28指数函数与对数函数综合复习
指数函数与对数函数复习
指数与指数函数基础梳理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ， (a r )s ＝a rs ， (ab )r ＝a r b r ， 其中a ＞0，b ＞0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x ＞0时，y ＞1； 当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数对数与对数函数基础梳理1．对数的概念(1)对数的定义：如果N a b =(a ＞0且a ≠1)，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作Na b log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数对数形式 特点记法 一般对数 底数为a (a ＞0且a ≠1)log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数底数为eln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质 (对数恒等式) ①N aNa =log ；②b ba a=log (a ＞0且a ≠1)．(2)对数的运算法则：如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； (3)对数的换底公式abNbNalog log log =(a ，b 均大于零且不等于1)； 推论：a bba log 1log = ；b a b an m m n log log = ； da d c cb b a log log log log =⋅⋅.3．对数函数的图象与性质xa y log =a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0 当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数：指数函数y ＝a x 与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．练习检测1．(2011·某某)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )．A ．0 B.33C ．1 D. 3解析 由题意有3a ＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3. 答案 D2．(2012·某某五校联考)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，故选B.答案 B3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值 解析 设y ＝f (x )，t ＝2x ＋1， 则y ＝1t ，t ＝2x ＋1，x ∈(－∞，＋∞)t ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)． 因此y ＝1t 在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)． 答案 A4．(2011·某某)已知a ＝4.32log 5，b ＝6.34log 5，c ＝3.03log 51⎪⎭⎫⎝⎛，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析 c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5－log 30.3＝5log 3103，log 23.4＞log 22＝1，log 43.6＜log 44＝1，log 3103＞log 33＝1，又log 23.4＞log 2103＞log 3103，∴log 2 3.4＞log 3103＞log 4 3.6 又∵y ＝5x 是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案 C5．(2012·某某一中月考)已知32121=+-aa ，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________.解析 由已知条件(a 12＋a －12)2＝9.整理得：a ＋a －1＝7 又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47. 答案 7 476.化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)65312121132)(b a ba b a ⋅⋅---；(2)21332121231)4()3(65----⋅÷-⋅⋅b a b a b a .[审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．解 (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . (2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32 ＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂． 【训练1】 计算：(1)021231)12()972()71(027.0--+----；(2)213323121)(1.0)4()41(----⋅b a ab . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－(－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425. 7.函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )．[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．解析y ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x ＞0时，e 2x －1＞0且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1＞1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选A. 答案 A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y ＝a x －1a x ＋1，y＝e x －e －x2，y ＝lg(10x －1)等．8. 已知方程10x ＝10－x ，lg x ＋x ＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．解析 作函数y ＝f (x )＝10x ，y ＝g (x )＝lg x ，y ＝h (x )＝10－x 的图象如图所示，由于y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，∴它们的图象是关于直线y ＝x 对称的．又直线y ＝h (x )与y ＝x 垂直，∴y ＝f (x )与y ＝h (x )的交点A 和y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点B 是关于直线y ＝x 对称的．而y ＝x 与y ＝h (x )的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x 的解α为A 点横坐标，同理，β为B 点横坐标．∴α＋β2＝5，即α＋β＝10. 答案 109.(2011·某某五市模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥K ，K ，f (x )＜K ，取函数f (x )＝2＋x ＋e －x ，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________．