高等数学李伟版课后习题答案第五章.
高数大一第五章知识点总结
高数大一第五章知识点总结在高等数学的第五章中，我们主要学习了极限与连续的相关知识。
极限与连续是高数中的重要概念，对于理解微积分等后续学科具有重要意义。
下面我将对第五章的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一章节内容。
1. 极限的概念和性质极限是一个数列或函数在某一点或者无穷远处的趋近值。
我们通常用“lim”表示极限，例如lim(n→∞) an = a表示当n趋近于无穷大时，数列an的极限为a。
极限具有唯一性、局部有界性、保号性等性质。
2. 极限的计算方法在计算极限时，可以利用数列的性质、极限的四则运算法则、夹逼定理等方法。
对于无穷小量与无穷大量的比较，我们可以使用洛必达法则等方法。
3. 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是指极限为0和极限为正无穷或负无穷的数列或函数。
无穷小量与无穷大量在微积分中有重要应用，例如在计算微分和积分时经常会用到。
4. 函数的极限函数的极限与数列的极限类似，也是描述函数在某一点或者无穷远处的趋近值。
例如lim(x→a) f(x) = L表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
函数的极限计算同样可以利用极限的性质和计算方法。
5. 连续的概念和性质连续是指函数在某一点处具有极限，且该极限等于函数在该点处的函数值。
连续函数具有保持不等式、可加性、介值性等重要性质。
我们还学习了间断点的分类和判定方法。
6. 基本初等函数的连续性基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在其定义域内均是连续函数。
总的来说，高数第五章的内容较为复杂，但是又非常重要。
掌握了极限和连续的概念和性质，我们才能够更好地理解微积分等后续学科，为以后的学习打下扎实的基础。
希望以上对第五章知识点的总结能够给大家带来帮助，同时也希望大家在学习高等数学的过程中能够保持耐心和积极性，不断提高自己的数学思维能力和解题能力。
通过不断的练习和思考，相信大家都能够掌握好这一章节的内容，为自己的数学学习打下坚实的基础。
高等数学李伟版课后习题答案第三章
⾼等数学李伟版课后习题答案第三章习题3—1（A ）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值⼀定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处⼀定存在着⽔平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以⽤来判断函数是否存在零点，⼆者没有差别；（4）虽然拉格朗⽇中值公式是⼀个等式，但将()f ξ'进⾏放⼤或缩⼩就可以⽤拉格朗⽇中值公式证明不等式，不过这类不等式中⼀定要含（或隐含）有某函数的两个值的差．答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不⼀定是极值；⽽极值未必是最值这是显然的．（2）不正确．例如32x y =在0=x 点处取极值，但是曲线在点)00(，却没有⽔平切线．（3）不正确．前者是判断)(x f 是否有零点的，后者是判断)(x f '是否有零点的．（4）正确．⼀类是明显含有)()(a f b f -的；另⼀类是暗含着)()(0x f x f -的． 2．验证函数2)1(e x y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理，并求出定理中的ξ．解：显然2)1(e x y -=在闭区间]20[，上连续，在开区间)20(，内可导，且e )2()0(==y y ，于是函数2)1(ex y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理的条件，2)1(e )1(2)(x x x y ---='，由0)(='ξy ，有0e )1(22)1(=---ξξ，得1=ξ，∈ξ)20(，，所以定理的结论也成⽴．3．验证函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理，并求出公式中的ξ．解：显然1232-+=x x y 在闭区间]11[，-连续，在开区间)11(，-内可导，于是函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理的条件，26)(+='x x y ，2)1(1)1()1(=----y y ，由)()1(1)1()1(ξy y y '=----，有226=+ξ，得0=ξ，∈ξ)11(，-，所以定理的结论也成⽴．4．对函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的ξ．解：显然函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在闭区间]20[π，上连续，在开区间)20(π，内可导，且x x f sin 1)(-='，x x g sin )(-='，在区间)20(π，内0)(≠'x g ，于是函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上满⾜柯西定理的条件，⼜21)0()2/()0()2/(πππ-=--g g f f ，由)()()0()2/()0()2/(ξξππg f g g f f ''=--，有ξξπsin sin 121--=-，即πξ2sin =，由于∈ξ)20(π，，得πξ2arcsin=，所以定理的结论也成⽴．5．在)(∞+-∞，内证明x x cot arc arctan +恒为常数，并验证2cot arc arctan π≡+x x ．证明：设x x x f cot arc arctan )(+=，显然)(x f 在)(∞+-∞，内可导，且-+='211)(x x f 0112≡+x，由拉格朗⽇定理的推论，得在)(∞+-∞，内x x cot arc arctan +恒为常数，设C x f ≡)(，⽤0=x 代⼊，得2π=C ，所以2cot arc arctan π≡+x x ．6．不求出函数2()(4)f x x x =-的导数，说明0)(='x f 有⼏个实根，并指出所在区间．解：显然2()(4)f x x x =-有三个零点20±==x x ，，⽤这三点作两个区间]20[]02[，、，-，在闭区间]02[，-上)(x f 连续，在开区间)02(，-内)(x f 可导，⼜0)0()2(==-f f 于是)(x f 在]02[，-满⾜罗尔定理，所以⾄少有∈1ξ)02(，-，使得0)(1='ξf ，同理⾄少有∈2ξ)20(，，使得0)(2='ξf ，所以0)(='x f ⾄少有两个实根．⼜因为)(x f 是三次多项式，有)(x f '时⼆次多项式，于是0)(='x f 是⼆次代数⽅程，由代数基本定理，得0)(='x f ⾄多有两个实根．综上，0)(='x f 恰有两个实根，且分别位于区间)02(，-与)20(，内．7．证明下列不等式：（1）对任何实数b a ，，证明cos cos a b a b -≤-；（2）当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1．证明：（1）当b a =时，cos cos a b a b -≤-显然成⽴．当b a <时，取函数x x f cos )(=，显然)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开间)(b a ，内可导，由拉格朗⽇定理，有∈ξ)(b a ，，使得))(()()(b a f b f a f -'=-ξ，即)(sin cos cos b a b a -?-=-ξ，所以)()(sin cos cos b a b a b a -≤-?-=-ξ．当b a >时，只要将上⾯的区间][b a ，换为][a b ，，不等式依然成⽴．所以，对任何实数b a ，，都有cos cos a b a b -≤-．（2）取函数)1ln()(t t f +=，当0>x 时，函数)1ln()(t t f +=在闭区间]0[x ，上连续，在开区间)0(x ，内可导，根据拉格朗⽇定理，有∈ξ)0(x ，，使得ξξ+='1)(xf ．因为x <<ξ0，则x xx x x =+<+<+0111ξ，所以x x x x <+<+)1ln(1． 8．