高中数学人教版选修2-2(理科)第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数同步练习C卷
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.3.2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它 0 ；而且在点 x ＝ b 附近的左侧 点的函数值都大， f′(b) ＝ ______ f′(x)>0 f′(x)<0 ，就把点b叫做函数y＝f(x)的极 __________ ，右侧__________ 大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f(x)在区．②③
B．①④
D．③④
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解析：
由导函数图象知函数 f(x) 在( －∞，－3) 上单调递
解析：
D．极小值点x＝1
y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3
＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，
故选C.
答案： C
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
么，f(x0)是极大值．
f′(x)<0 ，右侧__________ f′(x)>0 (2)如果在x0附近的左侧__________ ，那 么，f(x0)是极小值．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数在研究函数中的应用》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、函数的单调性与导数1.利用导数的符号判断函数的增减性一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.要点提示若在某个区间上有有限个f′(x)=0,在其余点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).那就说在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分而不必要条件.2.利用导数判断数单调性的步骤(1)确定f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应区间上是减函数.深化升华①在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,只有在定义域内,通过讨论导数的符号,才能判断函数的单调区间.②在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点.③如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字分开.二、函数的极值与导数1.函数的极值已知函数f(x),设x0是定义域内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作y极大=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极大值点;如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.疑点突破极值是一个新的概念,是研究函数在某一个很小区域上的性质时给出的一个概念,在理解极值时要注意以下几点:①极值点x0是区间［a,b］内部的点,不会是端点a、b.②若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝对不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.③根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”;函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”.一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大.④函数f(x)在［a,b］上有极值的话,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值、极小值点是交替出现的.⑤可导函数的极值点必须为导数是0的点,但导数为0的点不一定是极值点;不可导的点可能是极值点,也可能不是极值点.例如:导数为0的点是极值点:y=x2,y′(0)=0,x=0是极值点;导数为0的点不是极值点:y=x3,y′(0)=0,x=0不是极值点;不可导点是极值点:y=|sinx|,x=0点处y不可导,是极小值点;不可导点不是极值点:y=31x ,x=0点处y 不可导,不是极值点.2.函数极值的判定设函数f(x)在x 0处连续,判别f(x 0)是极大(小)值的方法如下:(1)如果在x 0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x 0)是极大值; (2)如果在x 0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x )>0,那么f(x 0)是极小值; (3)如果在x 0的两侧f′(x)的符号相同,则x 0不是极值点. 3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的所有实数根.(3)考察在每个根x 0附近,从左到右,导函数f′(x)的符号如何变化.如果f′(x)的符号由正变负,则f(x 0)是极大值;如果由负变正,则f(x 0)是极小值.误区警示 ①可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即点x 0是可导函数f(x)的极值是f′(x 0)=0的充分但不必要条件,如f(x)=x 3,有f′(0)=0,但x=0不是极值点.②可导函数f(x)在点x 0处取得极值的充要条件是f′(x 0)=0,且在x 0左侧和右侧,f′(x)的符号不同. 二、函数的最大(小)值与导数 1.函数的最大值与最小值函数f(x)在闭区间［a,b ］上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在［a,b ］上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.辨析比较 ①函数的极值表示函数在某一点附近的情况,是在局部上对函数值的比较;函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况,是对整个区间上的函数值的比较.②函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个;而极大值或极小值可能多于一个,也可能没有,如常数函数无极大值,也无极小值. 2.求函数y=f(x)在［a,b ］上的最值的步骤 ①求f(x)在开区间(a,b)内所有使f′(x)=0的点;②计算函数f(x)在区间内使f′(x)=0的所有点和端点处的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.要点提示 ①求函数的最值与求函数的极值不同的是,在求可导函数的最值时,不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值,只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可.