最新人教版高中数学选修1-1充分条件与必要条件

1.2 充分条件与必要条件1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2．会判断p 是否为q 的充分条件、必要条件、充要条件．1．一般地，“若p ，则q ”为真命题，即由p ⇒q ，就说p 是q 的________，q 是p 的________．①若p ⇒q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件；②若q ⇒p ，但p q ，则p 是q 的必要不充分条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充分必要条件(简称为充要条件)；④若p q ，且q p ，则p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件．【做一做1－1】 “|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【做一做1－2】 若p ⇒q ，则 q __________ p .(填“⇒”或“”)2．若p ⇒q 且q ⇒p ，则p ⇔q ，就说p 是q 的__________，简称________．那么q 也是p 的________．概括地说，如果______，那么p 与q 互为充要条件．p 与q 互为充要条件可以理解为“p 成立当且仅当q 成立”或者“p 等价于q ”．【做一做2－1】 已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【做一做2－2】 “cos α＝12”是“α＝π3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：1．充分条件 必要条件【做一做1－1】 B 若x ＝1，y ＝－1，则|x |＝|y |，但x ≠y ；而x ＝y ⇒|x |＝|y |.【做一做1－2】 ⇒ “若p ，则q ”和“若⌝q ，则⌝p ”互为逆否命题，具有等价性．p ⇒q 就是“若p ，则q ”为真命题，故⌝q ⇒⌝p .2．充分必要条件 充要条件 充要条件 p ⇔q【做一做2－1】 C 对于“a ＞0且b ＞0”可以推出“a ＋b ＞0且ab ＞0”，反之也是成立的．【做一做2－2】 B 由cos α＝12D α＝π3， 因为α＝±π3＋2k π(k Z )；而α＝π3⇒cos α＝12，故“cos α＝12”是“α＝π3”的必要不充分条件．1．从逻辑关系和集合关系上看充分条件、必要条件和充要条件的意义剖析：(1)从逻辑关系上看：①若p ⇒q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件；②若q ⇒p ，但p q ，则p 是q 的必要不充分条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件；④若pD ⇒/q ，且q p ，则p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件．例如，“若x ＞0，则x 2＞0”，即由x ＞0可推出x 2＞0，记作x ＞0⇒x 2＞0，我们说“x ＞0”是“x 2＞0”的充分条件，即只要“x ＞0”成立，就一定有“x 2＞0”成立．p 是q 的充分条件，“充分”的意思是要使q 成立，条件p 成立就足够了，即有p 成立，可充分保证q 成立．由x ＞0⇒x 2＞0, 而说“x 2＞0”是“x ＞0”的必要条件，即如果要“x ＞0”成立，就必须“x 2＞0”成立．如果缺少“x 2＞0”就不会有x ＞0，换句话说，如果“x 2＞0”不成立，即“x 2＝0”成立，就不会有“x ＞0”成立．q ⇒p 的逆否命题是p ⇒q ，即“若p 不成立，则q 就不成立”，换句话说，缺少了p ，q 是不会成立的．这就更能从字面的意思上理解必要条件．(2)从集合与集合之间的关系上看：若命题p ，q 分别以集合A 、集合B 的形式出现，那么p ，q 之间的关系可借助集合知识来判断(如图所示)．①若A B ，则p 是q 的充分条件，因为若有x ∈A ，可得x ∈B ；②若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件，因为要使x ∈B ，则x ∈A 是必不可少的；③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；④若A B ，且B A ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．例如，A ＝{中学生}，B ＝{学生}，A B ，即某人是中学生，必是学生，所以“某人是中学生”是“某人是学生”的充分条件．“某人是学生”那么他不一定是中学生；而“某人不是学生”，那么他一定不是中学生，所以“某人是学生”是“某人是中学生”的必要条件．2．判断充分条件、必要条件、充要条件的方法和应注意的问题剖析：(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要采用以下方法：①确定条件p 是什么，结论q 是什么；②尝试从条件推结论，如果p ⇒q ，则充分性成立，p 是q 的充分条件；③再考虑从结论推条件，如果q ⇒p ，则q 是p 的充分条件，即p 是q 的必要条件，必要性成立；④要证明命题的条件是充要的，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题成立即证明条件是结论成立的充分条件，证明逆命题成立即证明条件是结论成立的必要条件．(2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语．在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“……反过来也成立”．准确地理解和使用数学语言，对理解和运用数学知识是十分重要的．题型一 充分条件、必要条件和充要条件的判断【例题1】 (2010广东高考，理5)“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分非必要条件分析：考查一元二次方程根的判别方法及简易逻辑知识．反思：(1)判断p 是q 的什么条件，主要是判断p ⇒q 及q ⇒p 这两个命题是否成立，若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q ⇒p 成立，则p 是q 的必要条件，同时q 是p 的充分条件；若二者都成立，则p 与q 互为充要条件．