2018届湖南省长沙市重点中学高三第八次月考理科数学试题及答案
湖南省长沙市重点中学高三数学第八次月考试题 理 湘教

湖南省长沙市重点中学2014届高三数学第八次月考试题 理 湘教版1.设集合{}{}2,ln ,,A x B x y ==,若{}0A B ⋂=,则y 的值为A .0B .1C .eD .2 答案:A2.复数12iz i -=的虚部是( )(A) 1 (B)-1 (C)2 (D )-2 答案:B3.下列命题中的假命题是( )A.0,32x xx ∀>>B.()0,,1x x e x∀∈+∞>+C.()0000,,sin x x x ∃∈+∞<D.00,lg 0x R x ∃∈<答案:C4.某厂生产A 、B 、C 三种型号的产品,产品数量之比为3:2:4,现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为180的样本,则样本中B 型号的产品的数量为(A)20 (B)40 (C)60 (D)80 答案:B5.已知函数()y f x x =+是偶函数,且(2)1,f =则(2)f -= (A )1- (B )1 (C )5- (D )5 答案:D6.设a r 、b r都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=r r r r r 成立的是A .13a b=-r r B .//a b r r C .2a b =r r D .a b ⊥r r 答案:A7.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是侧视图俯视图A .3 B.C .6D .8【答案】C .8.现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( ) A .420 B .560 C .840 D .22809.已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>,A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点,M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点,直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ,若1214k k ⋅=,则椭圆的离心率为 .(A) 21 (B) 31 (C)33 (D)10.不等式222y axy x +-≤0对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .a ≤22B .a ≥22C .a ≥311D .a ≥29答案:D11.(几何证明选讲)如图,已知AB 是⊙O 的一条弦,点P 为AB 上一点, PC OP ⊥,PC 交⊙O 于C ,若4AP =,2PB =,则PC的长是AB COP12.(极坐标系与参数方程选讲)参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t t t e e y e e x 中当t 为参数时,化为普通方程为__122=-y x _(x )1≥_. 13.(不等式选讲)若正数a ,b ,c 满足a +b +c =1,则13a +2+13b +2+13c +2的最小值为 1 .14.已知10cos()4πθ+=-,(0,)2πθ∈,则sin(2)3πθ-= 10334+ . 【答案】15.定义某种运算⊗,b a S ⊗=的运算原理如右图所示. 设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f __-3____;()f x 在区间[]3,3-上的最小值为___-12___.16.已知数列{}n a 满足)(221++∈-=N n a a n n ,且b a b a a a ,(,20121==>2)则=201121a a a Λ4422--a b (用a,b 表示)17.在ABC ∆中,三内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c a C b -=2cos 2. (Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)若C A sin sin 的取值范围.解(Ⅰ)由余弦定理可得:c a ab c b a b -=-+⋅222222,即ac b c a =-+222, ∴212cos 222=-+=ac b c a B ,由),0(π∈B 得3π=B . (Ⅱ)由3π=B 得,A C -=32π,∴ A A A A A C A 2sin 21cos sin 23)32sin(sin sin sin +=-=π41)62sin(21412cos 412sin 43+-=+-=πA A A .∵ )32,0(π∈A , ∴ )67,6(62πππ-∈-A ,∴1)62sin(21≤-<-πA ,∴ C A sin sin 的取值范围为]43,0(.18.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5(1)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率.(2)后来经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5 ]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率.解 (1)设事件A 为:甲的成绩低于12.8,事件B 为:乙的成绩低于12.8, 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为P =1-P(A )(B )=1-410×510=45. ………………5分(2)设甲同学的成绩为x ,乙同学的成绩为y ,则|x -y|<0.8, 得-0.8+x<y<0.8+x. ………………8分如图阴影部分面积即为3×3-2.2×2.2=4.16, ………………9分则P(|x -y|<0.8)=P(-0.8+x<y<0.8+x)=4.163×3=104225.…………12分19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为矩形,平面ABEF ⊥平面ABCD , EF // AB ,∠BAF=90º, AD= 2,AB=AF=2EF =1,点P 在棱DF 上.(1)若P 是DF 的中点, 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值; (2)若二面角D-AP-CPF 的长度.解析:(1)因为∠BAF=90º,所以AF ⊥AB ,因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ,且平面ABEF ∩平面ABCD= AB , 所以AF ⊥平面ABCD ,因为四边形ABCD 为矩形, 所以以A 为坐标原点,AB ,AD ,AF 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -.所以 (1,0,0)B ,1(,0,1)2E ,1(0,1,)2P ,(1,2,0)C . 所以 1(,0,1)2BE =-u u u r ,1(1,1,)2CP =--u u u r ,所以cos ,||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u ur u u u r , 即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为. ----6分(2)因为AB ⊥平面ADF ,所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =u u r.设P 点坐标为(0,22,)t t -,在平面APC 中,(0,22,)AP t t =-u u u r,(1,2,0)AC =u u u r,所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t -=-u u r ,所以,121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅u u r u u ru u r u u r u u r u u rP FED CAB解得23t =,或2t =(舍).所以||PF . -------------------------12分 20.某地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2m ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积a 2m ,前四年每年以100%的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加a 2m .设第n (1,N n n ≥∈且)年新城区的住房总面积为n a 2m ,该地的住房总面积为n b 2m .(1)求{}n a 的通项公式;(2)若每年拆除4a 2m ,比较+1n a 与n b 的大小.解析:⑴设第n 年新城区的住房建设面积为n λ2m ,则当14n ≤≤时,12n n a λ-= 当5n ≥时,(4)n n a λ=+.