MSDC.初中数学.轴对称与等腰三角形C级.第01讲.学生版
八年级数学上册 第13章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形(第1课时)课件
相等的两条边叫做腰;
另一条边叫做底边;
A
两腰所夹的角叫做顶角(dǐnɡ ; jiǎo)
底边与腰的夹角叫做底角.
注意:只有等腰三角形才有底角和底
边.
B
C
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二 观察实验(shíyàn),猜出性质
A
等腰三角形是轴对称图形(túxíng) 吗？
把剪出的等腰三角形ABC沿 折痕对折，找出其中重合的线段 B D C 和角.
那一年我们因缘而聚
那一年我们风雨同舟 现在(xiànzài)的你还记得当初的豪情壮志吗？
第一页，共十三页。
一 动手操作,得出(dé chū) 概念
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并
剪去阴影部分，再把它展开(zhǎn kāi)，得到的△ABC 是怎样的 三角形？
B
A
D
C
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有两条边相等(xiāngděng)的三角形是等腰三角形。 如图，△ABC中,AB=AC，那么(nà me)△ABC就 是等腰三角形。
(3).如图,A﹑D﹑C在同一条(yī tiáo)直线上,AB=BD=CD,
∠C=40 °,求∠ABD的度数.
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(4). 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，
D为BC的中点(zhōnɡ diǎn)，DE ⊥ AB,DF ⊥ AC。 求证:DE=DF.
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谈谈 你的收获！ (tán tán) 第十一页，共十三页。
等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 _3_5__°_,_35 °__。
等腰三角形的两边长分别为8和3，该三 角形的周长为___1_9_____ __；
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第2章 2. 5 等腰三角形的轴对称性(第1课时)
2. 5 等腰三角形的轴对称性课时1 等腰三角形知识点1 等腰三角形的性质1. 如图，在ABC ∆中AB AC =，过点A 作//AD BC ，若170∠=︒，则BAC ∠的大小为( ) A.30︒B.40︒C.50︒D.70︒2. 如图，在ABC ∆，点D 在BC 上，下列四个命题正确的有( )①若AB AC =，则B C ∠=∠ ②若AB AC =，12∠=∠，则 AD BC ⊥，BD DC =③若AB AC =，BD DC =，则 AD BC ⊥，12∠=∠④若AB AC =，AD BC ⊥，则 BD DC =，12∠=∠A.1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 在等腰三角形中，一个外角的度数为100°，则不与该外角相邻的两个内角的度数分别为( )A.40°，40°B. 80°，20°C.50°，50°D. 50°，50°或80°，20° 4. 如图，在ABD ∆中，C 为BD 上一点，AD BC BA ==，则下列各式正确的 是 ( ) A. 122∠=∠B. 212180∠+∠=︒C. 132180∠+∠=︒D. 312180∠-∠=︒5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角的度数为( )A. 45°或135°B.45°C.135°D.90°6. 如图，在ABC ∆中，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ，CF 是ACD ∆的中线，CE 是ACB ∠的平分线.求证: CE CF ⊥.7. 如图，点D ，E 是ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =，BD 与CE 相等吗?请说明你的理由.知识点2 等腰三角形的判定8. 在ABC ∆中，已知下列条件，能判定ABC ∆为等腰三角形的是( )A. 40A ∠=︒，50B ∠=︒B. 40A ∠=︒，60B ∠=︒C. 20A ∠=︒，80B ∠=︒D. 40A ∠=︒，80B ∠=︒9. 如图，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线 上，则图中的等腰三角形有 A.4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E . 求证:(1)BD DF =;(2) ADE ∆的周长等于AB AC +.11. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，点E 在CA 的延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F .(l)求证: E AFE ∠=∠;(2)若3AF =，5BF =，求CE 的长， 并写出ABC ∆周长的取值范围.【精选作业】1. 如图，在PAB ∆中，PA PB =，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的 点，且AM BK =，BN AK =，若 44MKN ∠=︒，则P ∠的度数为( ) A. 44° B. 66° C. 88° D. 92°2. 如图，在ABC ∆中，36A ∠=︒，AB AC =，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD .则下列结论错误的是( )A. 2C A ∠=∠B. BD 平分ABC ∠C. BCD BOD S S ∆∆=D. BD BC =3. 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是( )A. AD CD =B. A DCE ∠=∠C. ADE DCB ∠=∠D. 2A DCB ∠=∠4. 如图，在ABC ∆中，36A ∠=︒，AB AC =，BD 是ABC ∠的平 分线.若在边AB 上截取BE BC =， 连接DE ，则图中的等腰三角形共 有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5. 已知,,a b c 为ABC ∆的三边长，且()()()0a b a c b c ---=，则ABC ∆一定是 .6. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，点,,D E F 分别在,,BC AB AC 上，且DE BE =，DF DC =，若40A ∠=︒，则EDF ∠的度数为 .7. 