最新高一下学期月考数学试卷
2023-2024学年陕西省西安高一下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年陕西省西安高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知点()1,2A ，()1,0B -，则AB =uu u r（）A ．()2,0B ．()2,2C ．()2,2--D ．()0,2【正确答案】C根据平面向量的坐标表示，求出AB即可.【详解】点()1,2A ，()1,0B -，则()()11,022,2AB =---=-- .故选：C .本题考查向量的坐标运算，属于基础题.2．若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1C D ．2【正确答案】D【分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.3．已知向量a 、b 的夹角为3π4，a = ，1b = ，则3a b -=r r （）A ．4B ．5C ．D ．【正确答案】B【分析】根据平面向量的数量积公式可得1a b ⋅=-，再根据|3|a b -= .【详解】因为3π||||cos 1()142a b a b ⋅=⨯⨯-=-，所以|3|a b -= =5==.故选：B4．已知向量()1,2a b += ，()3,4c =-- ，且b c ⊥ ，则a 在c方向上的投影是（）A ．115B ．-11C ．115-D ．11【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出a c ⋅，再利用投影的意义求解作答.【详解】因为b c ⊥，则()a b c a c b c a c +⋅=⋅+⋅=⋅ ，而向量()1,2a b += ，()3,4c =-- ，于是1(3)2(4)11a c ⋅=⨯-+⨯-=-，所以a 在c方向上的投影是115||a c c ⋅==-.故选：C5．正四面体A BCD -的棱长为）A ．34B ．14C ．18D ．19【正确答案】D【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答.【详解】依题意，正四面体A BCD -的内切球与外接球球心重合，记为O ，令正BCD △的中心为G ，连接,,AG BG OB，显然点O 在AG 上，令正四面体A BCD -的内切球与外接球半径分别为,r R ，即,OG r OA OB R ===，而22sin 603323BG BC ==⨯⨯=，则3AG ==，在Rt BOG △中，222)R R =+，解得Rr AG R =-=所以它的内切球与外接球的表面积之比为2224π1()4π9r r R R ==.故选：D6．设当0x x =时，函数()3sin 4cos f x x x =-取最大值，则0cos x =（）A ．5-B ．45-C ．35-D ．35【正确答案】B【分析】利用辅助角公式变形函数()f x ，并确定辅助角的正余弦值，再利用正弦函数性质求解作答.【详解】函数34()5()5sin()55f x x x x ϕ=-=-，其中锐角ϕ由43sin ,cos 55ϕϕ==确定，依题意，0sin()1x ϕ-=，即0π2π,Z 2x k k ϕ-=+∈，即0π2π,Z 2x k k ϕ=++∈，所以0π4cos cos()sin 25x ϕϕ=+=-=-.故选：B7．在OAB 中，C ，D 分别为AB ，OB 的中点，E 为OA 边上离点O 最近的四等分点，F 为AD ，CE 的交点若OA a = ，OB b = ，则OF =（）A ．23510a b+ B ．2355a b+C ．13510a b+ D ．33510a b+ 【正确答案】A【分析】根据给定的条件，利用平面向量基本定理确定出点F 的位置，再利用向量的线性运算求解作答.【详解】在OAB 中，依题意，1122AD OD OA OB OA a b =-=-=-+，点F 在AD 上，即//AF AD ，于是1,R 2AF t AD ta tb t ==-+∈ ，而14OE a =，则1331()()2442EF AF AE ta tb a t a tb =-=-+--=-+ ，13111()24242CE AE AC AE AB a b a a b =-=-=---=--，由于点F 在CE 上，即//EF CE ，而,a b不共线，因此31421142t t -=--，即43t t -=-，解得35t =，则33510AF a b =-+ ，所以3323()510510OF OA AF a a b a b =+=+-+=+ .故选：A8．已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．[23，34]C ．[13，23] {34}D ．[13，23） {34}【正确答案】C【详解】试题分析：由()f x 在R 上单调递减可知34013{313401a a a a -≥≥⇒≤≤<<，由方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知32,a ≤，1233a ≤≤，又34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的取值范围是123[,]334⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，故选C.函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、多选题9．已知向量a，b 满足||1a = ，||2b = ，||a b +=）A ．2a b ⋅=-B ．()a ab ⊥+ C ．||a b -=D ．a与b的夹角为3π【正确答案】BC【分析】先利用平面向量的数量积运算得到1a b ⋅=-，即可得到()a a b ⋅+ 的值，再利用平面向量的数量积运算得到|a b - ∣，最后求解cos ,a b <>，即可判断选项.【详解】222||21243a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+=，∴1a b ⋅=-，∴2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=，∴()a a b ⊥+ ，|a b -= ∣，1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-，∴a 与b的夹角为23π，故BC 正确.故选：BC.10．设向量a 、b是不共线的两个平面向量，已知sin PQ a b α=+⋅ ，其中()0,2απ∈，2QR a b =-，若P 、Q 、R 三点共线，则角α的值可以是（）A ．6πB ．56πC ．76πD ．116π【正确答案】CD【分析】三点共线转化为向量共线，再由向量共线的列式求出α值判断作答.【详解】因为,,P Q R 三点共线，即,PQ QR 共线，则存在实数k 使得PQ kQR =，因此sin (2)2a b k a b ka kb α+⋅=-=- ，又,a b不共线，于是12sin k kα=⎧⎨=-⎩，解得1sin 2α=-，又(0,2π)α∈，所以7π6α=或11π6.故选：CD11．已知函数()cos 2sin 2f x x x =，则下列说法正确的是A ．()f x 的周期为πB ．3x π=是()f x 的一条对称轴C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递减区间【正确答案】ABD【分析】化简()cos 22f x x x =可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数性质即可判断A,B 正确，再利用复合函数的单调性规律即可判断C 错误，D 正确；问题得解.【详解】由()cos 2sin 2f x x x =可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的周期为22T ππ==，所以A 正确；将3x π=代入()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得：2cos 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时()f x 取得最小值2-，所以3x π=是()f x 的一条对称轴，所以B 正确；令23t x π=+，则()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2cos y t =，23t x π=+复合而成；当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，23t x π=+在,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦递增，2cos y t =在2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦不单调，由复合函数的单调性规律可得：,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的一个递增区间；所以C 错误.当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]0,t π∈，23t x π=+在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦递增，2cos y t =在[]0,t π∈单调递减，由复合函数的单调性规律可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦递减，所以D 正确；故选ABD本题主要考查了三角函数的性质及两角和的余弦公式逆用，还考查了复合函数单调性规律，考查转化能力，属于中档题．12．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（）A ．圆锥的体积为3B ．圆锥的表面积为C的扇形D ．圆锥的内切球表面积为(24π-【正确答案】ACD【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A 、B 、C ；根据球的表面积公式可判断D.【详解】由题意圆锥的底面半径r =h ==，所以圆锥的体积2133V r h π=⋅⋅=，故A 正确；圆锥的表面积22S rl r πππ=+=+，故B 错误；圆锥的侧面展开图是圆心角2α==，故C 正确；，作出圆锥内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为a ，四边形ABCD 为正方形，所以()22a -⨯=2a =，圆锥的内切球表面积((2244224S a πππ==-=，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．已知A O B '''V 表示水平放置的AOB 的直观图，且A O B '''V 的面积是2，则AOB 的面积是__________.【正确答案】6【分析】根据给定条件，利用斜二测画法水平放置的三角形直观图与原三角形的面积关系直接求解作答.所以AOB的面积6224AOB S ==⨯= .故614．在ABC 中，点F 为线段BC上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>> ，则12x y+的最小值为________【正确答案】8根据C ，F ，B 三点共线可得,x y 的关系，再利用基本不等式解出.【详解】因为()20,0AF xAB y AC x y =+>>，且点F 在线段BC 上，则21x y +=，且0,0x y >>，则()1212424448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立.故8关键点睛：本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，注意当,,A B C 三点共线时，若OA OB OC λμ=+，则必有1λμ+=.15．已知在ABC 中，4AB =，6AC =，其外接圆的圆心为O ，则AO BC ⋅=__________.【正确答案】10【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合圆的性质计算作答.【详解】取AB ，AC 的中点D ，E ，连接,OD OE，如图，当圆心O 与点E 不重合时，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，2,3AD AE ==，则()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅＝()2()2AE EO AE AD DO AD +⋅-+⋅ 222222AE EO AE AD DO AD =+⋅--⋅ 22232210=⨯-⨯=，当圆心O 与点E 重合时，AB BC ⊥，2222111()()(64)10222AO BC AC AC AB AC AB ⋅=⋅-=-=-= ，所以10AO BC ⋅=.故1016．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为______.