高中数学经典创新题精选60题

高中数学经典创新题精选60题1．在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，－1)∪(－1，0]C．[0，1)∪(1，2]D．[－2，0]解析：选D.依题意可得x(1－x＋a)＞0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x(1－x＋a)＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.故选D.2．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.3．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是()A．(﹁p)∨(﹁q)为真命题B．p∨(﹁q)为真命题C．(﹁p)∧(﹁q)为真命题D．p∨q为真命题解析：选A.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题﹁p是“第一次射击没击中目标”，命题﹁q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p)∨(﹁q)为真命题，故选A.4．若函数y＝f(x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：()①“影子函数”f(x)的值域可以是R；②“影子函数”f(x)可以是奇函数；③若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是“影子函数”，且定义域相同，则y ＝f (x )·g (x )是“影子函数”． 上述命题正确的序号是( ) A ．① B ．② C ．③D ．②③解析：选B ．对于①：假设“影子函数”的值域为R ，则存在x 1，使得f (x 1)＝0，此时不存在x 2，使得f (x 1)f (x 2)＝1，所以①错；对于②：函数f (x )＝x (x ≠0)，对任意的x 1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x 2＝1x 1，则f (x 1)f (x 2)＝1，又因为函数f (x )＝x (x ≠0)为奇函数，所以“影子函数”f (x )可以是奇函数，②正确；对于③：函数f (x )＝x (x >0)，g (x )＝1x (x >0)都是“影子函数”，但F (x )＝f (x )g (x )＝1(x >0)不是“影子函数”(因为对任意的x 1∈(0，＋∞)，存在无数多个x 2∈(0，＋∞)，使得F (x 1)·F (x 2)＝1)，所以③错．综上，应选B ．5．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.6．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，3] C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D.因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．7．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－28．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：选D.根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.9．如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D.法一：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3，4)，故选D.法二：在判断出点P 的轨迹后，发现当x ＝1时，y ＝3－π4∈(2，3)，故选D.10．已知点A (1，0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为________．解析：设B (x 0，ln x 0)，x 0＞0，线段AB 的中点为C ，则C ⎝⎛⎭⎫x 0＋12，ln x 02，又点C 在曲线M 上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4x 0＋1.此方程根的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．答案：111．已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.12．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．因为y ′＝22x －1，所以22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.答案：2513．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)解析：选C.由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3，0)．14．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ， 当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． 所以f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0. 解得a >22. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫22，＋∞15．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ，所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立．答案：S 1＝S 216．已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cosθ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C. 13D ．－14解析：选D.由题意知tan θ＝3，k AB ＝5cos θ－sin θ－sin θ2cos θ＋sin θ－cos θ＝5－2tan θ1＋tan θ＝－14.故选D.17．已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝m ，m ∈(0，1)，则tan θ的可能取值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－13D.13 解析：选A.由m ∈(0，1)，得sin θ＋cos θ>0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4.又因为(sin θ＋cosθ)2＝1＋2sin θcos θ＝m 2，m ∈(0，1)，从而得2sin θcos θ<0，得θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.综上可得θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，则tan θ<－1，所以可能的取值为－3，故选A.18．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝4sin 18°cos 18°2cos 227°－1＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.故选C.19．已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________． 解析：由sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°可得， m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.答案：－320．已知a 24＋b 2＝1，则|a cos θ＋2b sin θ|的最大值为( )A ．1 B.233C ．2D ．23解析：选C.由a 24＋b 2＝1得a 2＋4b 2＝4.由辅助角公式可得|a cos θ＋2b sin θ|＝a 2＋4b 2|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.21．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，所以－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin(2x ＋π6)－1>1，所以sin(2x ＋π6)>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z ，单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .22．定义运算|a b c d |＝ad －bc .将函数f (x )＝|3 sin x1 cos x |的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值为( )A.π3 B.76π C.π6D.56π 解析：选D.f (x )＝|3 sin x 1 cos x |＝3cos x －sin x ＝2cos(x ＋π6)，向左平移φ个单位得到y＝2cos(x ＋π6＋φ)，由题意y ＝2cos(x ＋π6＋φ)是偶函数，所以π6＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(φ>0)．故当k ＝1时，φ的最小值为56π.23．如图，将绘有函数f (x )＝3sin(ωx ＋5π6)(ω>0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若A ，B 之间的空间距离为10，则f (－1)＝( )A ．－1B ．1C ．－32D.32解析：选D.由题设并结合图形可知， AB ＝（3）2＋[（3）2＋（T2）2]＝6＋T 42＝6＋π2ω2＝10，得π2ω2＝4，则ω＝π2，所以f (－1)＝3sin(－π2＋5π6)＝3sin π3＝32.24．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( )A .3B ．23C ．33D ．43解析：选B.因为AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)．由平行四边形法则可知，以PB →，PC →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB →反向，且长度相等．因为|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以以PB →，PC →为边的平行四边形为菱形，且除BC 外的对角线长为2，所以BC ＝23，∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×23＝23，故选B.25.如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n是定值，定值为2 D.2m ＋1n是定值，定值为3解析：选D.法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n＝3.法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λmAB →＋(1－λ)·nAC →.又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC→－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D.26．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，求xy的值．解：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，所以⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.27．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( )A .3B ．23C ．33D ．43解析：选B.因为AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)．由平行四边形法则可知，以PB →，PC →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB →反向，且长度相等．因为|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以以PB →，PC →为边的平行四边形为菱形，且除BC 外的对角线长为2，所以BC ＝23，∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×23＝23，故选B.28.已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－3解析：选A ．法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A ．法二：由b 2－4e·b ＋3＝0得b 2－4e·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A ．