2017-2018学年高中数学北师大版必修四习题 课下能力提升(二十二) Word版 含答案
2017-2018学年高一数学北师大版必修四习题：课下能力提升(二十一) Word版含答案
课下能力提升(二十一) 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π42．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋x b 与－b 垂直，则x 的值为( )A ．－25 B.233C.323D ．2 3．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10C ．5D ．254．已知AB ＝(4,2)，＝(k ，－2)，若△ABC 为直角三角形，则k 等于( )A ．1B ．6C ．1或6D ．1或2或6二、填空题5．(安徽高考)设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________．6．(新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________．8．已知a ＝(1，3)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋λb ，若a 和c 的夹角是锐角，则λ的取值范围是________．三、解答题9．已知向量a 是以点A (3，－1)为始点，且与向量b ＝(－3，4)垂直的单位向量，求a 的终点坐标．10．已知△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标；(3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.答案1．解析：选C 因为2a ＋b ＝(2，4)＋(1，－1)＝(3，3)，a －b ＝(0，3)，所以|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（2a ＋b ）·（a －b ）|2a ＋b ||a －b |＝（3，3）·（0，3）32×3＝22， 又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 2．解析：选A ∵a ＋x b ＝(3，4)＋x (2，－1)＝(3＋2x ，4－x )，－b ＝(－2，1)，且(a ＋x b )⊥(－b )，∴－2(3＋2x )＋(4－x )＝0，得x ＝－25. 3．解析：选C 法一：设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝2x ＋y ＝10 ①，又a ＋b ＝(x ＋2，y ＋1)，|a ＋b |＝52，∴(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝50 ②①与②联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. ∴|b |＝x 2＋y 2＝5.法二：由|a ＋b |＝52得a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，即5＋20＋b 2＝50 ∴b 2＝25|b |＝5.4．解析：选C 当A ＝90°时，AC ⊥AB ，则4k －4＝0，k ＝1；当B ＝90°时，AB ⊥，又BC ＝AC －AB ＝(k －4，－4)∴4(k －4)＋2×(－4)＝0解得k ＝6；当C ＝90°时，AC ⊥，则k (k －4)＋(－2)×(－4)＝0即k 2－4k ＋8＝0，无解．故k ＝1或6.5．解析：由题意知，a ＋c ＝(3，3m )，(a ＋c )·b ＝3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12， 即a ＝(1，－1)，|a |＝12＋（－1）2＝ 2. 答案： 26．解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c ＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12，由b·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2. 答案：27．解析：本题主要考查向量的基本知识及运算．由题意，将b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b 整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2. 答案：27．解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)．又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②解①②得x ＝－79，y ＝－73. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 8．解析：由条件得，c ＝(1＋λ，3＋λ)，从而 ⎩⎪⎨⎪⎧a ×c ＝1＋λ＋3（3＋λ）>0，1＋λ1≠3＋λ3，⇒λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞) 9．解：∵b 是直线y ＝－43x 的方向向量，且a ⊥b . ∴a 是直线y ＝34x 的方向向量． ∴可设a ＝λ(1，34)＝(λ，3λ4)． 由|a |＝1，得λ2＋916λ2＝1. 解得λ＝±45， ∴a ＝(45，35)或a ＝(－45，－35)． 设a 的终点坐标为(x ，y )则⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝45，y ＋1＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－45，y ＋1＝－35.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝195，y ＝－25，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝－85. ∴a 的终点坐标是(195，－25)或(115，－85)． 10．∴5(x ＋1)＝5(y ＋2)，② 由①②解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为(72，52)，。
2017-2018学年高中数学北师大版必修四习题：课下能力提升(二十八)
课下能力提升(二十八) 半角公式及其应用一、选择题1．已知tan α2＝3，则cos α为( )A.45 B ．－45 C.415 D ．－352．已知α为第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于( )A.43B.34 C ．－43 D ．－343．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a4．化简4cos 2α÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2的结果为( ) A ．－12cos αsin α B ．sin 2αC ．－sin 2αD ．2sin 2α 二、填空题5．计算：sin π8＝________．6．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值为________． 7．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________．8．已知sin α2－cos α2＝－55，若450°<α<540°，则tan α2＝________．三、解答题9．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.10．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1(x ∈R )，求函数的最大值及对应自变量x 的集合．答案1．解析：选B 法一：cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45.法二：∵tan α2＝3，∴1－cos α1＋cos α＝9，即1－cos α＝9＋9cos α，解得cos α＝－45.2．解析：选C ∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－（－2425）2＝－725，tan α2＝1－cos αsin α＝1－（－725）－2425＝－43.3．解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°， b ＝2tan 13°cos 213°cos 213°＋tan 213°cos 213°＝2sin 13°cos 13°cos 213°＋sin 213° ＝sin 26°，c ＝sin 25°. 