【正确答案】【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD 长，根据正弦定理，可得BD 长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，所以150ADC ∠=︒，15DAC DCA ∠=∠=︒，所以80AD CD ==，又因为120ACB ∠=︒，所以135,30BCD CBD ∠=︒∠=︒，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠8012=，解得BD =在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，所以222802802AB ⎛=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得AB =m .故四、解答题17．已知向量,,a b c 满足(1,3)a =-，||b = ||c = （1）若a c∥，求c 的坐标；（2）若()2a a b ^- ，求a 与b的夹角.【正确答案】(1)c =- 或(c = .(2)4π.【分析】(1)本题可以设出向量c 的坐标，然后根据||c = a c∥分别列出等式，通过计算即可得出结果；(2)首先可以通过()2a a b ^-以及(1,3)a =- 计算出20a b ×= ，再根据|a |= 、||b = 及向量的数量积公式即可得出结果．【详解】（1）设(,)c x y =因为||c =2220x y +=，①因为a c∥，所以30y x --=，②联立①②，解得x y ì=ïíï=-îx y ì=ïíï=î故c =- 或(c =.（2）因为()2a a b ^- ，所以()20a a b ×-= ，即22a b a ×= ，又因为(1,3)a =- ，所以|a |= 20a b ×=.因为||b =cos ,2a b =因为,[0,]a b狁 p ，所以a 与b 的夹角为4π.本题考查了向量的相关性质，主要考查向量的模长公式、向量的数量积、向量平行的相关性质，向量的数量积公式为cos ,a b a b a b �鬃 ，考查化归与转化思想，是中档题．18．函数()()sin f x A x B ωϕ=++的部分图象如图所示，其中0A >，0ω>，2πϕ<.（Ⅰ）求函数()y f x =解析式；（Ⅱ）求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域.【正确答案】（Ⅰ）()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）[]1,4.（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由46f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ的值，可得函数的解析式；（Ⅱ）由已知可求范围72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图象和性质可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可求解.【详解】（Ⅰ）根据函数()()sin ωφf x A x B =++的一部分图象，其中0A >，0ω>，2πϕ<，可得422A =-=，2B =，12544126T πππω=⋅=-，∴2ω=.又46f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2sin 2246πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，即26k πϕπ=+，∵2πϕ<，∴6πϕ=，∴()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴[]2sin 221,46y x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.本题主要考查由函数()sin y A ωx φ=+的部分图象求解析式、正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在半径为30cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD （点A ，B 在直径上，点C ，D 在半圆周上），并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）.若要求圆柱体罐子侧面积最大，应如何截取？并求侧面积最大值.【正确答案】在半圆直径上取距离圆心O 为cm 的两点A ，B ，以线段AB 为矩形的一边截取铁皮，最大面积为9002cm .【分析】设COB θ∠=，可得ABCD 的面积为()900sin2S θθ=，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】依题意，圆柱体罐子的侧面积即为矩形ABCD 的面积，圆心为O ，连结OC ，如图，设COB θ∠=，π(0,)2θ∈，有30sin BC θ=，30cos OB θ=，因此矩形ABCD 的面积为()230cos 30sin 900sin2S AB BC θθθθ=⋅=⨯⨯=，显然2(0,π)θ∈，当sin21θ=，即π4θ=时，max ()900S θ=2cm ，此时OB =cm ，所以在半圆直径上取距离圆心O 为cm 的两点A ，B ，以线段AB 为矩形的一边截取铁皮，圆柱体罐子的侧面积最大，最大面积为9002cm .20．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，Q 是1CC 的中点．求证：(1)//PO 平面1D BQ ；(2)平面1//D BQ 平面PAO ．【正确答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）先根据中位线的性质证明出1//PO D B ，进而根据线面平行的判定定理证明出线面平行；（2）连接PQ ，易证//PA BQ ，从而//PA 平面1D BQ ，由（1）知//PO 平面1D BQ ，从而证明出平面1//D BQ 平面PAO ．【详解】（1）在1D DB 中，P ，O 分别是1DD 与DB 的中点，所以1//PO D B ．又PO ⊄平面1D BQ ，1D B ⊂平面1D BQ ,所以//PO 平面1D BQ ；（2）连接PQ ，因为P 是1DD 的中点，Q 是1CC 的中点，所以PQ AB =且//PQ AB ，故四边形APQB 是平行四边形，所以//PA BQ ．又PA ⊄平面1D BQ ，BQ ⊂平面1D BQ ，所以//PA 平面1D BQ ．又由（1）得//PO 平面1D BQ ，因为PA PO P =I ，所以平面1//D BQ 平面PAO ．21．在三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C B =+.（1）求B ；（2）若AD 为BAC ∠的平分线，且24BD DC ==，求c .【正确答案】（1）3B π=；（2）1c =.【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，即可求出tan B 和B 的值.（2）利用正弦定理和余弦定理，列方程求出AB 的值.【详解】解：（1）ABC 中，因为cos sin a b C B =+，所以由正弦定理得：sin sin cos sin A B C C B =+；又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin sin B C C B =.因为(0,)C π∈sin 0C ∴≠，所以cos B B =，得tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（2）如图所示，BAD 中，由正弦定理得：sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，CAD 中，由正弦定理得：sin sin CD ACCAD CDA=∠∠；因为sin sin BDA CDA ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠，所以12BD AB CD AC ==；在ABC 中，令AB x =，则2AC x =，由余弦定理可得：223641cos 262x x B x +-==⨯，解得：1x =，或1x =-（不合题意，舍去）；所以1c =.解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22．已知定义在R 上的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）若对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()2()cos 2sin 0f k f θθ+-≤有解，求实数k 的取值范围．【正确答案】（1）1b =，2a =；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）(2,)-+∞.【分析】（1）由函数是奇函数，则(0)0f =，(1)(1)f f -=-，解得a ，b 的值；（2）将函数解析式化为()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++，由1111,22122x ⎛⎫-+∈- ⎪+⎝⎭，求得值域；（3）由定义法证得函数单减，结合奇函数性质，不等式()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤等价于2cos 2sin k θθ≥-+，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，从而求得k的取值范围.【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数，得1(0)02b f a -==+，122(1)(1)14b b f f a a ---==-=-++，1b ∴=，2a =，那么112()2xx f x 2+-=+经检验是奇函数（2）由（1）可得()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++20x > ，211x ∴+>，1(0,1)21x ∴∈+，1111,22122x ⎛⎫∴-+- ⎪+⎝⎭()f x ∴的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设12x x <，则()()()()12211221111111222222x x x x x x f x f x ++++--=-=12x x < ，12220x x ∴-<则()()210f x f x -<，即()()21f x f x <；∴函数()f x 在R 上是减函数．．由()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤，即()()22()cos 2sin cos 2sin f k f f θθθθ≤--=-+，()f x 在R 上是减函数；2cos 2sin k θθ∴≥-+，对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin (1,1)θ∈-，2(sin 1)2(2,2)θ∴+-∈-，2k ∴>-，故得实数k 的取值范围(2,)-+∞．。
数学高一月考试题及答案
数学高一月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2+3x-5，则f(-2)的值为：A. 3B. -3C. -1D. 12. 在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，该圆的半径为：A. 2B. 4C. 5D. 64. 若sinθ=1/3，且θ为第一象限角，则cosθ的值为：A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. 2√6/35. 函数y=x^3-3x+2在x=1处的导数为：B. 1C. 2D. 36. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，那么a_5的值为：A. 162B. 486C. 729D. 9728. 若直线y=2x+1与圆x^2+y^2=25相切，则该直线与x轴的交点坐标为：A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)9. 函数f(x)=x^2-2x+3的最小值为：A. 2B. 1C. 0D. -110. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 6)，则向量a与向量b的夹角A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点为x_0，则f'(x_0)的值为________。
2. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_4的值为________。
3. 圆心在原点，半径为5的圆的方程为________。
4. 若sinα=3/5，且α为第二象限角，则cosα的值为________。
5. 函数y=|x-2|+|x+3|的最小值为________。
2023-2024学年吉林省白山市抚松一中高一(下)月考数学试卷(4月份)+答案解析