如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO延长线上的一点，10OA =cm ，动 点P 从点A 出发沿AB 以2 cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1 cm/s 的速度移动，点P ，Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = 时，POQ ∆是等腰三角形.8. 如图，已知点,A C 分别在,BG BE 上，且AB AC =，//AD BE ，GBE ∠的平分线与AD 交于点D ，与AC 交于点F .连接CD . (1)求证:①AB AD =;②CD 平分ACE ∠.(2)猜想BDC ∠与BAC ∠之间有何数量关系?并对你的猜想加以证明.9. 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，,D E 分别在边,BC AC 上，AD DE ⊥，且AD DE =.点F 是AE 的中点，FD 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，连接CM . (1)求证: FMC FCM ∠=∠;(2)AD 与MC 垂直吗?请说明理由.10. 如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 为BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)，连接AD ，作40ADE ∠=︒ ，DE 交AC 于点E . (1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠= ，DEC ∠= ，点D 从点B 向点C 运动的过程中，BDA ∠逐渐变 ;(填“大”或“小”) (2)当DC 的长为多少时，ABD DCE ∆≅∆， 并给予证明;(3)在点D 的运动过程中，ADE ∆可以是等腰 三角形吗?若可以，请直接写出BDA ∠的度 数，若不可以，请说明理由.11. 问题情境:将一副直角三角板Rt ABC ∆和Rt DEF ∆按图1所示的方式摆放，其中90ACB FDE ∠=∠=︒，CA CB =，O 是AB 的中点，点D 与点O 重合，DF AC ⊥于点M ，DE BC ⊥于点N ，试判断线段OM 与ON 的数量关系，并说明理由. 探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法: OM ON =，理由如下:连接CO ，则CO 是AB 边上的中线，∵CA CB =，∴CO 是ACB ∠的平分线，(依据1) ∵OM AC ⊥，ON BC ⊥，∴OM ON =.(依据2) 反思交流:(1)①依据1是 ; ②依据2是 ;(2)你有与小宇不同的方法吗?请写出你的方法;(3)将图1中的Rt DEF ∆沿着射线BA 的方向平移至如图2的位置，使点D 落在BA 的延长线上，FD 的延长线与CA 的延长线相交于点M ，且FM CM ⊥，BC 的延长线与DE 相交于点N ，且BN DE ⊥，连接OM ，ON ，试判断线段OM ，ON 的数量关系和位置关系，并说明理由.2. 5等腰三角形的轴对称性课时1等腰三角形1.B2.D3.D4.B5.A6.,CD CA CF =是ACD ∆的中线，CF ∴是ACD ∠的平分线， ACF DCF ∴∠=∠CE 是ACB ∠的平分线,90ACE ACF ∴∠+∠=︒ CE CF ∴⊥ 7. BD CE =8.C 9.B 10. (1)BF 是ABC ∠的平分线， ABF FBC ∴∠=∠//,DE BC FBC BFD ∴∠=∠DBF DFB ∴∠=∠ DB DF ∴=(2)由(1)知DB DF =，同理可得CE EF =.DE DF EF =+ DE DB CE ∴=+ADE ∴∆的周长为AB AC +.11.(1),AB AC B C =∴∠=∠,,90,90EP BC C E B BFP ⊥∴∠+∠=︒∠+∠=︒E BFP ∴∠=∠又BFP AFE ∠=∠, E AFE ∴∠=∠. (2) 11CE =,16<ABC ∆的周长<32.【精选作业】1.D2.C3.D4.D5. 等腰三角形6. 70°7.103或10 8. (1)①//,AD BE ADB DBC ∴∠=∠,BD 平分,GBE ABD DBC ∠∴∠=∠,,ABD ADB AB AD ∴∠=∠∴=②//,AD BE ADC DCE ∴∠=∠,由①知AB AD =, 又,AB AC AC AD =∴=,,ACD ADC ACD DCE ∴∠=∠∴∠=∠,CD ∴平分ACE ∠.(2) 12BDC BAC ∠=∠9. (1)由题意，知ADE ∆是等腰直角三角形，又F 是AE 的中点，DF AE ∴⊥，易得DF AF EF ==.90,ABC DF AE ∠=︒⊥90,90DCF MAC AMF MAC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，DCF AMF ∴∠=∠.又90,DFC AFM DF AF ∠=∠=︒=,()DFC AFM ASA ∴∆≅∆，CF MF ∴=,FMC FCM ∴∠=∠ (2) AD MC ⊥10.(1)25° 115° 小 (2)当DC =2时(3)在点D 的运动过程中，ADE ∆可以是等腰三角形，此时BDA ∠的度数为110°或80° 11. (1)①等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)②角平分线的性质(或角平分线上的点到角两边的距离相等) (2)有.方法如下: ,CA CB A B =∴∠=∠.O 是AB 的中点，OA OB ∴=.,,90DF AC DE BC AMO BNO ⊥⊥∴∠=∠=︒.在OMA 和ONB ∆中，OA OB A B AMO BNO =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩(),OMA ONB AAS OM ON ∴∆≅∆∴=(3),OM ON OM ON =⊥。
MSDC.初中数学.平面直角坐标系C级.第01讲.学生版