由24°<25°<26°可得a <c <b .4．解析：选B 原式＝4cos 2αtanα21－tan2α2＝2cos 2αtan α＝2cos 2αsin αcos α＝2sin αcos α＝sin 2α.5．解析：sin π8＝1－cosπ42＝ 1－222＝2－22. 答案：2－226．解析：∵cos A ＝13，∴原式＝cos 2A2＋cos 2A＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝1＋132＋2×(13)2－1＝－19.答案：－197．解析：原式＝cos 2α1＋cos 2α·2sin 2αcos 2α＝1＋cos 2α21＋cos 2α·2tan 2α ＝12×2tan 2α ＝tan 2α. 答案：tan 2α8．解析：由条件知1－2sin α2cos α2＝15，∴2sin α2cos α2＝45，即sin α＝45又450°<α<540°，cos α<0， ∴cos α＝－35.tan α2＝1－cos αsin α＝1＋3545＝2.答案：29．解：原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝cos 30°＝32. 10．解：y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12sin(2x ＋π6)＋54， y 取最大值，只需2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即x ＝k π＋π6(k ∈Z )．∴y max ＝74.∴当函数y 取最大值74时，自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z .。
2017-2018学年高中数学 课下能力提升(十六)数乘向量 北师大版必修4
课下能力提升(十六) 数 乘 向 量一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向2．已知O 、A 、M 、B 为平面上四点，且＋(1－λ)·，λ∈(1,2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O 、A 、M 、B 四点共线3．已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外的一点，满足，则λ的值为( )A ．－12B ．－13 C.12 D.134.四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则( )二、填空题5．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则＝________.6．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________．7．已知△ABC 和点M 满足＝0.若存在实数m 使得成立，则m ＝________.8．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且CB ＝a ，＝b ，给出下列命题：其中所有正确命题的序号为________． 三、解答题9．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知＝e 1＋3e 2，＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，试求k 的值．10．△ABC 中，，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设＝b ，试用a 、b 表示向量.答案1．解析：选D ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )＝λa －λb .又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.∴c ＝－d ，∴c 与d 反向． 2．∵λ∈(1，2)，∴点M 在线段AB 的延长线上， 即点B 在线段AM 上． 3．5.5．解析：∵AC CB ＝32，∴点C 为线段AB 的5等分点，答案：35 －256．解析：由已知可得72x －23a ＋12b －12c ＝0，∴x ＝421a －17b ＋17c .答案：421a －17b ＋17c7．答案：3 8．解析：∵D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点．＝(12a －b )＋(－a ＋12b )＋(12a ＋12b )＝0. 故②③④正确． 答案：②③④ 9．解：＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2) ＝e 1－4e 2若A 、B 、D 三点共线，则，从而存在唯一实数λ，使，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)整理得(2－λ)e 1＝－(k ＋4λ)e 2 ∵e 1、e 2不共线∴⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝0k ＋4λ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－8即k 的值为－8时，A 、B 、D 三点共线．10．。
2017-2018学年高中数学北师大版必修四习题：课下能力提升(四) Word版含答案
课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式一、选择题1．cos 150°的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.322．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－333．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( )①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0，③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( ) ①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3 ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6 ③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6 ⑤sin ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π3，()n ∈Z A ．①② B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________． 6．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________． 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值等于________． 8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________．三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）， (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值．答案1．解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝±3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3.3．解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝－sin π3； ②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3； ③中sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④中cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3； ⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3. 故②③⑤正确．5．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π－π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin π4＝22. 答案：226．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α. 答案：－cos α7．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－13. 答案：－13. 8．解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－2.答案：－29．解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12×32×1212×12＝－32. 10．解：(1)f (α)＝－sin α×cos α×（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α； (2)f ⎝ ⎛⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。
