2018届河南省郑州市高三第三次质量预测文数试题 含解析
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2021年河南省郑州市高考数学三模试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕集合，B={x|y2=4x}，那么A∩B=〔〕A．〔﹣∞，1〕B．〔1，+∞〕C．〔0，1〕D．〔0，+∞〕2．〔5分〕假设复数z满足z〔2+i〕=1+7i，那么|z|=〔〕A．B．C．D．23．〔5分〕阅读程序框图，该算法的功能是输出〔〕A．数列{2n﹣1}的第4项B．数列{2n﹣1}的第5项C．数列{2n﹣1}的前4项的和D．数列{2n﹣1}的前5项的和4．〔5分〕在△ABC中，AD⊥BC，=3，，那么=〔〕A．1B．2C．3D．45．〔5分〕七巧板是我国古代劳动人民的创造之一，被誉为“东方模板〞，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，假设在此正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率为〔〕A．B．C．D．6．〔5分〕S n是等差数列{a n}的前n项和，那么“S n＜na n对，n≥2恒成立〞是“数列{a n}为递增数列〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件甲同学认为a有可能比b大，乙同学认为a和b有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中〔〕A．甲对乙不对B．乙对甲不对C．甲乙都对D．甲乙都不对8．〔5分〕某几何体的三视图如下图，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，那么〔〕A．3∈A B．5∈A C．2∈A D．4∈A，以下说法中正确的个数为〔〕①f〔x〕在②f〔x〕在〔0，π〕上的最小值是；③f〔x〕在〔0，2π〕上有两个零点．A．0个B．1个C．2个D．310．〔5分〕A，B，C，D四点在半径为的球面上，且AC=BD=4，，AB=CD，那么三棱锥D﹣ABC的体积是〔〕A．B．C．D．x+x2﹣xlna，对任意的x1，x2∈[0，1]，不等式|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤a﹣2恒成立，那么a的取值范围为〔〕A．[e2，+∞〕B．[e，+∞〕C．[2，e]D．[e，e2] 12．〔5分〕S为双曲线上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，假设恒成立，那么双曲线离心率e的取值范围为〔〕A．B．C．D．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕实数x，y满足：，那么3x+y的最大值为．，那么f〔f〔﹣4〕〕=．15．〔5分〕抛物线y2=8x的焦点为F，弦AB过F，原点为O，抛物线准线与x轴交于点C，，那么tan∠ACB=．16．〔5分〕设有四个数的数列a1，a2，a3，a4，前三个数构成一个等比数列，其和为k，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k，假设满足条件的数列个数大于1，那么k的取值范围为．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设a=2，求△ABC面积的最大值．18．〔12分〕在2021年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：〔Ⅰ〕如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？〔Ⅱ〕如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．〔ⅰ〕从〔Ⅰ〕中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．〔ⅱ〕根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀数学不特别优秀合计参考数据：①K2=P〔K2≥k0〕0.500.40…0.0100.0050.001 k00.4550.708… 6.6357.87910.82819．〔12分〕如图，四棱锥E﹣ABCD中，AD∥BC，且BC⊥底面ABE，M为棱CE的中点，〔Ⅰ〕求证：直线DM⊥平面CBE；〔Ⅱ〕当四面体D﹣ABE的体积最大时，求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．〔12分〕动点M〔x，y〕满足：〔Ⅰ〕求动点M的轨迹E的方程；〔Ⅱ〕设A，B是轨迹E上的两个动点，线段AB的中点N在直线上，线段AB的中垂线与E交于P，Q两点，是否存在点N，使以PQ为直径的圆经过点〔1，0〕，假设存在，求出N点坐标，假设不存在，请说明理由．﹣2处取得极值．〔Ⅰ〕求实数a的值；〔Ⅱ〕设F〔x〕=x2+〔x﹣1〕lnx+f〔x〕+a，假设F〔x〕存在两个相异零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数，0≤α＜π〕．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为：ρcos2θ=4sinθ．〔Ⅰ〕求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，假设|AB|=8，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．a＞0，b＞|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．〔1〕求证：2a+b=2；〔2〕假设a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2021年河南省郑州市高考数学三模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．【分析】解不等式求得集合A，化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合={x|﹣1＜0}={x|x＜0或x＞1}，B={x|y2=4x}={x|x≥0}，那么A∩B={x|x＞1}=〔1，+∞〕．应选：B．【点评】此题考查了集合的化简与运算问题，是根底题．2．【分析】把等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：由z〔2+i〕=1+7i，得z=，∴|z|=||=．应选：A．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是根底题．3．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出A的值，观察规律即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=0，i=1执行循环体，A=1=21﹣1，i=2，不满足条件i＞5，执行循环体，A=3=22﹣1，i=3不满足条件i＞5，执行循环体，A=7=23﹣1，i=4不满足条件i＞5，执行循环体，A=15=24﹣1，i=5不满足条件i＞5，执行循环体，A=31=25﹣1，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出A的值为31．观察规律可得该算法的功能是输出数列{2n﹣1}的第5项．应选：B．【点评】此题主要考查了循环结构的程序框图的应用，属于根底题．4．【分析】如下图，由AD⊥BC，可得•cos=．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如下图，∵AD⊥BC，∴•cos=．那么=•cos==1．应选：A．【点评】此题考查了数量积运算性质及其投影，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．5．【分析】设出大正方形的面积，求出阴影局部的面积，从而求出满足条件的概率即可．【解答】解：设“东方模板〞的面积是4，那么阴影局部的三角形面积是1，阴影局部平行四边形的面积是，那么满足条件的概率p==，应选：C．【点评】此题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道根底题．6．【分析】S n＜na n对，n≥2恒成立，即na1+d＜n[a1+〔n﹣1〕d]，化简即可判断出结论．【解答】解：S n＜na n对，n≥2恒成立，∴na1+d＜n[a1+〔n﹣1〕d]，化为：n〔n﹣1〕d＞0，∴d＞0．∴数列{a n}为递增数列，反之也成立．∴“S n＜na n对，n≥2恒成立〞是“数列{a n}为递增数列〞的充要条件．应选：C．【点评】7．【分析】推导出a≤b，从而甲同学认为a有可能比b大，错误，乙同学认为a 和b有可能相等，正确．【解答】∴a≤b，∴甲同学认为a有可能比b大，错误，乙同学认为a和b有可能相等，正确．应选：B．【点评】8．【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，且AF⊥面ABCD，DE∥AF，DE=4，AF=2，∴AF⊥AB、DE⊥DC、DE⊥BD，∴EC==4，EF=FB==2，BE===4，∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合，∴A={2，4，4，4，2}，应选：D．【点评】此题考查三视图求几何体的棱长，以及线面垂直的定义和勾股定理的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．【分析】①、②是否正确；③正确．【解答】，∴f′〔x〕=﹣﹣sinx，x∈〔0，〕时，sinx＞0，∴﹣sinx＜0，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕在①正确；x∈〔0，π〕，sinx＞0，∴﹣sinx＜0，f′〔x〕＜0，∴②错误；+cosx=0，得﹣=cosx，当x∈〔0，2π〕时，画出y=﹣和y=cosx的图象，如下图；由图象知，y=﹣与y=cosx在〔0，2π〕上有两个交点，∴f〔x〕在〔0，2π〕上有两个零点，③正确．①③．应选：C．【点评】10．【分析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D﹣ABC，计算出长方体的长宽高，即可求得三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D﹣ABC，如下图，AC=BD=4，，AB=CD，设长方体的长宽高分别为a，b，c，那么，解得a=，b=3，c=2，∴三棱锥D﹣ABC的体积是V=×3×2﹣4××××3×2=2应选：C．