若函数)(x f 在区间),(b a 具有⼆阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中21x x a <<b x <<3，证明在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：根据已知，函数)(x f 在区间][21x x ，及][32x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈1ξ)(21x x ，，∈2ξ)(32x x ，（其中21ξξ<），所得0)(1='ξf ，0)(2='ξf ．再根据已知及)()(21ξξf f '='，函数)(x f '在区间][21ξξ，上满⾜罗尔定理，所以有∈ξ)(21ξξ，?)(3,1x x ，所得0)(=''ξf ，即在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．习题3—1（B ）1．在2004年北京国际马拉松⽐赛中，我国运动员以2⼩时19分26秒的成绩夺得了⼥⼦组冠军．试⽤微分中值定理说明她在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h （马拉松⽐赛距离全长为42.195km ）．解：设该运动员在时刻t 时跑了)(t s s =（km ），此刻才速度为)()(t s t v v '==（km/h ），为解决问题的需要，假定)(t s 有连续导数．设起跑时0=t ，到达终点时0t t =，则3238888889.20≈t ，对函数)(t s 在区间]0[0t ，上⽤拉格朗⽇定理，有00t <<ξ，所得)()(0)0()(00ξξv s t s t s ='=--，⽽15706.183238888889.2195.420)0()(00≈=--t s t s km/h ，所以157.1815706.18)(>≈ξv ．对)(t v 在区间]0[ξ，及][0t ，ξ上分别使⽤连续函数的介值定理（注意，0)0(=v0)(0=t v ，则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有)0(1ξξ，∈，)0(2，ξξ∈，使得157.18)(1=ξv ，157.18)(2=ξv，这表明该运动员在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h ．2．若函数)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且0)(>'x f ，证明⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．证明：采⽤反证法，若⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 有两个（或两个以上）不同的实根21x x <，即0)()(21==x f x f ，根据已知函数)(x f 在][21x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈ξ)()(21b a x x ，，?，使得0)(='ξf ，与在开区间），（b a 内0)(>'x f ⽭盾，所以⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．（注：本题结论也适⽤于⽆穷区间） 3．证明⽅程015=-+x x 只有⼀个正根．证明：设1)(4-+=x x x f （)(∞+-∞∈，x ），则014)(4>+='x x f ，根据上题结果，⽅程015=-+x x 在)(∞+-∞，内⾄多有⼀个实根．取闭区间]10[，，函数1)(4-+=x x x f 在]10[，上连续，且01)0(<-=f ，01)1(>=f ，由零点定理，有)10(，∈ξ，使得0)(=ξf ，从⽽⽅程015=-+x x 在)0(∞+，内⾄少有⼀个实根．综上，⽅程015=-+x x 只有⼀个正根，且位于区间)10(，内． 4．若在),(+∞-∞内恒有k x f =')(，证明b kx x f +=)(．证明：（⽅法1）设函数kx x f x F -=)()(，则0)()(≡-'='k x f x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C kx x f x F ≡-=)()(，⽤0=x 代⼊，得)0(f C =，记b f =)0(，则b C kx x f x F ==-=)()(，所以b kx x f +=)(．（⽅法2）记b f =)0(，∈?x ),(+∞-∞，若0=x ，则满⾜b kx x f +=)(；若0≠x ，对函数)(t f 以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即kx b x f =-)(，所以b kx x f +=)(．5．若函数)(x f 在区间)0(∞+，可导，且满⾜0)()(2≡-'x f x f x ，1)1(=f ，证明x x f =)(.证明：设函数xx f x F )()(=（∈x )0(∞+，），则xx x f x f x x x x f x x f x F 2)()(22/)()()(-'=-'='，由0)()(2≡-'x f x f x ，得0)(≡'x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C xx f x F ==)()(，⽤1=x 代⼊，且由1)1(=f ，得1=C ，所以1)()(==xx f x F ，即x x f =)(．6．证明下列不等式（1）当0>x 时，证明x x+>1e ；（2）对任何实数x ，证明x x arctan ≥．证明：（1）取函数t t f e )(=（]0[x t ，∈）显然函数)(t f 在区间]0[x ，上满⾜拉格朗⽇定理，则有∈ξ)0(x ，，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即x xξe 1e =-，所以 x x x+>+=1e 1e ξ．（2）当0=x 时，显然x x arctan ≥．当0≠x 时，取函数t t f arctan )(=，对)(t f 在以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即21arct an ξ+=xx ，所以x x x <+=21arctan ξ．综上，对任何实数x ，都有x x arctan ≥．7．若函数)(x f 在闭区间[1-，1]上连续，在开区间（1-，1）内可导，M f =)0(（其中0>M ），且M x f <')(．在闭区间[1-，1]上证明M x f 2)(<．证明：对∈?x [1-，1]，当0=x 时，M M f 2)0(<=，．不等式成⽴．当0≠x 时，根据已知，函数)(t f 在以x t t ==，0为端点的区间上满⾜拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f fx f ξ，即x f M x f )()(ξ'=-，所以，M x f x f +'=)()(ξ，从⽽M M f M x f M x f x f 2)()()()(<+'≤+'≤+'=ξξξ．综上，在闭区间[1-，1]上恒有M x f 2)(<．8．若函数)(x f 在闭区间]0[a ，上连续，在开区间)0(a ，内可导，且0)(=a f ，证明在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．证明：设函数)()(x xf x F =（∈x ]0[a ，），则0)(0)0(==a F F ，，再根据已知，函数)(x F 在区间],0[a 满⾜罗尔定理，则有∈ξ)0(a ，，使得0)(='ξf ．⽽)()()(ξξξξf f f '+='，于是0)()(='+ξξξf f ．所以，在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．习题3—2（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利⽤函数的柯西中值定理得到的，因此不能利⽤洛必达法则直接求数列极限；（2）凡属“00”，“∞∞”型不定式，都可以⽤洛必达法则来求其的极限值；（3）型如””，“”，“”，“”，““0100∞∞-∞∞?∞型的不定式，要想⽤洛必达法则，需先通过变形．⽐如“0?∞”型要变型成为“00”，“∞∞”型，”，”，““00∞-∞””，““01∞∞型要先通过变型，转化为“0?∞”型的不定式，然后再化为基本类型.答：（1）正确．因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限使⽤洛必达法则，⾸先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使⽤洛必达法则．