一、平面直角坐标系1．有序实数对有顺序的两个数a 与b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作()a b ，． 注意：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序实数对． 2．平面直角坐标系在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x 轴和y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．3．象限x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．注意：（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 4．点的坐标对于坐标平面内的一点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序实数对()a b ，叫做点A 的坐标，记作A ()a b ，． 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．二、坐标平面内特殊点的坐标特征1．各象限内点的坐标特征点()P x y ，在第一象限⇔00x y >>，；知识点睛平面直角坐标系点()P x y ，在第二象限⇔00x y <>，； 点()P x y ，在第三象限⇔00x y <<，； 点()P x y ，在第四象限⇔00x y ><，．2．坐标轴上点的坐标特征点()P x y ，在x 轴上⇔0y =，x 为任意实数； 点()P x y ，在y 轴上⇔0x =，y 为任意实数； 点()P x y ，即在x 轴上，又在y 轴上⇔00x y ==，，即点P 的坐标为()00，．3．两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征点()P x y ，在第一、三象限夹角的角平分线上⇔x y =； 点()P x y ，在第二、四象限夹角的角平分线上⇔0x y +=．4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．5．坐标平面内对称点的坐标特征点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点是()22M m a n b --，．三、用坐标表示地理位置1．直角坐标系法先确定原点，然后画出x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定．2．方位角法从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的位置有距离和方位角唯一地确定．四、中点坐标公式已知坐标系中两点()()1122A a b B a b ，，，.则A 、B 的中点C 坐标为121222a a b b ++⎛⎫⎪⎝⎭，设点()C x y ，,则12a x a x -=-即()2a b ，12x a a x -=-,所以122a a x +=.同理求出122b by +=一、点位置的确定与坐标特征【例1】 在y 轴上且到点()04A ，的线段长度为5的点B 的坐标是（ ） A ．()09，B ．()01-，C ．()90，或()10-， D ．()09，或()01-， 【例2】 由坐标平面内的三点()()()113113A B C --，，，，，构成的ABC ∆是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【例3】 如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是（ ）A.(1313)，B.(1313)--，C.(1414)，D.(1414)--，【例4】 点1A ，2A ，3A ，…，n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且344A A =；…，依照上述规律，点2008A ，2009A 所表示的数分别为（ ）A 、2008，-2009B 、-2008，2009C 、1004，-1005D 、1004，-1004【例5】 在平面直角坐标系中，点(721)m --+，在第三象限，则m 的取值范围是（ ） A.12m <B.12m >-C.12m <-D.12m >【例6】 在平面直角坐标系中，如果0mn >，那么点（m ，n ）一定在（ ）A.第一象限或第二象限B.第一象限或第三象限例题精讲C.第二象限或第四象限D.第三象限或第四象限【例7】已知：点P(24m-)．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．m+，1⑴点P在y轴上；⑵点P在x轴上；⑶点P的纵坐标比横坐标大3；⑷点P在过(23)，点，且与x轴平行的直线上．A-二、坐标与面积、对称问题【例8】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt AOB∆关于直线m对Rt A OB∆与''称，已知(12)A，，则点'A的坐标为（）A.(12)--，， D.(21)---， C.(12)-， B.(12)【例9】方格中有一点P和ABC∆，第一步：作点P关于点A的对称点P1；第二步：作点P1关于点B的对称点P2；第三步：作点P2关于点C的对称点P3；第四步：作点P3关于点A的对称点P4…；如此一直对称下去．问：第2009次对称后，求点这P2009与P之间的距离为（）．（每一方格的边长为1）．【例10】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再到点N关于点C的对称点处，…，如此下去．则经过第2009次跳动之后，棋子落点的坐标为．三、与坐标相关的综合问题【例11】如下右图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2011次，点P 依次落在点1P ，2P ，3P ，4P，…2011P 的位置，则2011P 的横坐标2011x _______．【例12】一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到(10)，，而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在1989min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【例13】在平面直角坐标系，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数．（1）画出由里向外的第四个正方形，在第四个正方形上有多少个整点？（2）请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少个？（3）探究点（﹣4，3）在第几个正方形的边上（﹣2n ，2n ）在第几个正方形边上（n 为正整数）．【例14】阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点()11P x y ，、()22Q x y ，的对称中心的坐标为121222x xy y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P 1（0，﹣1）、P 2（2，3）的对称中心是点A ，则点A 的坐标为 ；（2）另取两点B （﹣1.6，2.1）、C （﹣1，0）．有一电子青蛙从点P 1处开始依次关于点A 、B 、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 1关于点A 的对称点P 2处，接着跳到点P 2关于点B 的对称点P 3处，第三次再跳到点P 3关于点C 的对称点P 4处，第四次再跳到点P 4关于点A 的对称点P 5处，…则点P 3、P 8的坐标分别为 、 ． 拓展延伸：（3）求出点P 2012的坐标．