【点评】此题考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，构造长方体是关键．11．【分析】对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤a﹣1恒成立等价于|f〔x1〕﹣f〔x2〕|max≤a﹣2，而|f〔x1〕﹣f〔x2〕|max=f〔x〕max﹣f〔x〕min【解答】x+x2﹣xlna，x∈[0，1]，那么f′〔x〕=a x lna+2x﹣lna=〔a x﹣1〕lna+2x．当0＜a＜1时，显然|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤a﹣2不可能成立．当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′〔x〕≥0；f〔x〕在[0，1]上单调递增，f〔x〕min=f〔0〕=1，f〔x〕max=f〔1〕=a+1﹣lna，而|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤f〔x〕max﹣f〔x〕min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣2，解得a≥e2，故答案为：[e2，+∞〕．应选：A．【点评】12．【分析】设S〔m，n〕，分别求出M，P，M，Q的坐标，分别表示出|OM|，|ON|，|OP|，|OQ|，根据根本不等的性质和题意可得≥2，再根据离心率公式即可求出．【解答】解：设S〔m，n〕与渐近线y=x平行的直线方程为y=〔x﹣m〕+n，那么M〔m﹣，0〕，P〔0，n﹣〕．与渐近线y=﹣平行的直线方程为y=﹣〔x﹣m〕+n，那么N〔m+，0〕，Q〔0，n+〕，|OM|=||，|ON|=||，|OP|=||，|OQ|=||，∴〔+〕•〔|OP|+|OQ|〕=+〔||+〕≥，要使假设恒成立，那么≥2．∴双曲线离心率e=≥，应选：B．【点评】此题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．【分析】【解答】解：实数x，y满足：作出可行域，+y，由解得A〔3，4〕，的最优解对应的点为〔3，4〕，故z max=3×3+4=13．故答案为：13．【点评】此题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．14．【分析】【解答】，f〔﹣4〕=16﹣4﹣2=10，那么f〔f〔﹣4〕〕=f〔10〕=﹣lg10=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】15．【分析】【解答】解：∵抛物线方程为y2=2px=8x，∴p=4∴F点坐标为〔2，0〕，准线l方程x=﹣2，∴C点坐标为〔﹣2，0〕∵，∴直线AB的斜率为：．∵直线AB经过点F〔2，0〕∴直线AB方程为y=〔x﹣2〕又∵点A与点B在抛物线上，∴两方程联立，得到3x2﹣20x+12=0，解得A〔6，4〕，B〔，﹣〕∴=〔，﹣〕，=〔8，4〕∴cos∠ACB===，sin∠ACB=∴tan∠ACB=4．故答案为：4．【点评】16．【分析】利用等差数列、等比数列的性质，可得方程a22+5a2+25﹣5k=0，由此，即可得出结论．【解答】解：由题意，a2+a4=2a3，a2+a3+a4=15∴3a3=15，∴a3=5，a2≠5，∵a1+a2+a3=k，a1a3=a22，∴a1+a2=k﹣5，5a1=a22，∴a22+5a2+25﹣5k=0，∴〔a2+〕2=5k﹣，且a2≠5，∴5k﹣＞0，且k≠15，解得k＞且k≠15．综上：k＞且k≠15，k≠5．故答案为：〔，5〕∪〔5，15〕∪〔15，+∞〕【点评】此题考查等差数列、等比数列性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．【分析】，结合sinB≠0，可得，结合A为三角形内角，可求A的值．〔Ⅱ〕由余弦定理，根本不等式可得，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：〔Ⅰ〕由正弦定理可得：，从而可得：，即，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，所以．〔Ⅱ〕由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，所以，所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．【点评】18．【分析】〔Ⅰ〕利用概率公式及频率分布直方图，直接计算即可．〔Ⅱ〕〔ì〕列举出总情况15种，两科都优秀的3种．利用古典概型的公式计算即可．〔ìì〕根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．【解答】解：〔Ⅰ〕我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为P1=1﹣0.95=0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，数学成绩特别优秀的概率为P2=0.002×20=0.04，数学特别优秀的同学有100×0.04=4人；〔Ⅱ〕语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有3人，〔ì〕记两科都优秀的3人分别为A1，A2，A3，单科优秀的3人分别为B1，B2，B3，从中随机抽取2人，共有：〔A1，A2〕，〔A1，A3〕，〔A2，A3〕，〔B1，B2〕，〔B1，B3〕，〔B2，B3〕，〔A1，B1〕，〔A1，B2〕，〔A1，B3〕〔A2，B1〕，〔A2，B2〕，〔A2，B3〕〔A3，B1〕，〔A3，B2〕，〔A3，B3〕共15种，其中这两人成绩都优秀的有〔A1，A2〕，〔A1，A3〕，〔A2，A3〕3种，那么这两人两科成绩都优秀的概率为：；〔ìì〕2×2列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀 3 1 4数学不特别优秀294 96合计595100所以所以有95%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．【点评】此题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目．19．【分析】〔Ⅰ〕证明AN⊥EB，BC⊥AN，推出AN⊥平面BCE，然后证明DM⊥平面BCE．〔Ⅱ〕求出四面体D﹣ABE的体积，求出AE ⊥AB时体积最大，然后求解四棱锥E﹣ABCD的体积．【解答】〔Ⅰ〕证明：因为AE=AB，设N为EB的中点，所以AN⊥EB，又BC⊥平面AEB，AN⊂平面AEB，所以BC⊥AN，又BC∩BE=B，所以AN⊥平面BCE，又DM∥AN，所以DM⊥平面BCE．〔Ⅱ〕解：AE⊥CD，设∠EAB=θ，∵AD=AB=AE=1，那么四面体D﹣ABE的体积，当θ=900，即AE⊥AB时体积最大，又BC⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，所以AE⊥BC，因为BC∩AB=B，所以AE⊥平面ABC．【点评】此题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．【分析】〔Ⅰ〕判断M的轨迹是椭圆，然后求动点M的轨迹E的方程；〔Ⅱ〕当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为，验证即可；当直线AB 不垂直于x轴时，设存在点，直线AB的斜率为k，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕由得：，得到，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为即y=﹣4mx﹣m然后联立方程组，利用韦达定理以及斜率的数量积转化求解即可．【解答】解：〔Ⅰ〕动点M〔x，y〕满足：，可知M点的轨迹满足椭圆的定义，a=，c=b=1，所求椭圆方程为：；〔Ⅱ〕当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为，此时，，不合题意；当直线AB不垂直于x轴时，设存在点，直线AB的斜率为k，A 〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕由得：，那么﹣1+4mk=0故，此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为即y=﹣4mx﹣m联立消去y，整理得：〔32m2+1〕x2+16m2x+2m2﹣2=0所以由题意，于是==，∴，因为N在椭圆内，∴，∴符合条件；综上：存在两点N符合条件，坐标为．【点评】21．【分析】﹣2〕=0，求出a的值，检验即可；〔Ⅱ〕问题转化为证F〔x1〕＞F〔2﹣x1∈【解答】解：〔Ⅰ〕因为f〔x〕=ax﹣xlnx，所以f'〔x〕=a﹣lnx﹣1，﹣2处取得极大值，所以f'〔e﹣2〕=0，即f'〔e﹣2〕=a﹣lne﹣2﹣1=0，所以a=﹣1，此时f'〔x〕=﹣lnx﹣2经检验，f〔x〕在〔0，e﹣2〕上单调递增，在〔e﹣2，+∞〕单调递减，所以f〔x〕在x=e﹣2处取得极大值，符合题意，所以a=﹣1；2+〔x﹣1〕lnx+f〔x〕+a1，0〕，D〔x2，0〕〔x1＜x2〕，2﹣lnx﹣x﹣1的零点，，∴F〔x〕在〔0，1〕单调递减，在〔1．+∞〕单调递增且F〔1〕=﹣1＜0，∴x1＜1＜x2，欲证：x1+x2＞2，即证：x2＞2﹣x1，即证F〔x2〕＞F〔2﹣x1〕，即证F〔x1〕＞F〔2﹣x1〕∈〔0，1〕〕，，∴φ〔x〕＞φ〔1〕=0，得证．【点评】请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】〔Ⅰ〕直线l的参数方程消去参数t，得直线l普通方程，曲线C的极坐标方程转化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，再由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程．〔Ⅱ〕将〔t为参数，0≤α＜π〕代入曲线C：x2=4y，得到：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，由此利用弦长公式能求出α的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵直线l的参数方程为〔t为参数，0≤α＜π〕．∴消去参数t，得直线l普通方程为sinax﹣cosay+cosα=0，∵曲线C的极坐标方程为：ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的直角坐标方程为C：x2=4y．…〔5分〕〔Ⅱ〕将〔t为参数，0≤α＜π〕代入曲线C：x2=4y，得到：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，…〔8分〕∴|AB|=|t1﹣t2|==8，∴cosα=，∴或．…〔10分〕【点评】[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】〔1〕根据不等式的性质求出f〔x〕的最小值，证明结论即可；〔2〕求出恒成立，根据不等式的性质求出t的最大值即可．【解答】〔1〕证明：，∵且，∴，当即f〔x〕的最小值为，∴．〔2〕解：∵a+2b≥tab恒成立，∴恒成立，，当时，取得最小值，∴，即实数t的最大值为．【点评】此题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．。
