4.4平行四边形的判定定理(2)
八下浙教版4.4平行四边形的判定(2)
∵ AO=CO，DO=BO，∠AOD=∠COB ∴△AOD≌△COB ∴ AD=CB 同理：AB=CD O
A
B
∴四边形ABCD是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
平行四边形判定定理3： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言： 如图∵OA=OC，OB=OD
E
B
变3:已知：如图,在
ABCD中，E,F是对角线BD
上的两点,且BE=DF.M,N分别是AD和BC边上的中点. 求证：四边形ENFM是平行四边形。 A E B N M F C D
练一练
1.如图：在 ABCD中，E,F是对角线AC上的两
个点；G,H是对角线B,D上的两点.已知
AE=CF,DG=BH,求证：四边形EHFG是平行四边形.
A D O C
B
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等
的四边形是 平行四边形
从角看:
两组对角分别相等
两组对角线互相平分
从对角线看:
例1、已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD 上的两点，且∠BAE=∠DCF A D 求证：四边形AECF是平行四边形。 O F E
证明： 在平行四边形ＡＢＣＤ中，
D G E
O
C F H B
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ A
∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ
∴四边形EHFG是平行四边形
练一练
2、已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规 作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于
平行四边形的判定(2)(课件)-八年级数学下册(人教版)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2
又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
15-2t
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?
解:(3)∵AD//BC
∴当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.
∴12-t=2t
解得t=4
∴t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.
平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
t
12-t
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
2t
15-2t
(1)用含t的代数式表示:
12-t
t
AP=_________cm；DP=_________cm；
2t
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
4.如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件:
①AE//CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边
形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( B )
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
5.已知四边形ABCD，有以下四个条件:①AB//CD;②AB=CD;③BC// AD;④
浙教版数学八年级下册《4.4 平行四边形的判定定理》教案2
浙教版数学八年级下册《4.4 平行四边形的判定定理》教案2一. 教材分析《4.4 平行四边形的判定定理》是浙教版数学八年级下册的一个重要内容。
本节课主要让学生掌握平行四边形的判定方法，并通过相应的例题和练习题来巩固所学知识。
教材从学生的实际出发，通过直观的图形和生动的例题，引导学生探索和发现平行四边形的判定定理，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行线的性质、四边形的分类等基础知识，具备了一定的几何思维能力。
然而，对于一些具体判定定理的理解和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对不同学生的学习情况，采取合适的教学策略。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平行四边形的判定方法，能够运用判定定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：平行四边形的判定方法。
2.难点：对平行四边形判定定理的理解和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过直观的图形和生动的例题，引发学生的兴趣，激发学生的思考。
2.引导发现法：引导学生观察、操作、交流，发现平行四边形的判定定理。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对平行四边形判定定理的理解。
4.巩固练习法：通过有针对性的练习题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相关图形和例题。
2.练习题：准备一些有关平行四边形判定定理的练习题，用于课堂巩固和课后作业。
