第九讲 因式分解 (添拆项与最值)
因式分解添拆项法及配方法
添拆项法及配方法【知识要点】常用公式有：平 方 差： )b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方： 222)b a (b 2ab a ±=+± 立方和：))((2233b ab a b a b a +-+=+三项和平方：2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++；三项立方和：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 备注：1、拆项、添项：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组解法进行分解因式。
2、配方：用配方法进行因式分解是添拆项中的一种特殊情况，添拆项后将产生平方公式。
【典型例题】例1、（1）32332a a a +++ （2）3234x x -+例2、（1）4224y y x x ++； （2）()()()242221121y x y x y -++-+例3、分解因式：178++x x例4、若代数式22333axy y x y x +++含有因式y x -，则=a ，在实数范围内将这个代数式分解因式，得=+++22333axy y x y x 。
例5、用多种方法分解因式：2426923+++x x x例6、若整数a 、b 满足6910303ab a b -+=，求a b +。
例7、计算)32452)(32440)(32428)(32416)(3244()32458)(32446)(32434)(32422)(32410(4444444444++++++++++【大展身手】1、分解因式：32374a a +-=__________________________2、分解因式：1512223+-+a a a =__________________________3、分解因式：153143+-x x =__________________________4、分解因式：3333a b c abc ++-=__________________________5、分解因式：1232234++++x x x x =__________________________6、分解因式：611623+++x x x =__________________________7、分解因式：422411y y x x +-=8、因式分解： =++15a a __________________________9、分解因式：61922112234+-+-x x x x =__________________________6、若010432=-+y x ，则y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值为_____________________7、求方程xy y x =-的整数解。
晨德第九讲--待定系数法
§第9讲 因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法 ★★ 知识体系梳理◆ 添项拆项法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。
通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。
如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
◆ 待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。
然后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
◆ 换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫 。
换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，一定要有 意识，即把某些相同或相似的部分看成一个 。
（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。
★★ 典型例题、方法导航◆ 方法一：添项拆项法【例1】分解因式：332x x -+分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。
可考虑添项拆项法分解。
从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即332x x -+()()()x a x b x c =+++，再看常数项2可分解成〒1、〒2，因此我们可猜想分解的结果可能是(1)(1)(2)x x x --+或(1)(1)(2)x x x +--或(1)(1)(2)x x x +++,但332x x -+的中间项是3x -,因此(1)(1)(2)x x x +++是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。
因式分解知识点总结
因式分解知识点总结因式分解是初中数学中的重要知识点，它与解方程、化简式子等许多数学问题有着紧密的联系。
因式分解的核心思想是找出多项式的因子，并将其拆解为更简单的形式。
在本文中，我们将综合讨论因式分解的几种常见方法和技巧。
一、提公因式法提公因式法是最基本也是最常用的因式分解方法之一。
它的核心思想是将多项式中的公因子提出来。
例如，对于多项式2x + 4y，我们可以发现其中的公因子为2。
因此，我们可以将2提取出来，得到2(x + 2y)。
这样，我们就成功将原多项式进行了因式分解。
二、配方法配方法亦称为乘法公式反算法。
它适用于多项式满足一个较为特殊的乘法公式形式，即(a + b)²。
例如，对于多项式x² + 2x + 1，我们可以将其视为(x + 1)²形式。