②可利用函数的单调性求f(x)在区间上的最值:若f(x)在区间［a,b ］上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在区间［a,b ］上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b). 问题·探究问题1 若y=f(x)在(a,b)内对任何x,都有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内为增函数,对吗?反之如何? 思路:按照导数的符号与函数的单调性的关系便可求解.探究:当f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内为增函数是正确的;反之不一定是正确的,例如y=x 3在x ∈R 上恒为增函数,但f′(x)=3x 2≥0.问题2 若函数f(x)在x 0处取得极值,则f(x)在x 0处一定可导吗? 思路:按照函数的导数与函数的极值的关系分析易知.探究:不一定,例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值,但f(x)=|x|在x=0处不可导. 问题3 函数的极值与最值是同一个概念吗?为什么?思路:函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个,而极大值或极小值可能多于一个,也可能没有.探究:函数的最值与极值不是同一个概念:若函数在闭区间［a,b ］内有多个极值时,则最值由极值与端点处的函数值比较得到;若在闭区间内为单值函数,则极值点就是最值点. 典题·热题例1求函数f(x)=x 4-2x 2+3的单调递增区间. 思路分析:先求f′(x),若f′(x)>0,则f(x)单调递增. 解:f′(x)=4x 3-4x,令f′(x)>0,∴4x 3-4x>0.解之,得-1<x<0或x>1. ∴f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).误区警示 单调区间(-1,0)与(1,+∞)只能用和、或连接,不能使用并集符号. 例2证明f(x)=x1在(0,+∞)上是减函数. 思路分析:可采用定义法和求导法两种方法来解题,体会求导法在解决函数单调性问题上的优越性.证明:法一:任取两个数x 1,x 2∈(0,+∞),设x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=11x -21x =2112x x x x -,∵x 1>0,x 2>0且x 1<x 2,∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. 法二:f′(x)=21x -, ∵x>0,∴f′(x)<0.∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.辨析比较 比较一下两种方法,用求导证明更简捷一些.如果是更复杂的函数,用导数的符号判断函数的单调性更能显示出它的优越性.例3(2005湖北高考)已知向量a =(x 2,x+1),b =(1-x,t).若函数f(x)=a ·b 在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围.思路分析:本题体现了高考重视对新增内容的考查以及常在知识交汇处设计问题的思想.利用向量的数量积运算求出f(x),利用导数与函数单调性的关系,将问题转化为不等式恒成立的问题,然后用函数的思想方法求解.解:法一:由题意得f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, 则f′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0. ∴f′(x)≥0⇔t≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立. 考虑函数g(x)=3x 2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=31,开口向上的抛物线,故t≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),即t≥5.而t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数. ∴t 的取值范围是t≥5.法二:由题意得f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, 则f′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0. ∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f′(1)=t+1≥0,且f′(1)=t -5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.∴t 的取值范围是t≥5.深化升华 本题主要考查平面向量数量积的计算方法,利用导数研究函数的单调性等知识,要学会恒成立问题的解法.例4判断函数y=|ax-b|(a>0)在其定义域内是否存在极值. 思路分析:易知y=|ax-b|≥0,在x=ab处不可导,因此可用极值的定义判断. 解:在x=a b 附近有f(x)>f(ab ), ∴由极值的定义,知f(x)在x=a b 处取得极小值f(ab)=0.误区警示 ①解答此题时常有如下错误:当x>a b 时,y′=a;当x<ab时,y′=-a,即函数f(x)在x=ab处不可导,因此无极值. ②函数在某一点处不可导,不能直接断定函数在该点处没有极值.此时应考查函数的具体特征,利用极值的定义来判断函数是否存在极值. 例5如果函数f(x)=ax 5-bx 3+c(a≠0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求a,b,c 的值. 思路分析:可通过求导确定可疑点,注意利用已知极值点x=±1所确定的相关等式,在判断y′的符号时,必须对a 进行分类讨论.解:y′=5ax 4-3bx 2,令y′=0,即5ax 4-3bx 2=0,x 2(5ax 2-3b)=0, ∵x=±1是极值点, ∴5a(±1)2-3b=0.又x 2>0,∴可疑点为x=0,±1. 若a>0,y′=5ax 2(x 2-1).当x 变化时,y′与y 的变化情况如下表:X (-∞,1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y′ + 0 - 0 - 0 + Y ↗ 极大值 ↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x=-1时,f(x)有极大值; 当x=1时,f(x)有极小值.∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++-,2,5,335213504c b a ab a bc b a c b a c b a 若a<0,同理可得a=-3,b=-5,c=2.方法归纳 从逆向思维出发,运用待定系数法,实现由已知向未知的转化,转化过程中通过列表形象直观地解决待定系数问题.例6确定函数y=31x 32)1(x -的单调区间,并求出它们的极值.思路分析:先由f′(x)=0找到极值点,极值点把定义域分成几个区间;再根据f′(x)的正负去判断各区间上函数的单调性.