高考数学一轮复习方案 第10单元第60讲 古典概型课件 理 新人教A版
高三数学,一轮复习人教A版 ,古典概型 课件
[考纲传真]
古典概型
1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机
事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．
1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ． (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ．
5 (1)C (2) 6
[(1)设正方形的四个顶点分别是 A，B，C，D，中心为 O，从这 5
个点中，任取两个点的事件分别为 AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO， DO，共有 10 种，其中只有顶点到中心 O 的距离小于正方形的边长，分别是 AO， BO，CO，DO，共有 4 种． 4 3 所以所求事件的概率 P＝1－10＝5.
(2)(2015· 江苏高考)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红 球，2 只黄球．从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为______．
5 (1)B (2) 6 1 个红球共有 10 ＝21.
[(1)从袋中任取 2 个球共有 C2 其中恰好 1 个白球， 15＝105 种取法， 50 种取法， 所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为105
3．如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相 1 等，那么每一个基本事件的概率都是n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么 m n 事件 A 的概率 P(A)＝_____. 4．古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)＝_______________________.
高考数学一轮总复习 第10章 概率与统计 第二节 古典概型与几何概型课件 文 新人教A版
2.几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多 个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 因此，用几何概型求解的概率问题和古曲概型的思路是相 同 的 ， 同 属 于 “ 比 例 解 法 ”, 即 随 机 事 件 A 的 概 率 可 以 用 “事件A包含的基本事件所占的图形面积(或体积、长度)” 与“试验的基本事件所占总面积(或总体积、总长度)”之比 来表示.
►一个关键：几何概型概率求解.
(2)[解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件对
应的几何图形.利用图形的几何度量来求随机事件的概率]已知
球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这 π
一点不在球内的概率为__1_－___6__.
解析 由题意知球的半径为 1，其体积为 V 球＝4π 3 ，正方体
＝1－6×6 6＝56.
答案
5 6
知识点二 几何概型
1.几何概型的概念 (1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度 量(长度、面积或体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何 概率模型，简称 几何概型 . (2)几何概型中的几何度量可以是空间中或直线上的有限区 域，相应的概率是体积之比、面积之比或长度之比.
3.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝ 基本事件的总数
►一个易错点：误解基本事件的等可能性致误.
(1)[解决古典概型的重要前提是求基本事件的总数，这些基本 事件必须是等可能的]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概 率为________.
解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6×6＝36 个可能的结 果，其中点数相同的结果共有 6 个，所以点数不同的概率 P
4π
的体积为 V 正方体＝23＝8，则这一点不在球内的概率 P＝1－
高三数学一轮复习 第十章 第五节 古典概型课件 理 新人教A版
1．本题综合考查概率与统计的知识，数学应用意 识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然 思想．
2．(1)此类问题求解的关键是准确提炼数据信息，正 确运算，注重思想方法(fāngfǎ)的培养．(2)注重正反两方 面的思维训练，提升自己的思维水平．
第二十六页，共42页。
【解析】 从1，2，3，4中随机取两个数，不同的结 果为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共 有6个基本事件．满足一个数是另一个数两倍的取法有{1， 2}，{2，4}共两种，
∴所求事件的概率P＝26＝13. 【答案】 1
3
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4．(2012·浙江高考)从边长为 1 的正方形的中心和顶点 这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为 22的 概率是________．
2．古典概型 具有以下两个特点(tèdiǎn)的概率模型称为古典概率模 型，简称古典概型．
3．古典概型的概率(gàilǜ)公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝______基___本__事__件__的__总___数______．
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1．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的 吗？
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(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率； (2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相 等的概率． 【思路点拨】 首先求出省内、省外游客人数及持金卡、银卡 人数，然后求出基本事件总数及所求事件包含的基本事件数， 最后(zuìhòu)代入公式求解．
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【尝试解答】 (1)抽取的20件日用品中，等级系数为4 的恰有3件，所以b＝230＝0.15.