2023-2024学年吉林省白山市抚松一中高一（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，则()A. B. C. D.2.“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.复数的共轭复数为()A. B. C. D.4.若集合，则()A. B. C. D.5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则()A. B. C. D.6.已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为()A. B. C. D.7.在复数范围内，，是方程的两个不同的复数根，则的值为()A.1B.C.2D.或28.已知函数的部分图象如图所示，，，，则()A.4B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则()A. B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.为奇函数10.已知函数，，则()A.当有2个零点时，只有1个零点B.当有3个零点时，只有1个零点C.当有2个零点时，有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点11.湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点.某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P，Q之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点M，N，测得米，，，则()A.米B.米C.米D.米三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则______.13.已知复数，若z为纯虚数，则z的虚部为______；若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a的取值范围是______.14.已知P是正六边形ABCDEF边上任意一点，且，，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考试题 数学(含解析)
高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页。
考试结束后，请将答题卡交回。
满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，则的实部与虚部之和是（ ）AB ．1C ．－1D ．02．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（）A ．1B C ．2D ．3．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．平面内有不共线的三个点到平面的距离相等，则C ．若，则D ．若与不相交，则4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设名全是男生名全是女生恰有一名男生至少有一名男生，则下列关系不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若，则（ ）21ii i z +=+z A B C D '''',,a b c ,,αβγ,αββγ⊥⊥αγ∥α,,A B C βαβ∥,a b a c ⊥⊥b c∥,,,,a b c c αβαγβγγ=⊃=⊂∥ ,αβc a b∥∥{2A =},{2B =},{C =},{D =}A D⊆B D =∅A C D= A B B D= ()1sin1,lg tan1,2a b c ===A ．B ．C ．D ．6．已知向量满足，且，则（ ）A ．3BCD ．57．设，则“”是“”的（ ）条件。
A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要8．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的直径为4，则面积的最大值是（ ）ABC ．D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一(下)第一次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，全集，则()A.B.C.D.I2.欧拉恒等式为虚部单位，e 为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数的虚部为()A.B.C.D.3.在矩形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，则()A. B.C.D.4.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，则角A 的余弦值为()A.B.C.D.5.已知向量满足，则()A. B.0C.1D.26.若函数的零点所在的区间为，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.7.在中，已知角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且，，则的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形8.已O 知是的外心，，，则()A.10B.9C.8D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则()A. B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第一象限D.复数z是方程的一个根10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()A.，，，有唯一解B.，，，无解C.，有两解D.，，，有唯一解11.设P为所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若，则点P是的重心B.若，则点P是的垂心C.若，则点P是的内心D.若，则点P是的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______.13.已知，，²，则的最小值为______.14.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”．在中，已知，且，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
2023-2024学年河南省信阳高一下册第三次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省信阳高一下册第三次月考数学试题一、单选题1．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（）A ．tan y x =B ．2log y x =C ．2y x=D ．3y x =【正确答案】D【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而233ππ>，但2tan tan 33ππ=<=，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x=在定义域上不是增函数，故C 错误.对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数，而()33-=-x x ，故3y x =为奇函数，符合.故选：D.2．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【正确答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．3．把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.4．设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC等于（）A ．BCB ．12ADC ．ADD ．12BC 【正确答案】C【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.【详解】如图，EB ＋FC ＝EB ＋BC ＋FC ＋CB ＝EC ＋FB＝12AC ＋12AB ＝()12AC AB + 122AD AD =⨯=.故选：C.5．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若2cos sin sin C B A =，则该三角形的形状是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．直角三角形【正确答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得答案.【详解】因为2cos sin sin C B A =，由正弦定理可得2cos b C a =，因为222cos 2a b c C ab +-=，所以222a b c a a+-=，整理可得b c =.故选：B.6．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（）A ．153πB ．169πC ．40πD ．90π【正确答案】B【分析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】方法一：由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，所以半径132R =，由球的表面积公式得2134π()169π2S ==，故选：B ．方法二：如图，取11,BC BC 的中点分别为12,O O ，根据题意，它们分别是111,A B C ABC 的外心，因为112112,B O BO B O BO = ，所以四边形211BO O B 是平行四边形，所以112112,B B O O B B O O = ，而1B B ⊥底面ABC ，所以12O O ⊥底面ABC ，取11O O 的中点O ，于是点O 为该直三棱柱外接球的球心．连接OB ，容易求得22156,22OO BO AC ====，则外接球半径R 132=，于是外接球的表面积为2134π(169π2⨯=，故选：B ．7．下面给出的几个关于向量问题的结论中，错误的个数是（）①a b a b ⋅≤⋅；②()222a ba b ⋅=⋅ ；③若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角θ的取值范围是,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④已知(),2a λ= ，()3,5b =- ，若a 与b 夹角是锐角，则103λ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，；A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据向量数量积的计算公式分别计算判断各结论.【详解】结论①：cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，当,,2a b ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，0a b ⋅<，cos ,0a b a b a b ⋅=⋅⋅≥，故①错误；结论②：()2222cos ,a ba b a b ⋅=⋅⋅，()22222222cos ,a b a b a b a b a b⋅=⋅≥⋅⋅=⋅ ，故②错误；结论③：当cos ,0a b a b a b ⋅=⋅⋅< 时，cos 0θ<，即,2πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故③错误；结论④：若a 与b 夹角是锐角，则0a b ⋅>，且a ，b 不共线，即()3520523λλ-+⨯>⎧⎨≠⨯-⎩，解得103λ<-，且65λ≠-，即6610,,553λ∞⎛⎫⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④错误；故选：D.8．已知方程2(4i)4i 0(R)x x a a ++++=∈有实根b ，且i z a b =+，则复数z 等于（）A ．22i -B ．22i+C ．22i-+D ．22i--【正确答案】B【分析】根据复数相等可得20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，然后根据共轭复数的概念即得.【详解】由题可得2(4i)4i 0(R)b b a a ++++=∈，整理可得：()()2i 440b a b b ++++=，所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，22i z =+.故选：B.9．