浙教版2021年中考数学总复习 学生版《特殊平行四边形》
中考数学复习《特殊的平行四边形》专题练习(含答案)
三、解答题
31. (2018·湘西州)如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 .
(1)求证: ;
(2)若 ，求 的周长.
32. (2018连云港)如图，在矩形 中， 是 的中点，延长 交于点 ，连接 .
(1)求证:四边形 是平行四边形;
A. B. C. D.
二、填空题
13. (2018·株洲)如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， 分别为 的中点，则 的长度为.
14.(2018·成都)如图，在矩形 中，按以下步骤作图:①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ;②作直线 交 于点 .若 ，则矩形的对角线 的长为.
38. (2018·乌鲁木齐)如图，在四边形 中， ， 是 的中点， ， ， 于点 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 ，求 的长.
39. (2018·广安)如图，四边形 是正方形， 为 上一点，连接 ，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，求证: .
40. (2018·盐城)如图，在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 满足 ，连接 .
(2)在(1)的条件下，连接 ，求 的度数.
36.(2018·娄底)如图，在四边形 中，对角线 相交于点 ，且
，过点 作 ，分别交 于点 .
(1)求证: ;
(2)判断四边形 的形状，并说明理由.
37. (2018·南京)如图，在四边形 中， ， . 是四边形 内一点，且 .求证:
(1) ;
(2)四边形 是菱形.
9. (2018·宿迁)如图，菱形 的对角线 相交于点 ， 为边 的中点.若菱
【2021浙江中考数学】特殊平行四边形含答案
特殊平行四边形考点一矩形1．有一个角是________的__________叫做矩形．2．矩形的________个角都是直角．3．矩形既是________对称图形，又是________对称图形，它至少有________条对称轴．4．有________个角是直角的四边形是矩形．5．对角线相等的__________是矩形．考点二菱形6．一组________相等的________叫做菱形．7．菱形的________条边都相等．8．菱形的________互相垂直，并且每条对角线平分____________．9．菱形既是________对称图形，又是________对称图形，它至少有________条对称轴．10．四条边相等的四边形是________．11．对角线__________的平行四边形是菱形．考点三矩形和菱形共有的性质12．矩形和菱形画出两条对角线后，都会出现4个________三角形和4个________三角形．13．矩形和菱形常常转化为________三角形或________三角形来解决．考点四正方形14．有一组________相等，并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形．15．正方形的对角线__________________，每条对角线平分一组________．正方形既是________对称图形，又是________对称图形，有________条对称轴．16．有一组邻边相等的________是正方形．17．有一个角是直角的________是正方形．1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对角线相等B．对角相等C．对边相等D ．对角线互相平分2．若矩形的对角线长为4，一条边长为2，则此矩形的面积为( )A ．8 3B ．4 3C ．2 3D ．83．如图25－1，在菱形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2，点F 是AB 的中点，点E 在AC 上，则ED ＋EF 的最小值是( )A ．2 B. 3 C ．1.6 D ．1.5(图25－1)4．如图25－2，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形一组对边的距离等于( )(图25－2)A ．1.2B ．2.4C ．3.6D ．4.85．(2020福建)设A ，B ，C ，D 是反比例函数y ＝k x (k ≠0)图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平行四边形；②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是____．(写出所有正确结论的序号)◆达标一 特殊平行四边形基本题例1 下列命题中正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．内角都相等的四边形是矩形变式1在四边形ABCD中，AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是()A．AB＝BCB．AC与BD互相平分C．AC⊥BDD．AB⊥BD例2在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是() A．AB＝BC B．AC⊥BDC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD变式2如图25－3，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ABCD为菱形的是()(图25－3)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°例3(2020日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：如图25－4，四边形ABCD为平行四边形，现从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是()(图25－4)A．①②B．②③C．①③D．②④变式3如图25－5，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使平行四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是___．(只需添加一个即可)(图25－5)◆达标二矩形创新题例4(2019杭州)如图25－6，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E，H在边AD 上，点F，G在边BC上)，使得点B，点C落在边AD上同一点P处，点A的对应点为点A′，点D的对应点为点D′，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__．(图25－6)变式4(2018金华)小靓用如图25－7(1)的七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，如图25－7(2)所示．则ABBC的值是____．(1) (2)(图25－7)◆达标三菱形创新题例5(2019宁波)如图25－8，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC 上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．求证：BG＝DE.(图25－8)变式5(2018宁波)如图25－9，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME.若∠EMD＝90°，则cos B的值为____．(图25－9)◆达标四正方形创新题例6将图25－10中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现45°的角．(图25－10) (图D25－2)(图25－11) (图D25－3)1．如图25－12，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是(3，4)，则点B的坐标为()A．(5，4) B．(8，4) C．(5，3) D．(8，3)(图25－12)2．如图25－13，在矩形ABCD中，点A的坐标是(1，0)，点C的坐标是(－2，4)，则BD的长是()(图25－13)A.17 B．5 C．3 3 D．4 23．已知菱形的边长为2cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为____cm2.4．将两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD按如图25－14放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是___．(用m，n表示)(图25－14)5．如图25－15，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠BED的度数是___．(图25－15)6．如图25－16，正方形ABCD的边长为1，点P为对角线AC上任意一点，作PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F.则PE＋PF＝____．(图25－16)7．如图25－17，在菱形ABCD中，E是边AB上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF，其中正确的有____．