【例15】一个机器人从平面直角坐标系原点出发，按下列程序运动：第一次先沿x 轴正方向前进3步，再沿y 轴正方向前进3步到达1(33)A ，点；第二次运动是由1A 点先沿x 轴的负方向前进2步，再沿y 轴负方向前进2步到达2(11)A ，点；第三次运动是由2A 点先沿x 轴正方向前进3步，再沿y 轴正方向前进3个步到达3A 点；第四次运动是由3A 点先沿x 轴的负方向前进2步，再沿y 轴负方向前进2步到达4A 点；…，以后的运动按上述程序交替进行．已知该机器人每秒走1步，且每步的距离为1个单位⑴若第30秒时它到达点k A ，则_____k =⑵该机器人到达点99A 时，一共运动了_____秒，99A 的坐标是________【例16】读一读，想一想，做一做：国际象棋、中国象棋和围棋号称为世界三大棋种．国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格．如图甲是一个44⨯的小方格棋盘，图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格．⑴在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”，她所在的位置可用“(23)，”来表示，请说明“皇后Q ”所在的位置“(23)，”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置．⑵如图所示的是一长方形纸板，请你把它裁成两块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？请画图说明．课后作业1. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()m n ，，规定以下两种变换①()()f m n m n =-，，，如(21)(21)f =-，，；②()()g m n m n =--，，，如(21)(2g =--，，．按照以上变换有：[(34)](34)(34)f g f =--=-，，，，那么[(32)]g f -，等于（ ）A.(32)，B.(32)-，C.(32)-，D.(32)--，2.由坐标平面内的三点()()()113113A B C --，，，，，构成的ABC ∆是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形3.如图：在直角坐标系中，第一次将AOB ∆变换成11OA B ∆，第二次将三角形变换成22OA B ∆，第三次将22OA B ∆，变换成33OA B ∆，已知(13)A ，，1(33)A ，，2(53)A ，，3(73)A ，；(20)B ，，1(40)B ，，2(80)B ，，3(160)B ，．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则A 4的坐标是 ，B 4的坐标是 ．（2）若按（1）找到的规律将△OAB 进行了n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测n A 的坐标是 ，n B 的坐标是 ．4.如图表示赵明同学家所在社区的主要服务办公网点．点O 表示赵明同学家，点A 表示存车处，点B 表示副食店．点C 表示健身中心，点D 表示商场，点E 表示医院，点F 表示邮电局，点H 表示银行，点L 表示派出所，点G 表示幼儿园．(1)请以赵明同学家为坐标原点，建立平面直角坐标系，并用坐标分别表示社区的主要服务网点的位置．(图中的1个单位表示50m)(2)利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程是①建立______选择一个____________为原点，确定x轴、y轴的____________；②根据具体问题确定适当的______在坐标轴上标出____________；③在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个地点的______．。
MSDC[1].初中数学.锐角三角函数C级.第01讲.学生版
![MSDC[1].初中数学.锐角三角函数C级.第01讲.学生版](https://img.taocdn.com/s3/m/0a7ba057941ea76e59fa0434.png)
内容 基本要求略高要求较高要求锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题模块一 三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cba CBA例题精讲中考要求锐角三角函数cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <【例1】 已知在ABC △中，A B ∠∠、是锐角，且5sin tan 22913A B AB cm ===，，，则ABC S =△ ．【巩固】如图，点A在半径为R的O上，以A为圆心，r为半径作A，设O的弦PQ与A相切，求证PA QA⋅为定值．【例2】求tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒的值【巩固】化简：22sin cos sin1tan sin cosαααααα++--OQP A【例3】已知tan α1）221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+，（2090α︒<<︒）．【巩固】已知tan 2α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+．【例4】 已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数．【巩固】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数．【例5】已知sin cos αα+（α为锐角），求作以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程．【巩固】若方程222210x ax a -+-=的一个根是sin α，则它的另一个根必是cos α或cos α-．【巩固】已知：ABC △中，方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-=的两根相等，求证60B <︒．【巩固】在ABC △中，60A =︒，最大边与最小边的边长分别是方程2327320x x -+=的两个根，求ABC △的外接圆半径和内切圆的面积．【例6】 若0°<θ<30°，且1sin 3km θ=+(k 为常数，且k <0)，则m 的取值范是 ．模块二 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，cb aC BA坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．【例7】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD（用含a αβθ，，，的代数式表示）【例8】 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形． 