所以, 当14n ≤≤时,(21)n n a a =- 当5n ≥时,2489(4)n a a a a a a n a =+++++++ (2922)2n n a +-= 故2(21)(14),922(5).2n n a n a n n a n ⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩ ……6分⑵13n ≤≤时,11(21)n n a a ++=-,(21)644n n b a a na =-+-,显然有1n n a b +< ……7分4n = 时,1524n a a a +==,463n b b a ==,此时1n n a b +<. ……8分 516n ≤≤ 时,2111122n n n a a ++-=,29226442n n n b a a na+-=+- 10分1(559)n n a b n a+-=-. ……11分所以,511n ≤≤时,1n na b +<;1216n ≤≤时,1n n a b +>.17n ≥时,显然1n na b +>故当111n ≤≤时,1n na b +<;当 12n ≥时,1n na b +>. 13分21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为椭圆上一点,且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点),当3||<AB 时,求实数t 的取值范围.解(1)由已知2c e a ==,所以2234c a =,所以22224,3a b c b ==所以222214x y b b += …… 1分 又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a =所以1b = …… 3分所以2214x y += …… 4分(2)设1122(,),(,),(,)A x yB x y P x y设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=24222416(91)(14)0k k k ∆=--+>得215k < 2212122224364,1414k k x x x x k k -+=⋅=++ …… 6分1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r 121()x x x t=+=2224(14)k t k +[]12122116()()6(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+22236(14)k t k =+ …… 8分又由12AB x =-<, 所以2212(1)()3k x x +-<221212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦2(1)k +242222244(364)(14)14k k k k ⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦3<22(81)(1613)0k k -+>所以221810,8k k ->>…… 11分所以21185k << 由22236(14)k t k =+得 222236991414k t k k ==-++所以234t <<,所以2t -<<2t << …… 13分22.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠,()ln g x x =,()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ,(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l , 并且1l 与2l平行.(1)已知实数t ∈R ,求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值(用t 表示);(2)令()()'()F x g x g x =+,给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<,对于两个大于1的正数βα,,存在实数m 满足:21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立,求实数m 的取值范围.解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ,'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ,1'(1)1g x x -=-由题意可得12l l k k =,即1a =,∴2(),f x x x =-, ………2分 (1)2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…4分 令ln u x x =,在 []1,x e ∈时,'ln 10u x =+>,∴ln u x x =在[]1,e 单调递增,0,u e ≤≤ ………3分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=,抛物线开口向上当1202t u -=≤即12t ≥时,2min 0|u y y t t ===-②当122t u e -=≥即122e t -≤时,22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时, 22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- …………6分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………7分∴1x ≥当时,F F x ≥>()(1)0 ①当(0,1)m ∈时,有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=,得12(,)x x α∈,同理12(,)x x β∈,∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-,符合题设. ………………9分②当0m ≤时,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=,12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=,由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤,∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符 ……………11分③当1m ≥时,同理可得12,x x αβ≤≥,得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符. …………12分∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ……………13分。
湖南省长沙一中高三第八次月考数学(理)试卷

2009届高三第八次月考试卷理科数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 2(1)i i +=( ).A .1i +B .1i -+C .2-D .2 2.随机变量ξ~(3,1)N ,则)11(≤<-ξp 等于B(A) 21)2(-Φ (B) )2()4(Φ-Φ (C) )2()4(2-Φ-Φ (D) )4()2(Φ-Φ3.若点O 为ABC ∆的外心,且0,OA OB CO ++=则ABC ∆的内角C 等于 ()A 、45B 、60C 、90D 、1204.设全集U=R ,A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-,则右图中阴 影部分表示的集合为 ( )A .{|1}x x ≥B .{|12}x x ≤<C .{|01}x x <≤D .{|1}x x ≤5.若不等式组0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形,则s 的取值范围是( )A.0s <≤2或s ≥4 B.0s <≤2 C.2≤s ≤4 D.s ≥46.设)('x f 是函数)(x f 的导函数,将)(x f y =和)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )A .B .C .D .7.在数列{}n a 中,如果存在非零常数T ,使得m t m a a =+ 对任意正整数m 均成立,那么就称{}n a 为周期数列,其中T 叫做数列{}n a 的周期。
已知数列{}n x 满足11-+-=n n n x x x ()*∈≥N n n ,2,且(),0,1,121≠≤==a a a x x 当数列{}n x 周期为3时,则该数列的前2009项的和为( ) A . 1340B . 1342C . 1336D . 13388.设1e ,2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=⋅PF PF ,则2212221)(e e e e +的值为( ) A .21B .1C .2D .4 二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分。
2018届湖南省长沙市重点中学高三第八次月考文科数学试题及答案