下面给出的几个命题，正确命题的个数是（）①侧面是全等的长方形的直四棱柱是正四棱柱；②若直线//a 平面α，平面//α平面β，则//a 平面β；③在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为π6；A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】对于①②，举反例即可判断，对于③，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解，由此判断即可.【详解】对于①，底面是菱形的直四棱柱，其侧面也是全等的长方形，但它不是正四棱柱，故①错误；对于②，当直线a ⊂平面β时，若平面//α平面β，则直线//a 平面α，但显然不满足//a 平面β，故②错误；对于③，根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，.不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()()()()112,0,0,0,0,2,2,2,0,2,2,2A D B B ，故()1,1,2P ，所以()()11,1,2,2,0,2PB AD =-=- ，不妨设直线PB 与1AD 所成的角θ，则π02θ<<，所以11cos 2PB AD PB AD θ⋅== ，故π6θ=，即直线PB 与1AD 所成的角为π6，故③正确；综上：①②错误，③正确，所以正确命题的个数是1.故选：B.10．锐角ABC 的外接圆半径为1，边AC =BC BA >，且满足cos cos A C =，则C =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．5π12【正确答案】C【分析】由正弦定理得B ，由cos cos A C =角公式可得πsin 262⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ，最后由BC AB >可得答案.【详解】由正弦定理得ππsin ,0,,2223⎛⎫==∈∴= ⎪⎝⎭B B B r ，因为1cos cos 4A C =，所以22π111cos cos cos sin cos 34224⎛⎫-=∴-+= ⎪⎝⎭C C C C C ，即1πcos 2sin 2,sin 246⎛⎫-- ⎪⎝⎭C C C ，因此ππ2=63-C 或π2π2=63-C ，π=4C 或5π=12C ，因为BC AB >，所以π3C <，即π=4C .故选：C.11．如图，A B 、分别是射线OM ON 、上的点，给出下列以O 为起点的向量：①2OA OB +；②1123OA OB + ；③3143OA OB + ；④3145OA OB +；⑤3243OA BA OB ++ 其中终点落在阴影区域内的向量的序号有（）A ．①③B ．①②④C ．②③D ．①③⑤【正确答案】A【分析】利用向量共线的充要条件可得：当点P 在直线AB 上时,存在唯一的一对有序实数,u v ,使得OP uOA vOB =+成立,且1u v +=.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是:满足OP uOA vOB =+,且0,0,1u v u v >>+>.据此即可判断出答案.【详解】由向量共线的充要条件可得:当点P 在直线AB 上时,存在唯一的一对有序实数,u v 使得OP uOA vOB =+成立,且1u v +=.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是:满足OP uOA vOB =+,且0u >,0,1v u v >+>.证明如下:如图所示,点P 是阴影区域内的任意一点,过点P 作,PE ON PF OM ,分别交,OM ON 于点E ,F ;PE 交AB 于点P ',过点P '作P F OM '' 交ON 于点F ',则存在唯一一对实数()(,),,x y u v '',使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+,且1,,u v u v ''''+=唯一;同理存在唯一一对实数,x y ''使得OP x OE y OF x OE y OF uOA vOB ''''''=+=+=+,而,,,1x x y y u u v v u v u v =>∴=>''''>'∴+'+='，即可判断出①,因为121+>，所以点P 位于阴影区域内,故①正确;同理③正确;而②④不正确;⑤原式3271()4343OA OA OB OB OA OB =+-+=-,而103-<,故不符合条件.⑤不正确;综上可知：只有①③正确.故选：A.本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线的充要条件是解题的关键.属于较难题.12．在ABC 中，若2,AB AC ==，则ABC 的面积S 的最大值为（）AB ．2C D ．【正确答案】A【分析】根据题意，利用余弦定理得到sin B 关于a 的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解.【详解】依题意，不妨设BC a =，AC b =，AB c =，则2c =，b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22)44cos a a B =+-，则224cos 40a a B +-=，故2421cos 42a a B a a -==-，则2221cos 14a B a =+-，所以22221sin 1cos 24a B B a=-=--，又因为11sin 2sin sin 22S ac B a B a B ==⨯=，故()242222222211sin 22143444a a S a B a a a a ⎛⎫==⨯--=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当24a =，即2a =时，2S 取得最大值3，此时2a =，b =2c =能组成三角形．所以2max 3S =，即max S =故选：A.二、填空题13．已知点()2,3A ，若把向量OA 绕原点O 按逆时针方向旋转90 得到向量OB，则点B 的坐标为________.【正确答案】()3,2-【分析】设点B 的坐标为(),x y ，可知点B 位于第二象限，由题意得出00OA OB OA OB x ⎧⋅=⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，由此列方程组解出x 、y 的值，即可得出点B 的坐标.【详解】设点B 的坐标为(),x y ，由题意可知，点B 位于第二象限，则0x <.由题意可得00OA OB OA OB x ⎧⋅=⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则有230x y +=⎧=<⎪⎩，解得32x y =-⎧⎨=⎩，因此，点B 的坐标为()3,2-，故答案为.()3,2-本题考查平面向量的坐标运算，要结合条件得出两向量之间的关系，同时要注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆.若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则1221//0a b x y x y ⇔-=r r ，12120a b x x y y ⊥⇔+=.14．下面给出的几个关于复数的命题，①若()()22432i x x x -+++是纯虚数，则实数2x =±②复数()21i()a a +∈R 是纯虚数③复数sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点Z 位于第三象限④如果复数z 满足|i ||i |2z z ++-=，则|2i 1|z --的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.【正确答案】②③【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得【详解】对于①，因为22(4)(32)i x x x -+++为纯虚数，所以224=0320x x x ⎧-⎨++≠⎩，解得2x =，故①错误；对于②，因为R a ∈，所以2+10a ≠，所以2(+1)i a 是纯虚数，故②正确；对于③，因为sin1000︒-<，cos1000︒<，所以sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，i i 2z z ++-=表示复数z 对应的点Z 到点(0,1)A -和到点(0,1)B 的距离之和，又因为2AB =，所以复数z 对应的点Z 在线段AB 上，而2i 1z --表示点Z 到点(1,2)P 的距离，所以其最小值为PB =故②③．15．已知定圆C 的半径为4，A 为圆C 上的一个定点，B 为圆C 上的动点，若点,,A B C 不共线，且AB t AC BC -≥ 对任意的(0,)t ∈+∞恒成立，则⋅=AB AC ______.【正确答案】16【分析】由题干条件得到B A A A B t C BC AC -≥=-，两边平方后得到关于t 的一元二次不等式在(0,)t ∈+∞恒成立，讨论判别式和根的范围，求出正确答案.【详解】B A A A B tC BC AC -≥=- 两边平方得：2222222AB t AB AC t AC AB AB AC AC -⋅+≥-⋅+ ，所以2880t t AB AC AB AC -⋅+⋅-≥在(0,)t ∈+∞上恒成立，由()()()22328160AB AC AB AC AB AC ∆=⋅-⋅-=⋅-≥ ，若Δ0=，16AB AC ⋅= ，()228168810t t t -+=-≥在(0,)t ∈+∞上恒成立，满足要求，若0∆>，16AB AC ⋅≠ ，则2880t t AB AC AB AC -⋅+⋅-= 的较大解为1616AB AC AB AC t ⋅+⋅-= ，当16AB AC ⋅> 时，216116AB AC t ⋅-=> ，故不能对任意的(0,)t ∈+∞恒成立，舍去；当16AB AC ⋅< 时，1t =，不能对任意的(0,)t ∈+∞恒成立，舍去；综上.16AB AC ⋅= 故16思路点睛：平面向量解决几何最值问题，①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.16．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E .F ，且12EF =，则下列结论中正确的序号是_________.①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④AEF △的面积与BEF △的面积相等.【正确答案】①②③①由AC ⊥平面11DD B B 垂直可判断，②由线面平行的定义可判断，③棱锥底面面积不变，顶点到底面距离不变可判断结论，④分析,A B 到直线EF 的距离即可判断.【详解】对于①，由题意及图形知，AC ⊥平面11DD B B ，故可得出AC BE ⊥，故①正确，对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，故②正确，对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面11DD B B 的距离等于BD 的一半，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，故③正确，对于④，由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故AEF △的面积与BEF △的面积相等不正确，故④错误，∴正确命题的序号是①②③.故①②③三、解答题17．ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c .向量()m a = 与(cos ,sin )n A B = 平行.(1)求A ；(2)若2a b ==，求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3(2)2【分析】（1）根据向量共线可得sin cos 0a B A =，再利用正弦定理进行边化角运算求解；（2）先根据余弦定理求得3c =，再利用面积公式运算求解.【详解】（1）∵m n ，则sin cos 0a B A =，由正弦定理可得：sin sin cos 0A B B A =，又∵()0,πB ∈，则sin 0B ≠，∴sin 0A A =，即tan A =且()0,πA ∈，故π3A =.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2742c c =+-，解得3c =或1c =-（舍去），故ABC 的面积113sin 232222S bc A ==⨯⨯.18．在正三棱柱111ABC A B C -中，1BC =，,,E F M 分别为111,,A C AB BC 的中点.(1)求证：//EF 平面11BB C C ；(2)求证：1BC ⊥平面1AB M .【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；（2）利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理及线面垂直的性定理，结合线面垂直的判定定理即可求解.【详解】（1）连接11,A B BC ，如图所示因为F 是1AB 的中点，所以F 为1A B 的中点，又因为E 为11AC 的中点，所以1//EF BC .因为1BC ⊂平面11,BB C C EF ⊄平面11BB C C ，所以//EF 平面11BB C C .