(填序号)(图25－17)8．(2018青岛)如图25－18，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC 上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连结GH，则GH的长为____．(图25－18)9．(2018台州)如图25－19，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△BCG的周长为____．(图25－19)10．(2020哈尔滨)如图25－20，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连结AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为___．(图25－20)1．正方形具有而矩形不具有的性质是()A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是()A．4 B．4.6 C．4.8 D．53．如图Z25－1，在菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1的度数为()(图Z25－1)A．30°B．25°C．20°D．15°4．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为____cm2.5．如图Z25－2，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB＝4，菱形ABCD 的面积为24，则AC的长为____．(图Z25－2)6．如图Z25－3，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC ＝___．(图Z25－3)7．如图Z25－4，已知点A (3，0)，P 为y 轴正半轴上一点，以线段P A 为边在第一象限内作正方形APBC ，当OB ＝5时，点P 的坐标为_ ．(图Z25－4)8．如图Z25－5，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：(1)∠PBA ＝∠PCQ ＝30°；(2)P A ＝PQ .(图Z25－5)9．如图Z25－6，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，点A 关于BE 的对称点为F ，若∠DFC ＝90°，则EF 的长为( )A.37B.23C.25D.710(图Z25－6)10．如图Z25－7，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是()(图Z25－7)A．5 B．6 C．2 5 D．3 511．如图Z25－8，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F(点E在点F的左侧)，若EF＝2，则AE＋CF的最小值为()A．210 B．4 2 C．6 D．8(图Z25－8) (图ZD25－3)12．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图Z25－9所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝3，则该矩形的面积为____．(图Z25－9)13．如图Z25－10，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上．(1)若正方形ABCD，DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为____(直接写结果)．(2)过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连结QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．(图Z25－10)答案1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A ) A ．对角线相等 B ．对角相等 C ．对边相等 D ．对角线互相平分2．若矩形的对角线长为4，一条边长为2，则此矩形的面积为( B ) A ．8 3 B ．4 3 C ．2 3D ．83．如图25－1，在菱形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2，点F 是AB 的中点，点E 在AC 上，则ED ＋EF 的最小值是( B ) A ．2B. 3C ．1.6D ．1.5(图25－1)4．如图25－2，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形一组对边的距离等于( D )(图25－2)A ．1.2B ．2.4C ．3.6D ．4.85．(2020福建)设A ，B ，C ，D 是反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平行四边形； ②四边形ABCD 可以是菱形； ③四边形ABCD 不可能是矩形； ④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是__①④__．(写出所有正确结论的序号)◆达标一特殊平行四边形基本题例1下列命题中正确的是( D )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．内角都相等的四边形是矩形变式1在四边形ABCD中，AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( B )A．AB＝BCB．AC与BD互相平分C．AC⊥BDD．AB⊥BD例2在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( C ) A．AB＝BC B．AC⊥BDC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD变式2如图25－3，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ABCD为菱形的是( A )(图25－3)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°例3(2020日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：如图25－4，四边形ABCD为平行四边形，现从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是( B )(图25－4)A．①②B．②③C．①③D．②④变式3如图25－5，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使平行四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是__AC＝BD__．(只需添加一个即可)(图25－5)◆达标二矩形创新题例4(2019杭州)如图25－6，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E，H在边AD 上，点F，G在边BC上)，使得点B，点C落在边AD上同一点P处，点A的对应点为点A′，点D的对应点为点D′，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__65＋10__．(图25－6)【解析】∵∠FPG＝90°，∠D′PG＝∠C＝90°，∴F，P，D′三点共线，∴∠D′PH＝∠EPF＝∠A′EP.∵∠D′＝∠A′＝90°，∴△D′PH∽△A′EP.∵S△D′PH∶S△A′EP＝1∶4，∴D′H∶A′P＝1∶2.设D′H＝x，则A′P＝AB＝DC＝D′P＝2x.∵S△D′PH＝1，∴12x·2x＝1，解得x＝1(负值舍去)，∴D′H＝DH＝1，D′P＝A′P＝AB＝2，A′E＝AE＝2D′P＝4，∴由勾股定理可得PH＝5，EP＝25，S矩形ABCD＝AB·(AE＋EP＋PH＋DH)＝10＋6 5.变式4(2018金华)小靓用如图25－7(1)的七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，如图25－7(2)所示．则ABBC的值是__2＋14__．(1) (2)(图25－7)【解析】提示：设七巧板的边长为x，则AB＝12x＋22x，BC＝12x＋x＋12x＝2x，ABBC＝12x＋22x2x＝2＋14.◆达标三菱形创新题例5(2019宁波)如图25－8，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC 上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．求证：BG＝DE.(图25－8)解：不难证明△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE.变式5(2018宁波)如图25－9，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME.若∠EMD＝90°，则cos B的值为__3－12__．(图25－9)解：如图D25－1，延长DM 交CB 的延长线于点H .(图D25－1)易证△ADM ≌△BHM ，∴AD ＝HB ＝2. ∵EM ⊥DH ，∴EH ＝ED .