高考数学一轮复习第6章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案文北师大版

第6章数列全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2道小题或1道解答题，分值占10～12分.2.考查内容高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算、性质及数列的递推公式等为主．解答题一般考查数列的通项公式、前n项和公式、等差、等比数列的判定及计算、错位相减法、裂项相消法、公式法求和.3.备考策略(1)熟练掌握以下内容及方法①根据数列的递推公式求通项公式的常用方法；②等差、等比数列的通项公式、前n项和公式；③等差、等比数列的性质；④等差、等比数列的判定方法；⑤数列求和方法：分组转化法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.(2)重视分类讨论、转化与化归思想在数列中的应用.[最新考纲] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．(对应学生用书第93页)1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法． 2．数列的分类 分类 标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限 无穷数列项数无限单调性递增数列 a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n 常数列 a n ＋1＝a n ＝c (常数)摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．5．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.[常用结论]1．数列{a n }是递增数列⇔a n ＋1＞a n 恒成立． 2．数列{a n }是递减数列⇔a n ＋1＜a n 恒成立．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )(4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、教材改编1．数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝±1nB ．a n ＝(－1)n·1nC ．a n ＝(－1)n ＋11nD ．a n ＝1nB [由a 1＝－1，代入检验可知选B.]2．在数列{a n }中，已知a 1＝－14，a n ＋1＝1－1a n ，则a 3＝( )A ．－3 B.23 C ．5 D.45D [a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝1－15＝45.]3．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第6个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)给出，则a 5＝________. 8 [a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝8.](对应学生用书第94页)⊙考点1 由数列的前n 项归纳数列的通项公式解答具体策略：①相邻项的变化规律；②各项的符号规律和其绝对值的变化规律；③分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；④合理拆项；⑤结构不同的项，化异为同．根据下面各数列前n 项的值，写出数列的一个通项公式．(1)12，－34，78，－1516，3132，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)5,55,555,5555，…； (4)1,3,1,3，…；(5)23，415，635，863，1099，…； (6)－1,1，－2,2，－3,3，…. [解](1)数列中各项的符号可通过(－1)n ＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝(－1)n ＋12n－12n . (2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1)．(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是3，所以数列的一个通项公式为a n ＝2＋(－1)n.(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n －12n ＋1.(6)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n ＋12表示，数列的偶数项为1,2,3，…可用n2表示．因此a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12n 为奇数，n2n 为偶数.(1)记住常见数列的通项公式，有些数列可用常见数列表示，如T (3)．(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如T (6)． ⊙考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1，求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________.(1)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2 (2)－63 (3)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1n，n ≥2 [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝2a n ＋1得S 1＝2a 1＋1，即a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 又S n －1＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.所以数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列，所以S 6＝－1×1－261－2＝1－26＝－63.(3)当n ＝1时，由已知， 可得a 1＝21＝2，∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n， ① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n(n ≥2)．显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2.]a n ＝S n －S n －1只适用于n ≥2的情形，易忽略求a 1，造成错解，如T (1)，T (3)． 1.(2019·郑州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n，n ≥2 [由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，即S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，显然a 1＝3不满足上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.]2．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有2S n ＝a 2n ＋a n ，则a n ＝________.n [由2S n ＝a 2n ＋a n 得2S n －1＝a 2n －1＋a n －1， ∴2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， 即a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，又a n ＞0， ∴a n －a n －1＝1，又2S 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .]⊙考点3 由递推公式求数列的通项公式由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，可用累加法求a n . (2)形如a n ＋1＝a n f (n )，可用累乘法求a n .(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，可构造等比数列求a n . (4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C，可通过两边同时取倒数，构造新数列求解．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．[解] ∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋8＋5＋2 ＝n 3n ＋12，∴a n ＝32n 2＋n 2.求解时，易错误地认为a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)造成错解． 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝nn ＋2a n ，求数列{a n }的通项公式．[解] 由a n ＋1＝nn ＋2a n 得a n ＋1a n ＝n n ＋2， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·4 ＝1n ＋1×1n ×2×1×4＝8nn ＋1， 即a n ＝8n n ＋1.求解时易错误地认为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1，造成错解． 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．[解] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.a n ＋1＝Aa n ＋B 可转化为a n ＋1＋k ＝A (a n ＋k )的形式，其中k 可用待定系数法求出． 1.(2019·泰安模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则a n ＝________.2n －1＋n [由a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1得a n ＋1－a n ＝2n －1＋1，∴a n －a n －1＝2n －2＋1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋(n －1)＋2＝1－2n －11－2＋n ＋1＝2n －1＋n ，即a n ＝2n －1＋n .]2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则a n ＝________.2n n －12[∵a n ＋1＝2na n ，∴a n ＋1a n ＝2n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n n －12，即a n ＝2n n －12.]3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________. 2n ＋1－3 [由a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．又a 1＝1，∴a 1＋3＝4.故数列{a n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.]⊙考点4 数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值．(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 020项为________．(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n，则S 2 020＝________.(1)45 (2)0 [(1)因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝25，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 020＝a 505×4＝a 4＝45.(2)∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n ，∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3， a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }是周期为3的周期数列， 且a 1＋a 2＋a 3＝0， 则S 2 020＝S 3×673＋1＝a 1＝0.]求解时，易算错数列的周期，可计算数列的前几项，直至找到和a 1相同的项a k ，则数列的周期为k －1.[教师备选例题]已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 020＝( )A ．－1 B.12C ．1D ．2B [由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 020＝a 3×673＋1＝a 1＝12.]1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020＝________.0 [∵a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，∴a 2 020＝a 2＝0.]2．(2019·青岛模拟)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 020项之和S 2 020＝________.2 010 [由题意知a 1＝2 008，a 2＝2 009，a 3＝1，a 4＝－2 008，a 5＝－2 009，a 6＝－1，a 7＝2 008，a 8＝2 009，…，因此数列是以6为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝0，∴S 2 020＝S 6×336＋4＝336×0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2 010.]。