湖南省长沙市重点中学2018届高三第八次月考数学文 4.(时量:120分钟 满分:150分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置.1.已知集合2{|03},{|540}M x x N x x x =<<=-+≥,则M N =A .{|01}x x <≤B .{|13}x x ≤<C .{|04}x x <≤D .{|0x x <或4}x ≥ 2.若复数221z i i=++,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为A .1 BCD .23.运行下面的程序,如果输入的n 是6,那么输出的p 是INPUT “n =”; n k =1 p =1WHILE k<=n p =p*k k =k +1WENDPRINT p ENDA .120B .720C .1440D .5040 4.已知直线01)2(:,02)2(:21=-+-=--+ay x a l y a x l ,则“1-=a ”是“21l l ⊥的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知y x ,的取值如下表:从散点图可以看出y x 与线性相关,且回归方程为 0.95y x a =+,则a = A. 3.2B .3.0 C. 2.8D .2.66.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的 表面积是A .16πB .14πC .12πD .8π7.已知向量b a ,满足||1,(1,a b ==,且()b a a +⊥,则a 与b 的夹角为 A . 60 B . 90 C . 120 D . 1508.已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈,(其中0022A ππωϕ>>-<<,,),其部分图像如图所示,将()f x 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到()g x 的图像,则函数()g x 的解析式为x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7正视图 俯视图左视图A .()sin (1)2g x x π=+B .()sin (1)8g x x π=+C .()sin(1)2g x x π=+D .()sin(1)8g x x π=+9.若函数()x x f x ka a -=-(a >0且1a ≠)在(,-∞+∞)上既是奇函数又是增函数,则()log ()a g x x k =+的图象是10.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元 .答案 ABB ADA CBC D二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.若直线24sin :=⎪⎭⎫⎝⎛-πθρl 与曲线()为参数t ty t x C ⎩⎨⎧==2:相交于B A ,两点, 则AB = .12.已知数列121,,,9a a 是等差数列,数列1231,,,,9b b b 是等比数列,则212b a a +的值为_____________.13.已知函数()f x 在()+∞,0内可导,且满足x e e f x x +=)(,则()f x 在点()(1,1)M f 处的切线方程为_____________________14.过椭圆C :()012222>>=+b a by a x 的右顶点作圆222b y x =+的两条切线,切点分别为A ,B ,若120AOB ∠=(O 是坐标原点),则C 的离心率为__________15.对于定义域为[]1,0的函数()f x ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的]1,0[∈x ,总有0)(≥x f ②1)1(=f③若0,021≥≥x x ,121≤+x x ,都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立 则称函数)(x f 为理想函数.(Ⅰ)若函数)(x f 为理想函数,则=)0(f ________;(Ⅱ)下列结论正确的是_________________.(写出所有正确结论的序号) ①函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数;②若函数)(x f 是理想函数,假定存在]1,0[0∈x ,使得]1,0[)(0∈x f ,且00)]([x x f f =,则00)(x x f =. 答案11.23 12.103 13.012=--y x 14. 2315.(Ⅰ)0(Ⅱ)①②三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x 的值及平均成绩; (Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,求2人成绩都不低于90分的概率.解:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =. 3平均成绩为()748518.07554.0651.095554506.0=⨯+⨯+⨯+++⨯. 6分 (Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人. 从成绩不低于80分的12学生中随机选取2人共有66种取法,从成绩不低于90分的3名学生中随机选取2人共有3种取法,故所求的概率为.221663= 12分17. (本小题满分12分)如图,设D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,且AD AB =,记βα=∠=∠ABC CAD ,. (Ⅰ)证明:02cos sin =+βα; (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.解(Ⅰ)因为(),22222πββπππα-=--=∠-=BAD 所以.02cos sin ,2cos )22sin(sin =+-=-=βαβπβα即 6分(Ⅱ)()αβββπαsin 3sin ,sin 3sin sin ==-=∆所以中,由正弦定理得在DCAC DC ADC . 由(1)有()1sin 23sin 1sin 22cos sin 22-=-=-=ββββα,所以,即3,20.33sin 23sin ,03sin sin 322πβπβββββ=<<-===--因此又或解得12分18.(本小题满分12分)如图,在长方体1111ABCD A BC D -中,E AD AA ,21==为CD 中点. (Ⅰ)求证:11B E AD ⊥ ;(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.(Ⅰ)连D A 1,1111111111,,AD A B DA D A A B AD D A AD AA ⊥⊥⊥=所以平面又,所以因为所以D B A AD 111平面⊥,又因为11B A ∥DE ,所以,因此平面D B A E B 111⊂11B E AD ⊥. 6分(Ⅱ)取棱1AA 的中点P ,则有//DP 平面1B AE ,其中AP 的长为1.证明如下: 取PF B AA PF F AB 的中位线,所以为则的中点111,∆∥,又且111121B A PF B A =ED ∥PF B A ED B A ,所以且111121=∥,且ED PF ED =所以DP ∥EF 又 DP AEB EF AEB DP ,所以平面平面11,⊂⊄∥平面1B AE . 12分19.(本小题满分13分)已知不在x 轴上的动点P 与点()0,2F 的距离是它到直线l :21=x 的距离的2倍.(Ⅰ)求点P 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点F 的直线交E 于C B ,两点,试判断以线段BC 为直径的圆是否过定点?并说明理由.解:(1)设P (x ,y )12||2x =-化简得x 2-23y =1(y ≠0). 4分(2)由题意可设过点F 的直线的方程为2+=ky x ,代入1322=-y x 得()09121322=++-ky y k由题意知3k 2-1≠0且△>0,设()()2211,,,y x C y x B ,则⎩⎨⎧1391312221221-=--=+k y y k k y y 8分设()0,1-A ,因为()()()()()()()()()09133613199313311,1,1222221212212121212211=+---+=++++=+++=+++=++=⋅k k k k y y k y y k y y ky ky y y x x y x y x AC AB ⊥∴,故以线段BC 为直径的圆过定点()0,1-A . 13分20.(本小题满分13分)对于任意的*n N ∈(n 不超过数列的项数),若数列{}n a 满足:n n a a a a a a ⋅⋅=+++ 2121,则称该数列为K 数列. (Ⅰ)若数列{}n a 是首项12a =的K 数列,求3a 的值;(Ⅱ)若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是K 数列.(1)试求1n a +与n a 的递推关系;(2)当时且1031<<≥a n ,试比较na a a 11121+++ 与316的大小.