29．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA →＋ OB →＝OC →，则a 的值为 ( )A ．±1B ．± 2C ．± 3D ．±2 解析：因为A ，B ，C 均为圆x 2＋y 2＝2上的点， 故|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，因为OA →＋OB →＝OC →，所以(OA →＋OB →)2＝OC →2， 即OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝OC →2， 即4＋4cos∠AOB ＝2，故∠AOB ＝120°． 则圆心O 到直线AB 的距离d ＝2·cos60°＝22＝|a |2，则|a |＝1，即a ＝±1． 故选A ．30．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)． 31．P＝{}a |a ＝（1，0）＋m （0，1），m ∈R ，Q ＝{}b |b ＝（1，1）＋n （－1，1），n ∈R 是两个向量集合，则P ∩Q 等于()A.{}（1，1）B.{}（－1，1）C.{}（1，0）D.{}（0，1）解析：选A.设a ＝(x ，y )，则P ＝{(x ，y )| ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1， y ＝m ，m ∈R }，所以集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|x ＝1，y ∈R ，Q ＝{}（x ，y ）|x ＋y －2＝0，所以P ∩Q ＝{}（1，1）.故选A.32．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0， 与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.33．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D ．13解析：选A ．由于直线PQ 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时，m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A ． 法二：如图2，直线BE 与直线PQ 重合，此时，AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3.故选A ．34．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0， 所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.35．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *36．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{}c n 的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0. 所以数列{c n }的变号数为3.37．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2<2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4<2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.38．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3，故选B.39．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1，又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号， 故函数f (x )的最小值为3.答案：1 340．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π41．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________(填序号)．①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE .解析：取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．答案：③42．如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是________．解析：连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2. 答案：π243．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的； 对于③因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)．所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.44．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′­FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③解析：选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大，故选C.45．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是()A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．46．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，因为DC ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.答案：②47．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( )A.92 B.94 C ．1D ．9解析：选B.因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )， 所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3， 所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2， 则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.48．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l 上另任取一点P ，则|P A |－|PB |＝|P A |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，则P 0即为所求．易求得直线BB ′的方程为x ＋3y －12＝0， 设B ′(a ，b )，则a ＋3b －12＝0，①又线段BB ′的中点⎝⎛⎭⎫a 2，b ＋42在l 上，故3a －b －6＝0.②由①②解得a ＝3，b ＝3， 所以B ′(3，3)．所以AB ′所在直线的方程为2x ＋y －9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0可得P 0(2，5)． (2)设C 关于l 的对称点为C ′，与(1)同理可得C ′⎝⎛⎭⎫35，245.连接AC ′交l 于P 1，在l 上另任取一点P ，有|P A |＋|PC |＝|P A |＋|PC ′|>|AC ′|＝|P 1C ′|＋|P 1A |＝|P 1C |＋|P 1A |，故P 1即为所求．又AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，故由⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0可得P 1⎝⎛⎭⎫117，267.49．设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )A.855－2B.5C.5－2D.755－2解析：选C.如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1，0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为点A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.故选C.50．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0， 整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝⎛⎭⎫25，45.51．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A.17或－1 B ．－1 C ．1或－1D ．1解析：选C.由题意得圆心(1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离为22， 所以|a －a －1|1＋a 2＝22，解得a ＝±1，故选C.52．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ， 所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p （x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .53．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD 内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1， 即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线， 所以点P 的轨迹为抛物线．54．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．55.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支解析：选C.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.56．若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m ，n )为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n )的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式； 第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式； 第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300. 答案：30057．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )A.14B.13C.23D.12解析：选D.以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2 P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12.58．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为70.14＝50.由图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤109.5≤y ≤10.5， 设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示．所以由几何概型得P (A )＝12×12×121×2＝116，即甲比乙跳得远的概率为116.59．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1； 若a ＝2，则b ＝－1，1； 若a ＝3，则b ＝－1，1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，因为事件“分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ”的个数是15. 所以所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0， 构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC 部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标C ⎝⎛⎭⎫163，83， 故所求事件的概率P ＝S △BOC S △AOB ＝12×8×8312×8×8＝13.60．设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号) 解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③。