河南省郑州市2018年高考数学三模试卷(文科)
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2018的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2018 B．﹣2018 C．﹣2018 D．﹣2018二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2018年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到2018年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数；GP ：两角和与差的余弦函数． 【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos （﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin （+α）=﹣．故选：D ．6．已知f'（x ）=2x+m ，且f （0）=0，函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为3，数列的前n 项和为S n ，则S 2018的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f （x ）=x 2+mx+c ，运用导数的几何意义，由条件可得m ，c 的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x ）=2x+m ，可设f （x ）=x 2+mx+c ， 由f （0）=0，可得c=0．可得函数f （x ）的图象在点A （1，f （1））处的切线的斜率为2+m=3， 解得m=1， 即f （x ）=x 2+x ，则==﹣，数列的前n 项和为S n ，则S 2018=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A ．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2018 B．﹣2018 C．﹣2018 D．﹣2018【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2018，∴h=1+h（﹣2018）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得： ===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d ，首项a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项即可求出公差d ，再写出通项公式即可，（2）化简b n 根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n }的前n 项和S n ，利用裂项相消法求出S n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=2，且a 3是a 2与a 4+1的等比中项． ∴（2+2d ）2=（3+3d ）（2+d ）， 解得d=2，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=2+2（n ﹣1）=2n ，（2）b n ====（﹣），∴S n =（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2018年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到 2018年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I ）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率． 【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2018年5月23日。
河南省郑州市2018年高中毕业第三次质量预测文科试卷含答案 精品
郑州市2018年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一个是符合题目要求的． 1．设复数21i i－＋＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则a ＋b ＝ A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 2．命题“存在0x ∈R ，02x≤0”的否定是A ．不存在0x ∈R ，02x＞0 B ．存在0x ∈R ，02x≥0 C ．对任意的0x ∈R ，02x≤0 D ．对任意的0x ∈R ，02x＞0 3．已知集合M ＝{x ｜y ＝1lgx x－}，N ＝{y ｜y ＝22x x ＋ ＋3}，则（C R M ）∩N ＝ A ．（0，1） B ．[1，＋∞） C ．[2，＋∞） D ．（－∞，0]∪[1，＋∞） 4．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m ＞n 的概率为A ．710 B ．310 C ．35 D ．255．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为A ．2π＋B ．4π＋C ．2πD ．4π6．已知抛物线y ＝2ax （a ＞0）的焦点恰好为双曲线222y x －＝的一个焦点，则a 的值为A ．4B ．14 C ．8 D ．187．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是A ．1007B ．2018C ．2018D ．30248．在数列{n a }中，a 1＝2，1n a ＋＝n a ＋ln （1＋1n）， 则n a ＝A ．2＋lnnB ．2＋(n －1)lnnC ．2＋nlnnD ．1＋n ＋lnn9．若不等式组10,10,102x y x y y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－≤－＋≥＋≥表示的区域Q ，不等式2211()24x y －＋≤表示的区域为Γ，向 Ω区域均匀随机撤360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为A ．114B ．10C ．150D ．5010．已知球的直径CS ＝4，A ，B 在球面上，AB ＝2，∠CSA ＝∠CSB ＝45°，则棱锥S —ABC 的体积为 ABCD11．若将函数y ＝2sin （3x ＋ϕ）的图象向右平移4π个单位后得到的图象关于点（3π，0）对 称，则｜ϕ｜的最小值是 A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π12．已知函数f （x ）＝2(0)(2)1,()x x f x x ⎧⎨⎩－1, ≤－＋＞0,把函数g （x ）＝f （x ）－12x 的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前10项的和S 10等于A ．45B ．55C ．90D ．110第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题。
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）} C． D．3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75398．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定10．设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．﹣112．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则= ．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为．16．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点A n （n ，f （n ））（n ∈N *），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得+++…+＜t 恒成立的实数t 的最小值为 ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知sinB+sinC=msinA （m ∈R ），且a 2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b 、c 的值； （2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．19．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD=CD=BC=CF ．（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．20．已知圆C 1：x 2+y 2=r 2（r ＞0）与直线l 0：y=相切，点A 为圆C 1上一动点，AN⊥x 轴于点N ，且动点M 满足，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点P 、Q 且满足以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求线段PQ 长度的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数()()()1ln ,.f x x F x x af x x'==++ （1）当1a =时，求()()()M x F x f x =-的极值；（2）当0a =时，对任意()()2110,2x F x m f x >≤+⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=（）2==i，则=﹣i．