解(Ⅰ)有题意可得.222,2222121==+=+a a a a a a a ,所以即又,42233321321a a a a a a a a =++=++,即所以343=a . 3分(Ⅱ)(1)因为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是K 数列,所以()11111≥===∑n a a n i i n i i ① 111111+=+==∑n i i n i i a a ②两式相减得()11111111≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++n a a a n i i n n ③ 则()20111111≥≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n a a a n i in n ④两式相除得()2111111111≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n a a a a a nn n n n ,整理得()2121≥+-=+n a a a nn n 又1221211,1111a a a a a a -=⋅=+所以. 综上所述,1+n a 与递推关n a 系为⎩⎨⎧≥+-=-=+2,11,121n a a n a a n nn n . 8分(2)()41613161314343,143214311010124223121≥≥>=+-⎪⎭⎫⎝⎛≥<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤<-=<<<+n a a a a a a a a n n ,又所以,从而,所以因为又当1111121---=≥+n n n a a a n 时,,所以 当时,3≥n.31611111111111111111111111121132121≥-=--=---+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=+++++++n n n n n n a a a a a a a a a a a a a13分21.(本小题满分13分)已知函数()x a x x f ln 1)(2+-=有两个极值点,,21x x 且.21x x < (Ⅰ)求实数a 的取值范围,并讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)证明:42ln 21)(2->x f . 解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的定义域为()()()0,22,,02='+-='+∞x f xax x x f 且有两个不同的根,且,即的判别式故21084022,,221<>-=∆=+-a a a x x x x.00.22112211121>>-+=--=a x a x a x ,故又,因此a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛210,. 4分()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时,当时,或当.因此()()()上单调递减,上单调递增,在,和,在21210)(x x x x x f ∞+. 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知()22212121122,2,1x x x x a ax x x x -====+所以,因此()()()121ln 121ln 1)(2222222222<<-+-=+-=x x x x x x a x x f ,其中. 9分()()()则设),121(ln 1212<<-+-=t t t t t t h()()()()(),0ln 21211ln 21212>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-='t t t t t t t t t h所以42ln 21)21()(121)(-=>⎪⎭⎫ ⎝⎛h t h t h 单调递增,所以,在.即42ln 21)(2->x f . 13分。
湖南省长沙市重点中学2014届高三第八次月考数学理试题Word版含答案

湖南省长沙市重点中学2014届高三第八次月考数学理 2014.4.1.设集合{}{}2,ln ,,A x B x y ==,若{}0A B ⋂=,则y 的值为 A .0 B .1 C .e D .2 答案:A 2.复数12iz i-=的虚部是( ) (A) 1 (B)-1 (C)2 (D )-2答案:B3.下列命题中的假命题是( ) A.0,32xxx ∀>>B.()0,,1xx e x ∀∈+∞>+C.()0000,,sin x x x ∃∈+∞<D.00,lg 0x R x ∃∈<答案:C4.某厂生产A 、B 、C 三种型号的产品,产品数量之比为3:2:4,现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为180的样本,则样本中B 型号的产品的数量为(A)20 (B)40 (C)60 (D)80 答案:B5.已知函数()y f x x =+是偶函数,且(2)1,f =则(2)f -=(A )1- (B )1 (C )5- (D )5 答案:D6.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是 .1a b =- B .//a b C .2a b = D .a b ⊥答案:A7.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是侧视图俯视图A .3 B.C .6 D .8【答案】C .8.现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( )A .420B .560C .840D .22809.已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点,M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点,直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ,若1214k k ⋅=,则椭圆的离心率为 . (A)21 (B) 31 (C)3310.不等式222y axy x +-≤0对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .a ≤22B .a ≥22C .a ≥311答案:D11.(几何证明选讲)如图,已知AB 是⊙O 的一条弦,点P 为AB 上一点, PC OP ⊥,PC 交⊙O 于C ,若4AP =,2PB =,则PC AB COP12.(极坐标系与参数方程选讲)参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t t t e e y e e x 中当t 为参数时,化为普通方程为__122=-y x _(x )1≥_.13.(不等式选讲)若正数a ,b ,c 满足a +b +c =1,则13a +2+13b +2+13c +2的最小值为14.已知cos()4πθ+=,(0,)2πθ∈,则sin(2)3πθ-【答案】15.定义某种运算⊗,b a S ⊗=的运算原理如右图所示.设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f __-3____;()f x 在区间[]3,3-上的最小值为___-12___.16.已知数列{}na 满足)(221++∈-=N n a a n n ,且b a b a a a ,(,20121==>2)则=201121a a a(用a,b 表示)17.在ABC ∆中,三内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c a C b -=2cos 2. (Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)若C A sin sin 的取值范围.解(Ⅰ)由余弦定理可得:c a abc b a b -=-+⋅222222,即ac b c a =-+222,∴212cos 222=-+=ac b c a B ,由),0(π∈B 得3π=B .(Ⅱ)由3π=B 得,A C -=32π, ∴ A A A A A C A 2s i n 21c o s s i n 23)32s i n (s i n s i n s i n +=-=π41)62sin(21412cos 412sin 43+-=+-=πA A A . ∵ )32,0(π∈A , ∴ )67,6(62πππ-∈-A , ∴ 1)62sin(21≤-<-πA , ∴ C A sin sin 的取值范围为]43,0(.18.某班甲、乙两名学同参加100米达标训练,在相同条件下两人10次训练的成绩(单位:秒)如下:的概率.(2)后来经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5 ]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率.