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1:0.75改为；图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 ．（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【例9】 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60︒方向上，港口D 在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．【巩固】海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮DCBA要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？（路程保留整数海里，角度精确到度）1． （辽宁竞赛）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m ，n 表示，角用α，β表示，测倾器高度忽略不计）；（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．2． 化简：222tan1tan 2....tan89sin 1sin 2...sin 89︒⋅︒︒︒+︒++︒BA课堂检测3． 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）图3图2C MAA'P BB'HDH'H'DHB'BPA'A课后作业（图1）MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学．锐角三角函数C 级.第01讲．学生版 Page 11 of 111． 化简求值：- （090α︒<<︒）2． 若045α︒<<︒，且sin cos αα=sin α的值．3． （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图①在ABC △中，AB AC =，顶角A 的正对记作sadA ，这时=BC sadA AB =底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）60sad ︒= ．（2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 ．（3）如图②，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sadA 的值．图②图①C BAC B A。
八上数学课件：等腰三角形的轴对称性(1)
B
（公共边），
∴ △ABD≌ △ACD （SAS），
∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）．
D
C
【定理证明】
思考：你还可用什么方法证明上述定理？
作底边上的中线，
用“SSS”证明.
也可作底边上
的高，用“HL”
证明.
归纳总结
等腰三角形的性质1:
等腰三角形的两底角相等
(简称“等边对等角”)
BD＝CD ∠BAD＝∠CAD
AD＝AD ∠ADB＝∠ADC
B
D
C
学生分组讨论，交流结果．
问题三：等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中线）所在直线是它的
对称轴.
等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
【归纳总结】
我们有如下定理：
3.等腰三角形底边上的高线、 中线 及 顶角平分线 重合,
简称“三线合一”.
等腰三角形的两底角相等.
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
思考：如何证明这个定理？
【定理证明】
思考：如何证明这个定理？
作顶角的平分
线，用“SAS”
证明.
如何构造两个
全等的三角形?
A
【定理证明】
证明：作顶角的平分线AD，
1 2
则有∠1＝∠2，
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC，
∠1＝∠2，
求证:BD=CE.
∵AB=AC,AD=AE,AF⊥BC,
∴BF=CF,DF=EF.
∴BF-DF=CF-EF,即BD=CE.
图2-5-2
随堂演练
11、轴对称与等腰三角形
轴对称与等腰三角形知识点1、等腰三角形1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
注意：①等腰三角形的顶角不一定是锐角，但是底角一定是锐角；②钝角三角形也可以是等腰三角形2、等腰三角形的性质①等边对等角：等腰三角形的两底角相等；②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；③等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线相等；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角角平分线（三线合一）所在直线。
注意：①等腰三角形的性质是指在同一个等腰三角形而言的；②三线合一要注意位置，在等腰三角形中所有的中线、角平分线等并不是合一的。
3、等腰三角形的判定①有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）②三线合一也能作为判定等腰三角形的依据③推论在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半1-9、如图，已知在等腰三角形ABC 中，AC AB =，BC AE //．求证：AE 平分∠DAC ．例2、等腰三角形的判定2-1、如图，OC 平分∠AOB ，OB CD //，若cm OD 3=，则CD 等于.2-2、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 上的高，AE 分别交CB 、CD 于E 、F ，且CF CE =，求证：AE 平分∠BAC .2-3、如图，△ABC 中，∠ACB =90º,CD ⊥BA 于D ，AE 平分∠BAC 交CD 于F ，交BC 于E ，求证△CEF 是等腰三角形。
DC AB 02-5、如图，在△ABC中，AB知识点2、等边三角形1、等边三角形的定义三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形2、等边三角形性质：①每个角都是60°；②轴对称图形；③有3条对称轴。
3、等边三角形的判定定理①三边相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2.5 等腰三角形的轴对称性第1课时等腰三角形的性质 教学课件
A B DC
课程讲授
1 等边对等角
等腰三角形的性质1： 等腰三角形的两个_底__角__相等(_等__边__对__等__角__).
