2005—2008年江苏专转本高数真题(打印版)

2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）1、0=x 是xx x f 1sin )(=的A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、第二类间断点D 、连续点2、若2=x 是函数)21ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=aA 、1-B 、21C 、21- D 、13、若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sinA 、C x F +)(sinB 、C x F +-)(sin C 、C F +(cos)D 、C x F +-)(cos 4、设区域D 是xoy 平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则：=+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (A 、⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y x B 、⎰⎰12D xydxdyC 、⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy D 、05、设yx y x u arctan ),(=，22ln),(y x y x v +=，则下列等式成立的是A 、yv x u ∂∂=∂∂ B 、x v x u ∂∂=∂∂ C 、x v y u ∂∂=∂∂ D 、yv y u ∂∂=∂∂ 6、正项级数(1)∑∞=1n nu、(2)∑∞=13n nu，则下列说法正确的是A 、若（1）发散、则（2）必发散B 、若（2）收敛、则（1）必收敛C 、若（1）发散、则（2）不定D 、若（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、=----→xx xe e x x x sin 2lim；8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ； 9、=++⎰-11211xx π ；10、设向量{}2,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ； 11、交换二次积分的次序=⎰⎰-+-dy y x f dx x x 2111),( ；12、幂级数∑∞=-1)12(n nxn 的收敛区间为 ；三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、设函数⎪⎩⎪⎨⎧+=a xx x f x F sin 2)()( 00=≠x x 在R 内连续，并满足：0)0(=f 、6)0('=f ，求a .14、设函数)(x y y =由方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy 、22dx yd . 15、计算⎰xdx x sec tan 3.16、计算⎰1arctan xdx17、已知函数),(sin 2y x f z =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、y x z∂∂∂218、求过点)2,1,3(-A 且通过直线12354:zy x L =+=-的平面方程.19、把函数222)(x x xx f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间.20、求微分方程0'=-+xe y xy 满足e y x ==1的特解.四、证明题（本题8分）21、证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）22、设函数)(x f y =的图形上有一拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数a x y +=6''，求)(x f .23、已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）、曲边三角形的面积； （2）、曲边三角形饶X 轴旋转一周的旋转体体积.24、设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F uyu⎰⎰=)()(1，)1(>u（1）、交换)(u F 的积分次序； （2）、求)2('F .2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、C3、D4、B5、A6、C7、2 8、1-e 9、2π10、5 11、dx y x f dy y y ⎰⎰---11102),( 12、)1,1(-13、因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，8262)0(2)0()(sin 2)()('0lim limlim=+=+=+-=+=→→→f x f x f x x x f x F x x x a F =)0(，故8=a .14、t t t t t t dtdx dt dydx dy -=-+-==sin sin cos cos ，t t x y dx y d t t csc sin 1)('''22=--==.15、原式C x x x x xd x d x +-=-=-=⎰⎰sec sec 31sec sec sec sec )1(sec 322.16、原式⎰⎰++-=+-=102210211)1(2141arctan x x d dx x x x x π 102)1ln(214x +-=π2ln 214-=π17、'1cos f x x z ⋅=∂∂，''12''122cos 2)2(cos xf y y f x yx z =⋅=∂∂∂ 18、{}1,2,5=l ，{}0,3,4-=B ，{}2,4,1-={}22,9,8241125--=-=⨯=kj i l π 平面点法式方程为：0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x .19、x x x x x x x x f -⋅++⋅=-++=1132116)1121(3)(222nn n n x x ∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=01212)1(3，收敛域为11<<-x . 