解:y′=31·3132313231313232)1(331])1(2)1[(31)1(132)1(1x x x x x x x x x x x --=---=-∙--(x≠0,x≠1).显然x=0或x=1时,导函数不存在,再由y′=0得x=31,故有可疑点:x=0,x=31,x=1,列表如下: x (-∞,0) 0 (0,31) 31 (31,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 不存在 + 0- 不存在 + f(x)↗↗343↘↗故函数的单调增区间为(-∞,31］与(1,+∞);单调递减区间为［31,1］. 函数在x=31处取得极大值343;在x=1处取得极小值0.方法归纳 在求极值中,为判断方程f′(x)=0的根的左右两边值的符号,可用列表的方法,用方程f′(x)=0的根,以及不可导点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.本例进一步说明:函数导数不存在的点也可能是极值点. 例7(2005北京高考)已知函数f(x)=-x 3+3x 2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间［-2,2］上的最大值是20,求它在该区间上的最小值. 思路分析:本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值的方法.对于(1)先求出f′(x),解不等式f′(x)<0即可.(2)由f(x)的最大值为20,求出a,进而求出最小值. 解:(1)f′(x)=-3x 2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3. ∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, ∴f(2)>f(-2).∵在(-1,3)上f′(x)>0,∴f(x)在［-1,2］上单调递增. 又由于f(x)在［-2,-1］上单调递减,∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间［-2,2］上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. ∴f(x)=-x 3+3x 2+9x-2. ∴f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间［-2,2］上的最小值为-7.深化升华 本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数最值的方法,做题时注意应先比较f(-2)和f(2)的大小,然后判定哪个是最大值从而求出a.例8(2005天津高考)已知m ∈R ,设命题P:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立;命题Q:函数f(x)=x 3+mx 2+(m+34)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围.思路分析:P:本题主要考查集合的运算、绝对值不等式、应用导数研究函数的单调性及极值等基础知识.将方程的根与不等式联系起来,通过解绝对值不等式求出m 的范围,Q:利用导数、根的判别式,求出m 的取值范围,然后求P,Q 的交集.解:(1)由题设x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,得x 1+x 2=a 且x 1x 2=-2,∴|x 1-x 2|=84)(221221+=-+a x x x x .当a ∈［-1,1］时,a 2+8的最大值为9,即|x 1-x 2|≤3.由题意,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立的m 的解集等于不等式|m 2-5m-3|≥3的解集,由此不等式得m 2-5m-3≤-3①或m 2-5m-3≥3②. 不等式①的解集为0≤m≤5,不等式②的解集为m≤-1或m≥6.因此,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,P 是正确的. (2)对函数f(x)=x 3+mx 2+(m+34)x+6求导,得f′(x)=3x 2+2mx+m+34. 令f′(x)=0,即3x 2+2mx+m+34=0. 此一元二次方程的判别式Δ=4m 2-12(m+34)=4m 2-12m-16. 若Δ=0,则f′(x)=0有两个相等的实根x 0,且f′(x)的符号如下:x (-∞,x 0) x 0 (x 0,+∞) f′(x) + 0 +因此,f(x 0)不是函数的极值.若Δ>0,则f′(x)=0有两个不相等的实根x 1和x 2(x 1<x 2),且f′(x)的符号如下:X (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + 因此,函数f(x)在x=x 1处取得极大值,在x=x 2处取得极小值. 综上所述,当且仅当Δ>0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极值. 由Δ=4m 2-12m-16>0得m<-1或m>4, 因此,当m<-1或m>4时,Q 是正确的.综上,使P 正确且Q 正确的实数m 的取值范围为(-∞,-1)∪(4,5］∪［6,+∞).例9(2005山东高考)已知x=1是函数f(x)=mx 3-3(m+1)x 2+nx+1的一个极值点,其中m,n ∈R ,m≠0.(1)求m 与n 的关系表达式; (2)求f(x)的单调区间.思路分析:本题注重对导数的应用与数学思想的考查.(1)由f′(1)=0确定m 与n 的关系.(2)由f′(x)>0,f′(x)<0确定f(x)的单调区间. 解:(1)f′(x)=3mx 2-6(m+1)x+n,∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0. ∴n=3m+6.(2)由(1),知f′(x)=3mx 2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+m2)］. ①当m<0时,有1>1+m 2,当x 变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表: x (-∞,1+m 2) 1+m 2 (1+m2,1)1 (1,+∞) f′(x)<0>0<0f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表知,当m<0时,f(x)在(-∞,1+m 2)上单调递减,在(1+m2,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.②当m>0时,有1<1+m2,当x 变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表: x (-∞,1) 1(1,1+m2) 1+m2 (1+m2,+∞) f′(x) >0 0 <0 0 >0 f(x)单调递增 极大值单调递减极小值 单调递增由上表知,当m>0时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,1+m 2)上单调递减,在(1+m2,+∞)单调递增. 深化升华 解决本题关键在于准确地求出m 与n 的关系式,以及借助二次函数解决恒成立问题.。
2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-2：第一章 导数及其应用 3.2《函数的极值与导数》
-2 o
2
x
练习1、求函数f(x)=6+12x-x3的极值.