3.教学道具：准备一些四边形模型，用于实践操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的平行四边形图形，如电梯、窗户等，引导学生关注平行四边形的特点。
提问：你们知道什么是平行四边形吗？平行四边形有哪些性质？2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，引导学生观察图形，思考问题。
平行四边形的判定2
第六章平行四边形6.2平行四边形的判定（2）【课程标准要求】探索并证明平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【教材分析】平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的．【学情分析】由于学生在前面学段已经接触过四边形，在七年级下册“三角形”一章中也研究了一般多边形及其内角和等内容，因此本章没有从一般的四边形讲起，而是在引言后直接进入特殊四边形的学习。
对于特殊的四边形，教科书按对边之间的平行关系把它们分成了两类：一类是两组对边分别平行的四边形——平行四边形，同时学生已经学习了三角形全等的判定以及一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，这也为本节课的证明打下了基础。
【学习目标：】知识与技能：经历平行四边形判定定理的探索过程，发展合情推理的能力。
过程与方法：探索并证明平行四边形的判定定理及其它相关结论，发展演绎推理能力。
情感与态度：体会归纳、类比、转化等数学思想。
【教学重点：】平行四边形的判定定理【教学难点：】掌握平行四边形的判定定理并能熟练应用一、课前预习1、预习143-145页课本内容。
2、记住平行四边形的判定定理。
3、看会144页的例题2。
4、完成144页的随堂练习。
二、课内检查1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．2．已知：如图，ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、AB 上，DF ∥BE ，EF 交BD 于点O ．求证：EO=OF ．三、合作探究探究一、如图，四边形ABCD 的两对角线AC 、BD 相交于点O ，并且OA ＝OC ，OB ＝OD 。
4.4 平行四边形的判定
【基础知识精讲】1.关于平行四边形的判定平行四边形的判定分为两大类，共有5种判定方法.用定义来判定根据平行四边形的属性，如果两组对边分别平行，可以判定它是平行四边形.用判定定理来判定，可从平行四边形性质定理的逆命题出发，来探索平行四边形的判定定理.2.关于平行四边形的判定定理平行四边形前三个判定定理的顺序与它的性质定理是对应的.判定定理1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形是根据四边形内角和定理和平行线的判定，由平行四边形定义证明的.判定定理2.两组对边相等的四边形是平行四边形，可以由判定定理1证明.判定定理3.对角线互相平分的四边形是平行四边形，可根据判定定理2，分别证明两组对边所在的三角形全等从而得出两组对边分别相等.判定定理4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这个定理的证明可用平行四边形的定义或者判定定理1、2、3来证明.3.平行四边形性质及判定的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等，两角相等、可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其它判定定理还简单.【重点难点解析】重点：平行四边形的四个判定定理难点：平行四边形的判定和性质的灵活运用例1 如图4.4-1，已知□ABCD中，EF在对角线BD上，并且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形. (用两种方法证明)分析本题考查应用平行四边形判定定理解题的能力，并考查一题多解的技能.根据题给条件及图形的实况，采用最优的证法.如连结AC，有“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证最简便.其次通过证明△ADF≌△BCE，得AF＝CE.再利用角相等证平行.从而可运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明.证明一：连结AC∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形对角线互相平分)又∵BE＝DF，∴OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)证明二：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC(平行四边形的对边相等)∵AD∥BC(平行四边形定义)∴∠ADF＝∠CBE(两直线平行，内错角相等)∵BE＝DF(已知)∴△BCE≌△DAF(SAS)∴AF＝CE，∠1＝∠２(全等三角形对应边对应角相等)∵∠3＝∠4(等角的补角相等)∴AF∥CE(内错角相等，两直线平行)∴四边形AECF是平行四边形例2 已知：如图4.4-2，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到E，延长DC到F，使BE＝DF，AF交BC于H，CE交AD于G.求△AGE≌△CHF分析本题考查综合运用平行四边形性质定理和判定定理解题的能力.根据题给条件及图形的特点，可巧妙地运用平行四边形的判定定理判定四边形AFCE和四边形AHCG是平行四边形.再运用平行四边形性质及等式性质，可以迅速地找到△AGE与△CHF全等的条件.证明一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形对边相等)又∵BE＝DF，∴BE-AB＝DF-DC，即AE＝CF.