设BE ＝x ， ∵AE 2＝AB 2－BE 2＝DE 2－AD 2， ∴22－x 2＝(2＋x )2－22，∴x ＝3－1(舍负)，∴cos B ＝BEAB ＝3－12. ◆达标四 正方形创新题例6 将图25－10中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现45°的角．(图25－10)(图D25－2)解：分割方法如图D25－2所示．变式6 将图25－11中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现全等三角形．(图25－11)(图D25－3)解：分割方法如图D25－3所示．1．如图25－12，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上．若点A 的坐标是(3，4)，则点B 的坐标为( B ) A ．(5，4)B ．(8，4)C ．(5，3)D ．(8，3)(图25－12)2．如图25－13，在矩形ABCD 中，点A 的坐标是(1，0)，点C 的坐标是(－2，4)，则BD 的长是( B )(图25－13)A.17B ．5C ．3 3D ．4 23．已知菱形的边长为2cm ，一个内角为60°，那么该菱形的面积为__23__cm 2. 4．将两个完全相同的长方形ABCD 与长方形EFGD 按如图25－14放置，点D 在线段AG 上，若AG ＝m ，CE ＝n ，则长方形ABCD 的面积是__m 2－n 24__．(用m ，n 表示)(图25－14)5．如图25－15，以正方形ABCD 的一边AD 为边向外作等边△ADE ，则∠BED 的度数是__45°__．(图25－15)6．如图25－16，正方形ABCD 的边长为1，点P 为对角线AC 上任意一点，作PE ⊥AD ，PF ⊥CD ，垂足分别是E ，F .则PE ＋PF ＝__1__．(图25－16)7．如图25－17，在菱形ABCD中，E是边AB上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF，其中正确的有__①②④__．(填序号)(图25－17)8．(2018青岛)如图25－18，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC 上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连结GH，则GH的长为__342__．(图25－18)9．(2018台州)如图25－19，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△BCG的周长为__15＋3__．(图25－19)10．(2020哈尔滨)如图25－20，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E 在线段BO上，连结AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为__22 __．(图25－20)1．正方形具有而矩形不具有的性质是(D)A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是(C)A．4 B．4.6 C．4.8 D．53．如图Z25－1，在菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1的度数为(B)(图Z25－1)A．30°B．25°C．20°D．15°4．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为__183__cm2. 5．如图Z25－2，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB＝4，菱形ABCD 的面积为24，则AC的长为__6__．(图Z25－2)6．如图Z25－3，O 点是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，菱形ABEO 的边长为2，则BC ＝__23__．(图Z25－3)7．如图Z25－4，已知点A (3，0)，P 为y 轴正半轴上一点，以线段P A 为边在第一象限内作正方形APBC ，当OB ＝5时，点P 的坐标为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，41－32__．(图Z25－4)8．如图Z25－5，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内． 求证：(1)∠PBA ＝∠PCQ ＝30°； (2)P A ＝PQ .(图Z25－5)解：略9．如图Z25－6，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，点A 关于BE 的对称点为F ，若∠DFC ＝90°，则EF 的长为( B ) A.37B.23C.25 D.710(图Z25－6)提示：方法1：如图ZD25－1，过点F 作MN ⊥AD ，BH ⊥CF ，易证DF ＝FH ＝HC ，由DC ＝2，可知DF ＝255，NF ＝25，ND ＝45，设AE ＝EF ＝x ，在△ENF 中，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫65－x 2＋⎝⎛⎭⎫252＝x 2，解得x ＝23.(图ZD25－1) (图ZD25－2) 方法2：如图ZD25－2，延长EF 交CD 于点M ，连结BM ，由HL 得Rt △BFM ≌Rt △BCM ， ∴MF ＝MC ＝MD ＝1.设AE ＝EF ＝x ，在△EMD 中，根据勾股定理即可得到结论．10．如图Z25－7，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4.点G ，E 分别在边AB ，CD 上，点F ，H 在对角线AC 上．若四边形EFGH 是菱形，则AG 的长是( A )(图Z25－7)A ．5B ．6C ．2 5D ．3 511．如图Z25－8，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝60°，对角线BD 上有两个动点E 、F (点E 在点F 的左侧)，若EF ＝2，则AE ＋CF 的最小值为( A )A ．210B ．4 2C ．6D ．8(图Z25－8) (图ZD25－3)提示：如图ZD25－3，作▱AEFG，连结AC，CG，则AE＋CF＝GF＋CF≥CG＝22＋62＝210.12．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图Z25－9所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝3，则该矩形的面积为__12__．(图Z25－9)提示：设正方形的边长为x，则(3＋x)2＋(2＋x)2＝(2＋3)2，解得x＝1(舍负)，故S矩形＝3×4＝12.13．如图Z25－10，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上．(1)若正方形ABCD，DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为__b－a__(直接写结果)．(2)过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连结QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．(图Z25－10)解：∠DQE 的大小不会发生变化，理由如下，∵DC ⊥BC ，PQ ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴DC ∥QP ，QP ∥EF ，∴∠CDQ ＝∠PQD .∵DQ 平分∠CDP ，∴∠CDQ ＝∠QDP ＝∠PQD ，∴PD ＝PQ . 在正方形DPEM 中，DP ＝PE ，∴PQ ＝PE ，∴∠PQE ＝∠PEQ .∵PQ ∥EF ，∴∠PQE ＝∠FEQ ，∴∠PQE ＝12∠PEF .∵∠DQE ＝∠DQP ＋∠PQE ＝12(∠CDP ＋∠PEF )． ∵∠CDP ＋∠CPD ＝90°，∠CPD ＋∠EPF ＝90°，∴∠CDP ＝∠EPF ，∴∠CDP ＋∠PEF ＝90°.∵∠DQE ＝12(∠CDP ＋∠PEF )，∴∠DQE ＝12×90°＝45°，∴∠DQE 的大小不会发生变化．。
浙教版2021年中考数学总复习《特殊平行四边形》(含答案)
，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
④∵ = ，∴AE=2BE， ∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点，∴FH=GH，∠FHG=90°， ∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH 和△DFH 中，
，∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形，
①EG=DF； ②∠AEH+∠ADH=180°； ③△EHF≌△DHC；
④若 = ，则 3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（ ）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
二、填空题
9.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线
上,得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为
A.
B.2
C.2
D.