A
BD C
课程讲授
1 等边对等角
例 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在BC上，且 AD=BD.
AD与__A_D___重合
∠ABD与_∠__A_C_D__ 重合
C B BD与_C__D___重合
∠ADB与_∠__A_D__C_ 重合
课程讲授
1 等边对等角
问题2.2：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性
质吗？说一说你的猜想.
B
线段
AB与__A__C__重合 AD与__A_D___重合 BD与__C_D___重合
M C
A
DB
N
随堂练习
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的
大小是( A )
A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 2.等腰三角形有一个角是96°，则另两个角分别是 _4_2_°__，__4_2_°___.
随堂练习
3.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，
课程讲授
1 等边对等角
练一练：如图，小聪坐秋千旋转了80°，小聪的位置 从P点运动到了P′点，则∠OPP′的度数为（B）
A.40° B.50° C.70° D.80°
课程讲授
2 等腰三角形“三线合一”的性质
问题3.1：由这些重合的线段，你能发现等腰三角形的
其他性质吗？说一说你的猜想.
MSDC.初中数学.三角形C级.第01讲.学生版
内容基本要求略高要求较高要求三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题多边形了解多边形与正多边形的概念；了解多边形的内角和及外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系会用多边形的内角和和外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行镶嵌设计；依据图形条件分解与拼接简单图形．三角形１ 三角形的基本概念：⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．三角形具有稳定性．中考要求例题精讲三角形综合在同一个三角形内，大边对大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．２ 与三角形相关的边 ⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部． ②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．板块一 三角形的边【例1】 已知三角形中两条边的长分别为a 、b ，且a b >，求这个三角形的周长l 的取值范围( )A ．33a l b >>B ．2()2a b l a +>>C ．22a b l b a +>>+D ．32a b l a b ->>+【例2】 已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )．A ．8B ．7C ．6D ．4【例3】 将长为15dm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有多少种．【例4】 如图，四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，9CD =，AD a =，则a 的取值范围a934A BCD【例5】 (祖冲之杯数学邀请赛试题)如图所示，在ABC ∆中，AD BC ⊥，D 在BC 上，ABC ∠>ACB ∠，P是AD 上的任意一点，求证AC BP AB PC +<+．A B C DP【例6】 点1C 、1A 、1B 分别在ABC ∆的边AB 、BC 和CA 上，且满足11111113AC C B BA AC CB B A ==::=::，求证：ABC ∆的周长p 与111A B C ∆的周长'p 之间有不等式1'2p p <． A 1AB 1BC 1C板块二 三角形的角【例7】 如图，ABC △内有三个点D E F 、、，分别以A B C D E F 、、、、、这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为 ．【例8】 如图，()A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=A ．100︒B ．120︒C ．150︒D ．180︒【例9】 如下图，CGE α∠=，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．αGFEDCBA【例10】 如图，ABC △中，90C ∠=︒，13BAD BAE ∠=∠，13ABD ABF ∠=∠，则D ∠= ．FE DCB AGFEDCBA【例11】 如图，在ABC △中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……2008A ∠BC 的平分线与2008A CD ∠的平分线相交于点2009A ，得2009A ∠，得2009A ∠= ．A 2A 1CBA【例12】 在ABC ∆中，三个内角的度数均为整数，且A B C ∠<∠<∠，47C A ∠=∠，则B ∠的度数为 ．【例13】 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠②AEF AFE ∠=∠③EBC C ∠=∠④AG EF ⊥，其中正确的结论 是 ．GF EDA【例14】 已知三角形的三个内角分别为α、β、γ，且αβγ≥≥，2αγ=，则β的取值范围是 ．【例15】ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ︒，最小值是n ︒．则m n += ．【例16】 （1）如图a ，AD BC ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，试探寻DAE ∠与C B ∠∠、的关系．（2）如图b ，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么EFD ∠与C B ∠∠、是否还有（1）中的关系？说明理由．图aE DCBAFABCD E 图b【例17】小明在学习三角形的知识时，发现如下三个有趣的结论：在t R ABC△中，90A∠=︒，BD平分ABC∠，M为直线AC上一点，ME BC⊥，E为垂足，AME∠的平分线交直线AB于点F．FE MDCB A AB CDMEFABCDMEF（1）如图①，M为边AC上一点，则BD MF、的位置关系是．（2）如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD MF、的位置关系是．（3）如图③，M为边AC延长线上一点，则点BD MF、的位置关系是．