2017-2018学年(新课标)最新福建省三明市高一下期末数学试卷(有答案)-精品试题

2017-2018学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．直线x+y+3=0的倾角是（）A．﹣B．C．D．2．若a＜b＜0，c∈R，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．ac＞bc D．a2＜b23．圆C1：x2+y2=9与圆C2：（x+3）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离4．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a7成等比数列，则a5=（）A．4 B．5 C．6 D．85．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内6．若变量x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y 的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．已知直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2（a＞0，b＞0）相切，则ab的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．（0，3] D．（0，9]9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点D到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}通项公式a n=（）n﹣1（n﹣8）（n∈N+），则数列{a n}的最大项为（）A．a13B．a15C．a10和a11D．a16和a1711．在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．2πB．2πC．6πD．12π12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=0，a n+1=（n∈N+）．则a33=（）A．4（4﹣）B．4（4﹣）C．4（﹣4）D．4（﹣）二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知直线x﹣ay+a=0与直线3x+y+2=0垂直，则实数a的值为．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=4，sinB=，则角A等于．15．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，则实数b的值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，动点P，Q，R分别在边AB、BC、CA上，且满足PQ=QR=PR，则线段PQ的最小值是．三、解答题（共6小题，满分52分）17．已知直线l过点（3，1）且与直线x+y﹣1=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若将直线l与x轴、y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积．18．已知数列{a n}是等差数列，且a3=5，a6=11，数列{b n}是公比大于1的等比数列，且b1=1，b3=9．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A=45°，a=6．（1）若∠C=105°，求b；（2）求△ABC面积的最大值．20．已知圆C经过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）．（1）求圆C的方程；（2）设直线x﹣y+m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m 的值．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+2（a∈R）．（I）当a=2时，解不等式f（x）＞1；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2，∠PDC=120°．（1）如图2，设点E为AB的中点，点F在PC的中点，求证：EF∥平面PAD；（2）已知网络纸上小正方形的边长为0.5，请你在网格纸用粗线画图1中四棱锥P﹣ABCD的俯视图（不需要标字母），并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．直线x+y+3=0的倾角是（）A．﹣B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角．【解答】解：由x+y+3=0得，y=﹣x﹣3，∴斜率k=﹣1，则tanθ=﹣1，∴直线x+y+3=0的倾斜角为，故选：D．2．若a＜b＜0，c∈R，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．ac＞bc D．a2＜b2【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论．【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴，即＞，故A正确；∵a＜a﹣b＜0，∴＜，故B错误，当c≥0时，ac≤bc，故C错误，a2＞b2，故D错误，故选：A．3．圆C1：x2+y2=9与圆C2：（x+3）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断．【解答】解：圆C1：x2+y2=9的圆心C1（0，0），半径r=3，圆C2：（x+3）2+（y+4）2=16，圆心C2：（﹣3，﹣4），半径R=4，两圆心之间的距离=5满足4﹣3＜5＜4+3，∴两圆相交．故选：B．4．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a7成等比数列，则a5=（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式、等比中项的性质列出方程，化简后求出a1，由等差数列的通项公式求出a5．【解答】解：∵差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a7成等比数列，∴，则，化简得，a1=2，∴a5=a1+4=6，故选：C．5．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】通过假设过点P且平行于l的直线有两条m与n的出矛盾，由题意得m∥l且n∥l，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内．【解答】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n∴m∥l且n∥l由平行公理4得m∥n这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误．故选B．6．若变量x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y 的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】简单线性规划．