∵AE//==CF.∴四边形AECF是平行四边形.∴AF＝EC.又∵AH∥GC，AG∥HC∴AHCG是平行四边形(平行四边形的定义)∴AH＝GC，AG＝CH(平行四边形对边相等).∵AF＝EC，AH＝GC，∴AF-AH＝EC-GC，即HF＝EG.在△AGE和△CHF中，∴△AGE≌△CHF(SSS)证明二：注意证明一两次运用了平行四边形的判定定理，得到△AGE与△CHF三边对应相等的条件.如果采用角相等的条件，那么证明过程更简捷.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，AD∥BC.又∵BE＝DF，∴BE-AB＝DF-DC，得AE＝CF.∵AE∥CF，∴AFCE是平行四边形.∴∠E＝∠F(平行四边形对角相等).∵∠1＝∠B，∠B＝∠2，∴∠1＝∠2在△AGE和△CHF中，∠E＝∠F，AE＝CF，∠1＝∠2∴△AGE≌△CHF(ASA)例3 如图4.4-3，已知在□ABCD中，AE＝CF，M、N分别为DE、BF的中点.求证：ENFM是平行四边形.分析本题考查应用平行四边形判定定理进行判定的能力.从图形分析，要证明四边形ENFM是平行四边形，只要证明EM∥NF，因为M、N分别为DE、BF的中点，所以只要证明DE ∥BF.这个条件可以从证四边形DEBF是平行四边形得到.于是证题思路畅通了.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD又∵AE＝CF，∴DF∥BE，∴DEBF是平行四边形.∴DE∥BF∵M、N分别为DE、BF的中点，∴ME∥NF.因此ENFM是平行四边形.【难题巧解点拨】例1 如图4.4-7，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，AE平分∠BAC交CD于E，过E点作EF∥AB，交BC于F点.求证：CE＝BF分析由于要证明的结构中的两相等线段CE和BF分散，不在全等的两个三角形中，可利用定理“平行线间的平行线段相等”将要证明的结论中的两线段集中到两全等三角形中，再通过证明这两个三角形全等来证这两条线段相等.如过E作EG∥BC交AB于G，则EG＝BF.于是只要证△AEG≌△AEC即可.证法一过E作EG∥BC交AB于G，则∠EGA＝∠B∵EF∥AB，∴EG＝BF∵CD为Rt△ABC斜边上的高，∴∠BAC+∠B＝90°，∠BAC+∠ACD＝90°∴∠B＝∠ACD∴∠ACD＝∠AGE∵AE平分∠BAC∴∠１＝∠2又∵AE＝AE∴△AGE≌△ACE∴CE＝EG，∴CE＝BF证法二如图4.4-8，过F作FG∥AE交AB于G，则∠2＝∠3∵EF∥AB，∴FG＝AE∵AE平分∠BAC∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3由证法一可知∠ACD＝∠B∴△AEC≌△GFB，∴CE＝BF例2 如图4.4-9，□ABCD中，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF 的面积为2cm2.求□ABCD的面积.分析本题考查面积变换和平行四边形的性质，考虑到△AEB与△BEF过E点的高线相同，则S △BEA ∶S △BEF ＝BA ∶AF.这样再利用平行四边形的性质，就得到解题方法，若考虑求边长，求高线再求面积，则解题变得十分困难.解：∵□ABCD ，AC 是对角线，∴S □ABCD ＝2S △ABC ∵F 在AB 上，且BF ＝2AF∴△ABE 和△EBF 中过E 点的高线相等∴S △BEA ∶S △BEF ＝AB ∶BF ＝(AF+FB)∶BF ＝3∶2即：S △BEA ＝23Ｓ△BEF ，同理可得：S △ABC ＝23S △ABE ＝49S △BEF ∴S □ABCD ＝２×49S △BEF ＝29×2＝9(cm 2)，即□ABCD 的面积是9cm 2.【课本难题解答】例1 如图4.4-10，已知四边形AEFD 和EBCF 都是平行四边形.求证：四边形ABCD 是平行四边形.(P 1444.2A 组第13题)分析 从题目给出的条件看，四边形AEFD 和EBCF 都是平行四边形，根据平行四边形的性质可知，它们的对边平行且相等，对角相等；从要证的结论看，判定1，判定2，判定4都可用来判定四边形ABCD 为平行四边形，显然用判定4较好.证明：∵四边形AEFD ，EBCF 都为平行四边形 ∴AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC ∴四边形ABCD 为平行四边形例2 已知三条线段的长分别为22cm ，16cm ，18cm ，以哪两条为对角线，其余一条为一边，可以画出平行四边形?(P 1444.2B 组第1题)分析 一个平行四边形的对角线与边之间应满足什么条件时，此平行四边形可画出呢?如书中图，四边形ABCD 为平行四边形，在△AOB 中，应有｜AO-BO ｜＜AB ＜AO+BO ，即2BDAC -＜AB ＜2BDAC +，这就是平行四边形的边与对角线之间所要满足的关系. 解：∵21622-＜18＜21622+ ∴以22cm 和16cm 长的线段为对角线，18cm 长的线段为边可画出平行四边形.同理以22cm 和18cm 长的线段为对角线，以16cm 长的线段为边可画出平行四边形例3 已知线段a ＝10cm ，b ＝14cm ，c ＝8cm ，以其中两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画几个形状不同的平行四边形?分析 如上题图，平行四边形的边和对角线满足｜AB-BC ｜＜AC ＜AB+BC解：可以画3个形状不同的平行四边形，它们是：以a ，b 为边，c 为对角线；以a ，c 为边，b 为对角线；以b ，c 为边，a 为对角线.【命题趋势分析】平行四边形知识的运用包括三个方面，一是直接运用平行四边形的性质解决某些问题，例如求角的度数和线段的长度，证明角相等或互补、证明线段相等或倍分等，二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行，三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形性质去解决某些问题，三种类型的运用，历来为考试热点，填空、选择、判断、解答等题型均可出现，而以解答题的形式为主.