2022年高中数学新人教版A版精品教案《古典概型（一轮复习）》
学案古典概型导学目标： 1理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所含的根本领件数及事件发生的概率．自主梳理1．古典概型一般地，一次试验有下面两个特征1有限性．试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；2等可能性．每个根本领件的发生都是等可能的，称这样的概率模型为古典概型．2．古典概型的概率公式如果一次试验的等可能根本领件共有n个，那么每一个等可能根本领件发生的概率都是________；如果某个事件A包含了其中m个等可能根本领件，那么事件A发生的概率为、n作为点3”，用公式求解．【答题模板】解1甲、乙二人抽到的牌的所有情况方片4用4′表示，其他用相应的数字表示为2,3，2,4，2,4′，3,2，3,4，3,4′，4,2，4,3，4,4′，4′，2，4′，3，4′，4，共12种不同情况．[6分]2甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为错误![10分]3甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有3,2，4,2，4,3，4′，2，4′，3，共5种，故甲胜的概率4”4”；③代入公式，求概率值．课后练习总分值：90分一、填空题每题6分，共48分1．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率为________．2．将一枚骰子抛掷两次，假设先后出现的点数分别为b，c，那么方程2＋b＋c＝0有实根的概率为________．3．在五个数字1,2,3,4,5中，假设随机取出三个数字，那么剩下两个数字都是奇数的概率是________结果用数值表示．4．连续掷两次骰子分别得到点数m、n，那么向量m，n与向量－1,1的夹角θ>90°的概率为________．5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，那么取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．假设选到男教师的概率为错误!参加联欢会的教师共有________人．7．在集合{|＝错误!，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程co＝错误!的概率为________．8．现有5根竹竿，它们的长度单位：m分别为,,,,，假设从中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．二、解答题共42分9．14分袋子中装有编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．1写出所有不同的结果；2求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；3求至少摸出1个黑球的概率．10．14分某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．1求中三等奖的概率；2求中奖的概率．11．14分实数a，b∈{－2，－1,1,2}．1求直线＝a＋b不经过第四象限的概率；2求直线＝a＋b与圆2＋2＝1有公共点的概率．古典概型答案自主梳理2．错误!错误!自我检测1．错误!2．错误!3．错误!4．解析卡号是7的倍数有：7,14,21，…，98共有m＝错误!＋1＝14，总共n＝100∴＝5．错误!解析∵A、C、E在直线＝上，B、C、D在直线＝－＋2上，任取三点列举知有10种取法，共线有2种取法．∴取三点能构成三角形的概率为错误!＝错误!课堂活动区例1 解题导引计算古典概型所含根本领件总数的方法：1树形图；2列表法；3另外，还可以用坐标系中的点来表示根本领件．解1这个试验的根本领件为1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4．2事件“出现点数之和大于3”包含以下13个根本领件：1,3，1,4，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4．3事件“出现点数相等〞包含以下4个根本领件：1,1，2,2，3,3，4,4．变式迁移1 解1分别记白球为1,2,3号，黑球为A，B号，从中摸出2只球，有如下根本领件：1,2，1,3，1，A，1，B，2,3，2，A，2，B，3，A，3，B，A，B，因此，共有10个根本领件．2上述10个根本领件发生的可能性相同，且只有3个根本领件是摸到两只白球记为事件A，即1,2，1,3，2,3，故由此可知，利用列举法算出所有根本领件的个数n以及事件A包含的根本领件数m是解题关键．必要时可以采用画树状图或列表法辅助列举根本领件．解1利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果如下列图所示．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为2021为每次都随机抽取，因此这2021果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A1表示事件“连续抽取2人一男一女〞，A2表示事件“连续抽取2人都是女生〞，那么A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生〞，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得0.5”0.5”4c，n·－1,1＝－根本领件总共有6×6＝36个，符合要求的有2,1，3,1，3,2，4,1，4,2，4,3，5,1，…，5,4，6,1，…，6,5，共1＋2＋3＋4＋5＝15个．∴P＝错误!＝错误!5．错误!解析由袋中随机取出2个小球的根本领件总数为10，取出小球标注数字之和为3的事件为1,2取出小球标注数字之和为6的事件为1,5或2,4∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P＝错误!＝错误!6．12021析设男教师有n人，那么女教师有n＋12人．由从这些教师中选一人，选到男教师的概率P＝错误!＝错误!n＝54，故参加联欢会的教师共有120217．错误!解析co错误!＝co错误!＝错误!，共2个．总体共有10个，所以概率为错误!＝错误!8．解析从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m的情况是和,和两种，∴概率P＝错误!＝9．