【分析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值【解答】解：已知不等式组表示的区域如图，由目标函数的几何意义得到，当直线z=2x+y经过图中B时，在y轴的截距最大，即z最大，又B（2，1），所以z是最大值为2×2+1=5；故选：C．7．在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由空间两点间距离公式分别求出三边长，再由勾股定理能判断三角形的形状．【解答】解：∵三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），∴|AB|==，|AC|==，|BC|==1，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC是直角三角形．故选：A．8．已知直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2（a＞0，b＞0）相切，则ab的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．（0，3] D．（0，9]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r，求出a+b的值，再利用基本不等式求出ab的取值范围．【解答】解：直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2（a＞0，b＞0）相切，则圆心C（a，b）到直线的距离为d=r，即=，∴|a+b﹣1|=2，∴a+b﹣1=2或a+b﹣1=﹣2，即a+b=3或a+b=﹣1（不合题意，舍去）；当a+b=3时，ab≤=，当且仅当a=b=时取“=”；又ab＞0，∴ab的取值范围是（0，]．故选：B．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点D到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】先求得V D1﹣ADC，进而求得AD1，AC，CD1，进而求得△ACD1的面积，最后利用等体积法求得答案．【解答】解：依题意知DD1⊥平面ADC，则V D1﹣ADC==，∵AD1=AC=CD1=2∴S△ACD1==2，设D到平面ACD1的距离为d，则V D﹣ACD1=•d•S△ACD1=•d•2=V D1﹣ADC=，∴d=．故选：B．10．已知数列{a n}通项公式a n=（）n﹣1（n﹣8）（n∈N+），则数列{a n}的最大项为（）A．a13B．a15C．a10和a11D．a16和a17【考点】数列的函数特性．【分析】作差分类讨论，利用数列的单调性即可得出．【解答】解：a n+1﹣a n=﹣（）n﹣1（n﹣8）=×．n≥10时，a n+1﹣a n≤0，即a n+1≤a n（n=10时取等号），数列{a n}单调递减；n≤9时，a n+1﹣a n＞0，即a n+1＞a n，数列{a n}单调递增．又n≤8时，a n≤0；n≥9时，a n＞0．∴n=10或11时，数列{a n}取得最大值，其最大项为a10和a11．故选：C．11．在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．2πB．2πC．6πD．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为2，，，则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥S﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为2，，，则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=4，y2+z2=3，x2+z2=5，∴x2+y2+z2=6∴三棱锥S﹣ABC外接球的直径为，∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为=6π．故选：C．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=0，a n+1=（n∈N+）．则a33=（）A．4（4﹣）B．4（4﹣）C．4（﹣4）D．4（﹣）【考点】数列递推式．【分析】a n+1=（n∈N+），可得﹣=n，利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式及其递推关系即可得出．【解答】解：∵a n+1=（n∈N+），a n+1=S n+1﹣S n，∴﹣=n，∴=﹣++…++=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+0=．∴S n=，∴a33=S33﹣S32=﹣=4，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知直线x﹣ay+a=0与直线3x+y+2=0垂直，则实数a的值为 3 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵直线x﹣ay+a=0与直线3x+y+2=0垂直，∴3﹣a=0，解得a=3．故答案为：3．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=4，sinB=，则角A等于．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，从而可求A的值．【解答】解：∵a=3，b=4，sinB=，∴由正弦定理可得：sinA===，∵a＜b，∴A为锐角，可得A=．故答案为：．15．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，则实数b的值为 2 ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程实数根之间的关系，即可求出答案．【解答】解：关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，∴1，b是一元二次方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且a＞0；∴a﹣3+2=0，解得a=1；由方程x2﹣3x+2=0，解得b=2．故答案为：2．16．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，动点P，Q，R分别在边AB、BC、CA上，且满足PQ=QR=PR，则线段PQ的最小值是．【考点】不等式的实际应用．【分析】设∠BPQ=α，PQ=x，用x，α表示出AP，∠ARP，在△APR中，使用正弦定理得出x关于α的函数，利用三角函数的性质得出x的最小值．【解答】解：∵PQ=QR=PR，∴△PQR是等边三角形，∴∠PQR=∠PRQ=∠RPQ=60°，∵矩形ABCD中，AB=2，BC=2，∴∠BAC=30°，∠BCA=60°，设∠BPQ=α（0＜α＜90°），PQ=x，则PR=x，PB=xcosα，∠APR=120°﹣α，∴∠ARP=30°+α，AP=2﹣xcosα．在△APR中，由正弦定理得，即，解得x==．∴当sin（α+φ）=1时，x取得最小值=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分52分）17．