【典型热点考题】例1 如图4.4-4，已知在□ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且AE＝CF.求证：BE∥FD分析要证BE∥FD，只要证明BFDE是平行四边形.从已知条件易证BF∥DE.故本题得证.证明：∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC又∵AE＝ＣＦ，∴BF＝ED∵BF∥ED∴BFDE是平行四边形∴BE∥FD例2 如图4.4-5，□ABCD中，G、H是对角线BD上两点，且BH＝DG，BE＝DF.求证：EHFG是平行四边形.分析要证明EHFG是平行四边形，可以考虑证明其两组对边相等，但也可以考虑只证FG∥EH，因为已知条件给出四边形EHFC两边对应相等，易证△BEH≌△DFG.从而得到EH ＝GF，同时∠BHE＝∠DGF.∴∠FGH＝∠EHG.故EH∥GF.∴EH∥GF.∴EHFG为平行四边形.证明：在△BEH和△DFG，∵BH＝DG(已知)，且AB∥DC，∴∠FDG＝∠EBH又BE＝DF，∴△BEH≌△DFG ∴EH＝GF∴∠EHG＝∠FGH，∴EH∥GF∵EH∥GF，∴EHFG是平行四边形例3 如图4.4-6，已知□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于G，CE 与DF交于H.求证：四边形EGFH为平行四边形.分析本题考查平行四边形的判定定理的掌握程度，那么多的判定方法，选择哪一种呢?考虑到□ABCD及中点，易证：□AFCE和□EBFD，从而GE∥FH，GF∥EH，如若采取先确定判定方法，再找条件，将会使解题复杂化.证明：∵□ABCD，∴AD∥BC又∵E、F分别为AD、BC的中点∴AE∥FC ED∥BF，∴有□AECF及□EBFD∴AF∥EC，BE∥FD 即GF∥EH GE∥FH∴四边形EGFH为平行四边形【同步达纲练习】一、选择题1.下列条件中，能判定是平行四边形的条件的是( )A.一组对边相等B.对角线互相平分C.一组对边平行D.两对角线互相垂直2.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等3.如图4.4-11，EF过□ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC ＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长是( )A.16B.14C.12D.104.能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.对角线互相垂直B.对角线互相垂直且相等C.对角线相等且交角为60°D.对角线互相平分5.两直角边不等的两个全等的直角三角形能拼成平行四边形的个数( )A.4B.3C.2D.16.判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边相等，另一组对边平行B.一组对角相等，一组对边相等C.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边平行D.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边相等7.过不在同一直线上的三点，可作平行四边形的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图4.4-12，已知□ABCD的对角线交点是O，直线EF过O点，且平行于BC，直线GH过O且平行于AB，则图中共有( )个平行四边形.A.5B.6C.7D.109.能够判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直C.两条对角线互相平分D.一对邻角互补10.以下结论正确的是( )A.对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形B.一边长为5cm，两条对角线分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形C.一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是平行四边形二、填空(3′×10＝30′)1.一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形是 .2.□ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B，∠C的平分线交AD于E、F，则EF＝ .3.□ABCD的周长为80cm，对角线AC、BD相交于O，若△OAB的周长比△OBC的周长小8cm，则AB＝ cm.4.四边形中，任意相邻两个内角都互补，那么这个四边形是四边形.5.延长△ABC的中线AD到E，使DE＝AD，则四边形ABEC是四边形.6.过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂线，垂足是E、F，则四边形AECF 是 .7.已知等腰三角形ABC的一腰，AB＝9cm，过底边上任一点P作两腰的平行线分别交AB 于M，交AC于N，则AM+PN＝ .8.用两个全等三角形拼成的四边形，有下列说法①一定是平行四边形，②可能是平行四边形，③一定不是平行四边形，其中正确的说法是 .9.四边形ABCD中，∠A＝50°，欲使四边形为平行四边形则：∠B＝，∠C＝，∠D＝.10.已知四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件，①AB∥CD，②AB＝DC，③AD＝BC，④∠A＝∠C，⑤∠B＝∠C，能使四边形ABCD成为平行四边表的条件的序号是 .