解1ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de5分2记“恰好摸出1个黑球和1个红球〞为事件A，那么事件A包含的根本领件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个根本领件．所以PA＝错误!＝所以恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为10分3记“至少摸出1个黑球〞为事件B，那么事件B包含的根本领件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个根本领件，所以PB＝错误!＝所以至少摸出1个黑球的概率为14分10．解设“中三等奖〞的事件为A，“中奖〞的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有0,0，0,1，0,2，0,3，1,0，1,1，1,2，1,3，2,0，2,1，2,2，2,3，3,0，3,1，3,2，3,316种不同的方法．4分1两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：0,3、1,2、2,1、3,0．故PA＝错误!＝错误!10分2由1知，两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：1,3，2,2，3,1，12分两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：2,3，3,2，PB＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!14分11．解由于实数对a，b的所有取值为：－2，－2，－2，－1，－2,1，－2,2，－1，－2，－1，－1，－1,1，－1,2，1，－2，1，－1，1,1，1,2，2，－2，2，－1，2,1，2,2，共16种．5分设“直线＝a＋b不经过第四象限〞为事件A，“直线＝a＋b与圆2＋2＝1有公共点〞为事件B1假设直线＝a＋b不经过第四象限，那么必须满足错误!即满足条件的实数对a，b有1,1，1,2，2,1，2,2，共4种．∴PA＝错误!＝错误!故直线＝a＋b不经过第四象限的概率为错误!9分2假设直线＝a＋b与圆2＋2＝1有公共点，那么必须满足错误!≤1，即b2≤a2＋111分假设a＝－2，那么b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对a，b有4种不同取值；假设a＝－1，那么b＝－1,1符合要求，此时实数对a，b有2种不同取值；假设a＝1，那么b＝－1,1符合要求，此时实数对a，b有2种不同取值，假设a＝2，那么b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对a，b有4种不同取值．∴满足条件的实数对a，b共有12种不同取值．∴PB＝错误!＝错误!故直线＝a＋b与圆2＋2＝1有公共点的概率为错误!14分。
高三数学总复习 古典概型与几何概型 知识讲解 新人教A版
高考总复习：古典概型与几何概型【考纲要求】1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。
【知识网络】【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。
3.古典概型的概率计算公式由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。
如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即nm A P )(。
所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ；（3）应用公式()m P A n=求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
知识点二、几何概型1. 定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。
3.几何概型的概率计算公式：随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
古典概型-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
概念生成
一般地，设试验是古典概型（前提条件）
样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，
则定义事件的概率() =
=
()
()
其中，()和()分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
新知探究
探究二：计算古典概型中简单随机事件的概率
例题讲解
例7 单选题是标准化考试的常用题型，一般是从A、B、C、D四个
18
因此，事件发生的可能性大小为
40
=
9
20
新知讲解
对于（2）：用1表示硬币“正面朝上”，0表示“反面朝上”，
样本空间 = {(, , ), (, , ), (, , ), (, , ), (, , ), (, , ),
(, , ), (, , )},
事件A与B互为对立事件
事件A与B至少有一个发生的事件
事件A与B同时发生的事件
事件A与B不能同时发生
事件A与B不能同时发生，但必有
一个发生
=
= 且 =
新课导入
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随
机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率
选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容，就能选择唯
一正确的答案。
假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
例题讲解
解：试验有选、选、选、选共4种可能结果，
试验的样本空间表示为 = {，，，}，则() =
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，这是一个古典
共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，这是一个古典概型。
事件发生的可能性大小，取决于事件包含的样本点
高考数学一轮复习 10-5古典概型课件 新人教A版
解析 1 所以P＝3.
甲站在中间的情况有两种，而基本事件总共有6种，
答案
C
2．甲、乙两人随意入住两个房间，甲、乙两人同住一个房 间的概率是( 1 1 A.4 B.3 1 2 C.2 D.3 )
解析
甲、乙两人随意入住房间共有4个基本事件，甲、乙
2 1 同住一个房间包含两个基本事件，故所求概率为P＝4＝2.