【教育专用】2017_2018学年高中数学课下能力提升二十二新人教A版必修4
课下能力提升(二十二)[学业水平达标练]题组1 给角求值问题1．cos(－75°)的值是( ) A.6－22 B.6＋22 C.6－24 D.6＋242．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( ) A.32B.12C.1＋32 D.3－123．－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°＝________．题组2 给值(式)求值问题4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C.6365D.33655．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( ) A.3365B ．－3365C.5465D ．－54656．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则cos α的值为________． 7．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＋2cos x 的值． 题组3 给值求角问题8．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π49．若α∈[0，π]，sin α3sin 4α3＋cos α3cos 4α3＝0，则α的值是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π210．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求角β的大小．[能力提升综合练]1．cos 165°的值是( ) A.6－22 B.6＋22 C.6－24 D.－6－242．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0<θ<π3，则cos θ等于( ) A.53＋1226 B.12－5313C.5＋12326 D.6＋5313 3．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )，且a ·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1 5．已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________． 6．已知cos(α－β)＝－35，cos(α＋β)＝35，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值． 7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．答 案[学业水平达标练]1. 解析：选C cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos 45°·cos 120°＋sin 45°sin 120°＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋22×32＝6－24，故选C. 2. 解析：选B sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°＋sin 11°sin 71°＝cos (11°－71°)＝cos(－60°)＝12.故选B. 3. 解析：－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°＝－sin 40°(－sin 39°)＋cos 40°cos 39°＝cos(40°－39°)＝cos 1°.答案：cos 1°4. 解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213， ∴sin α＝1－cos 2α＝513. ∵β为第三象限角，且sin β＝－35， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－45， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－6365.故选A.5. 解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213， ∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365. 6. 解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3， ∴π3＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin π3 ＝－513×12＋1213×32＝123－526. 答案：123－5267. 解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x ＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35. 8. 解析：选B ∵cos αcos β＝32－sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32， 即cos(α－β)＝32，经验证可知选项B 正确． 9. 解析：选D 由已知得cos 4α3cos α3＋sin 4α3sin α3＝0， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α3－α3＝0，cos α＝0，又α∈[0，π]， 所以α＝π2，选D. 10. 解：因为sin(π－α)＝437，所以sin α＝437.因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝17. 因为cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 因为0<β<π2，所以β＝π3. [能力提升综合练]1. 解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－22×32－22×12＝－6－24. 2. 解析：选A ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213.故cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 3. 解析：选B 因为a ·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形．4. 解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.故选C. 5. 解析：因为α为锐角，所以sin α＝437.因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由cos α＝17<12，得π3<α<π2，从而2π3<α＋β<π，于是cos(α＋β)＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12. 答案：126. 解：由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos(α－β)＝－35， 可知sin(α－β)＝45. 又∵α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos(α＋β)＝35， ∴sin(α＋β)＝－45，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝－1.∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2， ∴2β＝π，故β＝π2. 7. 解：∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α2<π2，0<β2<π4，π2<α＋β<3π2. ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，π4<α＋β2<3π4. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1213， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝513. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＋45×1213＝－1565＋4865＝3365.。