故选：B．2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）} C． D．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据椭圆的定义得到集合M，根据直线方程得到集合N，再求交集即可．【解答】解：集合M={x|+=1}=，N={y|+=1}=R，则M∩N=，故选：D．3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．【解答】解：由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件．故选：C．4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由程序框图知，得出打印的点坐标，判定该点是否在圆内即可．【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．5．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据定积分的几何意义求出a2016+a2018=dx=π，再根据等差中项的性质即可求出．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，则a2016+a2018=dx=π，∵数列{a n}为等差数列，∴a2017=（a2016+a2018）=，故选：A6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π（4﹣h2）；故选D．7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P阴影=P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P阴影=P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．8．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈故选：A．9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】可得平面a1，a3平行或相交，而a3⊥a4，可得a1与a4的位置关系不确定，【解答】解：∵若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，∴平面a1，a3平行或相交，∵a3⊥a4，∴a1与a4的位置关系不确定，故选D ．10．设（2﹣x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5，则的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a 1、a 2、a 3、a 4的值，再计算．【解答】解：由（2﹣x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5，且二项式展开式的通项公式为T r+1=•25﹣r•（﹣x ）r，∴a 1=﹣•24=﹣80，a 2=•23=80，a 3=﹣•22=﹣40，a 4=•2=10；∴==﹣．故选C ．11．已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．+1C ．D ．﹣1【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA 的倾斜角为α，则当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论． 【解答】解：过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选B．12．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由题意可知n为方程f（x）=kx的解的个数，判断f（x）的单调性，作出y=f（x）与y=kx的函数图象，根据图象交点个数判断．【解答】解：设==…=k，则方程有n个根，即f（x）=kx有n个根，f（x）=，∴f（x）在（1，）上单调递增，在（，2）上单调递减．当x＞2时，f′（x）=e x﹣2（﹣x2+8x﹣12）+e x﹣2（﹣2x+8）=e x﹣2（﹣x2+6x﹣4），设g（x）=﹣x2+6x﹣4（x＞2），令g（x）=0得x=3+，∴当2时，g（x）＞0，当x＞3+时，g（x）＜0，∴f（x）在（2，3+）上单调递增，在（3+，+∞）上单调递减，作出f（x）与y=kx的大致函数图象如图所示：由图象可知f（x）=kx的交点个数可能为1，2，3，4，∵n≥2，故n的值为2，3，4．故选D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为90°．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为120°，∴===﹣1．∵，∴，∴=，∴﹣（﹣1）=，∴=0．∴．∴与的夹角为90°．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则= ﹣．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出．【解答】解：n=1时，a1=b﹣a．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b（﹣2）n﹣1﹣a﹣，上式对于n=1时也成立，可得：b﹣a=b+．则=﹣．故答案为：﹣．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为33π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LG：球的体积和表面积．【分析】求出外接球的半径、内切球的半径，即可求出该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和．【解答】解：将三棱柱扩充为长方体，对角线长为=，∴外接球的半径为，外接球的表面积为29π，△ABC 的内切圆的半径为=1，∴该三棱柱内切球的表面积4π，∴三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为29π+4π=33π， 故答案为：33π．16．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点A n （n ，f （n ））（n ∈N *），向量=（0，1），θn 是向量与的夹角，则使得+++…+＜t 恒成立的实数t 的最小值为 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意知﹣θn 是直线OA n 的倾斜角，化==tan （﹣θn ）=，再求出+++…+的解析式g （n ），利用g（n ）＜t 恒成立求出t 的最小值．【解答】解：根据题意得，﹣θn 是直线OA n 的倾斜角，∴==tan （﹣θn ）===﹣，∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+﹣﹣=﹣﹣；要使﹣﹣＜t恒成立，只须使实数t的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P （A ）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A 4，A 7，A 9，A 10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P （X=k ）及其分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8． 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ， 则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC ⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。
2018届河南省郑州市高三第三次质量预测文数试题(解析版)
2018届河南省郑州市高三第三次质量预测文数试题（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B2．若复数满足，则（）AB．CD．【答案】A3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（）A．数列的第4项B．数列的第5项C．数列的前4项的和D．数列的前5项的和【答案】B4．在中，，，，则（）A．B．C．D．【答案】D5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）1=1A xx⎧⎫<⎨⎬⎩⎭{}2=4B x y x=A B=(),1-∞()1,+∞()0,1()0,+∞z()2i17iz+=+z=2{}21n-{}21n-{}21n-{}21n-ABC△AD AB⊥33CD DB==1AD==AC AD⋅1234A ．B ．C ．D ．【答案】C6．已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“数列为递增数列”的（） A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件【答案】A7．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为．甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（） A ．甲对乙不对 B ．乙对甲不对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对【答案】B8．某几何体的三视图如图所示，记为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A ．B ．C ．D ．93251638716n S {}n a n n n S na <2n ≥{}n a a b a b a b A 3A ∈5A ∈A A【答案】D 9．已知函数，下列说法中正确的个数为（） ①在上是减函数； ②在上的最小值是； ③在上有两个零点． A ．个 B ．个 C ．个 D ．个【答案】C10．已知，，，，，则三棱锥的体积是（） A ． B ． C ． D【答案】C11．已知函数，，对任意的，，不等式恒成立，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A12．