（2）不正确．如0sin 1sinlim 20=→xx x x （00型）、1cos sin lim -=-+∞→x x x x x （∞∞型）、11lim 2=++∞→x x x （∞∞型）都不能⽤洛⽐达法则求得极限值．（3）正确．可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“∞-∞”型通常是直接化为“00”，“∞∞”型． 2．⽤洛必达法则求下列极限：（1）x x x --→e 1ln lim e ；（2）11lim 1--→n m x x x （0≠mn ）；（3）x x x 5tan 3sin limπ→；（4）2e e cos 1lim 0-+--→x x x x；（5）1sec tan 2lim0-→x x x x ；（6）xxx 3tan tan lim 2/π→；（7）x x x 2cot lim 0→；（8）x x x cot arc lim +∞→；（9）)sin 11(lim 0x x x -→；（10）111lim()ln 1x x x →--；（11）xx x tan 0lim +→；（12）)1ln(1)(lim x x x ++∞→；（13）21)(cos lim x x x →；（14）nn n ln lim∞→；解：（1）e11/1lim e 1ln lime e -=-=--→→x x x x x ．（2）==----→→1111lim 11lim n m x nm x nx mx x x nm．（3）=-?-==→→22)1(535sec 53cos 3lim 5tan 3sin limx x x x x x ππ53-．（4）=+=-=-+--→-→-→x x x x x x x x x x x x e e cos lim e e sin lim 2e e cos 1lim00021．（5）===-=-→→→→xxx x x x x x x x x x x x tan 4lim tan sec 4lim 1sec 2lim 1sec tan 2lim002004． (6) =---=-=?=→→→→x xx x xx x x x x x x x x sin 3sin 3lim cos 3cos lim )cos 3cos 3sin sin (lim 3tan tan lim2/2/2/2/ππππ3．（7）===→→→x x x x x x x x 2sec 21lim 2tan lim 2cot lim 200021．（8）=+=-+-==+∞→+∞→+∞→+∞→22221lim /1)1/(1lim 1/cot arc lim cot arc lim xx x x x x x x x x x x 1．（9）=-=-=-=-=-→→→→→2sin lim 21cos lim sin lim sin sin lim )sin 11( lim 002000xx x x x x x x x x x x x x x x x 0．（10）xx x x x x x x x x x x x /)1(ln /11lim ln )1(ln 1lim )11ln 1(lim 111-+-=---=--→→→=+=-+-=→→2ln 1lim 1ln 1lim11x x x x x x x 21．（11）设xxy tan =，则x x y ln tan ln =，因为0lim /1/1lim /1ln lim ln lim ln tan lim ln lim 0200=-=-====++++++→→→→→→x xxx x x x x x y x x x x x x ，所以， ==+→0tan 0e lim xx x 1．（12）设)1ln(1)(x x y +=，则)1ln(ln 21)1ln(ln ln x xx x y +=+=，因为 21)11(lim 21)1/(1/1lim 21)1ln(ln lim 21ln lim =+=+=+= +∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x y x x x x ，所以 ==++∞→21)1ln(1e )(lim x x x e ．（13）设21)(cos x x y =，则2cos ln ln x xy =，因为 21cos 2sin lim cos ln lim ln lim 0200-=-==→→→x x x x x y x x x ，所以==-→2 110e )(cos lim 2x x x e1．（14）根据海涅定理，====+∞→+∞→+∞→∞→xxx xx nn x x x n 2lim2/1/1limln limln lim0．3．验证极限xx xx x cos 2sin 2lim -+∞→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=-+=-+=-+∞→∞→0102/)cos 2(1/)(sin 2lim cos 2sin 2limx x x x x x x x x x 2．因为极限xxx x x x x x sin 21cos 2lim )cos 2()sin 2(lim++='-'+∞→∞→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．4．验证极限x x x x sin )/1sin(lim 20→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=?=?=→→→011sin lim sin lim sin )/1sin(lim0020xx x x x x x x x x 0．因为极限xx x x x x x x x cos )/1sin()/1sin(2lim)(sin ])/1sin([lim 020-=''→→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．习题3—2（B ）1．⽤洛必达法则求下列极限：（1）311lnarctan 2limx x xx x -+-→；（2）xx x x 30sin arcsin lim -→（3）)tan 11(lim 220xx x -→；（4）]e )11[(lim -+∞→xx x x ； (5) 260)sin (lim x x xx →；（6）n n nn b a )2(lim +∞→（00>>b a ，）．解：（1）原式30)1ln()1ln(arctan 2limx x x x x -++-=→=--=--+-+=→→)1(34lim 3111112lim 40220x x x x x x x 34-．（2）原式2220220301311lim 31/11lim arcsin lim xx x x x x x x x x x ---=--=-=→→→=-=--=→→22022032/lim 311lim xx x x x x 61-．（3）原式30022220tan lim tan lim tan tan lim xxx x x x x x x x x x x -?+=-=→→→ ==-=-=→→→22022030tan lim 3231sec lim 2tan lim 2x x xx x x x x x x 32．（4）令t x 1=，则原式21010)1ln()1()1(lim e )1(lim tt t t t t t t t tt ++-+=-+→→ =+-=-+-=++-=→→→t t t t t t t t t t t )1ln(lim 2e 21)1ln(1lim e )1ln()1(lim e 002 02 e -．（5）令6)sin (x x x y =，则2sin ln 6ln x x xy =，因为 30200sin cos lim 3)sin cos 2sin /6(lim ln lim xxx x x x x x x x x y x x x -=-?=→→→ 13sin lim 320-=-=→x x x x ，所以==-→160e )sin (lim x x xx e 1．（6）令=n x nn nb a )2(+，则]2ln )[ln(ln -+=n n n b a n x ，再令x t 1=，因为 tb a b a x x t t t xx x n n 2ln )ln(lim ]2ln )[ln(lim ln lim 011-+=-+=→+∞→∞→ ab b a ba b b a a t t t t t ln 2ln ln ln ln lim 0=+=++=→，所以==+∞→abnn nn b a ln e )2(lim ab ．2．当0→x 时，若)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩，求常数c b a 、、．