三、解答题1.如图4.4-13，已知AC是□ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，求证：四边形BMDN是平行四边形.2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，且OA＝OC，OB＝OD，△AOD的周长比△AOB的周长长4cm，AD∶AB＝2∶1，求四边形ABCD的周长.3.在□ABCD的对角线AC上取AF＝CE，作EH⊥BC，垂足为H作FG⊥AD，垂足为G，求证：GH与EF互相平分.4.在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于O，EF过O交AB于E，交CD于F，且OE＝OF，求证：ABCD是平行四边形.5.如图4.4-14，，H是□ABCD对角线上的点，且AG＝CH，E、F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.【素质优化训练】如图，4.4-15□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD，求证：BD＝3EF.【生活实际运用】如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么?【知识探究学习】如图4.4-17，等边三角形ABC的边长为a，P为△ABC内一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF ∥AC，那么，PD+PE+PF的值为一个定值.这个定值是多少?请你说出这个定值的来历.参考答案一、1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C二、1.平行四边形 2.1 3.16 4.平行 5.平行 6.平行四边形 7.9cm 8.① 9.∠B＝130°，∠C＝50°，∠D＝130° 10.①③⑤三、1.证△AND≌△CMB，由DN∥BM得证2.易证：AB＝4cm，AD＝8cm，周长＝24c3.提示：证CFHE为平行四边形4.提示：证△AEO≌△CFO，得OA＝OC，同理OB＝OD5.证△AEG≌△CFH，得EG∥HF【素质优化训练】略【生活实际运用】略【知识探究学习】定值为a.提示：过P作PG∥AC，PH∥BC分别交BC、AB于G、H，则PECG、BDPH为□，△PDG、△PHF为正三角形，∴PD+PE+PF＝a。
4.4 平行四边形的判定定理2解读
么?再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗? A 试证明你的发现。 已知：如图，AD是⊿ABC的中线， 求证：2AD<AB+AC C B D 证明： 如图，延长AD至E,使ED=AD. 连结BE,EC.∵BD=CD, E ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线
互相平分的四边形是平行四边形）。 ∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。 ∵AC+CE>AE, ∴AB+AC>2AD, 即2AD<AB+AC.
的四边形是 平行四边形
求证：有两组对角分别相等的四边形是平 行四边形. 已知：∠A=∠C,∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形. D C
A
B
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等
的四边形是 平行四边形
一组对边平行且相等 从角看:
两组对角分别相等 两组对角线互相平分
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明. 解：四边形ABCD是平行四边形，证明如 y 下： A( 3, 2 ) 与 C( 3, 2 )关于原点O对称
B( 1, 1) 与 D(1, 1) 关于原点O 对称
D
∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ 连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
本节课你学到什么？
C
2、已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交 于点O，直线EF，GH过点O，分别交AD，BC，AB，CD于 E，F，G，H；求证：四边形GFHE是平行四边形 E O F C H
A
G B
D
例2、已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点
的坐标分别为：
A( 3, 2 ), B( 1, 1), C( 3, 2 ), D(1, 1)
平行四边形的判定(2)
平行四边形的判定（2）
九年级数学(上)第三章证明(三)
1.平行四边形(3)
平行四边形的判定
定理:平行四边形的对边相等.′∵四边形ABCD 是平行四边形,∴
AB=CD,BC=DA.
定理:平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
平行四边形的性质(三种语言)
平行四边形的性质(三种语言)′定理:平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD 是平行四边形∴CO=AO,BO=DO.
定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.等腰梯形的性质(三种语言)
定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.
定理:等腰梯形的两条对角线相等.
在梯形ABCD 中,AD∥BC,∵AB=DC,∴AC=DB..