请你完成（1）、（2）、（3）三个命题，并证明这三个结论．【例18】 把一副学生用的三角板，如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角边AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G ,O 是AC 中点，8AC =．（1）把图1中的Rt AED △绕A 点顺时针旋转α度得图2，此时AGH △的面积是10，AHF △的面积是8，分别求F H B 、、三点的坐标．（2）如图3，设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交与点N ，当AED △绕A 点转动时，N M ∠+∠的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．【例19】 如图，在BCD △中，BE 平分DBC ∠交CD 于F ，延长BC 至G ，CE 平分DCG ∠，且EC DB、的延长线交于A 点，若30A ∠=︒，75DFE ∠=︒． （1）求证：DFE A D E ∠=∠+∠+∠． （2）求E ∠的度数．（3）若在上图中作CBE ∠与GCE ∠的平分线交于1E ， 作1CBE ∠与1GCE ∠的平分线交于2E ，作2CBE ∠，与2GCE ∠ 的平分线交于3E ，以此类推，n CBE ∠与n GCE ∠的平分线交于1n E +， 请用含有n 的式子表示1n E +∠的度数．【例20】 （1）如图①，BAD ∠的平分线AE 与BCD ∠的平分线CE 交于点E ，AB CD ∥，4030ADC ABC ∠=︒∠=︒，，求AEC ∠的大小；（2）如图②，BAD ∠的平分线AE 与BCD ∠的平分线EC 交于点E ，ADC m ABC n ∠=︒∠=︒，， 求AEC ∠的大小；（3）如图③，BAD ∠的平分线AE 与BCD ∠的平分线CE 交于点E ，则AEC ∠与ADC ABC ∠∠、之间是否任存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．图①E D CBA 图②DCABE图③EDBACF GEDC BA。
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1． 轴对称及等腰三角形性质的综合应用2． 全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用版块一 轴对称☞垂直平分线类垂直平分线：“垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等”，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对例题精讲中考要求重难点轴对称与等腰三角形【例1】 如图ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F .⑴说明BE CF =的理由；⑵如果AB a =，AC b =，求AE ，BE 的长.GFE DC BA【例2】 如图，AB AC =，AD AE =，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。
求证：BF FC =。
FOEDCBA☞双对称轴路程和最短问题【例3】 如图，30AOB ∠=︒，角内有点P ，且5OP =，在角的两边有两点Q 、R （均不同于O 点），则PQR△的周长的最小值为 ．OB【巩固】如图，在POQ ∠内部有M 点和N 点，同时能使MOP NOQ ∠=∠，这时在直线OP 上再取A 点，使从A 点到M 点及N 点的距离和为最小；在直线OQ 上也取B 点，使从B 点到M 点和N 点的距离和也最小．证明：AM AN BM BN +=+．QONMB A☞多对称轴路程和最短问题【例4】 如图，当点A 与123l l l 、、连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点A 向点B 运动时的最短路程32l【例5】 如图，矩形台球桌ABCD 上有两个球P Q 、，求作一击球路线，使P 球顺次撞击球桌四边后再撞击Q 球（球撞击桌边的入射角等于反射角）☞平移路程和最短问题【例6】 如图，在a 上找到M 、N 两点，且10MN =，M 在N 的左边，使四边形ABMN 的周长最短。
BAa【巩固】如图，A B ，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可看成平行线，桥是垂直于河岸的）l 2l 1B☞轴对称与路程差最大问题【例1】 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大。
BAl【巩固】求在直线l 上找一点P ，使得直线l 为APB ∠的角平分线B版块二、等腰三角形【例7】 已知ABC ∆中，90A ∠=︒，67.5B ∠=︒.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种．．不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.CB ACB A【例8】 等腰三角形的顶角90α>︒，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求α．AB CD【例9】 P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD BC⊥点D ，如图，求证：PE PF AD +=．ABCE DPF【巩固】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?ABCEDP F【例10】 如下图，ABC ∆是等边三角形，122CBF ACD BAE ∠∠∠=∶∶∶∶，38DEF DFE ∠-∠=︒．求出DEF∆的每个内角度数．FEDCBA【巩固】如图所示，已知ABC ∆，延长CA 、AB 、BC 到D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，使得AED BFE CDF ∠=∠=∠，若60ABC ∠=，50DFE ∠=，求BAC ∠及EDF ∠的度数．A B CDEF【例11】 如图，六边形ABCDEF 中，A B ∠=∠C =∠=D ∠E F =∠=∠，且AB +BC 11=，FA -CD 3=．求B C D E+．F ED CBA模块三 全等三角形与轴对称☞角平分线类“角”是轴对称图形，对称轴为角平分线所在的直线。
因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有下面几个基本解题思路：①平分角；②角平分线上点到角两边的距离相等；③沿角平分线进行翻折。
【例12】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明。