7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形 AEMD，且两正方形的边长均为 2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）
8.如图,在正方形 ABCD 中,AC 为对角线,E 为 AB 上一点,过点 E 作 EF∥AD,与 AC、DC 分别交于点 G,F,H 为 CG 的中点,连接 DE，EH，DH，FH.下列结论：
14.如图，已知在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 CD 中点，连结 OE.过点 C 作 CF∥BD 交线段 OE 的延长线于点 F，连结 DF.求证： （1）△ODE≌△FCE； （2）四边形 ODFC 是菱形.
2020—2021年浙教版八年级数学下册《特殊平行四边形》单元考点练习及答案解析精品试卷.docx
第五章 特殊平行四边形复习姓名班级一、选择题1．下列性质中正方形具有而矩形没有的是（ ）A ．对角线互相平分；B ．对角线相等；C ．对角线互相垂直；D ．四个角都是直角 2．下列说法正确的是A 、对角线垂直的四边形是菱形B 、对角线互相平分的四边形是菱形C 、菱形的对角线相等且互相平分D 、菱形的对角线互相垂直且平分3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量对角线是否相等D ．测量其中三个角是否都为直角4．E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 四条边的中点，若EFGH 为菱形，四边形应具备的条件是（） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等5．如图，方格图中小正方形的边长为1．将方格图中阴影部分图形剪下来，再把剪下的阴影部分重新剪拼成一个正方形(不重叠无缝隙)，那么所拼成的这个正方形的边长等于（）．A B ．2; C D 6．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 上一点，且∠EAD =∠C ，AD = 5，△ABE 的周长是18，则梯形ABCD 的周长为（）A ．23B ．26C ．28D ．297．已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（▲） A. AC=BDB. BC=CDC. AD=BCD. AB=CD8．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为( ▲ ) A ．5B ．10C ．20D ． 149．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设1=a ，则=b （） A 、215- B 、215+ C 、235+ D 、12+bbbaaa42134312（第9题）（第10题）10．如图，梯形ABCD中，A D B C∥，点E在B C上，A E B E=，点F是C D的中点，且A F A B⊥，若2.746AD AFAB===，，，则C E的长为A．22 B. 231- C. 2.5 D. 2.3二、填空题11．一个菱形的两条对角线长分别为3cm，4cm，这个菱形的面积S=______．12．已知等腰梯形的中位线长为6cm,腰长5cm,则它的周长是____________cm。
(完整版)新浙教版数学八年级下册特殊平行四边形精讲
课题特殊平行四边形精讲知识点一：矩形的性质和判定考点1：直角对边平行且相等对角线相等考点2：一个角是直角的平行四边形三个角是直角对角线相互平分且相等考点3：勾股定理(主要与折叠相关) 一定要用起来对应边相等，对应角相等经典例题分析，提高综合能力例题1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD 边的F点上，则DF的长为．例题3：、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 .例题4：如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 .例题5：如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．(1）求矩形的面积；(2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形 和第6个平行四边形的面积．例题6：如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．(1）求的面积；(2）求矩形的边与的长；知识点二：菱形的性质和判定 考点1：四边相等对角相等且被对角线平分对角线互相垂直考点2:一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 平分对角 考点3：对称性勾股定理例题1：在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1）求的周长；(2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．ABCD 1220AB AC ==，O OB OC 1OBB C 1A 11A B 1A C 111A B C C 1O 11O B 11O C 1121O B B C ABCD 11OBB C 111A B C C 128:33l y x =+2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF ABCD AC BD O 56AB AC ==，D DE AC ∥BC E BDE △P BC PO AD Q BP DQ = AQ DEBP COA 1A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABCOA DB EOCF x yy（G ）例题2：如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE//BC ，过点D作DE//AB ，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题3：如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题4：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．例题5：如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A、（2,2-） B、（2,2-） C、（3,3-） D、（2,2--）知识点3：正方形考点1: 直角平行四边相等45°特殊角度对角线互相垂直辅助线考点2：勾股定理综合应用例题1：如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG 于F．求证：．DE AG⊥BF DE∥AF BF EF=+ DCBAEFG例题2：正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16例题3：如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .例题4：如图（22），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）． (1）求两点的坐标；(2）用含的代数式表示的面积；(3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为， ①当时，试探究与之间的函数关系式；②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？ l 4y x =-+x y A B 、l m O x x y M N 、t 04t <≤A B 、t MON △1S MN OMPN MPN △OAB △2S 2t <≤42S t m t 2S OAB △516OMAP N y l mxBOMAP N y l mxB E P F 图。
中考一轮复习 数学专题13 平行四边形与特殊平行四边形(学生版)
专题13 平行四边形与特殊的平行四边形一、单选题1．（2022·贵州贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段AB 剪成两个全等的图形，则1∠的度数是（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°2．（2022·广东）如图，在ABCD 中，一定正确的是（ ）A ．AD CD =B ．AC BD = C ．AB CD = D ．CD BC =3．（2021·广西柳州）如图，在菱形ABCD 中，对角线8,10AC BD ==，则AOD △的面积为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．124．（2020·湖北）已知ABCD 中，下列条件：①AB BC =；①AC BD =；①AC BD ⊥；①AC 平分BAD ∠，其中能说明ABCD 是矩形的是（ ）A ．①B ．①C ．①D ．①5．（2020·贵州黔南）如图，将矩形纸条ABCD 折叠，折痕为EF ，折叠后点C ，D 分别落在点C '，D '处，D E '与BF 交于点G ．已知30BGD '∠=︒，则α∠的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．74°D ．75°6．（2020·湖南益阳）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，若6AC =，8BD =，则AB 的长可能是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．67．（2020·广西玉林）点D ，E 分别是三角形ABC 的边AB ，AC 的中点，如图，求证：//DE BC 且12DE BC = 证明：延长DE 到F ，使EF =DE ，连接FC ，DC ，AF ，又AE =EC ，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程；①//DF BC =∴； ①//,//CF AD CF BD ==； ①四边形DBCF 是平行四边形；①//,DE BC ∴且12DE BC ∴=则正确的证明排序应是：（ ）A ．