2008(B)

208 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷及答案2009年6月22日 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*803010000100001A ，则A ＝ 2 .解 因为*80,A =≠所以0.A ≠又*,AA A E =故有4*,AA A =于是3*,A A =得 2.A =2. A 为n 阶方阵,TAA =E且=+<E A A 则,0 0 .解 由TAA=E，及0,<A 得 1.=-A又()()T T T A AA A E A A E A +=+=+=+=-+A E A E3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶且AB=O ，则=t -3 .解 有题意知齐次线性方程组0Ax =有非零解,故有0A =,而 122102434337(3)31131A t t t --==+=+-4. 设向量组12,,,mααα线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组12,,,,m αααβ的秩为 m +1 .5．设A 为实对称阵，且|A |≠0，则二次型f =x TA x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =____y 1-A __ ．６．设3R 的两组基为()T11,1,1α=,()21,0,1αT=-,()31,0,1αT=；T1(1,2,1,),=β()()232,3,4,3,4,3TTββ==，则由基123,, ααα到基123,,βββ的过渡矩阵P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---101010432．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设n D 为n 阶行列式，则n D ＝0的必要条件是( ). (A) n D 中有两行元素对应成比例； (B) nD 中各行元素之和为零；(C)nD 中有一行元素全为零；(D)以nD 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．选D2．若向量组α，β，γ线性无关，α，β，σ线性相关，则( ).(A)α必可由β，γ，σ线性表示.(B)β必可由α，γ，σ线性表示.(C)σ必可由β，γ，α线性表示.(D)γ必可由β，α，σ线性表示.选C３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝( ).(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B)000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(C)000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－；(D)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－．选B４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．（A）α1，α2，α3 - α1；（B）α1，α1+α2，α1+α3；（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1；（D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.选D５．若矩阵43⨯A有一个3阶子式不为0，则( ). （A）Ｒ(A)=1；（B）Ｒ(A)=2；（C）Ｒ(A)=3；（D）Ｒ(A)=4 ．选C ６．实二次型f＝x'Ax为正定的充分必要条件是( )．(A) A的特征值全大于零；(B) A的负惯性指数为零；(C) |A| > 0 ；(D) R(A) = n.选A 三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求1122331001100110011bb bDb bb--=----的值解 111222233333100100100010010010 1.01100100101101101b b b b b b D b b b b b b ====------２. 求向量组1(1,1,1,4)α=,2(2,1,3,5)α= ,3(1,1,3,2)α=--,4(3,1,5,6)α=的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出. 解 以向量为列构成矩阵12341213103111110122(,,,)13350000452600A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪==→→ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(行最简形)秩为2, 一个极大无关组为12,αα， 3223ααα=-，422ααα=-.３.设A 、P 均为3阶矩阵，且T 100010,00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P A P=若123(,,)P ααα= ,1223(,,)Q αααα=+,求Q T AQ ．解 由于1223123(,,)(,,)Q ααααααα=+=100100110110,0101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P于是T1001001101100101⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭TQ TQ = PA P T1101000101100101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P A P110100100210010010110110.01000100⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4．设A 是n 阶实对称矩阵，OA A =+22，若)0()(n k k R <<=A ，求E A 3+.解 由OA A=+22知, A 的特征值为-2或0,又)0()(n k k R <<=A ,故-2是k 重特征值,0是n-k 重特征值.再由A 是n 阶实对称矩阵,知A 可相似对角化,于是有22~00-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A (k 个-2)，故E A 3+3n k-=．5.设矩阵2208206a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =相似于对角矩阵Λ，求a .解 特征多项式222082(6)(2)06E Aaλλλλλλ---=---=-+-，得A 的三个特征值λ1=λ2=6，λ3= -2. 由于A 相似于对角矩阵，R (6E - A )=1，而420210684000000E A a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 显然，当a = 0时，R (A-6E )=1，A 的二重 特征值6对应两个线性无关的特征向量． 四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，， (1) 若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若ba a==31, b a a -==42(b ≠0)，且已知方程的两个解T1(1,1,1)=-ξ,T2(1,1,1)=-ξ，试给出方程组的通解．解 （1）因为增广矩阵的行列式))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，故()4,R = A b ()3R =A , 方程组无解．（2）当ba a==31, b a a -==42(b ≠0)时，()2,R = A b 2)(=A R ，3=n ，故通解 21121()01,()21k k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x ξξξR ．五、（本题满分8分） 设二次曲面的方程122=++byz xz axy(0)a >经正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，化成12222=-+ζηξ，求a 、b 的值及正交矩阵Q . 解 设二次型为22f axy xz byz =++,其矩阵为0120210a ab b⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 经正交变换二次型化为了标准形2222f ξηζ=+-，故A 的特征值为1,1,-2，所以0,20,-=--=E AE A212121(),211a a a b b b---=--=-+--E A 22212122226(1),1212a b a b b b b bb-------=---=--=-------E A得1,2-==b a ．当1λ=时，11111111100011100----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦E A ， 得线性无关的特征向量1(1,1,0)Tξ=，2(1,1,2)Tξ=-当2λ=-时，2111012121011,11200---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦E A 得线性无关的特征向量，T3(1,1,1).=-ξ由于123,,ξξξ已经两两正交，只需将它们单位化，得11(1,1,0)2T α=，21(1,1,2)6T α=- ， 31(1,1,1).3T=- α 以123,,ααα为列向量构成矩阵Q ，则Q 为正交矩阵，11126311126321063-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q .六、（本题满分6分）设A 为n 阶实矩阵, α 为A 的 对应于实特征值λ的特征向量, β为A T 的对应于实特 征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α 与β正交． 证明 依题意得,A B αλαβμβ==，将A αλα= 的两边转置得，TTTA αλα= ，再两边右乘β得，TTT A αβλαβ=，即T T μαβλαβ=，亦即()0T μλαβ-=，由于λ≠μ，所以0Tαβ= ，故α与β正交．．。