已知为双曲线上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．()1cos f x x x=+()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()0,π2π()f x ()0,π20123A B C D 4AC BD ==AD BC ==ABCD =D ABC -()2ln xf x a x x a =+-()01a a >且≠1x []20,1x ∈()()122f x f x a -≤-a )2e ,⎡+∞⎣[)e,+∞[]2,e 2e,e ⎡⎤⎣⎦S ()222210,0x y a b a b-=>>S x M N y P Q ()118OP OQ OMON ⎛⎫+⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭e ()+∞()+∞13．已知实数，满足：，则的最大值为_______．【答案】1314．设函数，则_______．【答案】1-15．抛物线的焦点为，弦过，原点为，抛物线准线与轴交于点，2π3OFA ∠=，则_______．【答案】16．设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a ，前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为_______．【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角，，的对边分别是，，． （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1，， 又为三角形内角，所以，于是又为三角形内角，所以． x y 1310x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩3x y +()22,1lg ,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩()()4f f -=28y x =F AB F O x C tan ACB ∠=ABC △A B C a b c ()cos 2cos C b A =A 2a =ABC △6A π=2cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =B sin 0B ≠cos A =A 6A π=（2）由余弦定理：得：， 所以，所以18．（12分）在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．②根据以上数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．【答案】（1）5人，4人；①，②是．【解析】（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为，语文特别优秀的同学有人，数学成绩特别优秀的概率为，数学特别优秀的同学有人． ①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，记两科都特别优秀的3人分别为，，，单科特别优秀的3人分别为，，，从中随机抽取2人，共有：，，，，，，，，()13,A B ，2222cos a b c bc A =+-22422b c bc =+-≥(42bc ≤+1sin 22S bc A ==+22⨯151=10.95=0.05P -1000.05=5⨯2=0.00220=0.04P ⨯1000.04=4⨯1A 2A 3A 1B 2B 3B ()12A A ,()13,A A ()23,A A ()12,B B ()13,B B ()23,B B ()11,A B ()12,A B，，，，，共15种，其中这两人成绩都特别优秀的有，，这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：． ②，，有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）如图，四棱锥中，，且底面，为棱的中点．（1）求证：直线平面；（2）当四面体的体积最大时，求四棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）因为，设为的中点，所以， 又平面，平面，所以，又， 所以平面，又，所以平面． （2），设，，()21,A B ()22,A B ()23,A B ()31,A B ()32,A B ()33,A B ()12,A A ()13,A A ()23,A A 31=155P =()2210039412245042.982 6.63549659557k ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯∴E ABCD -AD BC ∥112AD AB AE BC ====BC ⊥ABE M CE DM ⊥CBE D ABE -E ABCD-12AE AB =N EB AN EB ⊥BC ⊥AEB AN ⊂AEB BC AN ⊥BC BE B = AN ⊥BCE DM AN ∥DM ⊥BCE AE CD ⊥=EAB θ∠=1AD AB AE ==则四面体的体积， 当，即时体积最大，又平面，平面，所以，因为， 所以平面，．20．（12分）已知动点（1）求动点的轨迹的方程；（2）设，是轨迹上的两个动点，线段的中点在直线上，线段的中垂线与交于，两点，是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）． （2）当直线垂直于轴时，直线方程为， 此时，，，不合题意；当直线不垂直于轴时，设存在点，直线的斜率为， ，，由得：，则， 故，此时，直线斜率为， D ABE -111sin sin 326V AE AB ADθθ=⨯⨯⋅⋅⋅=90θ=︒AE AB ⊥BC ⊥AEB AE ⊂AEB AE BC ⊥BC AB B = AE ⊥ABC ()1111211322E ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=(),M x y M E A B E AB N 1:2l x =-AB E P Q N PQ ()1,0N 2212x y +=1,2N ⎛- ⎝⎭2212x y +=AB x AB 12x =-()P )Q221F P F Q ⋅=-AB x ()1,02N m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭AB k ()11,A x y ()22,B x y 221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()1212121220y y x x y y x x ⎛⎫-+++⋅= ⎪-⎝⎭140mk -+=14k m=PQ 14k m =-的直线方程为，即，联立消去，整理得：， 所以，，由题意，于是， ，因为在椭圆内，，符合条件，综上所述，存在两点符合条件，坐标为．21．（12分）已知函数在处取得极值．（1）求实数的值；（2）设，若存在两个相异零点，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）因为，所以，因为函数在处取得极大值，所以，即， 所以，此时，经检验，在上单调递增，在单调递减，所以在处取得极大值，符合题意，所以．（2）由（1）知：函数，PQ 142y m m x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭4y mx m =--22412y mx mx y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222232116220m x m x m +++-=212216321m x x m +=-+212222321m x x m -⋅=+220F P F Q ⋅=()()()()()22121212121211144F P F Q x x y y x x x x mx m mx m ⋅=--+=⋅-+++++()()()2221212116411m x x m x x m =+⋅+-+++()()()()()()22222222211622411619110321321321m m m m m mm m m +----=+++==+++19m ∴=±N 278m ∴<19m ∴=±N 1,219N ⎛-± ⎝⎭()ln f x ax x x =-2e x -=a ()()()21ln F x x x x f x a =+-++()F x 1x 2x 122x x +>1a =-()ln f x ax x x =-()ln 1f x a x '=--()f x 2e x -=()2e0f -'=()22e ln e 10f a --'=--=1a =-()ln 2f x x '=--()f x ()20,e -()2e ,-+∞()f x 2e x -=1a =-()()()21ln F x x x x f x a =+-++函数图像与轴交于两个不同的点，，， 为函数的零点，令， 在单调递减，在单调递增且，，，欲证：，即证：，即证，即证， 构造函数，，，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于不同的两点，，若，求的值．【答案】（1），；（2）或．【解析】（1）直线普通方程为，曲线的极坐标方程为，，，则，即为曲线的普通方程．（2）将（为参数，）代入曲线，，，，()F x x ()1,0C x ()2,0D x ()12x x <()2ln 1F x x x x =---()()()212112121x x x x F x x x x x-+--'=--==()F x ∴()0,1()1,+∞()110F =-<1x ∴()21,x ∈+∞122x x +>212x x >-()()212F x F x >-()()112F x F x >-()()()()()20,1x F x F x x ϕ=--∈()()()22102x x x x ϕ--'=<-()()10x ϕϕ∴>=xoy l cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩t 0α≤<πO x C 2cos 4sin ρθθ=l C l C A B 8AB =a sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=24x y =4απ=34πl sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=C 2cos 4sin ρθθ=cos x ρθ= sin y ρθ=22cos 4sin ρθρθ=24x y ∴=C cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩t 0απ≤<2:4C x y =22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=1224sin cos t t αα∴+=1224cos t t α-⋅=， ，或．