2018届湖南省长沙市重点中学高三第八次月考理科数学试题及答案

湖南省长沙市重点中学2018届高三第八次月考数学理 4.1．设集合{}{}2,ln ,,A x B x y ==，若{}0A B ⋂=，则y 的值为 A ．0 B ．1 C ．e D ．2 答案：A 2．复数12iz i-=的虚部是( ) (A) 1 (B)-1 (C)2 （D ）-2 答案：B3．下列命题中的假命题是（ ）A.0,32x x x ∀>>B.()0,,1x x e x ∀∈+∞>+C.()0000,,sin x x x ∃∈+∞<D.00,lg 0x R x ∃∈< 答案：C4．某厂生产A 、B 、C 三种型号的产品，产品数量之比为3:2:4，现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为180的样本，则样本中B 型号的产品的数量为(A)20 (B)40 (C)60 (D)80 答案：B5．已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1,f =则(2)f -=（A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）5 答案：D6．设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是．//a b C ．2a b = D ．a b ⊥答案：A7．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是侧视图俯视图A ．3 B．C ．6D ．8【答案】C ．8．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( ) A ．420 B ．560 C ．840 D ．22809．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ． (A) 21 (B) 31 (C)3310．不等式222y axy x +-≤0对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤22 B ．a ≥22 C ．a ≥311答案：D11.（几何证明选讲）如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PCAB COP12.（极坐标系与参数方程选讲）参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t t t e e y e e x 中当t 为参数时，化为普通方程为__122=-y x _（x )1≥_.13.（不等式选讲）若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值14.已知cos()4πθ+=(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-=【答案】15.定义某种运算⊗，b a S ⊗=的运算原理如右图所示． 设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f __-3____；()f x 在区间[]3,3-上的最小值为___-12___．16.已知数列{}n a 满足)(221++∈-=N n a a n n ，且b a b a a a ,(,20121==>2）则201121a a a （用a,b 表示）17.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c a C b -=2cos 2．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若C A sin sin 的取值范围．解（Ⅰ）由余弦定理可得：c a abc b a b -=-+⋅222222，即ac b c a =-+222， ∴212cos 222=-+=ac b c a B ，由),0(π∈B 得3π=B ． （Ⅱ）由3π=B 得，A C -=32π，∴ A A A A A C A 2sin 21cos sin 23)32sin(sin sin sin +=-=π 41)62sin(21412cos 412sin 43+-=+-=πA A A ． ∵ )32,0(π∈A ， ∴ )67,6(62πππ-∈-A ，∴ 1)62sin(21≤-<-πA ，∴ C A sin sin 的取值范围为]43,0(．18.某班甲、乙两名学同参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：中至少有一个比12.8秒差的概率．(2)后来经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5 ]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．解 (1)设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为P ＝1－P (A )(B )＝1－410×510＝45. ………………5分(2)设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则|x －y |<0.8， 得－0.8＋x <y <0.8＋x . ………………8分如图阴影部分面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16， ………………9分则P (|x －y |<0.8)＝P (－0.8＋x <y <0.8＋x )＝4.163×3＝104225.…………12分19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -CPF 的长度．解析：（1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ， 所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C 所以 1(,0,1)2BE =- ，1(1,1,)2CP =-- ， 所以cos ,||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅， PF EDCAB即异面直线BE 与CP． ----6分（2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC中，(0,22,)AP t t =- ，(1,2,0)AC = ，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t -=- ，所以，121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅解得23t =，或2t =（舍）． 所以||PF ． -------------------------12分20.某地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2m ，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积a 2m ，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加a 2m .设第n (1,N n n ≥∈且)年新城区的住房总面积为n a 2m ，该地的住房总面积为n b 2m . （1）求{}n a 的通项公式；（2）若每年拆除4a 2m ，比较+1n a 与n b 的大小.解析：⑴设第n 年新城区的住房建设面积为n λ2m ，则当14n ≤≤时，12n n a λ-= 当5n ≥时，(4)n n a λ=+. 所以, 当14n ≤≤时，(21)n n a a =-当5n ≥时，2489(4)n a a a a a a n a =+++++++ (2922)2n n a +-=故2(21)(14),922(5).2n n a n a n n a n ⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩ ……6分⑵13n ≤≤时，11(21)n n a a ++=-，(21)644n n b a a na =-+-，显然有1n n a b +< (7)分4n = 时，1524n a a a +==，463n b b a ==，此时1n n a b +<. ……8分516n ≤≤ 时，2111122n n n a a ++-=，29226442n n n b a a na +-=+- 10分1(559)n n a b n a +-=-.……11分所以,511n ≤≤时，1n n a b +<；1216n ≤≤时，1n n a b +>.17n ≥时，显然1n n a b +> 故当111n ≤≤时，1n n a b +<；当 12n ≥时，1n n a b +>. 13分21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当3||<AB 时，求实数t 的取值范围．解（1） 由已知2c e a ==，所以2234c a =，所以22224,3a b c b ==所以222214x y b b += …… 1分又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a= 所以1b = …… 3分所以2214x y += …… 4分（2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-= 24222416(91)(14)0k k k ∆=--+>得215k < 2212122224364,1414k k x x x x k k-+=⋅=++ …… 6分 1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++= 121()x x x t =+=2224(14)k t k + []12122116()()6(14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+ 由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+22236(14)k t k =+ …… 8分又由12AB x =-<所以2212(1)()3k x x +-< 221212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦2(1)k +242222244(364)(14)14k k k k ⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦3<22(81)(1613)0k k -+>所以221810,8k k ->> …… 11分 所以21185k << 由22236(14)k t k =+得222236991414k t k k==-++ 所以234t <<，所以2t -<<2t << …… 13分 22.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ， 并且1l 与2l 平行.（1）已知实数t ∈R ，求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值（用t 表示）；（2）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围. 解： ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =， ∴2(),f x x x =-， ………2分（1）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…4分 令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ ………3分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ① 当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122et -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- …………6分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………7分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=， 得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………9分②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ……………11分③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. …………12分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ……………13分。