2017-2018学年高中数学北师大版四习题：课下能力提升(二十八)含答案
课下能力提升(二十八) 半角公式及其应用一、选择题1．已知tan 错误!＝3，则cos α为( ）A。
错误!B．－错误!C。
415D．－错误!2．已知α为第三象限角，且sin α＝－错误!，则tan 错误!等于( ）A。
错误!B。
错误!C．－错误!D．－错误!3．设a＝错误!cos 6°－错误!sin 6°，b＝错误!,c＝错误!，则有( ）A．a>b〉c B．a<b〈cC．a<c〈b D．b〈c〈a4．化简4cos2α÷错误!的结果为( ）A．－错误!cos αsin αB．sin 2αC．－sin 2αD．2sin 2α二、填空题5．计算：sin π8＝________．6．在△ABC中，若cos A＝错误!,则sin2错误!＋cos 2A的值为________．7．化简：错误!·错误!＝________．8．已知sin α2－cos 错误!＝－错误!，若450°<α<540°，则tan 错误!＝________．三、解答题9．求值：错误!－sin 10°错误!。
10．已知函数y＝错误!cos2x＋错误!sin x cos x＋1（x∈R)，求函数的最大值及对应自变量x的集合．答案1．解析：选B 法一：cos α＝cos2错误!－sin2错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。
法二：∵tan 错误!＝3，∴错误!＝9，即1－cos α＝9＋9cos α，解得cos α＝－错误!.2．解析：选C ∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－ 1－（－2425）2＝－错误!， tan 错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。
3．解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°， b ＝错误!＝错误!＝sin 26°，c ＝sin 25°。
2017-2018学年高中数学北师大版必修四习题：课下能力提升(二十)
课下能力提升(二十) 从力做的功到向量的数量积一、选择题1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的射影是32，则a ·b ＝( ) A ．3 B.92C ．2 D.122．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.73．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( )A.π6B.π4C.π3 D.π2 4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0二、填空题5．已知|a |＝1，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝________．6．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，且|2a ＋b |＝10，则向量a 与a －2b 的夹角为________．7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________．8．设a ，b ，c 是三个任意的非零向量，且互不平行，以下四个命题：①|a |＋|b |>|a ＋b |；②若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；③向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；④若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影长．其中正确的命题是________(填序号)三、解答题9．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，求a 与b 的夹角θ的范围．10．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．答案1．解析：选B 设a ，b 的夹角为θ(0≤θ≤π)依题意，|a |cos θ＝32，而|b |＝3. ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92. 2．解析：选B ∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝1－4×12＋4＝3， ∴|a ＋2b |＝ 3.3．解析：选C 设向量a 与向量b 的夹角为θ(0≤θ≤π)，由条件得a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝2＋a 2＝3＝|a ||b |cos θ＝1×6×cos θ，所以cos θ＝12， 又因为0≤θ≤π，所以θ＝π3. 4．解析：选D ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵a ∥b ，∴b ⊥c .∴b ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0.5．解析：由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2得16＝1－2a ·b ＋9，2a ·b ＝－6∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－6＋9＝4|a ＋b |＝2.答案：26．解析：由|2a ＋b |＝10得，4|a 2|＋4a ·b ＋|b |2＝10，∴4·12＋4a ·b ＋22＝10，∴a ·b ＝12， ∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝1－2×12＝0. 故a ⊥(a －2b )，即a 与a －2b 的夹角为90°.答案：90°7．解析：∵a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )×1×1×cos 2π3－2 ＝2k －52＝0， ∴k ＝54. 答案：548．解析：①正确，根据三角形两边之和大于第三边；②错误，由a ≠0，a ·b ＝0可得b ＝0或a ⊥b ；③错误，a ·b >0时a 与b 可以同向；④错误，|b |cos θ表示b 在a 方向上的射影，不是长度，故正确的个数只有1个．答案：①9．解：由(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×32－2×42＋3a ·b ≥4得a ·b ≥6， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 3×4≥63×4＝12. 又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 10．解：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·[－k a ＋t b ]＝0， ∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0.∴k ＝14(t 2－3t ) ＝14(t －32)2－916(t ≠0)． 故当t ＝32时，k 取最小值－916.。
2017-2018学年高一数学北师大版必修四习题：课下能力提升(十二) Word版含答案