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为1． （1）证明：；（2）若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）证明：，，显然在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即．（2）因为恒成立，所以恒成立， ， 当且仅当时，取得最小值， 所以，即实数的最大值为．128AB t t =-===cos α∴=4απ∴=34π0a >0b >()2f x x a x b =++-22a b +=2a b tab +≥t 922b a -< ()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩()f x ,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,2b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭()f x 122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22a b +=2a b tab +≥2a bt ab+≥()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23a b ==2a b ab +9292t ≤t 92。
2018年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
（1）我校共有 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 的有 人，语文成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，语文特别优秀的同学有 ＝ 人，数学成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，数学特别优秀的同学有 ＝ 人；
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
解不等式求得集合 ，化简集合 ，根据交集的定义写出 ．
【解答】
集合 ，
，
则 ．
2.
【答案】
A
【考点】
复数的模
【解析】
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】
由 ，得 ，
∴ ．
3.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 ， 的值，当 时满足条件 ，退出循环，输出 的值，观察规律即可得解．
从而可得： ，即 ，
又 为三角形内角，
所以 ，
于是 ，
又 为三角形内角，
所以 ．
Ⅱ 由余弦定理： ，得： ，
所以 ，
所以 ，即 面积的最大值为 ．
【答案】
（1）我校共有 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 的有 人，语文成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，语文特别优秀的同学有 ＝ 人，数学成绩特别优秀的概率为 ＝ ＝ ，数学特别优秀的同学有 ＝ 人；
【解答】
实数 ， 满足： 作出可行域，
目标函数 ，
由 解得 ，
的最优解对应的点为 ，
故 ．
【答案】
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数值即可．
【解答】
解：函数
河南省郑州市2018届高中毕业年级第三次质量预测(语文)含答案
河南省郑州市2018届高中毕业年级第三次质量预测语文2018年5月23日注意事项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
3．写在本试卷上无效。
一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
君子人格，是中华传统文化在数千年发展进程中不断塑造和培育的正面人格被历代中国人广泛接受并尊崇。
“君子”一词在西周时早已流行，主要指称贵族和执政者。
春秋末期，孔子赋予“君子”概念许多优秀道德的意蕴。
冯友兰说，孔子一生思考的问题很广泛，其中最根本的就是对如何做人的反思。
如果说，孔子思想的核心是探求如何做人的道理，那么他求索的结果，就是做人要做君子。
君子作为孔子心目中崇德向善的人格，既理想又现实，既高尚又平凡，是可见可感、可学可做、应学应做的人格范式。
孔子一生最大的成就，是创立了儒家学派。
什么是儒学？有一种观点回答得很干脆：儒学就是君子之学。
具体来说，在修己和治人两方面，儒学都以“君子的理想”为枢纽观念：修己即所以成为“君子”，治人则必须先成为“君子”。
从这一角度说，儒学事实上便是“君子之学”。
这种观点从儒学的目标追求和功能作用上说明儒学的特点，无疑抓住了本质，对于我们理解儒学乃至整个中华传统文化的特质，在今天继承和弘扬以儒学为主干的中华优秀传统文化，都具有不可忽视的积极意义。
儒学乃至整个中华传统文化，更多的时候是一种面向现实人生的伦理学说，与西方文化大相径庭。
西方文化热衷于构造能够解释思维与存在、精神与物质关系的严密理论系统，热衷于探寻认识论、方法论、辩证法等。
中华传统文化虽然也包括对认识论、方法论和辩证法的思考，却并不层层追问“是什么、为什么”，而是直截了当地告诉你“做什么、怎么做”。
这种不仅讲究“知”，更看重“行”的“知行合一”的理念，在有关君子及君子文化的论述中尤为突出。
2018年河南省八市高考数学三模试卷(文科)Word版含解析
2018年河南省八市高考三模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i 是虚数单位），则|z|=（ ）A ．5B ．C ．D ．12．已知，则B 中的元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x 1=52，x 2=70，x 3=68，x 4=55，x 5=85，x 6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S 是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（ ）A ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥αB ．若a ∥α，a ⊥β，则α⊥βC ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥αD ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β5．已知x ，y 满足，若存在x ，y 使得2x+y ≤a 成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．[4，+∞）D ．[10，+∞） 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．2C ．6D ．7．数列{a n }满足a n+1（a n ﹣1﹣a n ）=a n ﹣1（a n ﹣a n+1），若a 1=2，a 2=1，则a 20=（ ）A ．B ．C ．D ．8．长为的线段AB 在双曲线x 2﹣y 2=1的一条渐近线上移动，C 为抛物线y=﹣x 2﹣2上的点，则△ABC 面积的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．79．已知圆x 2+y 2=4的动弦AB 恒过点（1，1），若弦长AB 为整数，则直线AB 的条数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y 轴对称，则θ的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知三棱锥S ﹣ABC 的底面△ABC 为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M ，N分别是棱SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱，则三棱锥S ﹣ABC 的外接球的表面积是（ ） A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π12．若函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（1，2）D ．（2，e ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ．14．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为 ．15．非零实数a ，b 满足tanx=x ，且a 2≠b 2，则（a ﹣b ）sin （a+b ）﹣（a+b ）sin （a ﹣b ）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i （i=1，2）为直径的圆与以A 1A 2为直径的圆的位置关系为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2018年河南省八市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D．2．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B中的元素的个数为2．故选：B．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a ≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B ．7．数列{a n }满足a n+1（a n ﹣1﹣a n ）=a n ﹣1（a n ﹣a n+1），若a 1=2，a 2=1，则a 20=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】数列{a n }满足a n+1（a n ﹣1﹣a n ）=a n ﹣1（a n ﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n }满足a n+1（a n ﹣1﹣a n ）=a n ﹣1（a n ﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a 20=．故选：C ．8．