10. 若f 1(x )＝3|x －1|，f 2(x )＝2·3|x －a |，x ∈R ，且f (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )＞f 2(x )，则f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立，则实数a 的取值X 围是________．1．已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C2．(2012·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )．A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 解析 设y ＝f (x )，t ＝3x ＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x ＋1，x ∈R .由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案 A3．若1log 32>a ，则a 的取值X 围是________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14.求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245.[审题视点] 运用对数运算法则及换底公式． 解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 5. (1)若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1b 的值． (2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x 的值． 解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510，则1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x ＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.6.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (321log )，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 123)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B. 答案 B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．7.(2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝215-，则( )． A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e ＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C. 答案 C8.已知函数f (x )＝)2(log ax a-，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值X 围．[审题视点]a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎨⎧a ＞12－ax ＞0.解 ∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数． 又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数． 其充要条件是⎩⎨⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值X 围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件． 9. 已知f (x )＝log 4(4x －1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x －1>0解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．10.(2011·某某改编)设函数f(x)＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值X 围是________．。
指数函数与对数函数的像与性质知识点总结
指数函数与对数函数的像与性质知识点总结指数函数与对数函数是高中数学中重要的内容，本文将对这两个函数的像与性质进行总结。
一、指数函数的像与性质指数函数是以底数为常数的指数幂为自变量，以指数为变量的函数。
其一般形式为f(x) = a^x（a>0，且a≠1）。
以下是指数函数的一些重要性质和像：1. 增长性：当底数a>1时，指数函数呈现增长趋势；当0＜a＜1时，指数函数呈现下降趋势。
2. 指数为0时的取值：当x=0时，指数函数的值为1，即f(0) = 1。
3. 零点问题：指数函数f(x) = a^x (a>0, a≠1，x为实数)的零点不存在，因为指数函数的值永远不会为0。
4. 水平渐近线：当x趋于负无穷大时，指数函数的值趋于0。
因此，y=0是指数函数的水平渐近线。
5. 正负性：当指数x为正数时，指数函数的值为正数；当指数x为负数时，指数函数的值为分数或小数。
二、对数函数的像与性质对数函数是指数函数的逆运算，它们彼此互为反函数。
设a>0，且a≠1，对数函数的一般形式为f(x) = logₐ(x)。
以下是对数函数的一些重要性质和像：1. 基本性质：对数函数f(x) = logₐ(x)中，a为底数，x为函数值。
其中，a被称为对数函数的底数，x被称为真数。
2. 定义域：当底数a>0，且a≠1时，对数函数的定义域为x>0。
3. 增长性：当底数a>1时，对数函数呈现增长趋势；当0＜a＜1时，对数函数呈现下降趋势。
4. 对数函数与指数函数的关系：指数函数与对数函数是互为反函数的关系，即f(x) = logₐ(a^x) = x。
5. 表达式的转换：对于对数函数f(x) = logₐ(x)，可以利用换底公式进行不同底数的转换，例如log_b(x) = logₐ(x) / logₐ(b)。
综上所述，指数函数与对数函数是数学中的重要概念，了解它们的性质和像对于解决实际问题及应用数学知识具有重要意义。
指数对数幂函数知识点汇总
指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固一、知识框图二、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数指数函数名称定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向象的影响看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限 无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：具体函数具体讨论(5)图象特征：幂函数当时，在第一象限，图像与32,x y x y ==的图像大致趋势一样,当10<<α时，在第一象限，图像与21x y =的图像大致趋势一样,当0<α时，在第一象限，图像与1-=xy 的图像大致趋势一样一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或RR 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅ ∅ 的解集)0(02>≤++a c bx ax{}21x x xx ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a b x x 2∅。