（2）在矩形111,BCC B BC =，所以11tan tan 2CBC B MB ∠=∠=.所以11tan tan 1CBC B MB ∠⋅∠=.所以11π2CBCC B MB ∠+∠=.所以11BC B M ⊥.在正三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥平面11BB C C .因为M 为BC 的中点，AB AC =，所以AM BC ⊥.因为平面ABC ⋂平面11BB C C BC =，所以AM ⊥平面11BB C C .因为1BC ⊂平面11BB C C ，所以1AM BC ⊥.又因为1,AM B M M AM =⊂ 平面11,AB M B M ⊂平面1AB M ，所以1BC ⊥平面1AB M .19．已知两个不共线的向量,a b 满足(()R ,cos ,sin ,a b θθθ==∈ .(1)若2a b - 与7a b - 垂直，求||a b + 的值；(2)当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，若存在两个不同的θ，使得||||a ma = 成立，求正数m 的取值范围.【正确答案】(2)222⎢⎣⎦【分析】（1）根据(2)(7)0a b a b -⋅-= 求出1a b ⋅= ，再展开2||a b + 求解.(2)根据||||a ma =，平方后化简，整理成2π476m θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，数形结合求解.【详解】（1）由条件知||2,||1a b == ，又2a b - 与7a b - 垂直，所以(2)(7)81570a b a b a b -⋅-=-⋅+= ，所以.1a b ⋅= .所以22224217a b a a b b +=+⋅+=++= ，故a b +=（2）由||||a ma = ，得22||||a ma = ，即2222||3||||a b b m a +⋅+= ，所以2434b m +⋅+= ，即27)4m θθ+=，所以2π476m θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，得ππ2π,663θ⎡⎤+∈⎢⎣⎦.因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知2647m ≤-<即213744m +≤<，又0m >，m ≤<.即实数m 的取值范围为⎣⎦.20．如图所示，EB 垂直于菱形ABCD 所在平面，且EB=BC=2，∠BAD=60°，点G 、H 分别为边CD 、DA 的中点，点M 是线段BE 上的动点．（I ）求证：GH ⊥DM ；（II ）当三棱锥D-MGH 的体积最大时，求点A 到面MGH 的距离．【正确答案】（Ⅰ）见解析；（II ）25【分析】（Ⅰ）先证明GH ⊥平面BDE ．再证明GH ⊥DM ；（II ）先证明BM ⊥平面ABCD ，再计算得到D MGH V -=．所以当点M 与点E 重合时，BM 取得最大值2，此时（V D-MGH ）max =再求A 到平面MGH 的距离为25.【详解】（Ⅰ）证明：连接AC 、BD 相交于点O ．∵BE ⊥平面ABCD ．而AC⊂平面ABCD ，∴BE ⊥AC ．又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ．∵BD ∩BE=B ，∴AC ⊥平面BDE ．∵G 、H 分别为DC 、AD 的中点，∴GH ∥AC ，则GH ⊥平面BDE ．而DM⊂平面BDE ，∴GH ⊥DM ；（II ）菱形ABCD 中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°．∵DG=DH=1，∴S △DGH =01DG DHsin1202⋅=111224⨯⨯⨯=，∵BE ⊥平面ABCD ，即BM ⊥平面ABCD ，∴D MGH M DGH DGH 1V V S BM 3--==⋅ =BM 12．显然，当点M 与点E 重合时，BM 取得最大值2，此时（V D-MGH ）max 2=．且，MGH 15S 22== ，∵H 是AD 中点，所以A 到平面MGH 的距离d 1等于到平面MGH 的距离d 2，又V D-MGH =V M-DGH 213=，得d 2=25．∴A 到平面MGH 的距离为25．本题主要考查空间线线垂直关系的证明，考查体积的最值问题和点到平面的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．如图，已知AB 是一幢6层的写字楼，每层高均为3m ，在AB 正前方36m 处有一建筑物CD ，从楼顶A 处测得建筑物CD 的张角为45 ．()1求建筑物CD 的高度；()2一摄影爱好者欲在写字楼AB 的某层拍摄建筑物.CD 已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)？【正确答案】(1)30米;(2)当6n =时，张角CMD ∠最大，拍摄效果最佳.【详解】试题分析：（1）先作AE CD ⊥于E ，构造直角三角形DAE ，然后运用两角差的正切公式求出tan CAE ∠，再求出36tan CE CAE =∠；（2）先依据题设求出tan CMN ∠，tan DMN ∠，然后建立目标函数2120tan 12155CMD n n ∠=-+，通过求函数的最值使得问题获解：解：（1）如图，作AE CD ⊥于E ，则//AE BD .所以18DE AB ==，36AE BD ==.因为181tan 362DAE ∠==，所以()1tan 1tan tan 451tan 3DAE CAE DAE DAE -∠∠=-∠==+∠ .所以36tan 12CE CAE =∠=.答：建筑物的高度为30米.（2）设在第n 层M 处拍摄效果最佳，则摄影高度为()31n -米（如图）（16,n n N ≤≤∈）.作MN CD ⊥于N ，则()31DN n =-，()3031333CN n n =--=-.11tan 12CN n CMN MN -∠==，1tan 12DN n DMN MN -∠==，()111tan tan 1212tan tan 1111tan tan 11212n n CMN DMN CMD CMN DMN n n CMN DMN --+∠+∠∠=∠+∠==---∠⋅∠-⋅()22120120120121551196119n n n ==≤-+-+（当6n =时取等号）.因为函数tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调增函数，所以当6n =时，张角CMD ∠最大，拍摄效果最佳.答：该人在6层拍摄时效果最好.22．已知二次函数()f x 对R x ∀∈，()()123f x f x x +-=+，且不等式()2f x >的解集为{}1x x ≠-．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()f x g x x =，且关于x 的方程()2133031x x t g t ---++=-有三个不同的实数解，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)()223f x x x =++(2)3625t -<≤-【分析】（1）设二次函数的解析式，根据()()123f x f x x +-=+得到相应的方程组，解得答案；（2）采用换元法，将()2133031x x t g t ---++=-化为，()230t g m t m++=整理为()232230m t m t ++++=，因此将问题变为一元二次方程在给定范围内有两根的问题，从而列出相应的不等式组解得答案.【详解】（1）设()2f x ax bx c =++，因为对R x ∀∈，()()123f x f x x +-=+，又()()12f x f x ax a b +-=++，所以223a a b =⎧⎨+=⎩,故1a =，2b =，又等式()2f x >的解集为{}1x x ≠，即2220x x c ++->的解集为{}1x x ≠-，所以()4420c ∆=--=，得3c =，所以()223f x x x =++；（2）因为()223f x x x =++，所以()()320g x x x x=++≠，令31x m -=-，因为0x ≠，所以0m >，由()2133031x x tg t ---++=-，得()230t g m t m ++=，所以23230t m t m++++=，即()232230m t m t ++++=（*）因为关于x 的方程()2133031x x t g t ---++=-有三个不同的实数解，由31x m -=-的图象可知，问题等价于方程（*）有两个不同的实根1m ，2m ，且101m <<，21m ≥，令()()23223h m m t m t =++++，则()()0010h h ⎧>⎪⎨<⎪⎩或(1)0(0)032012h h t ⎧⎪=⎪>⎨⎪+⎪<-<⎩，即230550t t +>⎧⎨+<⎩或2305604233t t t ⎧⎪+>⎪+=⎨⎪⎪-<<-⎩，解得3625t -<<-或65t =-，所以实数t 的取值范围为3625t -<≤-．。
2023-2024学年河南省郑州七中高一(下)月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年河南省郑州七中高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足，则()A. B.C.D.2.已知所在平面内一点P ，满足，则()A. B.C.D.3.已知、为单位向量，且，则、的夹角为()A.B. C.D.4.已知向量，，，若，反向共线，则实数x 的值为()A.B.3C.3或D.或75.下列命题正确的是()A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱B.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台6.设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，D 为边BC 上一点，，，则的面积为()A.B.C.D.7.如图，在等腰梯形ABCD 中，，，，，E 是线段AB 上一点，且，动点P 在以E 为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为()A. B.C.D.8.已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为V ，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为()A.B.C.D.9.已知等边的边长为6，D 在AC 上且，E 为线段AB 上的动点，则的取值范围为()A. B. C. D.10.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M 为线段CE 上的动点，则的最大值为()A. B.C.6D.10二、多选题：本题共4小题，共24分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
11.已知复数，，下列结论正确的有()A.若，B.若，则C.若复数，满足，则D.若，则的最大值为312.下列命题中正确的是()A.两个非零向量，，若，则与共线且反向B.已知，且，则C.若，，，为锐角，则实数m 的取值范围是D.若，则为钝角三角形13.如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是()A.是钝角三角形B.的面积是的面积的2倍C.是等腰直角三角形D.的周长是14.如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，，则下列结论正确的是()A. B.C. D.与的夹角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年河北省石家庄市高一下册第一次月考数学试题1(含解析)