①→①→①→①B ．①→①→①→①C ．①→①→①→①D ．①→①→①→①8．（2021·山东德州）下列选项中能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A ．AB ＝CD B ．AB ＝BC C ．①BAD ＝90° D ． AC ＝BD9．（2021·四川德阳）如图，在菱形ABC D 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是C D 中点，连接OE ，则下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB ＝AD B ．OE 12=ABC ．①DOE ＝①DEOD ．①EOD ＝①EDO10．（2022·河南）如图，在菱形ABC D 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．4811．（2022·辽宁）如图，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 分别交,AD BC 于点E ，F ，则AE 的长为（ ）A．74B．94C．154D．25412．（2022·甘肃兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，60ABC∠=︒，BD=OE=（）A．4B．C．2D13．（2022·广东广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE = 1，①ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A BC．2D14．（2022·海南）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若:1:2,BF CE EF ==ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．5D 15．（2022·江苏无锡）如图，在ABC D 中，AD BD =，105ADC ∠=，点E 在AD 上，60EBA ∠=，则ED CD的值是（ ）A ．23 B ．12 C D 16．（2022·四川宜宾）如图，在矩形纸片ABC D 中，5AB =，3BC =，将BCD △沿BD 折叠到BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ADF ∠的值为（ ）A ．817B ．715C ．1517D ．81517．（2022·湖北随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABC D 中，BD 为对角线，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AP EF ⊥分别交BD ，EF 于O ，P 两点，M ，N 分别为BO ，DC 的中点，连接AP ，NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；①四边形MPEB 是菱形；①四边形PFDM 的面积占正方形ABCD 面积的14．正确的有（ ）A ．只有①B ．①①C ．①①D ．①①18．（2021·四川绵阳）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥，则BF 的长是（ ）A ．1 BC D ．219．（2021·辽宁朝阳）如图，在菱形ABC D 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2CF ，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则S 四边形EHFG ÷S 菱形ABCD 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．2920．（2020·辽宁锦州）如图，在菱形ABC D 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE ①BC 于点E ，PF ①AB 于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE ＋PF 的值为( )A ．4B ．245C ．6D ．48521．（2020·广西河池）如图，在▱ABC D 中，CE 平分①BCD ，交AB 于点E ，EA ＝3，EB ＝5，ED ＝4．则CE 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．22．（2020·江苏南通）如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B ﹣E ﹣D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ．现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），①BPQ 的面积为y （cm 2），若y 与x 的对应关系如图①所示，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．96cm 2B ．84cm 2C ．72cm 2D ．56cm 2 本本本本本本@本本@本本本本本 23．（2020·山东威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图①），已知40AB cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．225cmB ．21003cmC ．250cmD ．275cm24．（2020·湖南益阳）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 上的一点，ABE ∆是等边三角形，AC 交BE 于点F ，则下列结论不成立的是（ ）A ．30DAE ∠=B ．45BAC ∠= C ．12EF FB =D ．AD AB =25．（2020·云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则DEO 与BCD △的面积的比等于（ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．1826．（2020·贵州毕节）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，连接EF ，若6AB cm =，8BC cm =，则EF 的长是（ ）A ．2.2cmB ．2.3cmC ．2.4cmD ．2.5cm27．（2020·广东广州）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则OE EF +的值为（ ）A ．485B ．325C ．245D ．125二、填空题28．（2022·广东广州）如图，在□ABC D 中，AD =10，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC +BD =22，则△BOC 的周长为________29．（2022·青海）如图矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E ，F ，AB ＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为_____． *@本#号资料皆来源于微信：数学30．（2021·贵州黔东南）如图，BD 是菱形ABCD 的一条对角线，点E 在BC 的延长线上，若32ADB ∠=︒，则DCE ∠的度数为_________度．31．（2021·湖南益阳）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，从①AB AD =，①AC BD =，①ABC ADC ∠=∠中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD 成为菱形，则其选择是___（限填序号）．32．（2020·辽宁营口）如图，在菱形ABC D 中，对角线AC ，BD 交于点O ，其中OA ＝1，OB ＝2，则菱形ABCD 的面积为_____．33．（2020·江苏镇江）如图，点P 是正方形ABCD 内位于对角线AC 下方的一点，①1＝①2，则①BPC 的度数为_____°．34．（2020·青海）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，已知120BOC ∠=︒，3cm DC =，则AC 的长为________cm ．35．（2020·广东）如图，在菱形ABCD 中，30A ∠=︒，取大于12AB 的长为半径，分别以点A ，B 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连接BE ，BD ，则EBD ∠的度数为_________．36．（2020·四川凉山）如图，ABCD ◊的对角线AC 、BD 相交于点O ，//OE AB 交AD 于点E ，若OA =1，AOE ∆的周长等于5，则ABCD ◊的周长等于__________．37．（2021·辽宁鞍山）如图，矩形ABC D 中，3AB =，对角线AC ，BD 交于点O ，DH AC ⊥，垂足为点H ，若2ADH CDH ∠=∠，则AD 的长为_______________． 本号资料皆来源于微@信：数学**38．（2021·山东东营）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，点F 是AD 上一点，将CDF 沿CF 折叠，点D 落在点G 处，连接DG 并延长交AB 于点E ．若5AE =，则GE 的长为________．39．（2021·湖南株洲）如图所示，线段BC 为等腰ABC 的底边，矩形ADBE 的对角线AB 与DE 交于点O ，若2OD =，则AC =__________．40．（2021·湖南邵阳）如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______． 