指数函数与对数函数知识总结及练习
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论【典型例题】例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）y x1O(4)(3)(2)(1)A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。
解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。
故选B 。
解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。
例2. 已知2x x +2≤（41）x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域。
解：∵2x x +2≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。
又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1。
指数函数与对数函数的重点知识点再归纳
指数函数与对数函数的重点知识点再归纳指数函数与对数函数的重点知识点再归纳指数函数和对数函数是高中函数考查的重点，在近期的上课过程中发现大家对知识点掌握和题型的识别还是不太好，我再做一个总结。
1、指数和对数的运算指数和对数的运算是学习指数函数和对数函数的基础，在初中我们接触了一些指数和对数的运算法则，但是在高中阶段我们对纯粹的计算要求不高，但是应用很多的，所以必须记住相应的计算法则，和一些常用的特殊值如这样的恒等式，对解答本部分题目用处很大，也对我们接指数对数方程和不等式用处很大。
2、指数函数和对数函数指数函数和对数函数是高考考查的重点，必须记住常见的指对数函数，如还有两个特殊的利用这些函数记住相应的函数的性质和图像，这部分题目考查有函数过定点，函数值得大小比较，函数的图像变换等等3、指数方程，对数方程及其不等式这是我们在解题过程中常用到的，也是由函数的单调性得到的函数的一类应用问题，化成同底是解决这类问题的关键，方程就要注意特殊值，不等式就要注意函数的单调性，但是对于对数函数来说的话，必须注意定义域的限制！4、指数型和对数型的复合函数复合函数的求值，复合函数的单调性等都是考查的重点，所以必须熟悉常见的复合函数的处理方法，复合函数的单调性的判断法则等。
对数型复合函数是考查的重点，因为涉及到定义域问题是学生最最容易出现的问题，所以应该明白为什么上课的时候总是在强调函数问题在处理的时候一定要定义域优先了！5、指数函数和对数函数的关系指数函数和对数函数互为反函数，图像关于直线对称，把握住这两点就没有问题了，像2013年的陕西文科的最后一道题的第一问就涉及到指数函数的反函数问题，其实就是所对应的对数函数而已！总之函数的学习一定要注意归纳题型和方法，总结解题的常见思路和方法，从而慢慢的掌握解题的思路和方法，解题是一个复杂的过程，还是需要多多的练习了！。
指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题
指数函数、对数函数及幂函数知识总结一、知识框图二、知识要点梳理指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点,即当时,.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大；在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小.常见性质n次方根的性质：<1>当为奇数时,；当为偶数时,<2>分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0,负分数指数幂没有意义.有理数指数幂的运算性质：<1><2> <3>对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点,即当时,.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内,从顺时针方向看图象,逐渐增大；在第四象限内,从顺时针方向看图象,逐渐减小.常见性质几个重要的对数恒等式,,.常用对数与自然对数常用对数：,即；自然对数：,即<其中…>.对数的运算性质如果,那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：幂函数 形如的函数,叫做幂函数,其中为常数.三、考题训练1.〔2012·新课标全国高考文科·Ｔ11〕当0<x ≤错误!时,4x<log a x,则a 的取值范围是〔 〕 〔A 〕<0,错误!> 〔B 〕<错误!,1> 〔C 〕<1,错误!> 〔D 〕<错误!,2>2.〔2012·安徽高考文科·Ｔ3〕〔2log 9〕·〔3log 4〕=〔 〕〔A 〕14 〔B 〕12〔C 〕2 〔D 〕4 3.〔2012·天津高考文科·Ｔ6〕下列函数中,既是偶函数,又在区间〔1,2〕内是增函数的为〔 〕4.〔2012·北京高考文科·Ｔ12〕已知函数f 〔x 〕=lgx,若f 〔ab 〕=1,则f 〔a 2〕+f 〔b 2〕=___________.5.〔2012·江苏高考·Ｔ5〕函数6()12log f x x=-.6.〔2012·山东高考文科·Ｔ15〕若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1,2］上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数,则a ＝.7.函数y=<31>x -2x 在区间[-1, 1]上的最大值为.8.记函数13x y -=+的反函数为()y g x =,则(10)g = A ． 2 B ． 2-C ． 3 D ． 1-9.若函数f 〔x 〕=log x a 在[2,4]上的最大值与最小值之差为2,则a=___10．函数12log (32)y x =-的定义域是____________10．f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧〉〈-)1(log )1(281x x xx 则满足f 〔x 〕=41的x 的值是_______________3 11．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b fa f,则f <a +b >的值为A. 1B. 2C. 3D. 3log 2 12．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数,则a 的取值范围是〔 〕 A. 1>a B. 1,0≠>a a C. 10<<a D. φ∈a .13.方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________14.21-=a 是函数ax e x f x ++=)1ln()(为偶函数的c（A ） 充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件〔C 〕 充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件15.已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R,且f <x >在〔)31,-∞-上是增函数,则a的范围是 .16.函数y=log 2<1-x>的图象是〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕16.已知9x -10.3x +9≤0,求函数y=〔41〕x-1-4·〔21〕x +2的最大值和最小值 17.设函数,241)(+=xx f 〔1〕求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；〔2〕记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++= 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.。