20、xe y x y x=⋅+1'，通解为x e x C C dx e x e e y x dx x x dx x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-11因为e y =)1(，C e e +=，所以0=C ，故特解为xe y x=.21、证明：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1-∈x ，且03)1(>=-f ，01)1(<-=f ，0)1()1(<⋅-f f ，由连续函数零点定理知，)(x f 在)1,1(-上至少有一实根. （提醒：本题亦可用反证法证明）22、设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，3)2('-=f ，0)2(''=f . 由a x y +=6''，0)2(''=y 得12-=a ，即126''-=x y .因为126''-=x y ，故12'123C x x y +-=，由3)2('-=y ，解得91=C . 故22396C x x x y ++-=，由4)2(=y ，解得22=C . 所求函数为：29623++-=x x x y . 23、（1）61612113102===⎰y dy y S （2）4021)()21(22102πππ=-=-=⎰x x dx x V x24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤ （1）⎰⎰⎰⎰⎰-===ux u Ddx x f x dy x f dx d x f u F 111)()1()()()(σ；（2）)()1()('u f u u F -=，1)2()2()12()2('==-=f f F .2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、A7、2 8、)(0x f 9、1- 10、1 11、)cos sin (x x y e xy + 12、113、原式322131lim 21341==--→x xx14、21211122''t t t t x y dx dy tt =++-==，t t t t x dx dy dx y d t 411221)(22''22+=+== 15、原式C x x d x ++=++=⎰23)ln 1(32)ln 1(ln 116、原式x d x dx x x xx x d x cos 24sin 2sin sin 20220202202⎰⎰⎰+=-==πππππ24cos 2cos 24220202-=-+=⎰ππππxdx xx17、方程变形为2'⎪⎭⎫⎝⎛-=x y x y y ，令x y p =则''xp p y +=，代入得：2'p xp -=，分离变量得：dx x dp p⎰⎰=-112，故C x p +=ln 1，C x x y +=ln . 18、令)1ln()(x x g +=，0)0(=g ，200'1)1()1()(+∞=∞=∑∑+-=-=n n nn nnx n dx x x g ，故201)1()(+∞=∑+-=n n nx n x f ，11<<-x .19、{}1,1,11-n 、{}1,3,42-n ，k j i kj in n ++=--=⨯=3213411321 直线方程为123123+=-=-z y x . 20、'22f x yz=∂∂， ''222''213'2''22''212'2222)2(2yf x f x xf y f x f x xf xy z ++=⋅+⋅+=∂∂∂. 21、令33)(x x x f -=，[]2,2-∈x ，033)(2'=-=x x f ，1±=x ，2)1(-=-f ，2)1(=f ，2)2(-=f ，2)2(=-f ；所以2min -=f ，2max =f ，故2)(2≤≤-x f ，即233≤-x x .22、y x y +=2'，0)0(=y通解为x Ce x y +--=)22(，由0)0(=y 得2=C ，故x e x y 222+--=.23、（1）364)8(2222=--=⎰-dx x x S （2）πππ16)8()(28424=-+=⎰⎰dy y dy y V24、dx x f t dy x f dx dxdy x f tttD t⎰⎰⎰⎰⎰==0)()()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(0t at x f t g t（1）0)(lim)(lim 000==⎰→→dx x f t g tt t ，由)(t g 的连续性可知0)(lim )0(0===→t g g a t （2）当0≠t 时，)()('t f t g =，当0=t 时，)0()(lim )(lim )0()(lim)0(0000'f h f hdx x f h g h g g h hh h ===-=→→→⎰ 综上，)()('t f t g =.2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）1、若21)2(lim0=→x xf x ，则=→)3(lim 0x f x x A 、21 B 、2 C 、3 D 、312、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处A 、连续但不可导B 、连续且可导C 、不连续也不可导D 、可导但不连续3、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是A 、x e y =B 、x y +=1C 、21x y -= D 、xy 11-=4、已知C edx x f x+=⎰2)(，则=-⎰dx x f )('A 、C ex+-22 B 、C e x +-221 C 、C e x +--22 D 、C e x +--2215、设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是A 、如果0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n nu必收敛B 、如果l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛C 、如果∑∞=1n nu，则∑∞=12n nu必定收敛 D 、如果∑∞=-1)1(n n nu ，则∑∞=1n n u 必定收敛6、设对一切x 有),(),(y x f y x f -=-，}0,1|),{(22≥≤+=y y x y x D ，=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ，则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(A 、0B 、⎰⎰1),(D dxdy y x f C 、2⎰⎰1),(D dxdy y x f D 、4⎰⎰1),(D dxdy y x f二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等级无穷小，则=a 8、若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续.9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ，⎰=13)(dx x f ，则⎰=1')(dx x xf101=，⊥，则=+⋅)(11、设x e u xysin =，=∂∂xu12、=⎰⎰Ddxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三角形区域.三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、计算11lim31--→x x x .14、若函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy 、22dx yd . 15、计算⎰+dx x xln 1. 16、计算dx x x ⎰202cos π.17、求微分方程2'2y xy y x -=的通解.18、将函数)1ln()(x x f +=展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）. 19、求过点)2,1,3(-M 且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.20、设),(2xy x xf z =其中),(v u f 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z ∂∂∂2. 四、证明题（本题满分8分）.21、证明：当2≤x 时，233≤-x x . 五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程.23、已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成. （1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.24、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续. （1）求a 的值使得)(t g 连续； （2）求)('t g .2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）1、若2)2(lim0=→x x f x ，则=∞→)21(lim x xf x A 、41 B 、21C 、2D 、42、已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x nsin 的高阶无穷小，而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=nA 、1B 、2C 、3D 、43、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则=⎰dx x f)2('A 、C x +4cosB 、C x +4cos 21C 、C x +4cos 2D 、C x +4sin5、设dt t x f x ⎰=212sin )(，则=)('x fA 、4sin x B 、2sin 2x x C 、2cos 2x x D 、4sin 2x x 6、下列级数收敛的是A 、∑∞=122n n n B 、∑∞=+11n n n C 、∑∞=-+1)1(1n n n D 、∑∞=-1)1(n n n二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=020)1()(1x x kx x f x ，在点0=x 处连续，则常数=k8、若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m 9、定积分dx x x x )cos 1(43222+-⎰-的值为10、已知→a ，→b 均为单位向量，且21=⋅→→b a ，则以向量→→⋅b a 为邻边的平行四边形的面积为 11、设yxz =，则全微分=dz 12、设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限xx x e x x tan 1lim 0--→.14、设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求0=x dx dy 、022=x dx yd .15、求不定积分dx e x x⎰-2.16、计算定积分dx x x ⎰-122221. 17、设),32(xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2.18、求微分方程2'2007x y xy =-满足初始条件20081==x y 的特解.19、求过点)3,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=++-=+++01202z y x z y x 的平面方程.20、计算二重积分dxdy y x D⎰⎰+22，其中{}0,2|),(22≥≤+=y x y x y x D .四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成.（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分.22、设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质：（1）在点1-=x 的左侧临近单调减少； （2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点)2,1(的两侧凹凸性发生改变. 试确定a ，b ，c 的值.