本号资料皆来源于微信#：##数学41．（2021·江苏连云港）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE AD ⊥，垂足为E ，8AC =，6BD =，则OE 的长为______．42．（2022·吉林）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且14AF AC =，连接EF ．若10AC =，则EF =__________．43．（2022·广西贺州）如图，在矩形ABC D 中，86AB BC ==，，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点G ，点P 是线段DG 上的一个动点，则PEF 的周长最小值为__________．44．（2022·辽宁辽宁）如图，CD 是①ABC 的角平分线，过点D 分别作AC ，BC 的平行线，交BC 于点E ，交AC 于点F ．若①ACB ＝60°，CD ＝CEDF 的周长是_______．45．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ①ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan①AMN ＝_____．46．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 在OB 上，连接AE ，点F 为CD 的中点，连接OF ，若AE BE =，3OE =，4OA =，则线段OF 的长为___________．47．（2022·江苏无锡）如图，正方形ABCD 的边长为8，点E 是CD 的中点，HG 垂直平分AE 且分别交AE 、BC 于点H 、G ，则BG ＝________．48．（2021·四川内江）如图，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上．当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为 __．49．（2021·辽宁锦州）如图，在矩形ABC D 中，AB ＝6，BC ＝10，以点B 为圆心、BC 的长为半径画弧交AD 于点E ，再分别以点C ，E 为圆心、大于12CE 的长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线BF 交CD 于点G ，则CG 的长为__________________．50．（2021·黑龙江哈尔滨）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BC ⊥，垂足为点E ，过点A 作AF OB ⊥，垂足为点F ．若2BC AF =，6OD =，则BE 的长为_____．51．（2020·山东济南）如图，在矩形纸片ABC D 中，AD ＝10，AB ＝8，将AB 沿AE 翻折，使点B 落在B '处，AE 为折痕；再将EC 沿EF 翻折，使点C 恰好落在线段EB '上的点C '处，EF 为折痕，连接AC '．若CF ＝3，则tan B AC ''∠＝_____．52．（2020·辽宁大连）如图，矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ．设DE x =，BF y =，当08x 时，y 关于x 的函数解析式为_____．53．（2020·四川凉山）如图，矩形ABC D 中，AD =12，AB =8，E 是AB 上一点，且EB =3，F 是BC 上一动点，若将EBF ∆沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距为 ．54．（2020·广东广州）如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '，AC '分别交对角线BD 于点,E F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为_______．三、解答题55．（2022·湖南）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，连接OE ，过点C 作CF BD ∥交OE 的延长线于点F ，连接DF ．(1)求证：ΔΔODE FCE ≅；(2)试判断四边形ODFC 的形状，并写出证明过程．56．（2022·湖北恩施）如图，已知四边形ABCD 是正方形，G 为线段AD 上任意一点，CE BG ⊥于点E ，DF CE ⊥于点F ．求证：DF BE EF =+．57．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中面出ADC，使ADC与ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；(2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4．连接DH，请直接写出线段DH的长．58．（2022·山东青岛）如图，在四边形ABC D中，AB①CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，①BAF=①DCE=90°．(1)求证：△ABF①△CDE；(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论．条件①：①ABD=30°；条件2：AB=B C．（注：如果选择条件①条件①分别进行解答，按第一个解答计分）59．（2021·江苏徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD 沿E 折叠，使,C A 两点重合．点D 落在点G 处．已知=4AB ，8BC =．（1）求证：AEF ∆是等腰三角形；（2）求线段FD 的长．60．（2021·贵州安顺）如图，在矩形ABCD 中，点M 在DC 上，AM AB =，且BN AM ⊥，垂足为N ．（1）求证：ABN MAD ≌；（2）若2,4AD AN ==，求四边形BCMN 的面积．61．（2020·广西）如图，在菱形ABC D 中，点E ，F 分别是边AD ，AB 的中点． （1）求证：ABE ADF ≌；（2）若BE①C ＝60°，求菱形ABCD 的面积．62．（2020·湖南娄底）如图，ABCD 中，2BC AB =，AB AC ⊥，分别在边BC 、AD 上的点E 与点F 关于AC 对称，连接EF 、AE 、CF 、DE ．（1）试判定四边形AECF 的形状，并说明理由；（2）求证：AE DE ⊥63（2022·湖南永州）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分DBC∠，交CD于点F．(1)请用尺规作ADB∠的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；(2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：①四边形ABCD是平行四边形，①AD BC∥①ADB∠=∠______（两直线平行，内错角相等）又①DE平分ADB∠，BF平分DBC∠，①12EDB ADB∠=∠，12DBF DBC∠=∠①EDB DBF∠=∠①DE∥______（______）（填推理的依据）又①四边形ABCD是平行四边形①BE DF∥①四边形DEBF为平行四边形（______）（填推理的依据）．64．（2022·贵州贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．(1)求证：ABE FMN ≌△△；(2)若8AB =，6AE =，求ON 的长．65．（2022·湖南永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A 、B 、C 、D 四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A 、B 、C 、D 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．方案一：如图2所示，沿正方形ABCD 的三边铺设水管；方案二：如图3所示，沿正方形ABCD 的两条对角线铺设水管．(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），满足120AEB CFD =∠∠=°，AE BE CF DF ===，EF AD ∥、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由． 1.4≈ 1.7≈）66．（2022·内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，90AEF ∠=︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证AE EF =．（提示：取AB 的中点G ，连接EG ．）(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；(2)如图1，若点E 是BC 边上任意一点（不与B 、C 重合），其他条件不变．求证：AE EF =；(3)在（2）的条件下，连接AC ，过点E 作EP ⊥AC ，垂足为P ．设=BE k BC，当k 为何值时，四边形ECFP 是平行四边形，并给予证明．67．（2022·四川成都）如图，在矩形ABCD 中，()1AD nAB n =>，点E 是AD 边上一动点（点E 不与A ，D 重合），连接BE ，以BE 为边在直线BE 的右侧作矩形EBFG ，使得矩形EBFG ∽矩形ABCD ，EG 交直线CD 于点H ．(1)【尝试初探】在点E 的运动过程中，ABE △与DEH △始终保持相似关系，请说明理由．(2)【深入探究】若2n =，随着E 点位置的变化，H 点的位置随之发生变化，当H 是线段CD 中点时，求tan ABE ∠的值．(3)【拓展延伸】连接BH ，FH ，当BFH △是以FH 为腰的等腰三角形时，求tan ABE ∠的值（用含n 的代数式表示）．68．（2022·内蒙古赤峰）同学们还记得吗？