2023-2024学年河北省石家庄市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．200︒的弧度数为（）A ．7π10B ．10π9C ．9πD ．10π【正确答案】B【分析】根据角度与弧度关系求对应弧度即可.【详解】由102001809ππ︒⨯=︒.故选：B2．sin14cos16sin 76cos 74+ 的值是（）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【正确答案】B【分析】根据诱导公式化简，并结合正弦和角公式即可求解.【详解】由诱导公式可知sin 76cos14,cos 74sin16== 所以由正弦和角公式可得sin14cos16sin 76cos 74+sin14cos16cos14sin16=+ ()1sin 1416sin 302=+==，故选：B.本题考查了诱导公式及正弦和角公式的应用，属于基础题.3．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则3a b += （）A ．()1,2--B ．()1,6--C ．()1,2D ．()1,10【正确答案】C【分析】根据向量平行求得4m =-，应用向量线性关系的坐标运算求目标式的坐标.【详解】由题设12(2)m ⨯=⨯-，则4m =-，所以33(1,2)(2,4)(1,2)a b +=⨯+--=.故选：C4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；④若cos 0θ<，θ是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若sin sin αβ=，则α与β的终边相同，或关于y 轴对称，③错误；对于④，若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角，或终边在x 负半轴上，④错误；综上，其中正确命题是②，只有1个.故选：A本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.5．下列关于向量的命题正确的是（）A ．若||||a b = ，则a b=B ．若||||a b = ，则//a bC ．若a b = ，b c =，则a c= D ．若//a b ，//b c，则//a c【正确答案】C【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A ，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出a b =，即该选项错误；选项B ，长度相等,向量可能不平行，∴该选项错误；选项C ，,a b b c ==显然可得出a c = ，∴该选项正确；选项D ，//,//a b b c得不出//a c ，比如,a c 不共线，且0b = ，∴该选项错误.故选：C .6．设1e ，2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+ ，123CB e e =+ ，122CD e e =- ，若三点A ，B ，D 共线，则k 的值为（）A ．－8B ．8C ．6D ．－6【正确答案】A【分析】先求出DB，然后利用存在实数λ使AB DB λ= ，列方程求k 的值.【详解】由已知得()121212324D CB CD e e e e e B e =+-=-+-=-，三点A ，B ，D 共线∴存在实数λ使AB DBλ=()121212244e ke e e e e λλλ∴=++-=-+ ，24k λλ=-⎧∴⎨=⎩，解得28k λ=-⎧⎨=-⎩.故选：A.7．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，,E F 分别为,BC CD 的中点，G 为EF 中点，则=AG （）A ．2133+AB ADB ．1233+AB ADC ．3344+AB ADD ．2233+AB AD【正确答案】C【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.【详解】根据题意：()12AG AE AF =+又12=+=+ AE AB BE AB AD12AF AD DF AD AB=+=+ 所以3344AG AB AD =+故选：C本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.8．在△ABC 中，若tan tan tan A B A B +⋅=tan 2C =（）A ．BC ．-D ．【正确答案】D【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得tan C ，由此求得tan 2C .【详解】()()tan tan tan tan tan πtan tan tan 1tan tan 1A BA BC A B A B A B A B +⋅=-+=-+===⎡⎤⎣⎦⋅-⋅-所以22tan tan 21tan 12C C C -===--.故选：D二、多选题9．下列说法中，正确的是（）A ．向量AB与向量BA 的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．零向量与任意向量平行D ．两个相等向量的起点相同，则终点也相同【正确答案】ACD【分析】利用平面向量的定义判断AB ；利用零向量、相等向量的意义判断CD.【详解】对于A ，向量AB的起点、终点分别为向量BA 的终点、起点，它们的长度相等，故A 正确；对于B ，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B 不正确；对于C ，零向量与任意向量平行是正确的，故C 正确；对于D ，由相等向量的定义知D 正确.故选：ACD10．下列不等式成立的是（）A ．ππcos cos 108⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin 400cos 40< C ．8π7πsin cos 78<D ．sin 2cos 2<【正确答案】BC【分析】将选项中所需比较的角,根据诱导公式转化为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭区间内,再根据sin y x =,cos y x =两个函数的单调性进行判断大小即可.【详解】解:由于函数cos y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,且πππ02810-<-<-<,所以cos cos 81ππ0⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 错误;因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,sin 400sin 40sin 50cos 40=<= ,故选项B 正确;因为ππ810sin sin sin 776π2>=->-=-,71coscos cos 88πππ32=-<-=-,所以87sin cos 78ππ>,故选项C 正确;因为π2π2<<,所以sin 20cos 2>>,故选项D 错误.故选:BC11．下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15︒-︒=B ．1sin 40cos 40sin 702︒︒=︒C ．sincos884ππ=D ．tan152︒=【正确答案】ACD由二倍角的余弦、正弦公式可判断AC 选项，由二倍角的正切公式可求出tan15︒的值，进而判断D 选项，由两角和与差的正弦可判断B 选项.【详解】解：A 选项：由二倍角的余弦公式可知：22cos 15sin 15cos 30︒-︒==o ，故A 正确；B 选项：1sin 4040sin(4060)sin 802︒+︒=︒+=︒o ，故B 不正确；C 选项：1sincossin 88244πππ==，故C 正确；D 选项：22tan15tan 301tan 153==-o oo ，解得：tan152︒=±tan150︒>，所以tan152︒=，故D 正确；故选：ACD.12．已知函数()()1sin cos cos sin 2f x x x x x =-++，下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．函数图象关于直线4x π=对称C ．函数在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．方程()10f x +=有无数个解【正确答案】BCA 选项，计算()f x π+，判定()()f x f x π+≠，可得A 错；B 选项，计算4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭与4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得出44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得B 正确；C 选项，由3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，化简()cos f x x =，可得C 正确；D 选项，讨论x 的范围，去绝对值，求出()f x 的值域，可判断D 错.【详解】A 选项，()()()()()1sin cos cos sin 2f x x x x x πππππ⎡⎤+=+-+++++⎣⎦()()()11sin cos cos sin sin cos cos sin 22x x x x x x x x f x =-+--=---≠，所以π不是()f x 的周期，故A 错；B 选项，1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos sin cos sin sin cos 22222222x x x x x x x x ⎫=+-++-++⎪⎪⎭)12x x =；1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin cos cos sin 22222222x x x x x x x x ⎫=---+++-⎪⎪⎭)12x x =，所以44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；即B 正确；C 选项，cos sin 4x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,244x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 04x x x π⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，此时()()()11sin cos cos sin cos sin cos sin cos 22f x x x x x x x x x x =-++=-++=，根据余弦函数的单调性，可得，其在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上显然单调递增，即C 正确；D 选项，由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭可得()224Z k x k k ππππ≤-≤+∈，则()52244k x k k Z ππππ+≤≤+∈；此时()()1sin cos cos sin sin ,122f x x x x x x ⎡⎤=-++=∈-⎢⎥⎣⎦；由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭可得()224k x k k Z ππππ-+<-<∈，则()32244k x k k Z ππππ-+<<+∈；此时()()1sin cos cos sin cos ,122f x x x x x x ⎛⎤=-++=∈- ⎥ ⎝⎦；综上，()2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()1122f x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因此方程()10f x +=无解，即D 错；故选：BC.思路点睛：判定含三角函数的函数对称性、周期性、单调性等问题时，一般可根据正弦（余弦、正切）函数的性质，利用代入验证的方法判定对称性和周期性；求解最值或研究方程根的问题时，可先判断函数单调性，进而即可求解.三、填空题13．化简：AB CA BC ++=______．【正确答案】0【分析】利用向量的加法运算即可求解.【详解】解：0AB CA BC AB BC CA AC CA ++=++=+=故答案为.014．函数y =________.【正确答案】72,2,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】根据使函数有意义必须满足12sin 0x -≥，再由正弦函数的性质得到x 的范围．【详解】由题意得：12sin 0x -≥1sin 2x ∴≤722,66k x k k ππππ∴-≤≤+∈Z即72,2,66x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z 故答案为722,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 本题考查关于三角函数的定义域问题，属于基础题．15．若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=_________.【正确答案】6π/16π【分析】由余弦型函数的奇偶性得πππ32k ϕ+=+且Z k ∈，即可求参数.【详解】由题设πππ32k ϕ+=+且Z k ∈，故ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π2ϕ<，故0k =有π6ϕ=.故π6四、双空题16．函数()cos f x x x =+的最大值为_______，记函数取到最大值时的x θ=，，则cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______.【正确答案】根据辅助角公式可化为())f x x ϕ=+求最值，并求出此时对应x ，利用两角差的余弦公式求cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】()cos ),cos ,sin 33f x x x x ϕϕϕ=+=+==，max ()f x ∴=此时，2,2x k k Z πϕπ+=+∈，即2,2x k k Z ππϕ=+-∈，2,2k k Z πθπϕ∴=+-∈，cos sin 3θϕ∴==，sin cos 3θϕ==，1cos cos cos sin sin 6662πππθθθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭关键点点睛：辅助角公式sin cos )a x b x x j +=+，其中cos ϕ=sin ϕ=的应用是解决本题的关键.