根据乘法公式，我们可以得到x² + 2x + 1 = (x + 1)²。
通过这样的处理，我们就成功地将多项式进行了因式分解。
三、差平方公式差平方公式是一种常见的因式分解方法，它是通过一个平方差的形式来进行因式分解。
例如，对于多项式x² - y²，我们可以利用差平方公式将其因式分解为(x + y)(x - y)。
通过这样的操作，我们可以看到多项式的差平方已经被成功拆解为两个因子的乘积。
四、分组分解法分组分解法亦称为二次拆分法，它适用于多项式含有四个及以上的项，并且存在某种规律性的分组方式。
例如，对于多项式x³ + 3x² + 3x + 1，我们可以进行如下的分组：(x³+ 3x²) + (3x + 1)。
接下来，我们可以对每个分组因式进行公因式提取，得到x²(x + 3) + 1(x + 3)。
最后，我们可以将公因式 (x + 3) 提取出来，得到(x + 3)(x² + 1)。
五、特殊公式法特殊公式法适用于特定形式的多项式，其中包括一些常见的平方差公式、立方差公式等。
初中数学：因式分解拆项与添项法实用技巧
初中数学：因式分解拆项与添项法实用技巧
在上篇文章《初中数学因式分解规律和方法详解》中我们对因式分解的多种方法进行了介绍，很多同学表示受益匪浅，但是还有不少同学希望我再详细的介绍下拆项与添项法。
今天，我们就来详细的介绍下拆项与添项这对较为灵活的因式分解方法。
一、拆项法：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和的方法；
拆项法因式分解的一般规律：一般是拆开中项，将需要拆掉的项按照其余项的系数绝对值拆分。
二、添项法：在代数式中添加两个相反的项；
添项法因式分解的一般规律：一般通过添项构成完全平方公式或者立方差或立方和公式；当然，有时则需根据系数配成十字相乘法的形式。
以上就是因式分解拆项法和添项法的使用技巧。
不过，只有我们认真掌握了因式分解的四种基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、配方法，然后再结合拆项法和添项法灵活应用，才能有的放矢，融会贯通。
添项拆项法
谢谢！
添项拆项法
知识回顾
1、提公因式进行因式分解。 2、公式法进行因式分解。
知识导入
对于有些多项式，直接用提公因式和公式法 不能直接进行因式分解。用分组分解法分解后， 仍好象缺一些项，这类究
1、添项法在什么情况下使用？ 如： 4x4+1
解：原式= （2x2）2+12 =（2x2）2+12 + 4x2- 4x2 =[(2x2)2+4x2+12]-4x2 =(2x2+1)2-(2x)2 =(2x2+2x+1) (2x2-2x+1)
用拆项法使用的条件: 1）一般多使用能够进行两个完全平方公式的多项式。
2）拆项通过加减变形后，能分配到其它项组成完全平 方公式。
课堂练习
对下列多项式进行因式分解：
1） 36x8 16
2） 4x21x2 1y6 24y0 16
课堂小结
1、添项法进行因式分解适用的条件。 2、拆项法进行因式分解适用的条件。
用添项法使用的条件: 1）一般多使用完全平方公式。 2）直接用完全平方公式，缺项。 3）已给的数的次数比较高（都是2的倍数）。
知识探究
2、拆项法在什么情况下使用？
如：x21x2y28y20
解：原式= x21x2 y28y(3 6 1)6 x21x2 3 6y28y16
x62y42 x 6 y 4 x 6 y 4 x y 1x 0 y 2
因式分解掌握方法和技巧
因式分解掌握方法和技巧因式分解是数学中常用的一种运算方法，它可以将一个多项式分解为多个乘积的形式。
掌握因式分解的方法和技巧对于数学学习和解题是非常重要的。
在本文中，我将介绍因式分解的方法和技巧，并给出一些例子进行详细的讲解。
一、因式分解的基本方法因式分解的基本方法是将一个多项式表示为多个乘积的形式。
在进行因式分解时，我们需要找到多项式中的共同因子，并将其提取出来，最终将多项式表示为乘积的形式。
例如，我们将多项式x^2+3x+2进行因式分解，首先观察多项式的各项之间是否存在其中一种数学关系，如果没有明显的数学关系，我们可以尝试将多项式进行因式分解。
我们可以发现，该多项式的第一项和最后一项都是平方项，且它们之和等于中间项的系数。
也就是说，x^2+3x+2可以写成(x+1)(x+2)的形式。
因此，我们可以将x^2+3x+2分解为(x+1)(x+2)。
二、因式分解的常见技巧除了基本的方法外，因式分解还有一些常见的技巧，这些技巧可以帮助我们更快地找到多项式的因式。
1.提取公因子法提取公因子法是因式分解中最常用的技巧之一、通过提取多项式的公共因子，可以将多项式表示为乘积的形式。
例如，我们将多项式6x^3+9x^2+12x进行因式分解，首先观察多项式中各项的系数，我们可以发现它们都可以被3整除。
因此，我们可以将多项式进行公因子提取，6x^3+9x^2+12x可以写成3x(2x^2+3x+4)的形式。
2.完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为两个平方数的差。
例如，我们将多项式x^2-4进行因式分解，首先观察多项式中的平方项和常数项，我们可以发现它们之间的差是常数4因此，我们可以应用完全平方公式，将多项式进行因式分解，x^2-4可以写成(x+2)(x-2)的形式。
3.差的平方公式差的平方公式是指一个平方项和一个常数的乘积可以表示为两个相同数的平方的差。
例如，我们将多项式x^2-4x+4进行因式分解，我们可以发现它是一个平方项和一个常数的乘积，且常数乘积等于平方项的系数的平方。
因式分解中的拆项、添项法讲解学习
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因式分解中的拆项、添项法
安徽滁州二中郑刚239000
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解•现举一例：
例分解因式：x3-9x+8・
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.
