函数的极值与导数习题课2

x
(1，＋∞)
3 1，
a 2
y′ ＋
－
3Байду номын сангаас 2
3
a2，＋∞
0
＋
y 极小值＝
y
3
a2＋3 4
2a2
综上可知，
(1)若 0<a≤2，则函数在(1，＋∞)上单调递增，无极值．
(2)若
a>2，则函数在1，
3
a上递减， 2
在
3

a2，＋∞上递增，在 x＝ 3
等式组
由(2)，参数 θ∈π3，π2时，0<cosθ<12.要使不等式 2a－1≥12 cosθ 关于参数 θ 恒成立，必有 2a－1≥14.
综上，解得 a≤0 或58≤a<1. 所以 a 的取值范围是(－∞，0]∪58，1.
例
5、已知函数
f
(x)

kx 1 x2 c
试确定a、b、c的值． [分[解析析]] 本f′(题x)的＝5关ax键4－是3理bx解2＝“x2f(5xa)在x2－x＝3b±)．1处的极大值为4，极小
值为0”题的意含，义f′(x．)＝即0x应＝有±根1是x＝方±程1，f′(故x)5＝a＝0的3b两，个根且在根x＝
±1处f于′(x是)取f′(值x)左＝右5a异x2(号x2．－1)
c 1
k
当 c 1时， k 0 ；当 0 c 1时， k 2．
（i）当 k 0 时， f (x) 在 (， c) 和 (1， ) 内是减函数，
在 (c，1) 内是增函数．
M

f
(1)

k 1 c 1
k 2
0，m

f
(c)

kc 1 c2 c

k 2 2(k 2)

0，
由 M m k k2 ≥1及 k 0，解得 k ≥ 2 ．
2 2(k 2)
-c 1
（ii）当 k 2时， f (x) 在 (， c) 和 (1， ) 内是增函数，
在 (c，1) 内是减函数. M f (c) k 2 0 , m f (1) k 0
[点评] 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰
当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键．
[例2] 求函数f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0) [解析] 由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
(x2 c)2
(x2 c)2
由题意知 f (c) 0，即得 c2k 2c ck 0
(*)
Q c 0 ,k 0 ． 由 f (x) 0 得 kx2 2x ck 0 ，
由韦达定理知另一个极值点为 x 1(或 x c 2 )
k
（2）由（*）式得 k 2 ，即 c 1 2 ．
a2处取得极小值，
3 即函数的极小值为 y＝
a42＋3 2a2.
[例 4] 已知函数 f(x)＝4x3－3x2cosθ＋312，其中 x∈R，
θ
为参数，且
π 0≤θ≤2.
(1)当cosθ＝0时，判断函数f(x)是否有极值；
(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在 区间(2a－1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围．
跟踪训练 3 若函数 f(x)＝2x3－6x＋k 在 R 上只有一个 零点，求常数 k 的取值范围．
解: f(x)＝2x3－6x＋k，则 f′(x)＝6x2－6， 令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1，
可知 f(x)在(－1,1)上为减函数， f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数．
f′(x)＝0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值 点的确定一目了然．
(3)极值情况较复杂时，注意分类讨论．
例 3：设 a>0，求函数 y＝x2＋ax(x>1)的单调区间，并且如果有极值
时，求出极值． [解析] ∵y＝x2＋ax，
∴y′＝2x－xa2＝x12(2x3－a)．
因此，令函y′数＝0在，(得1，x＝＋3∞a2)内. 的单调区间以及是否有极 值均a 与a(有0,2关〕系，要视x＝与1的(大2，小＋关∞系) 而定.
f(x)的极大值为 f(－1)＝4＋k， f(x)的极小值为 f(1)＝－4＋k. 要使函数 f(x)只有一个零点，只需 4＋k<0 或－4＋k>0(如图所示)
或 即 k<－4 或 k>4.∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
例1,已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，
综上得： 当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值； 当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值； 当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．
[点评] 判断函数极值点的注意事项:
(1)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是 单调函数，即在区间(a，b)上的单调函数没有极值． (2)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程
(1)当a＞0时，
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
y′
＋
0 － 0－0
＋
极
无
极
y
大
极
小
值
值
值
由表可知：40＝＝ff((－1)＝1)＝a－－ba＋＋cb＋c 又 5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2. (2)当 a＜0 时，同理可得 a＝－3，b＝－5，c＝2.
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋
0－0
＋
f(x)
极大值
极小值
由此可得： ①当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； ②当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值； ③当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； ④当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．
[分析] f(x)是否有极值，需研究是否存在x0点，使f′(x0)＝0 且在x0左、右f′(x)的符号相反；求参变量范围注意其他条件．
[解析] (1)当 cosθ＝0 时，f(x)＝4x3＋312，则函数 f(x) 在(－∞，＋∞)上是增函数，故无极值．
(2)f′(x)＝12x2－6xcosθ，
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝co2sθ.
2(k 2)
2
M m k 2 k 1 (k 1)2 1 ≥1恒成立．
2(k 2) 2
k2
综上可知,所求 k 的取值范围为 (， 2) U[ 2， )
-c 1
(
c

0
且
c
1,
k
R
)恰有
一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x c
(1)求函数 f (x) 的另一个极值点；
(2) 求 函 数 f (x) 的 极 大 值 M 和 极 小 值 m , 并 求
M m≥1时 k 的范围．
解：(1) f (x) k(x2 c) 2x(kx 1) kx2 2x ck ，
由 0≤θ≤π2及(1)，只考虑 cosθ>0 的情况．
当x变化时，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
0，co2sθ
cosθ 2
f′(x) ＋ 0
－
0
co2sθ，＋∞ ＋
极大
f(x)
值
极小值
因此，函数 f(x)在 x＝co2sθ处取得极小值 fco2sθ，且 fco2sθ＝－14cos3θ＋312. 要使 fco2sθ>0，必有－14cos3θ＋312>0，可得 0<cosθ<12， 所以π3<θ<π2. (3)由(2)知，函数 f(x)在区间(－∞，0)与co2sθ，＋∞内都是增函数． 由题设，函数 f(x)在(2a－1，a)内是增函数，则 a 须满足不