长为的线段AB 在双曲线x 2﹣y 2=1的一条渐近线上移动，C 为抛物线y=﹣x 2﹣2上的点，则△ABC 面积的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C （m ，﹣m 2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值． 【解答】解：双曲线x 2﹣y 2=1的一条渐近线方程为y=x ， C 为抛物线y=﹣x 2﹣2上的点， 设C （m ，﹣m 2﹣2），C 到直线y=x 的距离为d==≥，当m=﹣时，d 的最小值为，可得△ABC 的面积的最小值为S=×4×=．故选：A ．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g （x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x ）=﹣2a=，当a ≤0时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在区间（0，+∞）单调递增，因此g （x ）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a ＞0时，令g′（x ）=0，解得x=，令g′（x ）＞0，解得0＜x ＜，此时函数g （x ）单调递增；令g′（x ）＜0，解得x ＞，此时函数g （x ）单调递减．∴当x=时，函数g （x ）取得极大值．当x 趋近于0与x 趋近于+∞时，g （x ）→﹣∞， 要使g （x ）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g （）=ln＞0，解得0＜a ＜．∴实数a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ﹣1 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1． 故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为 9 ．【考点】BB ：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x 的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3， 把这组数据从小到大排列为1，2，2，x ，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S 2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9． 故答案为：9．15．非零实数a ，b 满足tanx=x ，且a 2≠b 2，则（a ﹣b ）sin （a+b ）﹣（a+b ）sin （a ﹣b ）= 0 ．【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb ，a=tana ，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb ﹣2bsinacosb ，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解． 【解答】解：∵非零实数a ，b 满足tanx=x ，且a 2≠b 2， ∴可得：b=tanb ，a=tana ，∴原式=（a ﹣b ）（sinacosb+cosasinb ）﹣（a+b ）（sinacosb ﹣cosasinb ） =2acosasinb ﹣2bsinacosb =2tanacosasinb ﹣2tanbsinacosb =2sinasinb ﹣2sinasinb =0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i （i=1，2）为直径的圆与以A 1A 2为直径的圆的位置关系为 内切 ． 【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF 1的中点为M ，可得以线段PF i （i=1，2）为直径的圆与以A 1A 2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PFi（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则VM﹣ANB′=VC﹣ANB′，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴VM﹣ANB′=VC﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E 的轨迹是以E 、P 为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=1，∴M 的轨迹C 的方程为=1．（2）l 与以EP 为直径的圆x 2+y 2=1相切，则O 到l 即直线AB 的距离：=1，即m 2=k 2+1，由，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0，∵直线l 与椭圆交于两个不同点，∴△=16k 2m 2﹣8（1+2k 2）（m 2﹣1）=8k 2＞0，k 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=，又=x 1x 2+y 1y 2=，∴，∴，==，设μ=k 4+k 2，则，∴=，，∵S △AOB 关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB 的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f （x ）=mx+2lnx+，m ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设函数g （x ）=，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数m 的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x 0∈[1，e]，使得m ＞﹣成立，设H （x ）=﹣，根据函数的单调性求出m 的范围即可． 【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x ）=m++=，m=0时，f′（x ）=，f （x ）在（0，+∞）递增，m ＞0时，f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m ＞2时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＜0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m ≤2时，x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0， f （x ）在（0，+∞）递增，m ＜0时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＞0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=mx+2lnx ﹣，∵至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，∈[1，e]，使得m＞﹣成立，∴至少存在一个x设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
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2018届河南省郑州市高三第三次质量预测文数试题 含解析注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1=1A x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，{}2=4B x y x =，则A B =（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．()0,1 D ．()0,+∞【答案】B2．若复数z 满足()2i 17i z +=+，则z =（ ） AB．CD ．2【答案】A3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（ ）A ．数列{}21n-的第4项B ．数列{}21n-的第5项C ．数列{}21n-的前4项的和D ．数列{}21n-的前5项的和【答案】B4．在ABC △中，AD AB ⊥，33CD DB ==，1AD =，则=AC AD ⋅（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件【答案】A7．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为a ；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为b ．甲同学认为a 有可能比b 大，乙同学认为a 和b 有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（ ） A ．甲对乙不对B ．乙对甲不对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对【答案】B8．某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）A ．3A ∈B ．5A ∈C．AD．A【答案】D 9．已知函数()1cos f x x x=+，下列说法中正确的个数为（ ） ①()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；②()f x 在()0,π上的最小值是2π； ③()f x 在()0,π2上有两个零点． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C10．已知A ，B ，C ，D且4AC BD ==，AD BC ==AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是（ ） A．B．C．D【答案】C11．已知函数()2ln xf x a x x a =+-，()01a a >且≠，对任意的1x ，[]20,1x ∈，不等式()()122f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣ B ．[)e,+∞ C ．[]2,eD ．2e,e ⎡⎤⎣⎦【答案】A12．已知S 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点M ，N ，交y 轴于点P ，Q ，若()118OP OQ OM ON ⎛⎫+⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．