解：根据已知，有0)(e lim220=++-→x c bx ax x x ，由分母极限为零，则有分⼦极限也为零，于是01)]([e lim 2x =-=++-→c c bx ax x ，得1=c ，此时02)2(e lim )(e lim 0220=+-=++-→→x b ax x c bx ax x x x x ，再由分⼦极限为零，同样得1=b ，进⽽022122e lim 2)12(e lim )(e lim 00220=-=-=+-=++-→→→a a x ax x c bx ax x x x x x x ，得21=a ，所以1121===c b a ，，时，当0→x 时，)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩．3.若函数)(x f 有⼆阶导数，且2)0(,1)0(,0)0(=''='=f f f ，求极限2)(limxxx f x -→．解：1)0(210)0()(lim 2121)(lim )(lim002=''=-'-'=-'=-→→→f x f x f x x f x x x f x x x ．（注：根据题⽬所给条件，不能保证)(x f ''连续，所以只能⽤⼀次洛⽐达法则，再⽤⼆阶导数的分析定义）习题3—3（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）只要函数在点0x 有n 阶导数，就⼀定能写出该函数的泰勒多项式．⼀个函数的泰勒多项式永远都不会与这个函数恒等，⼆者相差⼀个不恒为零的余项；（2）⼀个函数在某点附近展开带有拉格朗⽇余项的n 阶泰勒公式是它的n 次泰勒多项式加上与该函数的n 阶导数有关的所谓拉格朗⽇型的余项；（3）在应⽤泰勒公式时，⼀般⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式⽐较⽅便．答：（1）前者正确，其根据是泰勒多项式的定义；后者不正确．当)(x f 本⾝是⼀个n 次多项式时，有0)(≡x R n ，这时函数的泰勒多项式恒等于这个函数．（2）不正确．拉格朗⽇型的余项与函数)(x f 的1+n 阶导数有关．（3）不正确．利⽤泰勒公式求极限时就要⽤带有⽪亚诺余项的泰勒公式，⼀般在对余项进⾏定量分析时使⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式，在对余项进⾏定性分析时使⽤带⽪亚诺型余项的泰勒公式．2．写出函数x x f arctan )(=的带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式．解：因为211)(x x f +='，)1(2)(2x x x f +-=''，322)1(62)(x x x f ++-='''，于是 2)0(0)0(1)0(0)0(-='''=''='=f f f f ，，，，代⼊到)(!3)0(!2)0()0()0()(332x o x f x f x f f x f +'''+'+'+=中，得 )(3arctan 33x o x x x +-=． 3．按1-x 的乘幂形式改写多项式1)(234++++=x x x x x f ．解：因为1234)(23+++='x x x x f ，2612)(2++=''x x x f ，624)(+='''x x f ，24)()4(=x f ，更⾼阶导数都为零，于是，，，20)1(10)1(5)1(=''='=f f f 30)1(='''f ，24)0()4(=f ，将其带⼊到)()1(!4)1()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(44)4(32x R x f x f x f x f f x f +-+-'''+-'+-'+=中，得 432)1()1(5)1(10)1(105)(-+-+-+-+=x x x x x f（其中5)5(4)1(!5)()(-=x f x R ξ恒为零）． 4．将函数1)(+=x xx f 在1x =点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式．解：因为111)(+-=x x f ，则2)1(1)(+='x x f ，3)1(2)(+-=''x x f ，4)1(6)(+='''x x f ，于是83)1(41)0(41)1(21)1(='''-=''='=f f f f ，，，，将其带⼊到 ))1(()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(332-+-'''+-'+-'+=x o x f x f x f f x f 中，得))1((16)1(8)1(41211332-+-+---+=+x o x x x x x ． 5．写出函数xx x f e )(=的带有拉格朗⽇型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(e )()(k x x f x k +=（1321+=n n k ，，，，，）（参见习题2.5（B ）3），于是，k fk =)0()(（n k ，，，，210=），=+=++1)1()!1()()(n n n x n x f x R θ1)!1(e )1(++++n x x n x n θθ，将其带⼊到)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++'+'+= ，得 132)!1(e )1()!1(!2e +++++-++++=n x n xx n x n n x x x x x θθ )10(<<θ．6．将函数xx f 1)(=按(1)x +的乘幂展开为带有拉格朗⽇型余项的n 阶泰勒公式．解：因为1)(!)1()(+-=k k k xk x f，于是!)1()(k f k -=-（13210+=n n k ，，，，，，）， 1211211)1()1()1()1()!1()!1()1()1()!1()()(+++++++++-=+++-=++=n n n n n n n n n x x n n x n f x R ξξξ，将其代⼊到中)()1(!)1()1(!2)1()1)(1()1()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++-+++-'++-'+-= ，得2112)1()1()1()1()1(11++++-++--+-+--=n n n nx x x x x ξ（ξ介于1-与x 之间）．习题3—3（B ）1．为了修建跨越沙漠的⾼速公路，测量员测量海拔⾼度差时，必须考虑地球是⼀个球体⽽表⾯不是⽔平，从⽽对测量的结果加以修正．（1）如果R 表⽰地球的半径，L 是⾼速公路的长度．证明修正量为R RLR C -=sec ． (2)利⽤泰勒公式证明3422452R L R L C +≈．（3）当⾼速公路长100公⾥时，⽐较（1）和（2）中两个修正量（地球半径取6370公⾥）．证明：（1）由αR L =，有R L =α，⼜在直⾓三⾓形ODB 中，CR R+=αcos ，于是R C R L+==1s e cs e c α，由此得R RLR C -=sec ．（2）先将x x f sec )(=展开为4阶麦克劳林公式，为此求得x x x f tan sec )(='，x x x x f 32s e c t a n s e c )(+=''，x x x x x f tan sec 5tan sec )(33+='''，x x x x x x f5234)4(s e c 5t a n s e c 18tan sec )(++=，，，，，，5)0(0)0(1)0(0)0(1)0()4(=='''=''='=f f f f f 于是 )(245211sec 442x R x x x +++=；当1<2245211sec x x x ++≈，取R L x =，得442224521sec RL R L R L ++≈，于是≈-=R R L R C sec 3422452R L R L +．（3）按公式R RLR C -=sec计算，得修正量为785010135.0)1(≈C ，按公式3422452RL R L C +≈计算，得修正量为785009957.0)2(≈C ，它们相差⼤约为000000178.0)2()1(≈-C C ．2．写出函数212e)(x x f -=的带佩亚诺型余项的n 2阶麦克劳林公式．解：由)(!!3!21e 32nn tt o n t t t t ++++++= ，令22x t -=，得 )]2(!2)1(!62!42!221[e eee223624222122n n n nn x x x o n x x x x +?-++?-?+?-==--)(]!)