高中数学第三章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值学业分层测评新人教B版选修1_1170719324

3.3.2 利用导数研究函数的极值(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列是函数f (x )在[a ，b ]上的图象，则f (x )在(a ，b )上无最大值的是( )【解析】 在开区间(a ，b )上，只有D 选项中的函数f (x )无最大值． 【答案】 D2．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12【解析】 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1]时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0， ∴x ＝1时，f (x )最小， 最小值为f (1)＝3. 【答案】 B3．函数f (x )＝13ax 3＋ax 2＋x ＋3有极值的充要条件是( )A ．a ＞1或a ≤0B ．a ＞1C ．0＜a ＜1D ．a ＞1或a ＜0【解析】 f (x )有极值的充要条件是f ′(x )＝ax 2＋2ax ＋1＝0有两个不相等的实根，即4a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞1.故选D.【答案】 D4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜12【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a . ∴x ＝±a .又∵f (x )在(0,1)内有最小值， ∴0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.故选B. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( ) 【导学号：25650131】A ．1B ．4C ．－1D ．0【解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2. 当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2＞0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4. 【答案】 B 二、填空题6．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＝________，b ＝________.【解析】 f ′(x )＝a x ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋ax，∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx 2＋3x ＋a x＝0的两根，也即2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根．∴由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－32b＝1＋2，a2b ＝1×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.【答案】 －2 －127．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图3­3­7所示，则函数的极小值是________．图3­3­7【解析】 由图象可知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故x ＝0时，函数f (x )取到极小值f (0)＝c . 【答案】 c8．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵x ∈(0,1]， ∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当 0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0. ∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4， 它也是最大值，故a ≥4. 【答案】 [4，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值． 【解】 f ′(x )＝－x －－xx2＋1x ＝x －1x2.由f ′(x )＝0，得x ＝1.∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递 减单调递 增∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－f (2)＝2－2ln 2＝2(ln e 3－ln 16)，而e 3＞16，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (2)＞0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，最小值为0. 10．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围. 【导学号：25650132】【解】 f ′(x )＝x ＋1x＋ln x －1 ＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，所以g (x )≤g (1)＝－1.综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞)．[能力提升]1．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点【解析】 不妨取函数为f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)，易判断x 0＝－1为f (x )的极大值点，但显然f (x 0)不是最大值，故排除A ；因为f (－x )＝－x 3＋3x ，f ′(－x )＝－3(x ＋1)(x －1)，易知－x 0＝1为f (－x )的极大值点，故排除B ；又－f (x )＝－x 3＋3x ，[－f (x )]′＝－3(x ＋1)(x －1)，易知－x 0＝1为－f (x )的极大值点，故排除C ；∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点．故D 正确．【答案】 D2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【解析】 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为减函数，∴u (x )在[a ，b ]上的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )． 【答案】 A3．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则极大值与极小值之差为________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 【答案】 44．设a 为实数，f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . 【导学号：25650133】 (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x＞x 2－2ax ＋1.【解】 (1)由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x－2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x－x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.。