解法1将常数项8拆成・1+9・
原式=X3・9X・1+9
=(x 3-1)-9x+9
=(x-1)(x 2+X+1)-9(X-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
解法2将一次项-9x拆成-x-8x・
原式=x3-x-8x+8
=(x 3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
解法3将三次项x3拆成9X3-8X3•
原式=9x?・8x，9x+8
=(9x 3-9X)+(-8X3+8)
=9x(x+1 )(x-1 )-8(x-1 )(x 2+x+1) =(x-1 )(x 2+X-8).
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解法4添加两项-x 2+x2・
原式=x，9x+8
=X3-X2+X2-9X+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.。
中考数学专题讲义第九讲 因式分解 (添拆项与最值)
2
（3）十字相乘法;对于二次三项式
x2
Px
q
，若能找到两个数
a
、
b
，使
a a
b p, b q,
则就有 x2 Px q x2 (a b)x ab (x a)(x b) ．
注;若 q 为正，则 a，b 同号；若 q 为负，则 a，b 异号；
立方和差公式;
典型例题;
例 1（1）计算 29982+2998×4+4=
（3）x5+x+1；
（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4； （4）x3+5x2+3x﹣9；
（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2；
（6）﹣2x5n﹣1yn+4x3n﹣1yn+2﹣2xn﹣1yn+4；
（7）x3﹣8y3﹣z3﹣6xyz；
（8）a2+b2+c2﹣2bc+2ca﹣2ab；
值，是
；﹣x2+3x 有最
值，是
例 5 题目;分解因式;x2﹣120x+3456． 分析;由于常数项数值较大，则常采用将 x2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样 简便易行．
（1）x2﹣140x+4875
（2）4x2﹣4x﹣575．
三、强化训练;
1、已知 x+y=6，xy=4，则 x2y+xy2 的值为
.
2、分解因式; (2a-b)2-(a +b)2
-3ma3+6ma2-3ma
a2(m-n)+b2(n-m)
m 4 16n 4
（8）16a 4 72a 2b 2 81b 4
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第八讲 因式分解（添拆项与最值）
知识点回顾：
1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。
2、因式分解的方法：
（1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式：
()()b a b a b a -+=-2
2
；
完全平方公式：222b ab a ++=()2
b a +和)(b a b ab a -=
+-2
222
（3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使,
,a b p a b q +=⎧⎨⋅=⎩
则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题：
例1（1）计算 29982
+2998×4+4= 。
（2）若442
-+x x 的值为0，则51232
-+x x 的值是________。
例2：分解因式：
2
2
288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x )
例3：已知a –b = 1 ，252
2
=+b a 求ab 和a+b 的值。
例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2
+3x 有最 值，是 例
5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456．
分析：由于常数项数值较大，则常采用将
x 2﹣120x
变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．
（1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575．
三、强化训练：
1、已知x +y =6，xy =4，则x 2
y +xy 2
的值为 .
2、分解因式：
(2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2
(n -m )
4416n m - （8）4224817216b b a a +-
4、已知：a=2999，b=2995，求65522
2
-+-+-b a b ab a 的值。
5、利用因式分解计算
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-2222211......511411311211n
6、已知a 为任意整数，且()2
2
13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。
7、已知x(x-1)-(y x -2
)=-2,
xy y x -+2
2
2的值。
8、把下列各式分解因式：
（1）4x 3﹣31x +15； （2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2﹣a 4﹣b 4﹣c 4；
（3）x 5+x +1； （4）x 3+5x 2+3x ﹣9；
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（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2；（6）﹣2x5n﹣1y n+4x3n﹣1y n+2﹣2x n﹣1y n+4；（7）x3﹣8y3﹣z3﹣6xyz；（8）a2+b2+c2﹣2bc+2ca﹣2ab；（9）a5﹣a3b2+a2b3﹣b5；（10）6x4+7x3﹣36x2﹣7x+6．
9、计算
．
10、已知整数a，b满足6ab=9a﹣10b+16，求a+b的值．
11、已知2008=，其中x，y为正整数，求x+y的最大值和最小值．
12、阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2
=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
（1）请用上述方法求出x2﹣4xy+3y2=0（满足xy≠0，且x≠y）中y与x的关系式．
（2）利用上述关系式求的值．
13、对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．
小红是这样想的：在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
参考小红思考问题的方法，完成下列问题．
（1）利用“配方法”对整式a2﹣6a+8进行因式分解；
（2）利用“配方法”求出x2﹣2x﹣3的最小值．。