!2()1(!!6!!4!!21[e 22642n n n x o n x x x x +-++-+-= ，按规律，由于nx2项的后⼀项为22+n x，所以余项也可以⽤)(12+n xo ．3．写出函数x x f 2sin )(=的带⽪亚诺型余项的m 2阶麦克劳林公式．解：x x 2cos 2121sin 2-=)2()!2()2()1(!6)2(!4)2(!2)2(1[2121222642m m mn x o m x x x x +-++-+--=)()!2(2)1(4523122121642m m m m x o x m x x x +-+-+-=-- ，同上⼀题，余项也可以⽤)(12+m x o ．（注意：像2、3题⽤变量代换写泰勒公式的⽅法只使⽤于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适⽤带有拉格朗⽇型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗⽇型余项） 4．应⽤三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：（1）330；（2）18sin ．解：（1）取函数31)(x x f +=，展开为三阶麦克劳林公式，有31154323)1(3108159311)(x xx x x x x f θ+?-+-+=+=，3339/11332730+?=+=，现取9/1=x ，)59049572912711(3303+-+≈，误差为54431089.19310-?R ， 10725.3)000085.0001372.0037037.01(3)59049572912711(3303=+-+≈+-+≈；（2）⽤x sin 的麦克劳林公式，取1018π==x ，得53)10(!5)cos()10(!311018sin πθππx +-=，则3)10(!311018sin ππ-≈，误差为5531055.2)10(!51-?≈<≤πR3090.030899.000517.031416.018sin ≈=-≈．5．利⽤泰勒公式求下列极限：（1）642/012/e cos lim 2x x x x x +--→；（2）x x x x x x x sin )1(sin e lim 20+-→．解：（1）原式64636426 642012/)](!32821[)](!62421[lim xx x o x x x x o x x x x ++?-+--+-+-=→ 3607)(360/7lim 6660=+=→x x o x x ．（2）原式3233220)](6/)][(2/1[lim x x x x o x x x o x x x --+-+++=→ 31)(3/lim3330=+=→x x o x x ．6．设函数)(x f 在区间][b a ，上有⼆阶连续导数，证明：有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+．证明：将函数)(x f y =在20ba x +=点展开为⼀阶泰勒公式，有 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=η.（η介于x 与0x 之间）分别⽤b x a x ==、代⼊上式，得 201000)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(21b a f b a b a f b a f -''+-+'++=η（21b a a +<<η），202000)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(22a b f a b b a f b a f -''+-+'++=η（b b a <<+22η），上两式相加，得]2)()([4)()2(2)()(212ηηf f a b b a f b f a f ''+''-++=+，由)(x f ''连续，根据习题1-7（B ）4，得)(2)()(21ξηηf f f ''=''+''（)(b a ，∈ξ），于是，)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-++=+，所以，有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+． 7．若函数)(x f 有⼆阶导数，0)(>''x f ，且1)(lim=→xx f x ，⽤泰勒公式证明x x f ≥)(. 证明：由函数)(x f 可导，及1)(lim=→xx f x ，得1)0(0)0(='=f f ，，将)(x f 展开为⼀阶麦克劳林公式，有22)()(x f x x f ξ''+=（ξ介于0与x 之间），由0)(>''x f ，得x x f x x f ≥''+=22)()(ξ．8．设函数)(x f 在区间]20[，上⼆次可微，)2()0(f f =，且M x f ≤'')(，对任何]20[，∈x ，证明M x f ≤')(．证明：对任何∈x ]20[，，将函数)(t f y =在x t =点展开为⼀阶泰勒公式，有 2)(!2)())(()()(x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ.（ξ介于x 与t 之间）分别⽤20==t t 、代⼊上式，得 21!2)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=，（x <<10ξ）（1） 22)2(!2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，（22<<ξx ）（2）（2）-（1），并由条件)2()0(f f =，有 ])()2)(([21)(202122x f x f x f ξξ''--''+'=，即])()2)(([41)(2122x f x f x f ξξ''--''-='，所以M x x M x x M x f =+-?≤+-≤'222])2[(4])2[(4)(．习题3—4（A ）1．下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：（1）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么()f x 在区间[,]a b 上单调增加（减少）的充分必要条件是对任意的(,)x a b ∈，0)(>'x f （0)(<'x f ）；（2）函数的极⼤值点与极⼩值点都可能不是唯⼀的，并且在其驻点与不可导点处均取得极值；（3）判定极值存在的第⼀充分条件是根据驻点两侧导数的符号来确定该驻点是否为极值点，第⼆充分条件是根据函数在其驻点处⼆阶导数的符号来判定该驻点是否为极值点；（4）在区间I 上连续的函数，其最⼤值点或最⼩值点⼀定是它的极值点.答：（1）不正确．如3x y =在]11[，-上单调增加，⽽032≥='x y ．（2）前者正确，后者不正确．驻点与不可导点是取得极值必要条件不是充分条件，如函数3x y =有驻点0=x ，⽽3x y =在0=x 点不取极值；⼜如函数3x y =有不可导点0=x ，⽽3x y =在0=x 点也不取极值．（3）前者不正确，后者正确．第⼀充分条件对连续函数的不可导点也适⽤．（4）不正确．函数的最⼤（⼩）值点可以是闭区间端点，这时的最值点就不是极值点． 2．证明函数x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少．解：在开区间)11(，-内，0111)(2≤--='xx f ，且等号只在0=x 点成⽴，所以)(x f 在开区间)11(，-内单调减少，⼜因为函数x x x f arcsin )(-=在区间]11[，-的左、右端点处分别右连续、左连续，所以x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少． 3．求下列函数的单调区间和极值：（1）323y x x =-；（2）xx y 12+=；（3）3232x x y +?=；（4）2exy x =；（5）x x y -+=)1ln(；（6）)1ln(2-=x y ．解：（1）定义域为)(∞+-∞，，)2(3632-=-='x x x x y ，由0='y ，得驻点0=x ，2=x ，函数没有不可导点．单增区间为：)2[]0(∞+-∞，、，，单减区间为：]20[，，极⼤值为：0)0(=y ，极⼩值为：4)2(-=y ．（2）定义域为)0()0(∞+-∞，，，221xx y -='，由0='y ，得驻点1±=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：)1[]1(∞+--∞，、，，单减区间为：]10()01[，、，-，极⼤值为：2)1(-=-y ，极⼩值为：2)1(=y ．