指数与对数函数知识点总结
指数与对数函数知识点总结指数函数与对数函数知识点总结一、指数与指数幂的运算1.根式的概念：如果 $x^n=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的$n$ 次方根，其中$n>1$，且$n\in N^*$。
负数没有偶次方根；任何次方根都是 $|a|^{1/n}$，记作 $n$ 次方根 $=\sqrt[n]{a}$。
2.分数指数幂：正数的分数指数幂规定为$a^{m/n}=n\sqrt[n]{a^m}$，其中 $a>0$，$m,n\in N^*$，$n>1$。
的正分数指数幂等于 $a^{m/n}$，的负分数指数幂没有意义。
3.实数指数幂的运算性质：1）$a^r\cdot a^s=a^{r+s}$，其中 $a>0$，$r,s\in R$。
2）$(a^r)^s=a^{rs}$，其中 $a>0$，$r,s\in R$。
3）$(ab)^r=a^r\cdot b^r$，其中 $a,b>0$，$r\in R$。
二、指数函数及其性质1.指数函数的概念：一般地，函数 $y=ax$（$a>0$ 且$a\neq 1$）叫做指数函数，其中 $x$ 是自变量，函数的定义域为 $R$。
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1.2.指数函数的图象和性质：当 $a>1$ 时，定义域为 $R$，值域为 $y>0$，在 $R$ 上单调递增，非奇非偶函数，函数图象都过定点 $(0,1)$。
当 $00$，在 $R$ 上单调递减，非奇非偶函数，函数图象都过定点 $(0,1)$。
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以得出以下结论：1）在 $[a,b]$ 上，$f(x)=a^x$（$a>0$ 且 $a\neq 1$）的值域是 $[f(a),f(b)]$ 或 $[f(b),f(a)]$。
2）若 $x\neq 0$，则 $f(x)\neq 1$；$f(x)$ 取遍所有正数当且仅当 $x\in R$。
指数函数和对数函数复习课教案
指数函数与对数函数复习课一. 复习目标1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解.3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想.二．指数函数1．指数函数定义：地，函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ．2．指数函数xy a =在底数及这两种情况下的图象和性质：1a > 01a <<图象性质（1）定义域：R （2）值域：(0,)+∞（3）过点(0,1)，即0x =时1y =（4）在R 上是增函数（4）在R 上是减函数例1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218x y -= （2）11()2x y =-（3）3xy -= （4）1(0,1)1x xa y a a a -=>≠+ 练习1．当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数练习2．设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。
还应要求学生注意不同题型的解答方法。
三 对数函数1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。
2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。
同样：也分1>a 与10<<a 两种情况归纳，以x y 2log =（图1）与x y 21log =（图2）为例。
（3）对数函数性质列表：图 象1a >01a <<性 质（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1=x 时，0=y（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在(0,)+∞上是减函数例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。
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指数函数与对数函数
【本课重点】综合应用
【预习导引】
1、 已知函数f(x)=log 2(x 2-2x-3),给定区间E ，对任意x 1、x 2∈E, 当x 1＜x 2时,总有f(x 1)＞
f(x 2)，则下列区间中可作为E 的是 （ ）
A.（-3,-1）
B.(-1,0)
C.(1,2)
D.(3,6)
2、 将y=2x-1的图象( ),再作关于直线y=x 对称的图象,可得函数y= log 2x 的图象
A. 先向左平移一个单位
B. 先向右平移一个单位
C. 先向上平移一个单位
D.先向下平移一个单位
3、 已知f(x)= 22x
+log a ) 且f(-1)≈1.62, 则f(1)≈ ( ) A. 0.38 B. 1.62 C. 2.38 D. 2.62
【三基探讨】
【典例练讲】
1、 已知f(x)=log a x 在x ∈[3, +∞)上恒有| f(x)|>1，求实数a 的取值范围。
2、 已知f(x)=log a （a x -1）(a>0且a ≠1)。
(1)求f(x)的定义域，（2）求x 的范围使f(x)>1。
3、 已知函数f(x)的定义域为R ，且对x 1、x 2∈R 都有f(x 1+x 2)=f(x 1)f(x 2),当x>0时，f(x)>1
求证：（1）f(x)>0 （2）f(x)为R 上的增函数
(备选题)已知c>0，设p ：函数y=c x 在R 上单调递减，Q ：函数y=lg(|x-2c|+x-1)
定义域为R ，如果P 和Q 中有且只有一个正确，求c 的取值范围
【随堂反馈】
1、 函数f(x)=a x (a>0,a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大2
a ,则a 的值为 2、 满足log 2(x+4)=3x 的实数x 的个数为 （ ）
A ．0 B.1 C.2 D.3
【课后检测】
1、 已知f(x)的图象与g(x)=(14
)x 的图象关于y=x 对称，则f(2x-x 2)的减区间为 2、 已知f(x)=a x 与g(x)=b x 的图象关于y 轴对称，则它们的反函数的图象关于 （ ）
A.y 轴对称
B.x 轴对称
C. 原点对称
D. 直线y=x 对称
3、 已知f(x)=log a |x+1|在（-1，0）上有f(x)>0，则f(x) （ ）
A.在（-∞， 0）上为增函数
B. 在（-∞， 0）上为减函数
C.在（-∞，-1）上为减函数
D. 在（-∞，-1）上为增函数
4、已知关于y 轴对称的f(x)在[0，+∞）上是增函数，且f(13)=0，则满足f(log 18
x)>0的取值范围为 （ ）
A.（0，12
） B.(2, +∞) C.( 12,1)U (2, +∞) D.(0, 12)U(2, +∞)
5x ≤8,求函数y=log 22x log 24
x 的最值
6、已知函数2
()f x x x b =-+且2(log )f a b =，2log ()2(0,1)f x a a =>≠。
（1）求2(log )f x 的最小值及相应的x 。
（2）x 取何值时，2(log )(1)f x f >且2log ()(1)f x f <？
（选做题）已知lg(log3y)=lg(2-x)+lg(x+1)
(1)求y关于x的函数表达式y=f(x)
(2)求y=f(x)的增区间
(3)求y的取值范围
【感悟札记】
【好题集锦】。