已知直线l过点（3，1）且与直线x+y﹣1=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若将直线l与x轴、y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）设直线方程为x+y+c=0，代入（3，1），求出c，即可求直线l的方程；（2）将直线l与x轴、y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到一个几何体为圆锥，底面半径为4，高为4，利用圆锥的体积公式，即可得出结论．【解答】解：（1）设直线方程为x+y+c=0，代入（3，1），可得3+1+c=0，所以c=﹣4，所以直线l的方程为x+y﹣4=0；（2）将直线l与x轴、y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到一个几何体为圆锥，底面半径为4，高为4，所以体积为=．18．已知数列{a n}是等差数列，且a3=5，a6=11，数列{b n}是公比大于1的等比数列，且b1=1，b3=9．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式由已知条件求出首项和公比，由此能求出等差数列{a n}的通项公式；由数列{b n}是以b1=3为首项，公比为3的等比数列，能求出{b n}的通项公式．（Ⅱ）由c n=（2n﹣1）﹣3n，利用分组求和法能求出数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=5，a6=11，∴得，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∵b1=1，b3=9．∴q2b1=9．即q2=9，∵q＞1，∴q=3，即数列{b n}是以b1=3为首项，公比为3的等比数列，∴．（Ⅱ）∵c n=a n﹣b n，∴c n=（2n﹣1）﹣3n，∴S n=1+3+5+7+…+（2n﹣1）﹣（3+32+33+…+3n）=﹣=n2﹣（3n﹣1）．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A=45°，a=6．（1）若∠C=105°，求b；（2）求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用和差公式与正弦定理即可得出．（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bcsinA，利用基本不等式的性质可得：36≥2bc﹣2bc×，进而得出．【解答】解：（1）sin105°=sin75°=sin（30°+45°）=+=．由正弦定理可得：=，∴c==．（2）a2=b2+c2﹣2bcsinA，∴36≥2bc﹣2bc×，解得bc≤′18（2+）．当且仅当b=c=3时取等号．∴S△ABC=sinA≤×=9（1+）．∴△ABC面积的最大值是9（1+）．20．已知圆C经过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）．（1）求圆C的方程；（2）设直线x﹣y+m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m 的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法列出方程组，即可求出圆的方程；（2）设出点A、B以及AB的中点M的坐标，由方程组和中点坐标公式求出点M 的坐标，代入圆的方程x2+y2=5中，即可求出m的值．【解答】解：（1）设过点O、M1和M2圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣8，E=6，F=0；所求圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0，化为标准方程是：（x﹣4）2+（y+3）2=25；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），由方程组，消去y得2x2+2（m﹣1）x+m2+6m=0，所以x0==，y0=x0+m=，因为点M在圆上，所以+=5，所以+=5，解得m=±3．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+2（a∈R）．（I）当a=2时，解不等式f（x）＞1；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x2﹣3x+2，求不等式f（x）＞1的解集即可；（Ⅱ）讨论a=0与a＞0、a＜0时，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值是什么，由此建立不等式求出a的集合即可．【解答】解：（Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x2﹣3x+2，不等式f（x）＞1化为2x2﹣3x+1＞0，解得x＜或x＞1；所以该不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；（Ⅱ）由对任意x∈[﹣1，3]，都有f（x）≥0成立；讨论：①当a=0时，f（x）=﹣x+2在区间[﹣1，3]上是单调减函数，且f（3）=﹣3+2=﹣1＜0，不满足题意；②当a＞0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+＞，若+＜3，则a＞，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（+）≥0，即a2﹣6a+1≤0，解得3﹣2≤a≤3+2，取＜a≤3+2；若+≥3，则0＜a≤，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（3）≥0，解得a≥，取≤a≤；当a＜0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+＜，函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（3）≥0，解得a≥，此时a不存在；综上，实数a的取值范围是≤a≤3+2．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2，∠PDC=120°．（1）如图2，设点E为AB的中点，点F在PC的中点，求证：EF∥平面PAD；（2）已知网络纸上小正方形的边长为0.5，请你在网格纸用粗线画图1中四棱锥P﹣ABCD的俯视图（不需要标字母），并说明理由．【考点】简单空间图形的三视图；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证EF∥平面PAD，需要证面GEF∥面PAD，需要证GF∥PD，GE∥AD，易得证明思路．（2）证明AD⊥平面PCD，P在平面ABCD的射影H在CD的延长线上，且DH=1，即可得出四棱锥P ﹣ABCD的俯视图．【解答】（1）证明：取DC的中点G，连接EG、FG，∵F是PC的中点，G是DC的中点，∴GF是△PCD的中位线，GF∥PD；∵G是DC的中点，E是AB的中点，∴GE是矩形ABCD的中位线，GE∥AD；GE、GF⊆面GEF，GE与GF相交，∴面GEF∥面PAD，∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAD．（2）解：∵AD=PD=2，PA=2，∴AD⊥PD，∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，∵PD∩DC=D，∴AD⊥平面PCD，∴P在平面ABCD的射影H在CD的延长线上，且DH=1．俯视图如图所示．2016年9月2日。