸性等 ) 是连续函数， 是连续函数 ， 均为可微 例 设 f (x)是连续函数，而α(x)，β(x)均为可微 证明: 函数 , 若记 F( x) = ∫ f (t )dt , 证明
x0
x
的重要手段 ( 许多工程中的重要函数用积分 形式表示 ) , 它以公式 (1) 作为求导公式
30 原函数和不定积分 问题 如何计算 F( x) = ∫ f (t )dt ?
a x
先讨论满足 F'( x) = f ( x) 的函数的性质
定义 设 f (x) 在 [ a , b ] 上有定义 , 如果对任意
d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx
与微分运算 即不定积分运算 “ ∫ ” 与微分运算 “ d ” 在相差一 常数的意义下是 “ 互逆 ” 的 (2) 不定积分 ∫ f ( x)dx 表示一族函数 , 它涵 盖了f 盖了 (x) 在 [ a , b ] 上原函数的全体 现若 f (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 则变上限积分函数
= x − 2arctan x + c
取函数 F(x) = x− 2arctanx , 则 F(x) 在 [ 0 , 1] 上是
x2 −1 f ( x) = 2 的一个原函数 , x +1
1
x2 −1 1 dx = ( x − arctan x) 0 ∫ 2 0 x +1
= 1− 2arctan(1) −
= 1− 2⋅
π
4
=1−
π
2
例 计算 ∫ f ( x)dx ,
0
2
x2 , 0 ≤ x ≤ 1 其中 f ( x) = x −1 , 1 < x ≤ 2
解
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
0 1 0 2 1
2
1
2
= ∫ x2dx + ∫ ( x −1)dx
F ( x) = F2 ( x) + c 1
即 f (x) 的任意两个原函数之间最多相差一个常数
证明 (2) 设 F( x) = F ( x) − F2 ( x) , 则由 F1(x) , 1 F 2 (x) 都为 f (x) 在 [ a , b ] 上的原函数知
F'( x) = F '( x) − F2'( x) 1
a
∫ f (t )dt = F(b) − F(a)
F( x) a
b
定理( 定理 微积分第二基本定理 ) 设 f (x) 在 [a , b] 上连续 , F(x) 是 f (x) 在 [a , b] 上 的任意一个原函数 , 则
a b
∫ f ( x)dx = F( x) a
b
(牛顿 莱布尼兹公式 牛顿—莱布尼兹公式 牛顿 莱布尼兹公式)
s'(t ) = v(t )
S(t) 具有性质 具有性质:
(2) 设 y=f (x) 在 [ a , b ] 上连续 , y 对任意 x∈[ a , b ] , 面积函数 ∈ A(x) 如图所示 , 则有 o
d
y = f (x)
c
A(x)
a
∫ f ( x)dx = A(b) − A(a)
a
b
x b x
x0 x0 x0
x
x
x
x d x 由式 (1) ∫ f (t )dt = f ( x) ⇒d ∫ f (t )dt = f ( x)dx dx x0 x0
从而可知: 从而可知
微分运算 “ d ” 与变上限积分运算 “
∫ ” 是互逆的运算
x0
x
(2) 变上限积分函数 F( x) = ∫ f (t )dt 是表示函数
xα 1 ( xα+1)'= xα ⇒ (7) ∫ xα dx = + c (α ≠ −1) 1+ α 1+ α 1 1 (ln x)'= ⇒ (8) ∫ dx = ln x + c x x
(e x )'= e x ⇒ ax ( )'= a x ⇒ lna (shx)'= chx ⇒
(9) ∫ e xdx = e x + c ax (10) ∫ a xdx = +c lna (11) ∫ chxdx = shx + c
定理说明: 问题一有解 有解, 定理说明 当 f (x) 在 [ a , b ] 上连续时 , 问题一有解 就是问题一 问题一的解 函数 F( x) = ∫ f (t )dt 就是问题一的解
x0 x
说明: 说明 (1)
F( x) = ∫ f (t )dt = ∫ F'(t )dt = ∫ dF(t )
F'( x) = ( ∫ f (t )dt)'= f ( x)
x0
x
(1)
证明: 证明 任取 x ∈[a , b], ∆x ≠ 0 , 使 x +∆x∈[a , b] , ∈
由于 F( x + ∆x) − F( x) = ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt
x0
x+∆x x
x+∆x
x
x0
的 x∈[ a , b ] , 都有 ∈
F'( x) = f ( x) 或 dF( x) = f ( x)dx
则称 F(x) 为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在 [a , b] 上的一个 原函数
原函数存在定理) 定理 (原函数存在定理 如果 f (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 原函数存在定理 则 F( x) = ∫ f (t )dt 是 f (x) 在 [ a , b ] 上的一个原函数 ,
(c)'= 0 ⇒
下面研究问题二 下面研究问题二 上满足 问题二: 问题二 对于求得的在 [ a , b ]上满足
F'( x) = f ( x)
F(x) 的函数 F( ) , 是否有等式
∫ f ( x)dx = F(b) − F(a)
a
b
成立? 成立
40 微积分第二基本定理 设 f (x) 在 [a , b]上连续 , 若能计算出不定积分 上连续
之间) = ∫ f (t )dt = f (ξ )∆x (ξ介于 x 与 x+∆x 之间 介于 上连续, 注意到 ,当 ∆x→0 时 , ξ→ x 及 f (x) 在 [a , b] 上连续 当 → → 故有
F( x + ∆x) − F( x) F'( x) = lim = lim f (ξ ) = f ( x) ∆x→0 ∆x→0 ∆x
b
说明:(1)牛顿 莱布尼兹公式 把 ∫ f ( x)dx 的计算问题 牛顿—莱布尼兹公式 说明 牛顿
上的一个原函数的计算问题 在 不定积分 ∫ f ( x)dx的计算问题 , 从而回避 从定义计算定积分
(2) 前述的问题一 , 问题二得到解决 前述的问题一 问题二得到解决
§5.3 微积分基本定理
问题: 问题 研究不从定义出发计算定积分的简便方法 10 两个问题 (1) 在时间段 [ T1 , T2 ] 内, 物体经过的路程 物体经过的路程:
s = ∫ v(t )dt
T 1 T2
若物体的位置函数 s=s(t) , 则
T2 T 1
∫ v(t )dt = s(T2 ) − s(T ) 1
例
x2 −1 dx 计算 ∫ 2 0 x +1
1
x2 −1 解 首先计算 f ( x) = 2 在[0 , 1]上的原函数 上的原函数 x +1
x2 −1 dx 为此计算 ∫ 2 x +1
2 由于 f ( x) = 1− , 所以 2 1+ x
x2 −1 2 )dx ∫ 2 dx = ∫ (1− 2 x +1 1+ x
(−cot x)'= csc2 x ⇒
1 (arctan x)'= 1+ x2