在梯形ABCD 中,AD∥BC,∵AB=DC,∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
等腰梯形的判定(三种语言)
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD 中,AD∥BC,
∵∠A=∠D 或∠B=∠C,∴AB=DC.定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD 中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.
平行四边形的判定P77。
4.4平行四边形的判定(2)
A
D
平行四边形有哪些性质？
B
C
Ⅰ.边: 平行四边形对边平行且相等 Ⅱ.角:
平行四边形对角相等、邻角互补
Ⅲ. 对角线: 平行四边形对角线互相平分.
我们学过平行四边形有哪些判定方法？
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 的四边形是平行 四边形
同理：AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形判定定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言：∵OA=OC，OB=OD, ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
D
O A B C
平行四边形的四个判定方法
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等
的四边形是 平行四边形
证明： 在 ＡＢＣＤ中， ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ ∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ ∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ ∴四边形EHFG是平行四边形
D
C
G
A
O
F
E
H
B
例1：已知：如图，E，F是 上的两点，且∠BAE=∠DCF
A是平行四边形。 A E B O F C D
已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规作一个平行 四边形，使它的两条对角线长分别等于线段a，b，两条对角 线的夹角等于∠α
问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？
对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知：在四边形ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， 且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ, 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明∵在△AOD与△COB中
∵ AO=CO,OD=OB,∠AOD=∠COB
D O A B
C
∴AD=BC
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ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角 线ＢＤ上的两点，且BＥ＝ＤＦ． 求证：四边形AECF是平行四边
A
D
F
B E O C
讨论：பைடு நூலகம்据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？ 大概的步骤是怎样的？
如图 A( 3, 2 ), B( 1, 1), C( 3, 2 ), D(1, 1)
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.
的四边形是 平行四边形
从角看:
两组对角分别相等
两条对角线互相平分
从对角线看:
例、已知：如图，E，F是 的两点，且∠BAE=∠DCF
ABCD的对角线BD上
求证：四边形AECF是平行四边形。 A E B O F D 证明: 连结AC,交BD于点O 在 ABCD中，BO=DO， AO=CO ∴∠ABE=∠CDF C ∵AB∥CD ∴△ABE≌△CDF
平行四边形有哪些性质？
Ⅰ.边: Ⅱ.角:
平行四边形对边平行且相等
平行四边形对角相等、邻角互补
B
A
D
C
Ⅲ. 对角线:
平行四边形对角线互相平分.
ⅳ .平行四边形的中心对称性
我们学过平行四边形有哪些判定方法？
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？
又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD ∴BE=DF
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO
∴四边形AECF是平行四边形
变式1:已知：如图,在
ABCD中，∠BAD和∠BCD
的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F。 求证：四边形AECF是平行四边形。 A E B F C D
变式2:已知：如图，在
试一试:
工具：两根长度不相等的细线.
问题： ⑴以两根细线为对角线的四边形是平行四边形吗？ (2)以两根中点重叠的细线为对角线的四边形是平 行四边形吗？
(3)你怎样用理论验证你的猜想呢?
已知:如图,四边形对角线相交于点o, 且OA=OC，OB=OD. 求证:四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOB和△COD中 OA=OC ∠AOB=∠COD OB=OD ∴ △AOB ≌ △COD ∴AB=CD
A O
(SAS)
D
B
C
同理 ： AD=CB ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的 四边形是平行四边形。）
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
D C
O
几何语言：
A
B
∵
AO=OC，OB=OD。 四边形ABCD是平行四边形
∴
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等
A(
3, 2 ) 与 C( 3, 2 )关于原点O对称
y
D
B( 1, 1) 与 D(1, 1) 关于原点O 对称
∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ 连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
2 1
-1 o 1
B
C
3 3
x
A
-1 2
发现：三角形一条边上的中线的2倍小于另两条边的和。
任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的 二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么?再画几个三角形 试一试，你发现的规律仍然成立吗?试证明你的发现。
A
已知：如图，AD是⊿ABC的中线， 求证：2AD<AB+AC
如图，延长AD至E,使ED=AD.连结 证明： BE,EC.
B
D
C
∵BD=CD, E ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相 平分的四边形是平行四边形）。 ∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。 ∵AC+CE>AE, ∴AB+AC>2AD, 即2AD<AB+AC.