f ( x )=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)
x
f ( x)
(-∞,-2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-2 (-2,2)
2
(2,+∞)
↘
0
-10
y
+
↗
0
22
↘
f(x)
f ( x) 6 12x x3
-2
o2
x
一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 f ( x )=0.当 f ( x ) =0时. ①如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x ) 0
1.3.2 函数的极值与导数
内容：函数极值的概念及其与 导数的关系 函数的极 值与导数 应用
求函数的极值
给函数的极值求 函数的解析式 给函数的极值求函 数的单调区间
本课主要学习函数的极值与导数。以视频摆锤极限 转动最高点引入新课，接着探讨在跳水运动中,运动员相 对于水面的高度与起跳后的时间的函数图象，从图象的 增与减定义函数极大值的概念，类似地借助函数图象定 义函数极小值的概念，探讨判断函数极值的方法和步骤 。重点是理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大 值与极小值，掌握利用导数求不超过三次的多项式函数 极值的一般方法.难点是函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件．为了巩固新知识，给出3个例题和变式，通 过解决问题说明导数在求函数极值问题中的应用。 在讲述函数的极值与导数时，采用例题与变式结合 的方法，通过例 1 和变式 1 探讨求已知函数极值的方法。 例 2 和变式 2 、例 3 和变式 3 都是利用已知的极值点求函数 的解析式或函数的单调区间。采用一讲一练针对性讲解 的方式，重点理解导数在求函数极值中应用。
A版高中数学选修2-2第一章 1-3-2函数的极值与导数素材
函数的极值与导数一、教材分析《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。
二、教学目标1. 教学目标（1） 知识技能目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.（2）过程与方法目标：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（3）情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神； 体会数学中的局部与整体的辨证关系. 2．教学重点和难点重点：掌握求可导函数的极值的一般方法. 难点：(1)0x 为函数极值点与)(0x f '=0的逻辑关系 (2)函数的导数与函数最值的区别及联系。
3．教学方法与教学手段师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。
由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率. 4、教学过程(冲浪板近似的理解为曲线的切线) 给出寻找和判断可导函数的极值点的方法： (1) 如果在0x 附近的左侧()f x ﹥0，附 教学设计说明本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。
人教版高中数学选修2-2第一章1.3.2函数的极值与导数
旧知回顾()()()()()''在某个区间a,b 内,如果f x >0,那么函数y =f x 在这个区间内单调递增;如果f x <0,那么函数y =f x 在这个区间内单调递减.一般地，函数的单调性与导数的关系：（1）确定函数y=f(x)的定义域；（2）求导数f’(x)；（3）解不等式f’(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．新课导入观察下图，点a 与点b 处的函数值，与他们附近点的函数值有什么关系？a b)(b f )(a f观察下图中的曲线a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．观察函数f(x)＝2x3－6x2＋7的图象思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?3.3 导数在研究函数中的应用教学目标知识与能力理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.过程与方法结合实例，借助几何直观探索并了解函数的极值与导数的关系.情感态度与价值观利用函数图像，观察、分析函数的极值与导函数之间的关系，体会导数在研究函数中的优越性.教学重难点重点求函数的极值.难点函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.ht o m()h f tMt hO a83.1-图()0t h '>单调递增()0t h '<单调递减()0a h '=93.1-图观察上图，可以发现t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在此点的导数是多少？此点附近的图像有什么特点？相应的，导数的符号有什么变化规律？()0t h '>单调递增()0t h '<单调递减()0a h '=93.1-图放大t=a 附近函数h(t)的图像，如图所示，可以看出()'0h a =()'0.h t <当t>a 时，函数h(t)单调递减，()'0;h t >当t<a 时，函数h(t)单调递增，()0t h '>单调递增()0t h '<单调递减()0a h '=93.1-图这就是说，在t=a 附近，函数值先增后减.这样，当t 在a 附近从小到大经过a 时，先正后负，且连续变化，于是.()'h t ()'h t ()'0h a =c d e f o g h i j x y ()x f y =a b o x y ()x f y =103.1-图探究下图中函数y=f(x)在a —j 点的函数值与这些点附近的函数值有什么函数关系？y=f(x)在这些点得到数值是多少？在这些点附近，该函数的导数符号有什么规律？a b o xy ()x f y =103.1-图以a ，b 两点为例，函数y=f(x)在点x=a 的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，而且在点x=a 附近的左侧，右侧.()'0f a =()'0f x <()'0f x >a b o xy ()x f y =103.1-图类似地，函数y=f(x)在点x=b 的函数值f(b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b 附近的左侧，右侧()'0f b =()'0f x >()'0f x <极大值的概念附近有一般地，设函数f(x)在点x附近的所有点，都有定义，如果对xf(x)<f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一=f(x0).个极大值，记作y极大值极小值的概念如果对x附近的所有点，都有f(x)>f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一=f(x0).