(2013· 山东卷)某小组共有A，B，C，D，E五位同
学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所 示： A 身高 B C 1.75 18.5 D E
1.69 1.73
1.79 1.82 23.3 20.9
体重指标 19.2 25.1
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人 身高都在1.78以下的概率； (Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率． 【思维启迪】 利用列举法求概率．
2 2
【规律方法】
(1)①本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成
同一个基本事件，造成计算错误．②当所求事件情况较复杂时， 一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事 件求解． (2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通 常考虑用对立事件的概率公式P(A)＝1－P( A )求解．
答案 C
3．(理)某农科院在3×3的九块试验田中选出六块种植某品种 水稻进行试验，则每行每列都有两块试验田种植水稻的概率为 ( ) 1 A.56 1 C.14 1 B.7 3 D.14
解析
据题意可先从第一行中的3块实验田中选2块种植某品
2 3
种水稻，共有C
§10.1.3-古典概型课件-高一下学期数学人教A版必修第二册第十章
的可能性大小为 你能总结求古典概型概率的方法吗？
古典概型的概率
一般地，设实验E是古典概型，样本空间Ω包 含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则 定义事件A的概率
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包 含的样本点个数.
[解] 设 4 个白球的编号为 1,2,3,4，2 个红球的编号为 5,6. 从袋中的 6 个球中任取 2 个球的样本空间 Ω＝{(1,2)， (1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)， (3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有 15 个样本点．
可以发现，给两枚骰子做记号，36个结果都是等可 能的； 而不给两枚骰子做记号，36个结果合并为21个可能 结果时，(1, 1) 和 (1, 2)产生的可能性大小不等，这 不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计 算概率，因此，
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
[题型二] 求解古典概型的概率“四步”法
[变式训练]
1、袋中有 6 个大小质地完全相同的球，其中白球 4 个， 红球 2 个，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： (1) 事件 A：取出的两球都是白球； (2) 事件 B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
考生随机选择一个答案，表明每个样本点产生的 可能性相等，所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一 的，所以 n(M) =1，n(Ω) =4.
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
在标准化考试中也有多选题，多选题是从 A, B, C, D四个选项中选出所有正确的答案（四个选 项中至少有一个选项是正确的）.
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有限个 (1)有限性，即试验中所有可能出现的基本事件只有__________ 有限的 ； ，即样本空间Ω中的元素个数是__________ 可能性相等 ． (2)等可能性，即每个基本事件出现的_____________
第60讲 │ 要点探究 要点探究
探究点1 古典概型 例1判断下列命题正确与否： (1)先后掷两枚硬币，可能出现“两个正面”，“两个反面”，“一 正一反”3种等可能的结果； (2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球， 那么每种颜色的球被摸到的可能性相同； (3)从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0 和不小于0的可能性相同； (4)分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每 个同学当选的可能性相同； (5)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某中奖签的可 能性肯定不同． ►
第60讲 │ 古典概型
第60讲
古典概型
第60讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．基本事件的两个特点 第一个结果 称为一个基本事 一次试验连同其中可能出现的_______________ 件．基本事件有如下两个特点： 互斥的 ； (1)任何两个基本事件都是____________ 基本事件的和 ． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________________ 2．古典概型的两大特点
第60讲 │ 要点探究