ODECB A【例13】 如图，在Rt ABC ∆中，AD 是斜边BC 上的高，BE 是ABC ∠的平分线，AD 交BE 于O ，EF AD⊥于F ，求证：AF OD =．O F DECBA 21【例14】 已知在ABC ∆中，90A ∠=︒，B ∠的平分线交AC 于E ，交BC 边上的高AH 于D ，过D 作DF BC ∥交AC 于F ，求证：AE FC =．HFE D CBA☞构造等腰三角形类构造等腰三角形类的主要方法有两种：①是将直角三角形沿着某一直角边翻折；②是截取等长线段 【例15】 如图，在ABC △中，46ABC ∠=︒，D 是BC 边上一点，DC AB =，21DAB ∠=︒，试确定CAD∠的度数．ABD☞构造等边三角形类构造等边三角形类的方式主要有两种：①直接以某一线段长为边，直接构造等边三角形；②作等腰三角形，然后利用题目给出的特殊角，如60︒，证明此等腰三角形为等边三角形【例16】如图，BD是ABC∠的度数并说明理由。
+= ,判断ABCA∆的角平分线，60∠=︒，2AD CD AB答：ABC∠=证明：ADCB【巩固】如图，在等腰ABCA=︒，在边AB上取点D，使AD BC=，=，顶角20△中，AB AC求BDC∠的度数。
ADCB【例17】如图，在ABC△中，40ABC∠=︒，40ACB∠=︒，P为三角形内的一点，且20PCA∠=︒，20PAB∠=︒，求PBC∠的度数。
PCA模块四全等三角形与旋转☞倍长中线类倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法，其实此作法最主要是通过旋转的方式，构造出一对“8”字型全等三角形，从而转化线段与角的数量关系【例18】在后面的学习中，我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用数学语言改编如下：已知：在Rt ABC∆中，90C∠=︒，D为斜边AB的中点，证明:12CD AB=DC BA【巩固】两个全等的含30︒、60︒角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断EMC∆的形状，并说明理由．A E BM D☞一般等腰三角形旋转一般等腰三角形旋转的问题主要有：①通过对等腰三角形旋转，构造全等三角形；②通过对一般三角形旋转构造等腰三角形【例19】 如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点,M N 分别在,AB AC 上，则AMN ∆的周长是 ．NMDCBA☞等腰直角三角形旋转等腰直角三角形旋转有关问题要充分考虑到：“边相等”“角相等”，还有斜边上的中线，这条特殊的线段，尤其是涉及到斜边中点的时候，基本上都会连接这条中线 【例20】 已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt A D E ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM和BM ．⑴ 若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；⑵ 如果将图①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45︒的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．ABCDEMABCDEM☞等边三角形旋转【例21】 如图，已知四边形ABCD 中，,60AB AD BAD =∠=，120BCD ∠=，证明：BC DC AC +=．DCBA☞三垂直全等及三垂直的变形三垂直模型及其变形最主要的是转化角度之间的关系【例22】 在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过C 点，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．⑴当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE AD BE =+； ⑵当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE AD BE =-；⑶当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE 、AD 、BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图③NM ED CBAABCDE MN图②图①NMEDCA【巩固】如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在直线CD 上，请解决下面两个问题：①如图①，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，则BE CF ；EFAF-（填“>”、“<”、“=”）；②如图②，若0180B CA ︒<∠<︒，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．（2）如图③，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF 、BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图③图②图①D F AEC BFEDBA CF EDCBA【巩固】如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．(1)求证：AD CE =；(2)求DFC ∠的度数．FEDCBA模块五 全等三角形与平移平移的基本思路是通过平移，将有关系但又不在一起的量集中起来，且对应边平行且相等 【例23】如图所示，在ABC ∆的边BC 上取两点D 、E ，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．AB CD E【巩固】如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上的一点，且AM BC =；N 为BC 上的一点，且CN BM =．连接AN 、CM 交于点P ，求证：45APM ∠=︒．PN M CBA【例24】 在ABC ∆中，AB AC =，CA ,AB 的延长线上截取E ，D ，有ED DA EC BC ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCBA1. 如图，ABC △中，AB AC =，点P 、Q 分别在AC 、AB 边上，且AP PQ QB BC ===，则A ∠的大小是 ．QPCB A2. 如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D FEC B A1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．② ．③ ．课堂检测总结复习1. 如图，在ABC △中，90C ∠=︒，30CAD ∠=︒，AC BC AD ==．求证：CD BD =．CABD课后作业。