2015创新设计(高中理科数学)题组训练3-2

第2讲
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π
3，则sin α等于()．
A．－
3
2 B.
3
2
C．－1
2 D.
1
2
解析因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋π
2(k∈Z)．又
β＝－π
3，所以α＝2kπ＋5π
6(k∈Z)，即得sin α＝
1
2.
答案 D
2．(2014·临川一中一调)sin 29π
6＋cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
29π
3－tan
25π
4＝()．
A．0 B.1 2
C．1 D．－1 2
解析原式＝sin(4π＋5π
6)＋cos(－10π＋
π
3)－tan(6π＋
π
4)
＝sin 5π
6＋cos
π
3－tan
π
4
＝1
2＋
1
2－1＝0.
答案 A
3．(2014·郑州模拟)1－2sin(π＋2)cos(π－2)＝()．
A ．sin 2－cos 2
B ．sin 2＋cos 2
C ．±(sin 2－cos 2)
D ．cos 2－sin 2
解析
1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2
＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A
4．(2014·石家庄模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )．
A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2
解析 由
sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋3
3－tan α
＝5
即tan α＝2，所以sin 2
α－sin αcos α＝sin 2 α－sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α－tan αtan 2 α＋1＝2
5.
答案 A
5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋αsin (π＋α)＝
( )．
A.35
B.53
C.45
D.54
解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－3
5.∴原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝5
3.
答案 B 二、填空题
6．(2014·杭州模拟)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________．
解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝1
2. ∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32π－A ＝－sin A ＝12.
答案 1
2
7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．
解析 cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π12＝－13.
答案 －1
3
8．(2013·江南十校第一次考试)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12－α＝________.
解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝1
3，
又－π＜α＜－π
2， ∴7π12＜π12－α＜13π12， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12－α＝－
1－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12－α＝－223.
答案 －223 三、解答题
9．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]
sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )．
解 当k ＝2n (n ∈Z )时， 原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]
sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)
＝
sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α
＝－1；
当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， 原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]
sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]
＝
sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos α
sin α(－cos α)
＝－1.
综上，原式＝－1.
10．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝1 5.
(1)求sin A cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解(1)∵sin A＋cos A＝1
5，①
∴两边平方得1＋2sin A cos A＝1 25，
∴sin A cos A＝－12 25，
(2)由sin A cos A＝－12
25＜0，且0＜A＜π，
可知cos A＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝1＋24
25＝
49
25，
又sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0，
∴sin A－cos A＝7
5，②
∴由①，②可得sin A＝4
5，cos A＝－
3
5，
∴tan A＝sin A
cos A＝
4
5
－
3
5
＝－
4
3.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2012·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()．
A．－1 B．－
2 2
C.
2
2D．1
解析 法一 因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π4＝1.
因为α∈(0，π)，所以α＝3π
4，所以tan α＝－1.
法二 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π
4，所以tan α＝－1. 答案 A
2．(2014·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)
＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是 ( )．
A.35
5 B.377 C.31010
D.13
解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角． 故sin α＝310
10. 答案 C 二、填空题
3．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.
解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝45＋12＝912. 答案 912 三、解答题
4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－β，3cos(－
α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解 假设存在角α，β满足条件， 则由已知条件可得⎩⎨
⎧ sin α＝2sin β，
3cos α＝2cos β，
①②
由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±2
2. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，∴α＝±
π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝3
2，
又β∈(0，π)，
∴β＝π
6，此时①式成立；
当α＝－π4时，由②式知cos β＝3
2， 又β∈(0，π)，
∴β＝π
6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π
6满足条件.。