五、解答题17．已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为.r (1)若60α=︒，3r =，求扇形的弧长;(2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大?并求出最大面积．【正确答案】(1)π(2)当2α=时，扇形的面积最大，最大面积是16．【分析】（1）首先将角度转化为弧度，然后根据扇形的弧长公式即可得到答案；（2）设扇形的弧长为l ，则162l r =-，扇形的面积为()1116222S lr r r ==-，由二次函数性质即可得到面积S 的最大值．【详解】（1）设扇形的弧长为l ．60α︒= ，即3πα=，3r =33l r παπ∴==⨯=.（2）由题设条件知，()216,16208l r l r r +==-<<,因此扇形的面积()()2211162841622S lr r r r r r ==-=-+=--+∴当4r =时，S 有最大值16，此时1628,2ll r rα=-===,∴当2α=时，扇形的面积最大，最大面积是16．18．计算.(1)求()sin 501︒︒的值；(2)化简1sin 2cos 21sin 2cos 2θθθθ+-++.【正确答案】(1)1(2)tan θ【分析】（1）应用商数关系、和角正弦公式及二倍角正弦公式、诱导公式化简求值；（2）由平方关系、二倍角正余弦公式化简即可.【详解】（1）()2(sin 30cos10cos30sin10)sin 501sin 50sin 50sin10︒︒+︒︒︒︒==︒⋅︒2sin 40cos 40sin 80cos101cos10cos10cos10︒︒︒︒====︒︒︒.（2）22222222221sin 2cos 2cos sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin cos 1sin 2cos 2cos sin 2sin cos cos sin 2cos 2sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+-++-++==+++++-+222sin 2sin cos tan 2cos 2sin cos θθθθθθθ+==+.19．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，设,AB a AD b ==.(1)用,a b 表示,,AC CE DE ；(2)若26AB AD ==,，且120BAD ∠=︒，求AC DE ⋅.【正确答案】(1)AC a b =+ ，12CE =- ，12DE a b=-(2)17-【分析】（1）由向量对应线段的数量、位置关系用,AB AD 表示出,,AC CE DE即可；（2）由（1）及向量数量积的运算律可得221122AB AC D AB A D E D A =⋅+⋅- ，结合已知即可求值.【详解】（1）由AC AB BC AB AD a b =+=+=+ ，11112222CE CB DA AD b ===-=-，1122DE DC CE AB AD a b =+=-=- ，所以AC a b =+ ，12CE b =- ，12DE a b =-.（2）由（1）知：22111))22((2AB AD AB AD AB AB AD A A C DE D +-=+⋅-=⋅⋅ ，又26AB AD ==,，且120BAD ∠=︒，则11412(181722AC DE +⨯⨯--==⋅- .20．在①()tan 3πα+=；②()()sin 2sin cos 2ππααα⎛⎫---=- ⎪⎝⎭；③33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知02πβα<<<，______，()cos αβ+=-(1)求sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)求β．【正确答案】(1)条件选择见解析，sin 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)4πβ=【分析】（1）若选①，可得tan 3α=，再由同角三角函数的关系可求出sin ,cos αα的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，若选②，则可得sin 3cos αα=，再由同角三角函数的关系可求出sin ,cos αα的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，若选③，则可得sin 3cos αα=，同样由同角三角函数的关系可求出sin ,cos αα的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，（2）先求出sin()αβ+，再由于()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦化简计算可求出sin β的值，从而可求出β【详解】（1）若选①，()sin tan tan 3cos απααα+===，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<解得sin α=，cos α=所以sin sin cos cos sin 444πππααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．若选②，因为()()sin 2sin cos 2ππααα⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，解得sin 10α=，cos α=，所以sin sin cos cos sin 44422πππααα⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭若选③，因为33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得3cos sin αα=又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，解得sin 10α=，cos 10α=，所以sin sin cos cos sin 4441021025πππααα⎛⎫-=-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭（2）因为02πβα<<<，且()cos 5αβ+=-，所以0αβ<+<π，()sin 5αβ+==所以()sin sin 5105102βαβα⎛⎫=+-=⨯--⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭又因为02βπ<<，所以4πβ=21．已知函数π()sin(2)cos(2)2sin cos 36f x x x x x π=---+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍,得到函数()y g x =的图象,求()y g x =在[]0,π上的值域.【正确答案】（1）π，()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【分析】（1）利用三角恒等变换中的两角差正余弦公式、倍角公式，将()f x 化成2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用周期公式和整体代入，分别求得最小正周期及单调增区间；（2）利用平移变换和伸缩变换求得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用整体思想求得函数的值域.【详解】（1）()11sin 222sin 2sin 222f x x x x x x =--+，()sin 22f x x x =-2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为π，当222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,得函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后所得图象的解析式为2sin 22sin 21623y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以()12sin 22sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭，50,666x x ππππ≤≤∴-≤-≤ ,所以当66x ππ-=-时，()min 2sin 16g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当62x ππ-=时，()max 2sin 22g x π==.所以()y g x =的值域为[]1,2-.本题考查两角差正、余弦公式、倍角公式、平移变换和伸缩变换、三角函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，利用整体思想求函数的值域和单调区间的过程是不一样，要注意区别.22．某港口水深y （米）是时间024t ≤≤（单位：小时）的函数，下表是水深数据：t （小时）03691215182124y （米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数()sin 0,0y A t b A ωω=+>>的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出()sin 0,0y A t b A ωω=+>>的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【正确答案】(1)π3sin10(024)6ty t =+≤≤(2)该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时【分析】（1）根据图像的最高点和最低点可以求出,A b ，由两个最高点的位置可以求出ω；（2）在当024t ≤≤的前提下，解不等式11.5y ≥即可.【详解】（1）根据图表数据可得：713137,22b A +-==，∴3A =，10b =，函数周期15312T =-=，∴2ππ6T ω==，∴函数的表达式为π3sin10(024)6ty t =+≤≤；（2）由题意知：若船舶航行时船是安全的，则 4.57y ≥+，即π3sin1011.56t+≥，∴π1sin 62t ≥，∴ππ5π2π,2π,666t k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得[]121,125,t k k k ∈++∈Z ，又024t ≤≤，∴[1,5]t ∈或[13,17]t ∈.故该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．23．日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x 米，x ∈[10，20]．（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；（2）若在矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN 健身场地每平方米k 为正常数）．设总造价T 关于S 的函数为T=f （S ），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T 最低．【正确答案】（1）S=x （30﹣x ），S ≤≤；（2）12米或18米【详解】（1）在Rt △PMC 中，显然|MC|=30﹣x ，∠PCM=60°∴|PM|=|MC|tan ∠PCM=（30﹣x ），矩形AMPN 的面积S=|PM||MC|=x （30﹣x ），x ∈[10，20]于是200≤S≤225为所求．（2）矩形AMPN 健身场地造价T 1=37k 又△ABC 的面积为450，即草坪造价T 2=S ）由总造价T=T 1+T 2，∴T=25k （+），200≤S≤225．∴T=25k （+），200≤S≤225∵+≥12，当且仅当=即S=216时等号成立，此时x （30﹣x ）=216，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T 最低．根据实际问题选择函数类型．24．若,,R a b c +∈，且满足2a b c ++=．（1）求abc 的最大值；（2）求111a b c++的最小值．【正确答案】（1）827；（2）92．【分析】（1）由基本不等式33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解；（2）由11112a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求解．