课下能力提升(十二) 三角函数的简单应用一、选择题1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( ) A ．98π B.1972πC.1992π D ．100π 2. 如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝53．一简谐运动的图像如图，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时加速度最大 4．下表是某城市2011年月平均气温(单位：°F).若用x 表示月份，y 表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是( ) A ．y ＝26cosπ6x B ．y ＝26cos π（x －1）6＋46C ．y ＝－26cos π（x －1）6＋46D ．y ＝26cos π6x ＋46 二、填空题5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．6. 如图是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的振动函数的一个解析式为________．7．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1和s 2 cm 分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6；s 2＝10cos 2t .则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是________．8. (江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________． 三、解答题9．如图，表示电流Ι与时间t 的关系式Ι＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出Ι＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)若函数Ι＝A sin(ωt ＋φ)在任意一段1100秒的时间内能同时取最大值A 和最小值－A ，那么正整数ω的最小值为多少？10．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是在某港口某季节每天的时间与水深关系表：(1) (2)一条货船的吃水深(船底与水面的距离)为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？答案1．解析：选B 由4914T ≤1，得T ≤4197，即2πω≤4197，ω≥1972π.2. 解析：选A 依题意A ＝3，且水轮每15 s 转一圈，故周期T ＝15，ω＝2πT ＝2π15.3．解析：选B 周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 错； 由题中图像可知，振幅为5 cm ，故B 正确； 在最高点时，速度为零，加速度最大，故C ，D 错．4．解析：选C 由数据得到，从1月到7月是上升的趋势，只有C 满足要求． 5．解析：因为周期T ＝2πg l，所以g l ＝2πT＝2π， 则l ＝g4π2.答案：g 4π26. 解析：设函数的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)(t ≥0) 由图像知A ＝2，T ＝2×(0.5－0.1)＝0.8(s)， 所以ω＝2π0.8＝52π，∴y ＝2sin(52πx ＋φ)．又52π×0.1＋φ＝π2，所以φ＝π4. 所以函数解析式为y ＝2sin(52πt ＋π4)(t ≥0)．答案：y ＝2sin(52πt ＋π4)(t ≥0)7．解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，∴s 1＝s 2. 答案：s 1＝s 28．解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图像经过点(π3，0)，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为ƒ(x )＝2sin(2x ＋π3)，所以ƒ(0)＝2sin π3＝62.答案：629. 解：(1)由题图可知A ＝300，T ＝160－(－1300)＝150，所以ω＝2πT ＝100π.又因为(1150，0)在函数图像上，所以1150×100π＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝13π＋2k π，k ∈Z ，所以Ι＝300sin(100πx ＋13π)；(2)依题意有T ≤1100，即2πω≤1100.所以ω≥200π，又因为ω∈N ＋，所以ω的最小正整数为629.10．解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，通过画草图可知用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h (A >0，ω>0)来刻画水深与时间之间的对应关系．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋h ＝7.5，－A ＋h ＝2.5，T ＝12，解得A ＝2.5，h ＝5，φ＝π6.∴这个港口的水深与时间的关系可用 y ＝52sin π6x ＋5近似描述． (2)货船需要的安全水深为5＋1.25＝6.25米， 所以y ≥6.25时就可以进港，令 52sin π6x ＋5＝254⇒sin π6x ＝12. 在区间[0，12]内，π6x ＝π6或者π6x ＝π－π6，解得x ＝1或x ＝5.由周期性可得在[12，24]内x ＝13或x ＝17，∴货船可以在1时进港，早晨5时出港；或在中午13时进港，下午17时出港，每次在港口停留4小时.。
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课下能力提升(二十二) 向量应用举例
一、选择题
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值是( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
2．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小为(精确到0.1 N)( )
A．20.6 N B．18.8 N
C．20.8 N D．36.8 N
3．在△ABC中，若＝0，则△ABC为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．无法确定
4．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
二、填空题
5．已知F＝(2，3)作用于一物体，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则力F对物体做的功为________．
6．已知直线l经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则原点O到直线l的距离为________．7．在边长为1的正三角形中，设，则＝________.
8．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则＝__________.
三、解答题
9．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告的实际风速为2 m/s，试求风的实际方向和汽车速度的大小．
10．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．
答案
1．解析：选D 取直线l 的方向向量v ＝(－2，m )，则m (1－m )－1×(－2)＝0，即m 2
－m －2＝0，得m ＝－1或m ＝2.
2．解析：选C
设两条绳索的拉力F 1，F 2的合力为F 合．如图所示，则
＝12，F 合＝，连接BD 交AC 于M ，∠BAM ＝30°，∴|F 合|＝2|
|＝2×12cos 30°＝123≈20.8 N.
3．
4．解析：选D 由题可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)．
5．解析：∵AB ＝(－4,3)，
∴W ＝F ·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.
答案：1
6．解析：可知直线l 的斜率k ＝－12
， ∴l 的方程为y ＝－12
(x ＋5)， 即x ＋2y ＋5＝0，
∴原点到l 的距离为d ＝5
12＋22＝1.
答案：1
7．
＝12(－1－13×1×1×cos 60°＋23
×1) ＝－14
. 答案：－14
8．解析：
如图，取D 为AB 的中点，∵OA ＝1，AB ＝3，
∴∠AOD ＝π3
. ∴∠AOB ＝2π3
. ∴
＝1×1×cos 2π3 ＝－12
. 答案：－12
9．解：依据物理知识，有三对相对速度， 车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地。