解 (1)设事件A 为:甲的成绩低于12.8,事件B 为:乙的成绩低于12.8, 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为P =1-P (A )(B )=1-410×510=45. ………………5分(2)设甲同学的成绩为x ,乙同学的成绩为y ,则|x -y |<0.8, 得-0.8+x <y <0.8+x . ………………8分如图阴影部分面积即为3×3-2.2×2.2=4.16, ………………9分则P (|x -y |<0.8)=P (-0.8+x <y <0.8+x )=4.163×3=104225.…………12分19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为矩形,平面ABEF ⊥平面ABCD , EF // AB ,∠BAF =90º, AD = 2,AB =AF =2EF =1,点P 在棱DF 上.(1)若P 是DF 的中点, 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值; (2)若二面角D -AP -C PF 的长度.解析:(1)因为∠BAF=90º,所以AF ⊥AB ,因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ,且平面ABEF ∩平面ABCD= AB , 所以AF ⊥平面ABCD ,因为四边形ABCD 为矩形, 所以以A 为坐标原点,AB ,AD ,AF 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -.所以 (1,0,0)B ,1(,0,1)2E ,1(0,1,)2P ,(1,2,0)C .所以 1(,0,1)2BE =-,1(1,1,)2CP =--,P FED CAB所以4cos ,||||BE CP BE CPBE CP ⋅<>==⋅,即异面直线BE 与CP . ----6分 (2)因为AB ⊥平面ADF ,所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =.设P 点坐标为(0,22,)t t -,在平面APC 中,(0,22,)AP t t =-,(1,2,0)AC =, 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t nt-=-, 所以,121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅解得23t =,或2t =(舍). 所以||PF =. -------------------------12分 20.某地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2m ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积a 2m ,前四年每年以100%的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加a 2m .设第n (1,N n n ≥∈且)年新城区的住房总面积为n a 2m ,该地的住房总面积为n b 2m .(1)求{}n a 的通项公式;(2)若每年拆除4a 2m ,比较+1n a 与n b 的大小.解析:⑴设第n 年新城区的住房建设面积为n λ2m ,则当14n ≤≤时,12n n a λ-=当5n ≥时,(4)n n a λ=+. 所以, 当14n ≤≤时,(21)nn a a =-当5n ≥时,2489(4)n a a a a a a n a =+++++++ (2922)2n n a +-=故2(21)(14),922(5).2n n a n a n n a n ⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩ ……6分⑵13n ≤≤时,11(21)n n a a ++=-,(21)644n n b a a na =-+-,显然有1n n a b +< ……7分4n = 时,1524n a a a +==,463n b b a ==,此时1n n a b +<. ……8分 516n ≤≤ 时,2111122n n n a a ++-=,29226442n n n b a a na +-=+- 10分1(559)n n a b n a +-=-. ……11分所以,511n ≤≤时,1n n a b +<;1216n ≤≤时,1n n a b +>.17n ≥时,显然1n n a b +> 故当111n ≤≤时,1n n a b +<;当 12n ≥时,1n n a b +>. 13分21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为椭圆上一点,且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点),当3||<AB 时,求实数t 的取值范围.解(1)由已知2c e a ==,所以2234c a=,所以22224,3a b c b ==所以222214x y b b += …… 1分又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a= 所以1b = …… 3分所以2214x y += …… 4分 (2)设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y 设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-= 24222416(91)(14)0k k k ∆=--+>得215k < 2212122224364,1414k k x x x x k k -+=⋅=++ …… 6分1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++= 121()x x x t =+=2224(14)k t k +[]12122116()()6(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+ 22236(14)k t k =+ …… 8分又由12AB x =-<, 所以2212(1)()3k x x +-<221212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦2(1)k +242222244(364)(14)14k k k k ⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦3< 22(81)(1613)0k k -+>所以221810,8k k ->> …… 11分所以21185k << 由22236(14)k t k =+得222236991414k t k k ==-++所以234t <<,所以2t -<<2t << …… 13分22.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠,()ln g x x =,()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ,(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l , 并且1l 与2l 平行.(1)已知实数t∈R,求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值(用t 表示);(2)令()()'()F x g x g x =+,给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<,对于两个大于1的正数βα,,存在实数m 满足:21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立,求实数m 的取值范围.解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ,'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ,1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =,即1a =,∴2(),f x x x =-, ………2分(1)2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…4分 令ln u x x =,在 []1,x e ∈时,'ln 10u x =+>,∴ln u x x =在[]1,e 单调递增,0,u e ≤≤ ………3分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=,抛物线开口向上 ① 当1202t u -=≤即12t ≥时,2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122e t -≤时,22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时,22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- …………6分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………7分 ∴1x ≥当时,F F x ≥>()(1)0①当(0,1)m ∈时,有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=, 得12(,)x x α∈,同理12(,)x x β∈,∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-,符合题设. ………………9分 ②当0m ≤时,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=,12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=,由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤,∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符 ……………11分③当1m ≥时,同理可得12,x x αβ≤≥,得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符. …………12分∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ……………13分。
湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考数学理试题(解析版)

长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题数学(理科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足,则对应点所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】由题意设,由,得,,所以,在第四象限,选D 。
2. 设集合,,则的子集的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由题意可知,集合A 是圆上的点,集合B 是指数上的点,画图可知两图像有2个交点,所以中有2个元素,子集个数为4个,选A.3. 已知双曲线(,)的一个焦点为,一条渐近线的斜率为,则该双曲线的方程为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得c=2,,且,所以,双曲线方程为,选C.4. 在数列中,,,则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得,n 分别用取1,2,3(n-1)代,累加得,选C.5. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图知几何体的上半部分是半圆柱,圆柱底面半径为1,高为2,其表面积为:,下半部分为正四棱锥,底面棱长为2,斜高为,其表面积:,所以该几何体的表面积为本题选择A选项.点睛:(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?”该著作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时,均可采用此方法求解.如图是解决这类问题的程序框图,若输入,则输出的结果为()A. 23B. 47C. 24D. 48【答案】B【解析】输入初始值n=24,则S=24第一次循环:n=16,S=40第二次循环:n=8,S=48第三次循环:n=0,S=48,即出循环s=47,输出47,选B.7. 郑州绿博园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有()A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种【答案】B【解析】分类:(1)小李和小王去甲、乙,共种(2)小王,小李一人去甲、乙,共种,(3)小王,小李均没有去甲、乙,共种,总共N种,选B.【点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏.在本题中,小王与小李是特殊元素,甲、乙是特殊位置,用“优先法”,先根据特殊元素,再根据特殊位置的限制条件来进行分类.8. 设,,是半径为1的圆上的三点,,则的最大值是()A. B. C. D.【答案】A【解析】以OA,OB所在直线分别为轴,轴,则,设,且,所以,由于,所以,当时,有最大值,选A.点睛:本题主要考查了向量数量积在几何中的应用以及基本不等式的应用,属于中档题。
湖南省长沙市2018高三统考理科数学试题Word版答案

科目:数学(理科)(试题卷)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和 该试题卷的封面上,并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3.本试题卷共7页。
如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负。
4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并上交. 姓 名 准考证号 绝密★启用前长沙市2018届高三年级统一模拟考试理科数学长沙市教科院组织名优教师联合命制本试题卷共7页,全卷满分150分,考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.己知复数iz -=12,则下列结论正确的是 A. z 的虚部为i B.|z|=2C. 2z 为纯虚数 D. z 的共轭复数i z +-=12. 己知命题p: 0x ∃>0,010=-+a x ,若p 为假命题,则a 的取值范围是 A.(-∞,1) B. (-∞,1] C. (1,+∞) D. [1,+∞)3.己知3218==y x ,则=-yx 11 A.1 B. 2 C.-1 D .-24.在△AOB 中,OA = OB=1,OA 丄OB ,点 C 在 AB 边上,且 AB = 4AC ,则AB C ⋅0= A. 21-B. 21C. 23-D. 235.己知某二棱锥的三视图如图所示,其中俯视图由直角三角形和斜边上的中线组成,则该几何体的外接球的体积为 A. π34B. π312C. π4D. π126.己知 53)sin(=+απ,且 α2sin 2<0,则 )4tan(πα+的值为 A. 7 B.-7 C. 71-D. 717.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。
下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”,则执行该程序框图输出的i 等于 A. 3B. 9C.27D.818.设函数 )2<<0,0>)(sin()(πϕωϕω+=x x f ,己知)(x f 的最小正周期为π4,且当3π=x 时,)(x f 取得最大值。
湖南省长沙市第一中学2018届高三第八次月考理科综合试卷(PDF版)

甲图 ;点时幼年鼠所占例一定高于<点 /) 乙图稍大于= 4) ! 时是防治此鼠的最佳时刻 适当引入田鼠的食物竞争者可避免减产 +) 图乙中= 田鼠群种群密度最大 5) # 时刻 $ 下列关于文献或谚语的说法中$ 不正确的是 1 ) ( 天工开物) 中有如下描述* & 世间丝% 麻% 裘% 褐$ 皆具素质 ++' 文中 & 裘' 的主要成分 /) 是蛋白质 & 水乳交融' & 火上浇油' $ 前者包含物理变化$ 而后者包含化学变化 4) & 水滴石穿' & 绳锯木断' 均不包含化学变化 +) & 落汤螃蟹着红袍' 肯定发生了化学变化 5) 国庆期间对大量盆栽鲜花施用了 2 诱抗素制剂$ 以保证鲜花盛开#2 诱抗素的分子结 % ) 构如下图所示$ 下列关于该物质的说法正确的是
显微镜观察到黑藻的叶绿体在细胞质中运动$ 并随着光线的强弱而改变受光面$ 说明 +) 是活细胞 适宜光照等条件下$ 装有某植物的透明密闭小室内气压没有变化$ 说明植物已死亡 5) 等位基因! " 与! " 位于同一对常染色体上$ 基因型为 / ( ) /% . 5% 6 / 或6 6 的个 体胚胎致死#两对等位基因功能互不影响$ 且在减数分裂过程不发生交叉 互换#以基因型如图果蝇为亲本$ 自由交配两代$ 则7 # 中基因 / 的频率将 不变 /) 下降 +) 上升 4) 先升后降 5)
下列关于人体内环境稳态和生命活动调节的叙述$ 错误的是 8 )
9 : 静脉注射生理盐水后$ 和+ 可以进入组织液和细胞内液 /) , . 0
长期蛋白质摄入不足$ 可能会导致全身水肿 4) 红细胞和毛细血管壁细胞可直接从血浆中获取氧气 +) 缺碘可导致促甲状腺激素的含量低于正常水平$ 从而诱发& 大脖子病' 5) 田鼠经常啃食农作物$ 导致农业减产#某农田生态系统中$ 田鼠的种群数量和增长速率 " ) 的变化如下图$ 有关说法正确的是
2018高考数学压轴卷湖南省长沙市长郡中学2018届高三第四次月考数学(理)试题

炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷(四)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合422x A x x -⎧⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z ,1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,则A B =I ( ) A .{}12x x -≤≤ B .{}1,0,1,2- C .{}2,1,0,1,2-- D . {}0,1,22.若复数z 满足()212i 13i z -+=+(i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.已知向量()1,2a x =-r ,()2,1b =r ,则“0x >”是“a r 与b r 夹角为锐角”的( )A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件4.在()62x -展开式中,二项式系数的最大值为a ,含5x 项的系数为b ,则a b=( ) A .53 B .53- C .35 D .35- 5.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说: “罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( )A .甲B .乙C .丙D .丁6.一个三棱锥的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( )A .1 B.3 C .2 D.37.已知,a b 是平面内夹角为90°的两个单位向量,若向量c 满足()()0c a c b --=g ,则c 的最大值为( )A .1 B.28.执行如图所示的程序框图,则输出的S 值为( )A .1009B .-1009C .-1007D .10089.已知斜率为3的直线l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点,若点()6,2P 是AB 的中点,则双曲线C 的离心率等于( )A.2 D.10.若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有( )个.A .53B .59C .66D .7111.椭圆()222101y x b b +=<<的左焦点为F ,上顶点为A ,右顶点为B ,若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎫⎪⎪⎝⎭ B .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.⎛ ⎝⎭D .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12.已知函数()ln ,11,12x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()1F x f f x m =++⎡⎤⎣⎦有两个零点12,x x ,则12x x ⋅的取值范围是( )A .[)42ln2,-+∞ B.)+∞ C .(],42ln2-∞- D.(-∞选择题答题卡第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本答题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
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湖南省长沙市重点中学2018届高三第八次月考数学理 4.1.设集合{}{}2,ln ,,A x B x y ==,若{}0A B ⋂=,则y 的值为 A .0 B .1 C .e D .2 答案:A 2.复数12iz i-=的虚部是( ) (A) 1 (B)-1 (C)2 (D )-2 答案:B3.下列命题中的假命题是( )A.0,32x x x ∀>>B.()0,,1x x e x ∀∈+∞>+C.()0000,,sin x x x ∃∈+∞<D.00,lg 0x R x ∃∈< 答案:C4.某厂生产A 、B 、C 三种型号的产品,产品数量之比为3:2:4,现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为180的样本,则样本中B 型号的产品的数量为(A)20 (B)40 (C)60 (D)80 答案:B5.已知函数()y f x x =+是偶函数,且(2)1,f =则(2)f -=(A )1- (B )1 (C )5- (D )5 答案:D6.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是.//a b C .2a b = D .a b ⊥答案:A7.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是侧视图俯视图A .3 B.C .6D .8【答案】C .8.现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( ) A .420 B .560 C .840 D .22809.已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点,M 、N是椭圆上关于x 轴对称的两点,直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ,若1214k k ⋅=,则椭圆的离心率为 . (A) 21 (B) 31 (C)3310.不等式222y axy x +-≤0对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .a ≤22 B .a ≥22 C .a ≥311答案:D11.(几何证明选讲)如图,已知AB 是⊙O 的一条弦,点P 为AB 上一点, PC OP ⊥,PC 交⊙O 于C ,若4AP =,2PB =,则PCAB COP12.(极坐标系与参数方程选讲)参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t t t e e y e e x 中当t 为参数时,化为普通方程为__122=-y x _(x )1≥_.13.(不等式选讲)若正数a ,b ,c 满足a +b +c =1,则13a +2+13b +2+13c +2的最小值14.已知cos()4πθ+=(0,)2πθ∈,则sin(2)3πθ-=【答案】15.定义某种运算⊗,b a S ⊗=的运算原理如右图所示. 设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f __-3____;()f x 在区间[]3,3-上的最小值为___-12___.16.已知数列{}n a 满足)(221++∈-=N n a a n n ,且b a b a a a ,(,20121==>2)则201121a a a (用a,b 表示)17.在ABC ∆中,三内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c a C b -=2cos 2.(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)若C A sin sin 的取值范围.解(Ⅰ)由余弦定理可得:c a abc b a b -=-+⋅222222,即ac b c a =-+222, ∴212cos 222=-+=ac b c a B ,由),0(π∈B 得3π=B . (Ⅱ)由3π=B 得,A C -=32π,∴ A A A A A C A 2sin 21cos sin 23)32sin(sin sin sin +=-=π 41)62sin(21412cos 412sin 43+-=+-=πA A A . ∵ )32,0(π∈A , ∴ )67,6(62πππ-∈-A ,∴ 1)62sin(21≤-<-πA ,∴ C A sin sin 的取值范围为]43,0(.18.某班甲、乙两名学同参加100米达标训练,在相同条件下两人10次训练的成绩(单位:秒)如下:中至少有一个比12.8秒差的概率.(2)后来经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5 ]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率.解 (1)设事件A 为:甲的成绩低于12.8,事件B 为:乙的成绩低于12.8, 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为P =1-P (A )(B )=1-410×510=45. ………………5分(2)设甲同学的成绩为x ,乙同学的成绩为y ,则|x -y |<0.8, 得-0.8+x <y <0.8+x . ………………8分如图阴影部分面积即为3×3-2.2×2.2=4.16, ………………9分则P (|x -y |<0.8)=P (-0.8+x <y <0.8+x )=4.163×3=104225.…………12分19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为矩形,平面ABEF ⊥平面ABCD ,EF // AB ,∠BAF =90º, AD = 2,AB =AF =2EF =1,点P 在棱DF 上.(1)若P 是DF 的中点, 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值; (2)若二面角D -AP -CPF 的长度.解析:(1)因为∠BAF=90º,所以AF ⊥AB ,因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ,且平面ABEF ∩平面ABCD= AB , 所以AF ⊥平面ABCD ,因为四边形ABCD 为矩形, 所以以A 为坐标原点,AB ,AD ,AF 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -. 