【详解】解：（1）∵,,R a b c +∈，且满足2a b c ++=，∴38327a b c abc ++⎛⎫⎪⎭=≤ ⎝，当且仅当a b c ==时取等号，故abc 的最大值为827；（2）∵11112a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭132b a c a b c a b a c c b ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭()19322222≥+++=，当且仅当a b c ==时取等号，∴111a b c ++的最小值为92．本题主要考查“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．25．若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.(1)求ab bc ca ++的最大值；(2)求证.22212a b c b c c a a b ++≥+++【正确答案】(1)13(2)证明见解析【分析】（1）由22221()(222)2()2a b c a b c ab bc ca ++=+++++，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；（2）利用基本不等式求24a b ca b c ++≥+、24b c a b c a ++≥+、24c a b c a b ++≥+，即可证结论，注意等号成立条件.【详解】（1）由22222221()2()(222)2()2a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=+++++=+++++，所以2()a b c ++3()ab bc ca ≥++，即13ab bc ca ++≤，仅当13a b c ===时等号成立，综上，ab bc ca ++的最大值为13.（2）由24a b c a b c ++≥=+，仅当24a b c b c +=+，即223a b c =+=时等号成立，由24b c a b c a ++≥+，仅当24b c a c a +++，即223b c a =+=时等号成立，由24c a b c a b ++≥=+，仅当24c a b a b +++，即223c a b =+=时等号成立，综上，2221()44422a b c b c c a a b a b c a b c b c c a a b +++++++≥++-++==+++，仅当13a b c ===时等号成立.。
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一、选择题：（本答题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.下列有4个命题：其中正确的命题有( )（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角终边可以相同；（3）若α是第二象限角，则α2一定是第四象限角；（4）终边在x 轴正半轴上的角是零角. A.(1)(2) B.(3)(4) C.(2) D.(1)(2)(3)(4))(,0tan ,0cos .2是则且如果θθθ><A.第一象限的角 B ．第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 3.已知角θ的终边经过点)2,1(-，则=θsin （ ）A.21-B. －2C.55D.552-4.若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线x y 3-=上，则角α的取值集合是（ ） A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ,32ππαα ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k B ,322.ππαα⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k C ,32.ππαα D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ,3ππαα ()01020sin .5-等于（ ）A.21 B.21- C. 23 D. 23- 6..已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-，则cos α=（ ）A ．35-B ．25- C.． 7.函数sin y x = 的一个单调增区间是（ ）A. ,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． 3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.在ABC ∆中，若()()C B A C B A +-=-+sin sin ,则ABC ∆必是（ ） A.等腰三角形 B ．等腰或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角 9.函数x x y sin sin -=的值域是 （ ）A.[]2,2-B. []2,0C.[]1,1-D.[]0,2-10.将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛12πf （ ）11.)42sin(log 21π+=x y 的单调递减区间是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππk k ,4 ()Z k ∈ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-8,8ππππk k ()Z k ∈ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k ()Z k ∈ D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-83,8ππππk k ()Z k ∈ 12.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是 （ ）A.1120,,1243⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B.1120,,633⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13.扇形的周长为cm 8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_______.错误！未找到引用源。
14.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=3tan πx y 的定义域是_______..______21,25sin log ,70tan log .1525cos 2121，则它们的大小关系为设︒⎪⎭⎫⎝⎛=︒=︒=c b a16.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πx x f ，则下列命题正确的是_________. ①函数()x f 的最大值为2；②函数()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称； ③函数()x f 的图象与函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x h 的图象关于x 轴对称； ④若实数m 使得方程()x f ＝m 在[]π2,0上恰好有三个实数解321,,x x x ,则37321π=++x x x ； ⑤设函数()()x x f x g 2+=，若()()()πθθθ211-=+++-g g g ，则3πθ-=三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明及演算步骤.。
）17.已知函数())4f x x π=-，x ∈R ．(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)求函数()f x 在区间[]82ππ-，上的最大值，并求出取得最值时x 的值. 18.如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，AE ＝21EC ，AD ，BE 交于点F ，设 b AD a AC ==, （1）用b a ,分别表示向量EB AB ,； （2）若t =,求实数t 的值．19.已知)3tan()cos()cos()tan()2sin()(απαππααπαπα----+-=f ．（1）将f （α）化为最简形式； （2）若()5123=⎪⎭⎫⎝⎛+-απαf f ，且()πα,0∈，求αtan 的值．20.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛-+=32sin 21πx x f （Ⅰ）用五点法作图作出()x f 在[]π,0∈x 的图象；（2）若不等式()2<-m x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立，求实数m 的取值范围． 21.已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B ，（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的一系列对应值如表：（1）根据表格提供的数据求函数f （x ）的一个解析式． （2）根据（1）的结果，若函数y ＝f （kx ）（k ＞0）周期为32π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πx 时，方程()1+=m kx f 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 22.已知函数)0(2162sin 3)(>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx x f ，其函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求函数()x f 的解析式及对称中心； （2）将函数()x f 的图象向左平移12π个单位长度，再向上平移21个单位长度得到函数 g （x ）的图象，若关于x 的方程()[]()0232=++x mg x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．答案一．选择题：CCDDC CCBAD BB 二．填空题：24.13cm ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,6|.14ππb c a <<.15 .16 ①③④⑤三．解答题：17.解：（1）因为())4f x x π=-，所以函数()f x 的最小正周期为22T π==π，由2224k x k π-π+π≤-≤π，得388k x k ππ-+π≤≤+π，故函数)(x f 的递调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π（Z k ∈）；(2)因为()cos(2)4f x x π=-在区间[]88ππ-，上为增函数，在区间[]82ππ，上为减函数，又()08f π-=，()8f π=π())1244f ππ=π-==-，故函数()f x 在区间[]82ππ-，8x π=18.解：（1）由题意，D 为BC 的中点，且＝，∵+＝2，∴＝2﹣，∴＝﹣＝2﹣﹣＝﹣+2；（2）∵＝t ＝t ，∴＝﹣＝﹣+（2﹣t ），∵＝﹣+2，，共线，∴，∴t ＝．19.解：（1）由题意可得，． （2）①，平方可得，∴，因为α∈（0，π），所以，sin α﹣cos α＞0，，所以②，由①②可得：，所以．20.解：（1）列表如下：﹣对应的图象如下：（2）∵f（x）＝1+2sin（2x﹣），又∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）max＝3，f （x）min＝2．由题意可得：f（x）＜m+2在x∈[，]上恒成立，∴m+2＞3，解得：m＞1，∴m的范围是（1，+∞）．21.解：（1）设f（x）的最小正周期为T，得，由，得ω＝1，又，解得，令，即，解得∴；（2）∵函数的周期为，k＞0，∴，∴当时，方程f（kx）＝m+1恰有两个不同的解，等价于方程m＝2恰有两个不同的解，即直线y＝m与函数y＝2图象有两个交点令，∵，∴，如图，s＝2sin t在上有两个不同的解，则，∴方程f（kx）＝m+1在时恰好有两个不同的解，则m．22.解（1）∵它的函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴＝2×．∴ω＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）﹣．令2x﹣＝kπ，得x＝+，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（+，﹣）k∈Z（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x+﹣）﹣＝sin2x﹣的图象；再向上平移个单位长度得到函数g（x）＝sin2x的图象．若关于x的方程3[g（x）]2+mg（x）+2＝0在区间上有两个不等实根，∵2x∈[0，π]，∴sin∈[0，1]，g（x）∈[0，]，∴3t2+mt+2＝0在[0，]上只有一个实数根．令h（t）＝3t2+mt+2，∴h（0）•h（）＝2×（11+m）＜0，或，求得m＜﹣，或m＝﹣2．。