(D．)+∞【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足：1310x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，则3x y +的最大值为_______．【答案】1314．设函数()22,1lg ,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，则()()4f f -=_______．【答案】1-15．抛物线28y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，2π3OFA ∠=，则tan ACB ∠=_______．【答案】16．设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a ，前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为_______． 【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()co s 2C b A=．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC △面积的最大值． 【答案】（1）6A π=；（2）2+ 【解析】（1cos 2sin cos cos A C B A C A =，()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =，又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：224222b c bc bc =+-≥，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==+ 18．（12分）在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．②根据以上数据，完成22⨯列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．【答案】（1）5人，4人；①15，②是．【解析】（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为1=10.95=0.05P -，语文特别优秀的同学有1000.05=5⨯人，数学成绩特别优秀的概率为2=0.00220=0.04P ⨯，数学特别优秀的同学有1000.04=4⨯人． ①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，记两科都特别优秀的3人分别为1A ，2A ，3A ，单科特别优秀的3人分别为1B ，2B ，3B ，从中随机抽取2人，共有：()12A A ,，()13,A A ，()23,A A ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B 共15种，其中这两人成绩都特别优秀的有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：31=155P =． ②，()2210039412245042.982 6.63549659557k ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，AD BC ∥，112AD AB AE BC ====且BC ⊥底面ABE ，M 为棱CE 的中点．（1）求证：直线DM ⊥平面CBE ；（2）当四面体D ABE -的体积最大时，求四棱锥E ABCD -的体积．【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】（1）因为AE AB =，设N 为EB 的中点，所以AN EB ⊥， 又BC ⊥平面AEB ，AN ⊂平面AEB ，所以BC AN ⊥，又BC BE B =，所以AN ⊥平面BCE ，又DM AN ∥，所以DM ⊥平面BCE ． （2）AE CD ⊥，设=EAB θ∠，=1AD AB AE ==，则四面体D ABE -的体积111sin sin 326V AE AB AD θθ=⨯⨯⋅⋅⋅=， 当90θ=︒，即AE AB ⊥时体积最大，又BC ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，所以AE BC ⊥，因为BC AB B =，所以AE ⊥平面ABC ，()1111211322E ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=．20．（12分）已知动点(),M x y=（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设A ，B 是轨迹E 上的两个动点，线段AB 的中点N 在直线1:2l x =-上，线段AB 的中垂线与E 交于P ，Q 两点，是否存在点N ，使以PQ 为直径的圆经过点()1,0，若存在，求出N 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）1,2N ⎛- ⎝⎭． 【解析】（1）2212x y +=． （2）当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为12x =-，此时()P ，)Q，221F P F Q ⋅=-，不合题意；当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点()1,02N m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为k ， ()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()()1212121220y y x x y y x x ⎛⎫-+++⋅= ⎪-⎝⎭，则140mk -+=， 故14k m=，此时，直线PQ 斜率为14k m =-， PQ 的直线方程为142y m m x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即4y mx m =--，联立22412y mx mx y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得：()222232116220m x m x m +++-=， 所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -⋅=+， 由题意220F P F Q ⋅=，于是()()()()()22121212121211144F P F Q x x y y x x x x mx m mx m ⋅=--+=⋅-+++++()()()2221212116411m x x m x x m =+⋅+-+++()()()()()()22222222211622411619110321321321m m m m m mm m m +----=+++==+++， 19m ∴=±，因为N 在椭圆内，278m∴<，19m ∴=±符合条件，综上所述，存在两点N 符合条件，坐标为1,219N ⎛-± ⎝⎭． 21．（12分）已知函数()ln f x ax x x =-在2e x -=处取得极值． （1）求实数a 的值； （2）设()()()21l n F xx x x f x a =+-++，若()F x 存在两个相异零点1x ，2x ，求证：122x x +>．【答案】（1）1a =-；（2）见解析．【解析】（1）因为()ln f x ax x x =-，所以()ln 1f x a x '=--，因为函数()f x 在2e x -=处取得极大值，所以()2e0f -'=，即()22e ln e 10f a --'=--=， 所以1a =-，此时()ln 2f x x '=--，经检验，()f x 在()20,e -上单调递增，在()2e ,-+∞单调递减，所以()f x 在2e x -=处取得极大值，符合题意，所以1a =-．（2）由（1）知：函数()()()21ln F x x x x f x a =+-++，函数()F x 图像与x 轴交于两个不同的点()1,0C x ，()2,0D x ，()12x x <， 为函数()2ln 1F x x x x =---的零点，令()()()212112121x x x x F x x x x x-+--'=--==，()F x ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增且()110F =-<，1x ∴，()21,x ∈+∞，欲证：122x x +>，即证：212x x >-，即证()()212F x F x >-，即证()()112F x F x >-， 构造函数()()()()()20,1x F x F x x ϕ=--∈，()()()22102x x x x ϕ--'=<-，()()10x ϕϕ∴>=，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0α≤<π）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若8AB =，求a 的值． 【答案】（1）sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，24x y =；（2）4απ=或34π． 【解析】（1）直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，则22cos 4sin ρθρθ=，24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．（2）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）代入曲线2:4C x y =，22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，1224sin cos t t αα∴+=，1224cos t t α-⋅=，128AB t t =-===， cos α∴=，4απ∴=或34π．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）证明：22a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）92． 【解析】（1）证明：2b a -<，()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即22a b +=．（2）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92．。