2.6应用一元二次方程2
2.6应用一元二次方程2
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
回顾与复习
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因健康第一
4.某市2011年年底自然保护区覆盖率（即自然保护区面 积占全市国土面积的百分比）仅为4.85％,经过两年努力， 该市2013年年底自然保护覆盖率达到8％，求该市这两年 自然保护区面积的年均增长率（结果精确到0.1％）
解：设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x,依题意得。
4.85%(1 x) 2 8% 整理得 : (1 x) 2 1.649
(80 2 x)(1200 200 x) 1600 x 122000 64000.
整理得 : x 2 30 x 225 0
解这个方程 : x1 x2 15 经检验x 15符合题意
答：储藏15个星期农产品可以获利122000元.
开启
智慧
健康第一
5.某公司今年10月的营业额为2500万元,按计划第四季度 的总营业额要达到9100万元,求该公司11,12两个月营业额 的月均增长率.
九年级数学(上)第二章 一元二次方程
2.6
应用一元二次方程
第二课时
广南县南屏初中 李文良
回顾与复习
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
初三数学上册(北师大版)《2.6应用一元二次方程(2)》【教案匹配版】最新中小学课程
（2900-50x-2500)×(8+4x)=5000
解得 x1=x2=3 2900-50×3=2750
答：每台冰箱的定价为2750元.
例题讲解
变换设未知数的方法
进价 售价 销量 每台利润 总利润
降价前 2500 2900
8
2900-2500 （2900-2500)×8
降价后 2500 292090-05-0xx
解得x1=x2=2750
答：每台冰箱的定价为2750元.
巩固练习
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，
平均每月能售出600个。调查发现：售价在40元 至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其 销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 这时应进台灯多少个？请利用方程解决这一问题。
本题的主要等量关系：
每个台灯的利润×每月的销量=10000元 解：设售价上涨x元 ，由题意得
（40+x-30)×(600-10x)=10000
解得x1=10，x2=40（不合题意，舍去） 则40+10=50，600-10×10=500
答：每个台灯的售价为50元，进货量为500个。
问题变式
例：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，
问题引入
例：新华商场销售某种冰箱，每台进货价 为2500元，售价为2900元。 （1）求利润率；
利润率=
利润 成本
×100%
利润=售价-成本
解：
2900-2500 2500
×100%
=
16%
答：利润率为16%
问题引入
例：新华商场销售某种冰箱，每台进货价 为2500元，售价为2900元。
2.6 应用一元二次方程(第2课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章一元二次方程6 应用一元二次方程第2课时 销售及变化率问题教学目标教学反思1.会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题.2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识.教学重难点重点：会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题.难点：如何找出等量关系.教学过程导入新课某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？探究新知一、温故知新1.某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,则1件的利润是_____;若每天可售出100件,则1天的总利润是_________.2.利润问题的两个主要等量关系:1件的利润＝1件的售价-1件的进价；总利润＝每件的利润×销售总件数.二、知识讲解1.销售问题与一元二次方程例1 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元?分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元.如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2 900-x）元，每台冰箱的销售利润为（2 900-x-2 500）元，平均每天销售冰箱的数量为台.这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决.解：设每台冰箱降价x元. 根据题意,得.整理,得x2- 300x + 22 500 ＝0.解这个方程,得x1＝x2＝150.教学反思2 900-150 ＝2 750.所以，每台冰箱应定价为2 750元.总结：利润问题常见关系式：(1)利润＝售价－________；(2)利润率；(3)总利润＝____________×销量.2.平均变化率问题与一元二次方程例2 某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率.(2)请你预测4 月份该公司的生产成本.解:(1)设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1-x)2＝ 361.解得x1＝5%，x2＝1.95＞1（不合题意，舍去）.答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×（1-5%）＝ 342.95（万元）.答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元.总结：若平均增长(或降低)的百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b(其中增长取“＋”,降低取“－”).三、练习巩固，拓展提高1.某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8 000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？分析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可.解：设每件商品涨价x元，根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8 000，即x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解.当x＝10时，售价为10＋50＝60（元），销售量为500－10×10＝400（件）.当x＝30时，售价为30＋50＝80（元），销售量为500－10×30＝200（件）.∵要尽量减少库存，∴售价应为60元.2.某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率.分析：设3，4月份销售额的月平均增长率为x ，那么2月份的销售额为60（1－10%）万元，3月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）万元，4月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）2万元.解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x .根据题意，得60（1－10%）（1＋x ）2＝121.5，则（1＋x ）2＝2.25，解得x 1＝0.5，x 2＝－2.5（不合题意，舍去）.答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.课堂练习1.某地一月份发生禽流感的养鸡场有100家，后来二、 三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月发生禽流感的养鸡场的增长率为x ，依题意列出的方程是（ ）A.100（1+x ）2＝250B.100（1+x ）+100（1+x ）2＝250C.100（1-x ）2＝250D.100（1+x ）2+100＝2502.某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，若设每件售价为x 元，销售量可表示为（ ）A.×10 B. 200-×10 C. 200-×10 D. 200-0.5（x -10）×103.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（ ）元.A. 0.2或0.3B. 0.4C. 0.3D. 0.24.一件上衣原价为每件500元，第一次降价后，销售甚慢，第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元的价格迅速出售，求每次降价的百分率是多少？参考答案1.B2.B3.C4.解：设第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为2x ，根据题意得500(1-x )(1-2x )＝240,解得x 1＝0.2＝20%,x 2＝1.3＝130%（舍去）.答：第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%.课堂小结(学生总结，老师点评)营销问题中的数量关系：(1)单件商品利润＝单件商品售价－单件商品进价；教学反思(2)利润率＝利润进价＝售价―进价进价；(3)售价＝进价×(1＋利润率)；(4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量.布置作业课本习题2.10板书设计6 应用一元二次方程第2课时 销售及变化率问题。
北师大版九年级数学上2.6 应用一元二次方程
解：设2015年12月31日至2017年12月31日我
国计算机上网总台数的年平均增长率为x，由题
意得 892（1+x)2=2083
(1+x)2= 2083
892
x 2083 1
892
解这个方程,得:x1=1, x2=2 经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
练一练:
已知两个连续正奇数的积是63,利用一 元二次方程求这两个数.