个极小值，记作y极小值极大值和极小值统称极值思考：极值与我们前面学过的最值的概念有什么区别？极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的势函数的局部性质.()3144.3f x x x =-+求函数的极值()()()()3'2144,4322.f x x x f x x x x =-+=-=-+解:因为所以下面分两种情况讨论：()();2x ,2x ,0x f 1'时或即当-<>>()().2x 2,0x f 2'时即当<<-<()():x f ,x f ,x '的变化情况如下表变化时当()()()()()单调递增单调递减单调递增34328x f 00x f ,222,222,x '-+-++∞---∞-因此,当x=-2时有极大值,y 极大值=28/3;当x=2时有极小值,并且,y 极小值=-4/3.()31f x =x -4x +4 1.3-123函数的图象如图所示.2-2oxy ()4x 4x 31x f 3+-=123.1-图极大值一定大于极小值吗?导数值为0的点一定是函数的极值点吗?你还能再举例吗？导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，函数，.虽然，但无论x>0，还是x<0，恒有，即函数是单调递增的，所以x=0不是函数极值点.()3f x =x ()'2f x =3x ()'f 0=0()'f x >0()3f x =x ()3f x =x知识要点一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充要条件.知识要点一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程.当时：()'0f x =()'00f x =（1）如果在附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么是极大值；0x ()0f x口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.()()()()'0'020,0,.x f x f x f x <>如果在附近的左侧右那么是极小值侧求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．解：定义域为R，y'＝6x(x2－1)2.由y'＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1当x变化时，y'，y的变化情况如下表：当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．课堂小结（1）可导函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定都是极值点.（2）对于一般函数，函数的不可导点也可能是极值点.（3）极大值与极小值的概念.（4）一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.（5）如果函数f(x)在点x处连续,总)是极大或极小值的方法：结判别f(x左负右正为极小，左正右负为极大.高考链接（广东卷7）设，若函数有大于零的极值点，则（）a∈R3axy e x=+ C．3a>-3a<-13a>-13a<-A．B．D．B（全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（）93)(23-++=x ax x x f )(x f 3-=x A.2B. 3C. 4D. 5B 解析：利用取得极值时的导数条件进行求解.随堂练习1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（)BA. y=-x3B. y=cos2xC. y=tan x-xD. y=1/x2.曲线y=x 4-2x 3+3x 在点P(-1，0)处的切线的斜率为()A.–5B.–6C.–7D.–8B3. 下列说法正确的是（）A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值C. 对于f(x)=x 3+px 2+2x+1，若|p|<√6，则f(x )无极值D. 函数f(x)在区间(a,b )上一定存在最值C5.函数y=x 3-3x 的极大值为_____.26.对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点___________.充要条件4.已知y=f(x)=2x 3-3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于()A. 6B. 0C. 5D. 1A7.求函数的极值.)0()(2>+=a x a x x f 解:函数的定义域为(,0)(0,),-∞+∞ 222()()()1.a x a x a f x x x-+'=-=令,解得x 1=-a ，x 2=a(a>0).()0f x '=当x 变化时,，f(x)的变化情况如下表:()f x 'x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞) f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a ↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a 时,f(x)有极小值f(a)=2a.1.习题答案练习（第29页）是函数y=f(x)的极值点，其中是函数y=f(x)的极大值点，是函数y=f(x)的极小值点.24,x x 2x x =4x x =2(1)()62f x x x =--3(2)()27f x x x =-3(3)()612f x x x =+-3(4)()3f x x x =-min 149()1224f f ==-max (3)54f f =-=min (3)54f f ==-max (2)22f f ==min (2)10f f =-=-max (1)2f f ==2.min (1)2f f =-=-。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
高中数学选修2-2最全知识点汇总
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 内
(1)如果 ，那么函数 在这个区间单调递增；(2)如果 ，那么函数 在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数 的极值的方法是:（1）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值（2）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值;
3.导函数：当x变化时， 便是x的一个函数，我们称它为 的导函数. 的导函数有时也记作 ,即
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若 (c为常数)，则 ；2若 ,则 ;
3若 ,则 4若 ,则 ;
5若 ,则 6若 ,则
7若 ,则 8若 ,则
导数的运算法则
1. 2.