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设0>>a b ，证明：dx x f e e dx e x f dy baa x x byy x ba⎰⎰⎰++-=)()()(232.24、求证：当0>x 时，22)1(ln )1(-≥-x x x .2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、C3、C4、A5、D6、D7、2ln8、19、π2 10、2311、dy yxdx y 21-12、06'5''=+=y y y 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e . 14、解：方程xy e e y x =-，两边对x 求导数得''xy y y e e y x +=⋅-，故xe y e y dx dy y x+-=='. 又当0=x 时，0=y ，故10==x dx dy 、2022-==x dxy d .15、解：)(22)(2222xx x x x x e d x e x dx xe e x e d x dx e x ------⎰⎰⎰⎰--=+-=-= C e xe e x x x x +---=---222.16、解：令t x sin =，则41sin cos 1242212222πππ-==-⎰⎰dt t t dx x x . 17、解：'2'12yf f x z +=∂∂，)3()3(2''22''21'2''12''112x f f y f x f f yx z ⋅+⋅++⋅+⋅=∂∂∂ '2''22''12''11)32(6f xyf f y x f ++++=18、解：原方程可化为x y x y 20071'=⋅-，相应的齐次方程01'=⋅-y xy 的通解为Cx y =.可设原方程的通解为x x C y )(=.将其代入方程得x x C x C x x C 2007)()()('=-+，所以2007)('=x C ，从而C x x C +=2007)(，故原方程的通解为x C x y )2007(+=. 又2008)1(=y ，所以1=C ，于是所求特解为x x y )12007(+=. （本题有多种解法，大家不妨尝试一下） 19、解：由题意，所求平面的法向量可取为)3,1,2(112111)1,1,2()1,1,1(-=-=-⨯=→kj i n .故所求平面方程为0)3(3)2()1(2=---+-x y x ，即0532=+-+z y x .20、解：916cos 38203cos 20220222====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πθπθθρρθθρρd d d d d dxdy y x DD.21、解：（1）⎰=-=1022158)1(ππdx x V ；（2）由题意得⎰⎰-=-aady y dy y 012121)1()1(. 由此得2323)1(1)1(a a --=--. 解得31)41(1-=a .22、解：c bx ax x f ++=23)(2'，b ax x f 26)(''+=.由题意得0)1('=-f 、0)1(''=f 、2)1(=f ，解得1-=a 、3=b 、9=c23、证明：积分域D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤b x y b y a ，积分域又可表示成D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤x y a bx a dy e dx e x f dy e x f dx dx e x f dy x a y b a x x a y x b a b y y x b a ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==++2222)()()( dx x f e e dx e e e x f b a a x x b a a x x ⎰⎰+-=-=)()()()(232. 24、证明：令11ln )(+--=x x x x F ，显然，)(x F 在()+∞,0上连续. 由于0)1(1)(22'>++=x x x x F ，故)(x F 在()+∞,0上单调递增， 于是，当10<<x 时，0)1()(=<F x F ，即11ln +-<x x x ，又012<-x ，故22)1(ln )1(->-x x x ；当1≥x 时，0)1()(=≥F x F ，即11ln +-≥x x x ，又012≥-x ，故22)1(ln )1(-≥-x x x .综上所述，当0>x 时，总有22)1(ln )1(-≥-x x x .2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是 A 、)(x f y -= B 、)(43x f x y = C 、)(x f y --=D 、)()(x f x f y -+=2、设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是A 、)0()()0('0limf x x f f x -=-→ B 、)()()2(0'00lim x f x x f x x f x =-+→C 、)()()(0'000lim x f x x x f x x f x =∆∆--∆+→∆D 、)(2)()(0'000limx f xx x f x x f x =∆∆+-∆-→∆3、设函数)(x f ⎰=122sin xtdt t，则)('x f 等于A 、x x 2sin 42B 、x x 2sin 82C 、x x 2sin 42- D 、x x 2sin 82- 4、设向量)3,2,1(=→a ，)4,2,3(=→b ，则→→⨯b a 等于A 、（2，5，4）B 、（2，－5，－4）C 、（2，5，－4）D 、（－2，－5，4）5、函数xyz ln=在点（2，2）处的全微分dz 为 A 、dy dx 2121+- B 、dy dx 2121+ C 、dy dx 2121- D 、dy dx 2121--6、微分方程123'''=++y y y 的通解为 A 、1221++=--x x e c e c y B 、21221++=--x xe c ec y C 、1221++=-x x e c e c yD 、21221++=-xxec e c y 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数)1(1)(2--=x x x x f ，则其第一类间断点为 .8、设函数{=)(x f ,0,3tan ,0,<≥+x xxx x a 在点0=x 处连续，则a ＝ .9、已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为 . 