鲜花为你盛开，你一定行！
谈谈你这节课的收获
列方程解应用题的基本步骤怎样？
（1）读题： 1、审题； 2、找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪 些是要求的未知量；
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 二次增长后的值为
依次类推n次增长后的值为
a (1 x) a (1 x)2 a (1 x)n
（2）降低率问题
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 二次降低后的值为
依次类推n次降低后的值为
a (1 x) a (1 x)2 a (1 x)n
问题:截止到2014年12月31日，我国的上网计算机总数为 892万台；截止到2016年12月31日，我国的上网计算机总 数以达2083万台. （1）求2014年12月31日至2016年12月31日我国的上网计 算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.
思考:(1)若设年平均增
长率为x,你能用x的代 上网计算
3、找出所涉及的基本数量关系.例如，速度×时间=路程； 销售数量×销售单价=销售收入
2.6 应用一元二次方程 第2课时 百分率及利润问题
解得：xb＝＝58，， ∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x＝35亿元
(3)由x＝5得，2015年初搬迁安置的投资金额为20亿元， 设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，由题意，得： 20(1－y)2＝5， 解得：y1＝0.5，y2＝1.5(舍) 答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%
13．(南宁中考)为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室 借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)．该阅览室在 2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本． (1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率； (2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，2017年达到1440人．如 果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增 长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？
11．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，
若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品售
价不能超过进价的25%，商店计划要赚400元，需要卖出______件商品，每 100
件商品的售价为______元． 25
12．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存， 商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平 均每天可多售出2件．设每2件x 商品降价x元．据此规律5，0－请x回答： (1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利___________元．(用含x的代 数式表示) (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈 利可达到2100元？ 解：由题意得(50－x)(30＋2x)＝2100，化简得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15， x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去．∴x＝20
26应用一元二次方程(第二课时)_2023年学习资料
11.某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间-的销售经验，每天的售价x元/箱与销售量-y箱有下表关系： 每箱售价x元》-68-67-66-65-40-每天销量y箱-45-50-55-180-已知y与x之间的函数 系是一次函数-1求y与x的函数解析式；-解：1设y与x之间的函数关系是y=kx+b.根-据题意，得-r68 +b=40-解得-k=-5,-67k+b=45-1b=380.-∴.y与x之间的函数关系是y=-5x+38 .
2若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长-率相同，问年增长率是多少？-解：设年增长率为a.-2014年的 售数量为3500÷35=100（盒）.根据题-意，得-60-35×1001+a2=60-35+11×100 -解得a=0.2=20%或a=-2.2不合题意，舍去.-答：年增长率为20%.
9.毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，-若商店花440元可以购进50个学生纪念品和10个-教师 念品，其中教师纪念品每个的成本比学生纪-念品每个的成本多8元-1请问这两种纪念品每本的成本分别是多少？-解 1设学生纪念品的成本为x元/个.根据题-意，得-50x+10x+8=440,解得x=6,-.x+8=6+8 14.-答：学生纪念品的成本为6元/个，教师纪念品的成-本为14元/个.