(2)关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合的角度入手去判断，并结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对于解决与逻辑有关的问题是大有益处的．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用【例题2】 设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．分析：由p 是q 的必要不充分条件，有q ⇒ p 且p q ，由命题等价性得p ⇒q 且q p .反思：涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．题型三 充要条件的证明【例题3】 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.反思：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是证明充分性；二是证明必要性，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性来证，而又将必要性错当充分性来证．题型四 易错辨析【例题4】 一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )A ．m ＞0，n ＞0B ．mn ＜0C ．m ＜0，n ＜0D ．mn ＞0错解：由题意可得，一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎨⎧ －m n <0，1n >0，解得m ＞0，n ＞0，所以选A.答案：【例题1】 A ∵x 2＋x ＋m ＝0有实数解，∴Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. ∴m ＜14是x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分不必要条件． 故选A.【例题2】 解：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1. 记A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.记B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，又因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，所以⌝q ⇒⌝p 且⌝pD⌝q ，即p ⇒q 且qD p . 故有A B ，则11,1,2a a +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩且a ＋1＝1，a ＝12不同时成立． 解得0≤a ≤12. 【例题3】 证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0，又∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0. ∴a 2－ab ＋b 2＝223024b a b ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.【例题4】 错因分析：p 的必要不充分条件是q ，即q 是p 的必要不充分条件，则qD p 且p ⇒q ，故本题应是题干⇒选项，而选项D 题干，选项A 为充要条件．正解：一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎨⎧ －m n <0，1n>0，得m＞0，n ＞0.由题意可得，m ＞0，n ＞0可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D.1 (2012广州综合测试，理5)已知函数f (x )＝2x ＋1，对于任意正数a ，|x 1－x 2|＜a 是|f (x 1)－f (x 2)|＜a 成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2已知条件p ：y ＝lg(x 2＋2x －3)的定义域，条件q ：5x －6＞x 2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3(2010山东高考，理9)设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4设A ＝101x x x ⎧-⎫<⎨⎬+⎩⎭，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A B ≠”的充分条件，则实数b 的取值范围是__________．5求关于x 的二次方程x 2－mx ＋m 2－4＝0有两个不相等的正实根的充要条件．答案：1．B2．A p ：x 2＋2x －3≤0，则－3≤x ≤1；q ：5x －6≤x 2，即x 2－5x ＋6≥0， 则x ≥3或x ≤2. 由小集合大集合，则p q ，但q p .故选A.3．C 若数列{a n }为递增数列，则有a 1＜a 2＜a 3，且反之也成立．4．(－2,2) A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠”的充分条件，则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b (－2,2)．5．分析：方程x 2－mx ＋m 2－4＝0有两个不相等的正实数根等价于Δ＞0，x 1＋x 2＞0，x 1·x 2＞0.解：设x 1，x 2为二次方程x 2－mx ＋m 2－4＝0的两个不相等的正实根，则121200,0,x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩即222()4(4)0,()0,40,m m m m ⎧--->⎪-->⎨⎪->⎩解得0,2 2.m m m m ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪><-⎪⎪⎩或所以2＜m因此关于x 的二次方程x 2－mx ＋m 2－4＝0有两个不相等的正实根的充要条件是2＜m.。