（3）定义域为)(∞+-∞，，2233)1(2xx y ?+='，由0='y ，得驻点1-=x ，不可导点0=x ．单增区间为：)1[∞+-，，单减区间为：]1(--∞，，⽆极⼤值，极⼩值为：1)1(-=-y ．（4）定义域为)0()0(∞+-∞，，，3)2(e xx y x -='，由0='y ，得驻点2=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：、，)0(-∞)2[∞+，，单减区间为：]20(，，⽆极⼤值，极⼩值为：4/e )2(2=y ．（5）定义域为)1(∞+-，，xxy +-='1，由0='y ，得驻点0=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：]01(，-，单减区间为：)0[∞+，，极⼤值为：0)0(=y ，⽆极⼩值．（6）定义域为)1()1(∞+--∞，，，122-='x xy ，在定义域内0≠'y ，且没有不可导点．单增区间为：)1(∞+，，单减区间为：)1(--∞，，既⽆极⼤值，也⽆极⼩值．4．求下列函数在指定区间的最⼤值M 和最⼩值m ：（1）163)(24+-=x x x f ，]20[，∈x ；（2）11)(+-=x x x f ，]40[，∈x ．解：（1）)1(121212)(23-=-='x x x x x f ，由0)(='x f ，得1=x （10-==x x ，都不在)20(，内），⽐较数值25)2(2)1(1)0(=-==f f f ，，，得163)(24+-=x x x f 在。
高等数学第五章教材答案
高等数学第五章教材答案第一节：导数与微分1. a) 导数的定义是：对于函数y=f(x)，若极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则称此极限为函数f在点x处的导数，记作f'(x)。
b) 导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
2. a) 由导数的定义可得，对于函数y=ax^n，其中a为常数，n为正整数，则它的导数为f'(x)=nax^(n-1)。
b) 对于常数函数y=c，其中c为常数，则它的导数为f'(x)=0。
c) 对于自然指数函数y=e^x，则它的导数为f'(x)=e^x。
d) 对于对数函数y=log_a(x)，其中a为常数且不等于1，则它的导数为f'(x)=1/(xlna)。
e) 对于三角函数y=sin(x)，则它的导数为f'(x)=cos(x)。
3. a) 利用导数定义证明：对于函数y=kx，其中k为常数，则它的导数为f'(x)=k。
b) 利用导数的四则运算法则证明：对于两个可导函数f(x)和g(x)，则有(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
c) 利用导数的链式法则证明：对于复合函数y=f(g(x))，其中函数g(x)可导且函数f(u)可导，则它的导数为f'(g(x))·g'(x)。
4. a) 用导数求函数在一点处的切线方程：对于函数y=f(x)，若知道函数在点x=a处的导数f'(a)，则可求得切线方程为y=f'(a)(x-a)+f(a)。
b) 用导数求函数的极值点：对于函数y=f(x)，若函数在点x=a处的导数f'(a)存在且为零，且函数在该点的导数由正变负或由负变正，则该点为函数的极值点。
第二节：不定积分1. a) 不定积分的定义是：对于函数y=f(x)，若存在函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为函数f(x)的一个原函数，并记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。
大学高等数学第五章 定积分及其应用答案
第五章 定积分及其应用习 题 5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A AA A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.( 2 )( 1 )( 3 )(4)解：=s ⎰+t t d )12(053. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.4. 利用定积分定义计算120d x x ⎰.解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆ni i i ni i i ni i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n n i 1232111)(=311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61nn ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 120d x x ⎰=31．5. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 35093(1)11,(0)5,(),(1)781024f f f f -====的大小，知min max 5093,111024f f ==，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即14315093(425)d 22512x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明⎰1d xe x与⎰1d 2x e x ，哪个积分值较大？解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x7. 证明：⎰---<<2121212d 22x e ex 。
高等数学课后习题答案第五章
解：
．
(6) （7） 抛物线 y = − x 2 +4 x − 3 及其在(0，−3)和(3，0)处的切线； 解：y′ = − 2 x +4 ． ∴y ′(0)=4 ， y ′(3)= − 2 ． ∵ 抛物线在点(0 ， − 3) 处切线方程是 y =4 x − 3 在 (3 ， 0) 处的切线是 y = − 2 x +6 两切线交点是( ， 3) ． 故 所 求 面 积 为 (7)
（8） 摆线 x = a ( t − sin t ) ， y = a (1 − cos t ) 的一拱 (0≤t ≤2π)与 x 轴； 解：当 t =0 时， x =0, 当 t =2π时， x =2πa ． 所以
S=∫
2πa
0
ydx = ∫ a (1 − cos t ) da (t − sin t )
（图 22）
kmρ ds kmρ kmρ = 2 ( Rdθ ) = dθ 2 R R R kmρ dFx = dF cos θ = cos θ dθ , R
dF =
则
Fx = ∫
ϕ 2 ϕ − 2
ϕ km ρ km ρ 2kmρ ϕ cosθ dθ = 2 ∫ 2 cos θ dθ = sin 0 R R R 2
(19) 设水的比重为 1， ，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 dw=x·60 g d x =60 gx d x ． 于是将水全部抽出所作功为
． 13． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10m 和 6m，高为 20m，较长的底边与水面相 齐，计算闸门的一侧所受的水压力． 解：如图 20，建立坐标系，直线 AB 的方程为 ． 压力元素为 所求压力为 =1467(吨) =14388(KN) 14． 半径为 R 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度 （20）
高等数学参考解答 (5)
5.对所给方程配方可知
可见，是球面方程，球心坐标 半径5
6.（1）椭圆柱面（2）双曲线柱面（3）抛物柱面（4）椭圆柱面
7.椭球
B组
1.选择练习题
(1)空间点 关于 轴的对称点是
A B
C D
(2)在空间直角坐标系中，点 位于
A第5卦限B第4卦限
C第2卦限D第3卦限
(3)在 坐标面上与已知三点 ， 和 等距的点是
解之得
又在(2，1)点有 ， ， ，因此
，
从而函数在(2，1)点处有极小值 。
⑵求偏导，联立求驻点
解之得 ，
在(-3，-2)点有 ， ， ，因此
，
从而函数在(-3，-2)点处有极大值 ；
另一方面，在(-3，2)点有 ， ， ，因此此点处有
从而，驻点 不是极值点.