●●●●●●-基础过关-1.2017无锡某商店今年1月份的销售额是2万元，-3月份的销售额是4.5万元，从 月份到3月份，该-店销售额平均每月的增长率是-C-A.20%-B.259%-C.50%-D.62.5%
2.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三-月的营业额共1000万元.若平均每月增长率为x,-则 据题意列方程为-D-A.2001+x2=1000-B.200+2001+x2=1000-C.2001+x3 1000-D.200+2001+x+2001+x2=1000
2.6应用一元二次方程--营销问题(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“应用一元二次方程--营销问题”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在购物时，是否遇到过商家降价促销的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索降价与利润之间的奥秘。
2.6应用一元二次方程--营销问题（教案）
一、教学内容
本节课选自九年级数学教材第二章第六节“应用一元二次方程--营销问题”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.利用一元二次方程解决实际营销问题，如利润、售价、成本之间的关系；
2.举例分析：某商品原价为x元，为提高销量，商家决定将售价降价y元。若降价后销量增加的比例为m，求降价后的利润与原利润的关系，以及如何确定降价幅度和增加的销量比例使得总利润最大。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的建立和求解这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与营销问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元二次方程在营销问题中的基本原理。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识，使学生能够将一元二次方程应用于营销问题的分析和解决；
2.培养学生的逻辑思维和数据分析能力，通过对比、归纳等方法，发现并理解降价、销量与利润之间的关系，提高学生数据分析素养；
北师大版九年级数学上册教案：2.6应用一元二次方程
5.通过实际问题的解决，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
本节课将围绕以上内容进行讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的应用。
二、核心素养目标
1.理解与运用：通过实际问题情境，使学生能够理解一元二次方程的实际意义，掌握建立方程的方法，培养解决实际问题的能力。
在教学过程中，教师应针对上述重点和难点内容，设计具有针对性的教学活动，通过实例讲解、互动讨论、个别辅导等方式，帮助学生理解和掌握一元二次方程的应用。同时，教师应关注学生的个别差异，提供不同层次的练习题，以便于学生逐步克服难点，提高解决问题的能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决面积、速度或加速度等问题的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在现实生活中的应用。
5.数学情感与态度：通过解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣，增强克服困难的信心，培养学生积极向上的数学情感和态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点一：掌握根据实际问题抽象出一元二次方程的能力。例如，从实际情境中提炼出关键信息，正确设定未知数，建立一元二次方程。
-重点二：熟练运用一元二次方程的常用解法（直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式）解决问题。
五、教学反思
在上完这节课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生在建立一元二次方程解决实际问题时存在一定难度。他们往往难以从实际问题中抽象出数学模型，这让我意识到需要在这方面加强引导和练习。在接下来的教学中，我会多设计一些与生活密切相关的实际问题，帮助学生逐步培养这种能力。
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自主完成下列前3个小题，然后同桌互助完成第4个小题： 1.降价后哪些量发生了变化？ 2850 350 元，销售 2.若降50元，售价为 _____元，每台利润为_____ 12 台，每天总利润为__________ 350×12 元。 量为______ 2800 300 元，销 3.若降100元，售价为 _____元，每台利润为_____ 16 售量为________ 台，每天总利润为___________ 300×16 元。 (2900-x-2500) 4.若降x元，售价为(2900-x) __________元，每台利润为 ________ x x (8 4台，则每天总 ) 元，此时降了___个50，销售量为________ 50 50
(__________________________ 2900 x 2500 )(8 4) 元。 利润可表示为为
x
二、探究新知—例题解析
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研 表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价 每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱 的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？
2.6应用一元二次方程（2）
学习目标
1.通过分析实际情景中的销售利润的关系，从 特殊到一般，利用表格找出等量关系并列出一 元二次方程解决问题，进一步体会方程是刻画 实际问题中数量关系的有效的数学模型。 2.通过列一元二次方程解决实际问题，进一 步提高分析问题、解决问题的能力什么？ 2.某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经 调查发现，在每件降幅不超过10元的情况下，若每件降 价1元，则每天可多售出5件。请回答下列问题： （1）若每件降1元，每件赢利是____ ___ 43 元，每天可销售25 件，每天的总利润为_____________ 元； 43×25 30 （2）若每件降2元，每件赢利是42 ____元，每天可销售 ___ 件，每天的总利润为_____________ 元； 42×30 (20+5x) （3）若每件降x元，每件赢利是 ____元，每天可销售___ (44-x) 件，每天的总利润为__________________ (44-x)(20+5x) 元； （4）若每天要赢利1600元，则可列方程为 (44-x)(20+5x)=1600 ； _______________________
每台利润（元）每天销售量（台） 每天总利润（元）
涨价前
涨价后
四、课堂小结
应用方程解决实际问题时，应注意哪些重要环节?
注意审题，找关键词或句子 把握问题中的等量关系 正确求解方程并检验解的合理性 你还有哪些新的、有价值的收获吗?
五、课堂检测：
某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平 均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减 少库存，商场决定采取适当的措施。调查发现，如 果这种贺年卡的售价每降低0.05元，那么商场平均 每天多售出200张。商场要想平均每天盈利180元， 每张贺年卡应降价多少元？（只列方程）
二、探究新知—例题解析
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500 元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平 均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时， 平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱 的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的 降价应为多少元？
请找出题中的关键词或句子。
二、探究新知—例题解析
完成下列表格：设每台冰箱的降价为x元。
每台利润 （元） 降价前
2900-2500
每天销售量 每天总利 （台） 润（元） 8
8×(2900-2500)
降价后
x 4) (2900-x-2500) (8 50
5000
三、巩固练习—课本“做一做”
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月 能售出600个。调查表明：售价在40元至60元范围内， 这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的 售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 若设售价为x元，请完成下表，列出方程并解答。
每张利润（元） 每天销售量（张） 每天总利润（元）
降价前
降价后