图①、图①是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，1OA 交AB 于点E ，1OC 交BC 于点F ，则AE 与BF 的数量关系为_________；(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图①：直线m 、n 经过正方形ABCD 的对称中心O ，直线m 分别与AD 、BC 交于点E 、F ，直线n 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，且m n ⊥，若正方形ABCD 边长为8，求四边形OEAG 的面积；(3)【问题三】受图①启发，兴趣小组画出了图①：正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，顶点E 在BC 的延长线上，且6BC =，2CE =．在直线BE 上是否存在点P ，使APF 为直角三角形？若存在，求出BP 的长度；若不存在，说明理由．69．（2022·广西玉林）如图，在矩形ABCD 中，8,4AB AD ==，点E 是DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A 作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，设DE a =．(1)求BF 的长（用含a 的代数式表示）；(2)连接EF 交AB 于点G ，连接GC ，当//GC AE 时，求证：四边形AGCE 是菱形．70．（2022·山东威海）如图:(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放． #本号资料皆来源于微信：数学①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；②求四边形AGCH的面积．(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝BC＝7，CF AGCH的面积．71．（2022·河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，①MBQ＝______°，①CBQ＝______°；①改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断①MBQ与①CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．72（2021·山东德州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE DF=，点G，H分别在边AB，BC上，且FG EH⊥，垂足为P．(1)求证：FG EH=；(2)若正方形ABCD边长为5，2AE=，3tan4AGF∠=，求PF的长度．73．（2021·青海西宁）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BOC CEB ≅△△．（1）求证：四边形OBEC 是矩形；（2）若120ABC ∠=︒，6AB =，求矩形OBEC 的周长．74．（2021·四川德阳）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，将①ABE 绕点A 逆时针旋转至①AB 1E 1的位置，此时E 、B 1、E 1三点恰好共线．点M 、N 分别是AE 和AE 1的中点，连接MN 、NB 1．（1）求证：四边形MEB 1N 是平行四边形；（2）延长EE 1交AD 于点F ，若EB 1＝E 1F ，11AE F CB E SS =，判断①AE 1F 与①CB 1E 是否全等，并说明理由．75．（2021·山东菏泽）在矩形ABCD中，BC=，点E，F分别是边AD、BC上的动点，且AE CF=，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE PF=；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；AB=时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．（3）当576．（2021·青海）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作︒︒︒等大小的角，可以采用如下方法：60,30,15操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图13-1）．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图13-2）．猜想论证：（1）若延长MN 交BC 于点P ，如图13-3所示，试判定BMP 的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若AB a BC b ==，，当a b ，满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD 中剪出符（1）中的等边三角形BMP ？77．（2020·山东日照）如图，Rt △AB C 中，①C ＝90°，以AB 为边在AB 上方作正方形ABDE ，过点D 作DF ①CB ，交CB 的延长线于点F ，连接BE ．（1）求证：△ABC ①①BDF ；# 本号资料皆来源#于微信：数学*（2）P ，N 分别为AC ，BE 上的动点，连接AN ，PN ，若DF ＝5，AC ＝9，求AN +PN 的最小值．78．（2020·云南昆明）如图1，在矩形ABC D中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF 上时，则有OB＝OM．请说明理由；（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当①AMD是等腰三角形时，求AP的长．79（2020·吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中5AD AG==，9AB=．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图①，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______．【操作二】四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图①若4sin5BAD∠=，则四边形DCFG的面积为______．。
浙教版初中数学中考复习：特殊四边形探究 (共37张PPT)
，点C的坐标为
．
• (2)将抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2＝a2x2＋b2x＋c2，则当x＝－3时，y2＝ ．
18
解析：
19
考向三：菱形探究
• (B3两)在点(1(点)的A条在件点下B，的将左抛侧物)，线抛m物1沿线水m平3与方x轴向交平于移M，，得N到两抛点物(点线Mm在3.设点抛N物的线左m侧1)与．x过轴点交C于作A平， 行 情于形x？轴若的存直在线，，请交求抛出物点线Km的3于坐点标K；.问若：不是存否在存，在请以说A明，理C由，．K，M为顶点的四边形是菱形的
2
考向一：特殊四边形与函数的联系
• 【例】如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P从点C出发，沿CB方向匀速运 动到终点B，动点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动到终点C.已知P，Q两点同时出发，并同 时到达终点，连结OP，OQ.设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致 刻画S与t之间的关系的是( )
3
解析：
4
考向一：特殊四边形与函数的联系
• 【练】如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF ＝ FB ＝ 5，DE ＝
12，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运
动时间为t秒，y＝S△EPF，则y与t的函数图象大致是(
)
5
26
解析：
27
考向四：矩形探究
• (2)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P，N，B，Q 构成 平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
28
解析：
29
考向四：矩形探究
2022-2023 数学浙教版新中考 考点22特殊的平行四边形(原卷版)
考点22特殊的平行四边形考点总结1．矩形：2．菱形：3．正方形：4．四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：真题演练一、单选题1．（2021·浙江衢州·中考真题）如图．将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，B β∠=∠．当AC 平分''B AC ∠时，α∠与β∠满足的数量关系是（ ）A ．2αβ∠=∠B ．23αβ∠=∠C ．4180αβ∠+∠=︒D ．32180αβ∠+∠=︒2．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm ，3cm 的长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）A ．（3663-）cm 2B ．（36123-）cm 2C ．24 cm 2D ．36 cm 23．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点P 从点B 出发，沿折线BC CD -方向移动，移动到点D 停止．在ABP △形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）A ．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B ．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C ．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D ．