3.
复合函数求导 和 ,称则 可以表示成为 的函数,即 为一个复合函数
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
2,几个重要的结论
(1) (2) (3)若 为虚数,则
3.单位i的一些固定结论：
（1） （2） （3） （2）
(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)
数学选修2-2人教A讲义：第一章导数及其应用1.3.2(一)
(0 ，e) ＋ ↗
e 0 极大值
(e，＋ ∞ ) － ↘
因此， x＝ e 是函数的极大值点，极大值为
f(e) ＝1，没有极小值． e
反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程 f′ (x)＝ 0 的根． (3)用方程 f′ (x)＝ 0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由 f′ (x) 在方程 f′ (x)＝ 0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况． 特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． 跟踪训练 1 求下列函数的极值点和极值．
1． 3.2 函数的极值与导数 (一 )
学习目标 1.了解函数极值的概念， 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 函数极值的判定及求法 .3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
.2. 掌握
知识点一 函数的极值点和极值 思考 观察函数 y＝ f( x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．
答案 极大值点为 e， g， i，极大值为 f (e)， f( g)， f(i )；极小值点为 d， f，
(－ 1,3)
3
(3 ，＋ ∞ )
f′ (x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可以看出，当 x＝－ 1 时，函数有极大值，且极大值
极小值，且极小值 f(3) ＝－ 6.
(2)函数 f(x) 的定义域为 R.
f′
(
x)
＝
－
2xe
x－
x2e－
x＝
x(2
－
x)e－
x
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高中数学人教版选修2-2（理科）第一章导数及其应用 1.3.2函数的极值与导数同
步练习C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共7题；共14分)
1. （2分）点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是（）
A . １
B .
C . ２
D .
2. （2分）下面说法正确的是（）
A . 若不存在，则曲线在点处没有切线
B . 若曲线在点处有切线，则必存在
C . 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D . 若曲线在点处没有切线，则有可能存在
3. （2分）函数有（）．
A . 极大值5，极小值-27；
B . 极大值5，极小值-11；
C . 极大值5，无极小值；
D . 极小值-27，无极大值
4. （2分）已知函数f(x)=ax+4,若，则实数a的值为（）
A . 2
B . -2
C . 3
D . -3
5. （2分）已知函数在x=1处的导数为1，则（）
A . 3
B .
C .
D .
6. （2分）已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）
A . e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＜e2016f（0）
B . e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＞e2016f（0）
C . e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＞e2016f（0）
D . e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＜e2016f（0）
7. （2分）若f（x）=x4﹣4x+m在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，都存在f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）
A . m＞3
B . m＞6
C . m＞8
D . m＞14
二、单选题 (共1题；共2分)
8. （2分）在R上可导的函数，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
三、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 若函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图像与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围________．
10. （1分） (2019高三上·镇江期中) 已知函数有个不同的零点，则实数的取值范围为________．
11. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 函数若函数在上有3个零点，则的取值范围为________．
四、解答题 (共3题；共25分)
12. （10分）已知函数，．
（1）若a=1，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.
13. （10分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）且f'（0）=﹣1，（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x2＜ex．
14. （5分）已知函数f（x）=x2+2x+a•lnx．
若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围.
参考答案一、选择题 (共7题；共14分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
二、单选题 (共1题；共2分)
8-1、
三、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
四、解答题 (共3题；共25分)
12-1、
12-2、13-1、13-2、14-1、。