10、设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分⎰dxx f )(＝ .11、定积分dx x x⎰-++1121sin 2的值为 .12、幂函数∑∞=⋅12n nnn x 的收敛域为 . 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：xx xx 3)2(lim -∞→ 14、设函数)(x y y =由参数方程Z n n t t y t t x ∈≠⎩⎨⎧-=-=,2,cos 1,sin π所决定，求22,dx yd dx dy 15、求不定积分：⎰+dx x x13.16、求定积分：⎰1dx ex.17、设平面π经过点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，5），求经过点P （1，2，1）且与平面π垂直的直线方程.18、设函数),(x y y x f z +=，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2.19、计算二重积分⎰⎰Ddxdy x 2，其中D 是由曲线xy 1=，直线2,==x x y 及0=y 所围成的平面区域.20、求微分方程2,2x y xy +=的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、求曲线)0(1>=x xy 的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.22、设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成.（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设函数)(x f 在闭区间[]a 2,0)0(>a 上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间),0(a 上至少存在一点ξ，使得)()(a f f +=ξξ.24、对任意实数x ，证明不等式：1)1(≤-xe x .2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1—6 B 、A 、D 、C 、A 、B 7、0 8、3 9、（2，17） 10、c x x ++-21cos 11、π 12、[]2.2- 13、6233)21(lim )21(lim )2(lim ⋅∞→∞→∞→-=-=-xx x x x x xx x x ，令2x y -=，那么6631)11(lim )2(lim ey x x y x x x =+=-⋅-∞→∞→.14、.sin )(cos )(cos 1)(sin )(t t x t t y t t x t t y ==-==‘’‘’’‘，，，[].)cos 1(1)()()()()(cos 1sin )()(2322t t x t x t y t x t y dx y d t t t x t y dx dy --=-=-==‘’‘，，，，，’，15、⎰⎰⎰⎰++-+-=++-++=+C x dx x x dx x x d dx x x dx x x 1ln )1(1)1(111233 .1ln 2323C x x x x ++-+-= 16⎰⎰⎰⎰⎰-==⋅==11211021211212112211)(222)(212121212121dx e ex de e dx x ex d e dx ex x x x x x ＝.22222222101212121=+-=-=-⎰e e ee dx ee x x17、由题意得：，，，－)032(=→AB )5,0,2(-=→AC ，那么法向量为 ).6,10,15(032250225003=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⨯=→，－－，－n 18、.221，‘f x y f x z -=∂∂)1(212221212112‘’‘’，，，，－＋f x f xy f f y x z +=∂∂∂ ‘’‘’‘’，，－＝223212121f x y f x y f x f -+19、⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=1211222xx Ddy x dx dy x dx dxdy x ⎰⎰=+=+=+=121212104347234124x x xdx dx x 20、积分因子为.1)(2ln 22x eex xdx x==⎰=--μ 化简原方程22x y xy +=，为.2x x ydx dy =- 在方程两边同乘以积分因子21x ，得到.1232x xy dx x dy =- 化简得：.1)(2xdx y x d =-等式两边积分得到通解⎰⎰=-.1)(2dx x dx y x d故通解为C x x x y 22ln += 21、令y x y x F -=1),(，那么x 和y 的偏导分别为20001),(x y x F x -=，.1),(00-=y x F y所以过曲线上任一点),(00y x 的切线方程为：.01020=-+-y y x x x 当X ＝0时，y 轴上的截距为001y x y +=. 当y ＝0时，x 轴上的截距为.0020x y x x +=令002000001),(x y x y x y x F +++=，那么即是求),(00y x F 的最小值. 而4)1(211),(00000000≥+=+++=x x x x x x y x F ，故当100==y x 时， 取到最小值4.22、（1）⎰==-=1015445353)4(πππx dx x x V . （2）由题意得到等式：⎰⎰-=-122022)2()2(aadx x x dx x x化简得：⎰⎰=aadx x dx x 0122.解出a ，得到：213=a ，故.2131=a 23、令)()()(x f a x f x g -+=，那么)()2()(a f a f a g -=， ).0()()0(f a f g -=由于0)0()(<g a g ，并且)(x g 在[]a ，0上连续.故存在)0(a ，∈ξ，使得0)(=ξg ，即)()(a f f +=ξξ.24、将xe 用泰勒公式展开得到：⋅⋅⋅+++=2!21!111x x e x代入不等式左边：131211)!21!111)(1()1(322≤⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅+++-=-x x x x x e x x。