[解答] (1)只需求出答对 5 道题以上的可能种数． 由于选了 6 道 题，而他会 8 道题，故可把他答对 5 道题及以上分成两类，一类是 选的 6 道题全在他会的 8 道题里，有 C6 8种选法；另一类是选的 6 道题中有 5 道题是从会的 8 道题中去选的，另一题是从剩下的 12 5 1 6 5 1 个不会的题中选的， 有 C8 C12种选法， 故共有 C8 ＋C8 C12＝700 种． 从 20 道题中任取 6 道题的结果数，即是从 20 个元素中任取 6 个元素 的组合数 C6 20.由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等． 记“他答对 5 道题及以上”为事件 A1，他答对 5 道题及以上 700 35 的结果有 700 种，故事件 A1 的概率为 P(A1)＝ 6 ＝ . C20 1938 (2)记“他至少答对 4 道题”为事件 A2，由分析知，他至少答 5 1 4 2 对 4 道题的可能结果为 C6 8＋C8C12＋C8C12＝5320 种．故事件 A2 的 5320 7 概率为 P(A2)＝ 6 ＝ . C20 51
第60讲 │ 要点探究
例 1 [思路] 弄清基本事件的个数， 古典概型的两个特点及概率 计算公式． [解答] 以上命题均不正确． (1)应为 4 种等可能的结果，还有一种是“一反一正”； 1 1 (2)摸到红球的概率为 ，摸到黑球的概率为 ，摸到白球的概率 2 3 1 为 ； 6 4 3 (3)取到小于 0 的数的概率为 ，取到不小于 0 的数的概率为 ； 7 7 1 1 (4)一个男同学当选的概率为 ，一个女同学当选的概率为 ； 3 4
第60讲 │ 要点探究
一 笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设 每一只跑出笼的概率相同，求先出笼的两只中一只是白兔，而另一 只是灰兔的概率．
[思路] 思路一：列举基本事件，由于基本事件数较大，此法 很繁琐；思路二：用排列组合知识计算基本事件数，先出笼的两 只中一只是白兔，而另一只是灰兔应分两类：一类是第一只是白 兔，第二只是灰兔；另一类是第一只是灰兔，第二只是白兔．
第60讲 │ 要点探究
► 探究点3 例３ 复杂的古典型的概率问题
在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回
答，答对其中的5道题就获得优秀，答对其中的4道题就获得及 格．某考生会回答20道题中的8道题，试求： (1)他获得优秀的概率是多少？ (2)他获得及格与及格以上的概率有多大？
例３ [思路] 用排列、组合的知识正确求出答对5道题、4道题 的可能种数是解答本题的关键．在计算过程中，始终要记住是 从20道题中随机选了6道题，不管他需要答对几道题．答对至少 4道题中的分类不要遗漏．
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[点评] 弄清每一个试验的意义及每个基本事件的含义是解决问 题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面， 判断一个试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分， 而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性．
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► 探究点2 简单的古典概型的概率问题
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[点评] 一个试验是不是古典概型要看其是否满足有限性和 等可能性．计算古典概型的概率，其主要方法有两种：一是列 举基本事件的个数，在列举时要全面考虑问题，要做到不重复 也不遗漏；二是排列组合法，对于比较复杂的问题，用排列组 合知识计数往往比列举法简单，要注意何时用“排列”，何时用“ 组合”，何时用“两个计数原理”．
例2 [2010· 江苏卷] 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球， 若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是________．
例2 [思路] 思路一：列举基本事件，计算基本事件的总 数和随机事件所包含的基本事件的个数，代入古典概型的概 率公式进行计算．
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思路二：运用排列组合知识计算基本事件的个数代入古典概型 的概率公式进行计算． 1 [解析] 方法一：设 3 只白球为 A，B，C,1 只黑球为 d，则 2 从中摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd 共 6 种， 3 1 其中两只球颜色不同的有 3 种，故所求概率为 P＝ ＝ . 6 2 方法二(排列组合法)：从 3 只白球，1 只黑球中任取 2 个球共 1 有 m＝C2 若取出的 2 只球颜色不同共有 n＝C1 4＝6 种不同的取法． 3C1 3 1 ＝3 种不同的取法，故所求概率为 P＝ ＝ . 6 2
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[解答] 方法一：设 3 只白免分别为 b1，b2，b3,2 只灰兔分别为 h1，h2.则所有可能的情况是(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)， (b3， h1)，(b3， h2)，(h1， b1)，(h2， b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1， b3)，(h2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3， b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共 20 种情况，其中符合一只白兔而另一 12 3 只是灰兔的情况有 12 种，则所求概率为 ＝ . 20 5 方法二：从笼子中跑出两只兔子的情况有 A2 5＝20 种情况．设 事件 A ：出笼的两只中一只是白兔，另一只是灰兔．则 P(A) ＝ 1 1 1 C1 12 3 3C2＋C2C3 ＝ ＝ . 2 A5 20 5