7.设长方体的长宽高分别为x, y, z，先给出体积函数
2.(1)(-x,y,z)，(x,-y,-z)，(0,0,z)(2)
(3)c(y-b)+b(z-c)=0。
3.（1）过z轴，则平面的方程为
又过点（ ，1， ），则有 ，因此平面方程为
x+3y=0
（2）平行于x轴的平面方程为
又过点A（ ，1， ）和B（3，0，5），从而
得
从而所求平面的方程为
（3）平行于xOy面的平面方程为
3.⑴ ,
⑵ ，
⑶ ，
⑷ ，
⑸ ，
⑹ ，
4.⑴先求一阶偏导数
，
因此
， ，
⑵先求一阶偏导数
，
因此
， ，
⑶先求一阶偏导数
，
因此
， ，
⑷先求一阶偏导数
高等数学第五章习题答案
第五章 不定积分与定积分 第一节 定积分的概念及性质1．=S 61 2．（1）1；（2）4π． 3．（1）⎰102dx x ＞⎰12dx x ；（2）⎰12dx e x ＜⎰1dx e x ． 4．利用积分中值定理证明．5．利用定积分估值定理证明．第二节 微积分基本公式1．（1）0； （2）0； （3）2cos x ； （4）2e x-； （5）24sin sin 2x x x -.2．2232y xe x y --='3．（1）1； （2）42π； （3）0； （4）1sin ； （5）11+p .4．（1）6π； （2）1； （3）4； （4）35．5．利用双曲函数表达式及原函数的定义证明．第三节 不定积分的概念与性质1．（1）x x cos 2ln 2+； （2）23x ； （3）C x +-sin ．2．（1）C x +36； （2）C x+3ln 3； （3）C x ++1e ； （4）C x x +-cos sin ； （5）C x +arctan 3； （6）C x +arcsin 2；（7）C t t+-34433e ； （8）C x x +--tan cot ； （9）C x +158815； （10）C t +20ln 20； （11）C e x x x ++e -33ln 313； （12）C x x +--arctan 1； （13）C x x +-sin ； （14）C x x ++arctan ； （15）C x x ++arctan 212； （16）C x x x +--cot 9tan 4． 3．x x y +=3．第四节 换元积分法1．（1）C x +-32ln 21； （2）C e x+--22； （3）C x a a+)22arctan(21；（4）C x +--22121； （5）C x ++)4ln(212； （6）C x +4)(arcsin 41；（7）C x +)arctan(sin 212； （8）C x x ++cos ln sin ln ； （9）C x ++14； （10）C x x x ++-53sin 51sin 32sin ； （11）C x x ++sin cos ln ； （12）C x x +-ln 1．2．（1）0； （2）31； （3）2； （4）1； （5）2)2(ln 21； （6）2332a ．3．（1）C x a x a x a +--2222arcsin 2； （2）C x +1arccos ； （3）C xx++21；（4）C x x ++-)21ln(2； （5）C e e x x+++-+1111ln； （6）C xa x a +--3223223)(． 4．（1）2π； （2）3322-； （3）61； （4）32ln 22+； （5）e e+12ln ．5．2ln ．6．（1）0； （2）3ln ．第五节 分部积分法1．（1）C x x x +-2ln ； （2）C x x x ++-)41ln(412arctan 2； （3）C x x x ++-)21(e 2122； （4）C x x x ++)3cos 23sin 3(e 1312； （5）C x x x ++-2sin 412cos 21； （6）C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22； （7）C x x x ++-]2ln 2)[(ln 2； （8）C x x ex++-)22(33323；（9）)1()1(112+++n ne n ； （10）)11(2e -； （11）5e ； （12）463ππ-． 第六节 有理函数的积分及应用1．（1）C x x +++-111ln 212； （2）C x x x x +-++--+312arctan 3)1ln(211ln 2； （3）C x x x ++--1ln 2)2(ln ；（4）C x x x x x x ++---+++1ln 41ln 3ln 8213123； （5）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+512tan 3arctan 51x ； （6）C x x ++)2tan 3(2tan ln 312； （7）C x ++-tan 11； （8）C x x +-+-32)11(43．第七节 广义积分1．答：不正确．因为该积分是以0=x 为瑕点的广义积分，且该积分是发散的． 2．答：不正确．奇函数在对称区间上的定积分为零是以积分存在为前提的，而dxxx ⎰∞+∞-+21是发散的． 3．1>k 时dx x)x(k⎰∞+2ln 1收敛，1≤k 时dx x)x(k ⎰∞+2ln 1发散．4．（1）4π； （2）82π-； （3）π55； （4）38； （5）91-； （6）23．总复习题五1．（1）A ； （2）A ； （3）C ； （4）C ； （5）D ； （6）D ． 2．（1）C x x +-cos ； （2）61； （3）0； （4）1-； （5）2)1(2--x ； （6）c x x x +-sin cos ． 3．（1）C x+20ln 20； （2）C x x x x ++-arctan arctan ； （3）2； （4）)1(411--e ； （5）π； （6）1． 4．C x x dx x +-+=⎰1ln 2)(ϕ． 5．1=α，1=β．6．提示：利用闭区间上连续函数的最值定理、定积分的估值定理、闭区间上连续函数的介值定理证明．。
高教线性代数第五章 二次型课后习题答案
第五章 二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。
解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换（1） 则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-=()222333142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换（2） 则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为 （3） 于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ， 且有。
2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=()()2322212x x x x +++=，于是可令， 则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为， 相应的替换矩阵为 ， 且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。
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习题5—1(A．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确．如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼和的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2．（2）正确．事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，，并且等价于，所以．（3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等．（4）正确．它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.．自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以．．一物体在力作用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功项目管理PMP.1-项目管理框架解：将位移区间任意分成个小区间）记第个小区间长度为移动到时所做的功近似为，于是1.，记，则（假定极限存在）.C.．用定积分的几何意义求下列积分值：（1）；（2）解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以，5.项目管理是通过以下五个过程组进行的：启动，计划，执行，控制和收尾。