所以 (1,0,0)B ,1(,0,1)2E ,1(0,1,)2P ,(1,2,0)C 所以 1(,0,1)2BE =- ,1(1,1,)2CP =-- , 所以cos ,||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅, PF EDCAB即异面直线BE 与CP. ----6分(2)因为AB ⊥平面ADF ,所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =.设P点坐标为(0,22,)t t -,在平面APC中,(0,22,)AP t t =- ,(1,2,0)AC = ,所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t -=- ,所以,121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅解得23t =,或2t =(舍). 所以||PF . -------------------------12分20.某地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2m ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积a 2m ,前四年每年以100%的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加a 2m .设第n (1,N n n ≥∈且)年新城区的住房总面积为n a 2m ,该地的住房总面积为n b 2m . (1)求{}n a 的通项公式;(2)若每年拆除4a 2m ,比较+1n a 与n b 的大小.解析:⑴设第n 年新城区的住房建设面积为n λ2m ,则当14n ≤≤时,12n n a λ-= 当5n ≥时,(4)n n a λ=+. 所以, 当14n ≤≤时,(21)n n a a =-当5n ≥时,2489(4)n a a a a a a n a =+++++++ (2922)2n n a +-=故2(21)(14),922(5).2n n a n a n n a n ⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩ ……6分⑵13n ≤≤时,11(21)n n a a ++=-,(21)644n n b a a na =-+-,显然有1n n a b +< (7)分4n = 时,1524n a a a +==,463n b b a ==,此时1n n a b +<. ……8分516n ≤≤ 时,2111122n n n a a ++-=,29226442n n n b a a na +-=+- 10分1(559)n n a b n a +-=-.……11分所以,511n ≤≤时,1n n a b +<;1216n ≤≤时,1n n a b +>.17n ≥时,显然1n n a b +> 故当111n ≤≤时,1n n a b +<;当 12n ≥时,1n n a b +>. 13分21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>直线被椭圆截得的弦长为1,过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为椭圆上一点,且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点),当3||<AB 时,求实数t 的取值范围.解(1) 由已知2c e a ==,所以2234c a =,所以22224,3a b c b ==所以222214x y b b += …… 1分又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a= 所以1b = …… 3分所以2214x y += …… 4分(2)设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-= 24222416(91)(14)0k k k ∆=--+>得215k < 2212122224364,1414k k x x x x k k-+=⋅=++ …… 6分 1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++= 121()x x x t =+=2224(14)k t k + []12122116()()6(14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+ 由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+22236(14)k t k =+ …… 8分又由12AB x =-<所以2212(1)()3k x x +-< 221212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦2(1)k +242222244(364)(14)14k k k k ⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦3<22(81)(1613)0k k -+>所以221810,8k k ->> …… 11分 所以21185k << 由22236(14)k t k =+得222236991414k t k k==-++ 所以234t <<,所以2t -<<2t << …… 13分 22.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠,()ln g x x =,()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ,(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l , 并且1l 与2l 平行.(1)已知实数t ∈R ,求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值(用t 表示);(2)令()()'()F x g x g x =+,给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<,对于两个大于1的正数βα,,存在实数m 满足:21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立,求实数m 的取值范围. 解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ,'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ,1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =,即1a =, ∴2(),f x x x =-, ………2分(1)2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…4分 令ln u x x =,在 []1,x e ∈时,'ln 10u x =+>,∴ln u x x =在[]1,e 单调递增,0,u e ≤≤ ………3分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=,抛物线开口向上 ① 当1202t u -=≤即12t ≥时,2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122et -≤时,22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时, 22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- …………6分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………7分∴1x ≥当时,F F x ≥>()(1)0 ①当(0,1)m ∈时,有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=, 得12(,)x x α∈,同理12(,)x x β∈,∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-,符合题设. ………………9分②当0m ≤时,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=,12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=,由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤,∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符 ……………11分③当1m ≥时,同理可得12,x x αβ≤≥,得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符. …………12分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ……………13分。