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）A ．13B ．522C ．412D ．4 5．（2021·浙江宁波·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ，另两张直角三角形纸片的面积都为2S ，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ，FH 与GE 相交于点O ．当,,,AEO BFO CGO DHO 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）A ．12S SB ．13S S =C ．AB AD = D ．EH GH = 6．（2021·浙江温州·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若2AE BE =，则CG BH的值为（ ）A ．32BCD 7．（2021·浙江嘉兴·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤∠至∠折叠两次得图∠，然后剪出图∠中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．矩形D ．菱形 8．（2021·浙江绍兴·中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（ ）A ．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B ．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C ．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D ．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形9．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在∠O 上，顶点C 、D 在∠O 内，将正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转α度，使点C 落在∠O 上．若正方形ABCD 的边长和∠O 的半径相等，则旋转角度α等于（ ）A ．36°B ．30°C ．25°D ．22.5° 10．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知，矩形ABCD 中，E 为AB 上一定点，F 为BC 上一动点，以EF 为一边作平行四边形EFGH ，点G ，H 分别在CD 和AD 上，若平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，则应满足（ ）A ．4AD AE =B ．2=AD ABC ．2AB AE =D ．3AB AE =二、填空题 11．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝6，点E 是AD 上一个动点，把∠CDE 沿CE 向矩形内部折叠，当点D 的对应点D ′恰好落在矩形的内角平分线上时（∠DCD '为锐角），则cos ∠DCD '＝__________________．12．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）已知90MAN ∠=︒，在射线AM 上取一点B ，在射线AN 上取一点C ，连接BC ，再作点A 关于直线BC 的对称点D ，连接AD ，BD ，得到如下图形．移动点C ，当AD BC =时，ABD ∠=______；当2AD BC =时，ABD ∠的度数是______．13．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF ，MN 对折，得到五边形GEFNM ．其中，顶点A 与D 重合于点G ，重叠部分GHIJ 为正方形，顶点I 在EM 上，若FN =8cm ，EM =10cm ，则BC 长为______cm ．14．（2021·浙江·翠苑中学二模）正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，将BCM 沿直线BM 翻折，使得点C 落在同一平面内的点'C 处，联结'DC 并延长交正方形ABCD 一边于点N ．当BN DM =时，CM 的长为__________．15．（2021·浙江·翠苑中学二模）如图，在矩形ABCD 中对角线AC ，BD 交于点O ，DE 平分ADC ∠交AB 于点E ，连结OE ．若6AD =，8AB =，则OE =__________．三、解答题16．（2021·浙江衢州·中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌． （运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC的值（用含k 的代数式表示）．17．（2021·浙江台州·中考真题）如图，BD 是半径为3的∠O 的一条弦，BD ＝42，点A 是∠O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A 是劣弧BD 的中点．∠求证：平行四边形ABCD 是菱形；∠求平行四边形ABCD 的面积．（2）若点A 运动到优弧BD 上，且平行四边形ABCD 有一边与∠O 相切． ∠求AB 的长；∠直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．18．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形ABCD 中，4AB =，点E 是边AD 的中点，点F 是对角线BD 上一动点，30ADB ∠=︒．连结EF ，作点D 关于直线EF 的对称点P ．（1）若EF BD⊥，求DF的长．（2）若PE BD⊥，求DF的长．（3）直线PE交BD于点Q，若DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．。
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浙教版2021年中考数学总复习
《特殊平行四边形》
一、选择题
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )
A.AB∥DC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
2.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）
A.选①②
B.选②③
C.选①③
D.选②④
3.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
4.对角线相等且互相平分的四边形是（）
A.一般四边形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
5.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（）
A.②③
B.③④
C.①②④
D.②③④
6.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）
A. B.2 C.2 D.
7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）
8.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE，EH，DH，FH.下列结论：
①EG=DF；
②∠AEH+∠ADH=180°；
③△EHF≌△DHC；
④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
9.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上,得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为．
10.将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是．
11.如图,一张宽为6cm的矩形纸片,按图示加以折叠,使得一角顶点落在AB边上,则折痕DF= cm.
12.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．
三、解答题
13.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°。
（1）求证：四边形ABCD是矩形;
（2）若∠ADF:∠FDC=3:2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？
14.如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE.过点C作CF ∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF.求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形.
15.在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，
使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF．
求证：
(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE=BF+EF．
16.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣2，1），点B（1，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足不等式kx+b﹣＜0的解集；
（3）在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG的边均平行于坐标轴，若点E（﹣a，a），如图，当曲线y=（x＜0）与此正方形的边有交点时，求a的取值范围．。