（2）如图，面积，->根据定积分几何意义，所以，7.．．8.PMO项目管理办公室，负责多项目的处理协调和资源的管理等。
9.（1）当(这里我后期会整理为IT（2）项目管理能力成熟度模型为偶函数时，A.项目管理知识体系B.解：（1）如图1，当是奇函数时，由对称性，面积，10.管理和领导的区别,领导更难，无形胜有形，领导目的是创造自适应和学习型的团队。
11.项目管理的四要素：时间，成本，范围和质量。
如何判定一个项目是否成功关键是是否满足当前协定好的客户的需求，最好能够是在项目计划或验收准则中对项目是否成功的标准进行适当的量化。
2是偶函数时，由对称性，面积）与；（2）；（3）与4），所以．7，.项目管理PMP6．项目管理环境.解：（1）因为在区间上，所以项目的阶段是一个或多个可以交付成果的完成为标志的。
(必须要有形的，可以验证的输出物（3.项目生命周期主要包括概念(Concept，规划(Development，执行(Implement，收尾（3）因为在区间，所以，即6.项目组织结构分为职能型，矩阵型和项目型三种。
其中矩阵又分为弱矩阵，平衡矩阵和强矩阵。
职能型官僚，项目型难以保证资源的充分利用。
强矩阵较复杂，但用好的话效率很高。
．估计下列定积分的值：（1（3）；（.PMP培训笔记3-项目管理过程解：（，在区间，得．（31.，于是函数在区间循环，计划－>，最大值，而区间长度，根据，得．（2每个过程都包含三个部分的内容，由于函数工具和技术－作用于输入，以完成输出的机制 C.输出－过程结果文件或可以记载成文的事项项目管理过程图表。
，而区间长度，根据）设，则PMP 培训笔记3-项目综合管理，最大值，而区间长度，根据，得（4）设，则，有，在区间内得驻点，又，所以函数在区间，最大值项目章程里面有个重点就是赋予项目经理管理项目的权力。
，根据，得．3.目标式管理(MBO ，最好是从工作分解结构(WBS 开始实施目标式管理，因为他将项目细分为若干个容易完成的部分。
实施目标管理包含三个步骤:A.知道明确现实的目标。
B.上显然有，所以.4.项目初步范围说明书需要关注的重要内容 A.，在区间上，，于是函数 D.约束和假设上单调增加，从而，即在区间上，所以习题5—1(B1．右图给出了做直线运动的某质点在到9s内的速度图象，求它在这段时间间隔内所走的路程.解：质点在0到变更应该由专门的变更控制委员会CCB来批准或否决。
但不是所有的项目都需要设置CCB.9.质点在0到9s发布所有需要的，与收尾相关的报告 C.收尾所有外部供应商的合同 D.完成所有项目文件的归档(组织资产更新 E.释放资源给其它项目；（2）．．（2）由项目管理PMP培训笔记4-由，有等价于，于是．3．若函数在区间（）上连续，，且不恒等于，证明．2.WBS.上函数连续且又不恒等于零，于是有WBS，使得，由连续函数的性质，，在区间内恒有，设区间（），所以，即，再由定积分的线性性，得．4．证明下列不等式：（1）；（27.（其中是正整数）8.范围控制主要是范围的变更，当项目范围有变更的时候需要对项目范围说明书，工作分解结构和范围基准等都进行更新。
项目范围控制输出的产生的变更将作为整体变更控制的输入。
）设，则，由，在区间内得驻点，又，于是函数在区间的最小值为，最大值为，从而，因为．（2）在区间上显然有，且等号不恒成立，而函数、1.使用进度表的目的是:A.确定是实现目标还是超越目标 B.追踪并沟通你的项目进展和状态 C.看看一个可能的变更会如何影响项目。
习题5—2(A1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：1）在定理2.1的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的；（2）若连续、可导，则：约束是不延误后续活动 C.最早完成时间（3连续、及可导时，通过将化成两个变上限定积分，7.(GERT）使用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到8.PERT值的计算 (乐观时间+4*最可能时间+悲观时间/6，偏差为(乐观时间）不正确．应该是/69.双代号网络图（3）正确．将函数改写为，再根据（2）求导．10.单代号网络图(PDM A.可以有开始－完成，开始－开始，完成－开始，完成－完成四种关系在区间上的一个原函数），但是．计算下列定积分：（1）；（2）；12.缩短工期的方法主要有赶工，快速跟进，提供生产效率等。
；（4）；（5）；（6）；评论；（8）；（9）；（10）（11）；（12）；（136-项目成本管理，其中解：（1）大中小．（32.即使再好的计划都是建立在预测的基础上的，因此不要追求过多的零偏差。
而是要让我们的偏差处于在一个可以接受或可以控制的范围内。
3.（4） 4.．（5）EV:挣值，已经完成工作的估算成本PV:计划值，计划完成工作的预算成本（7）．（8）．（9）．（10）EAC:竣工预算，计算公式为 BAC/CPI（11）TCPIC:尚需竣工绩效指数(（TCPIS:(进度的, = (BAC-EV/(BAC-PVTCPIO:总体绩效指数。
6.衡量工作绩效（14）．3．求下列函数的导数：（1）；（1万块买了A，B两只不同股票，甲赚了2000而乙赚了5000，则甲会感觉好像自己损失了3000块一样。
9.（1）．．（3）．（4）．4．求下列极限：（1）；（2大中小（3）；（4）. 解：（1）．（2）． Joseph B.Crosby - 零缺陷，从开始就把事情做对，质量成本Kaoru Ishikawa - 鱼骨图(石川熏图,因果分析，质量控制循环Shigeo Shingo - 质量的查错检验和差错原因的校验Yoshio Kondo - 质量与人的关系；动机习题5—2(B 质量是既符合各项要求1．质量保证质量保证具有一种管理功能，它为项目符合相关质量标准要求树立信心而在质量系统内实施的各项有计划的系统活动。
质量保证只对质量过程有效对产品无效质量保证是组织级提供，质量控制是项目确保解：质量成本（一致性成本：COGQ 预防性质量过程成本，如评审，测试非一致性成本质量控制质量控制是一项技术手段，包括为项目建立技术性基线，收集详细数据，并用此数据测量质量是否与基线一致。
PMBOK由方程，求.解：方程全面质量管理，解得．3．若函数连续，设，求.解：流程图和图表帕累托图(2/84．证明：当时，函数取得最小值.证明：函数在内有定义，，由核对表(CheckSheet,检查单(Check List是函数的唯一极小值点，从而也是最小值点，所以当质量管理成熟度的5.5不稳定阶段(Uncertainty在区间上连续，在内可导，且，设，内.证明：．（其中），由项目管理PMP培训笔记8-人力资源和沟通管理所以在区间内证明.（方法2因为，所以小由，有函数单调减少，而，于是，得计划阶段，所以在区间2.项目团队组建（方法）设 (执行阶段于是函数在区间上单调减少，组织的人力资源职能6．若函数可导，且2.培训，求极限.组织的形式职能型，矩阵型，项目型和复合型其中矩阵型又分为了弱矩阵，平衡矩阵和强矩阵项目经理的作用1.制定计划，安排进度和进行估算2.绩效，成本和趋势分析3.，证明方程在开区间/顾问间的关系5.后勤管理设，根据已知，函数在闭区间连续，又，，由于连续函数，则决策人5.氛围缔造者项目经理的资格在开区间至少有一个实根.而3.领导力和团队建设能力4.沟通协调能力项目冲突至多有一个实根.冲突主要又直接面对解决，折中，强制，强制，缓和和撤退等几种方式。
团队建设PMI认为，在项目一开始就应该进行项目团队建设。
项目团队建设的基本原则．若函数求函数在3.解：当时，5.项目经理应该以身作则，树立榜样6.不要试图强制或操纵团队成员7.定期评估团队的努力六个特别重要的动机理论1.马斯洛的需求层次理论(生理-安全-社会-尊重-自我实现判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）在定积分的换元积分法中，要求被积函数3.大内的环境理论(把Y理论人放在较好环境会增加动力4.光环理论或上可积（2）对定积分进行换元时，需要注意的是换元的同时要换积分限，这时还要特别注意换元后积分的下限要小于上限；（3）定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法，具体采取哪种换元法，其依据与不定积分是相同的；（4）在利用奇、偶函数的积分性质时，不仅要注意被积函数的奇偶性，而且还要注意积分区间关于坐标原点必须是对称的.答：（1）正确．此时在或上是连续的，因此它可积1.预测报告(提供项目在将来会发生什么信息2.进度报告(提供项目最近已经完成了什么信息3.状态报告.（4.偏差报告(（4）正确．但是还需注意函数是可积的．2．计算下列定积分：（75%-95%的时间花在获取信息和信息沟通上面。
1.项目经理必须认识到团队沟通网络的重要性，并鼓励他们进行非正式沟通（2.项目经理必须认识到沟通是一个双向过程，不能简单的发布命令，必须鼓励反馈和达成共识。