广东省江门市普通高中高一数学1月月考试题04

高一数学1月月考试题04
(考试时间120分钟，满分160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合{}3,2,1-=A ，12:-→x x f 是集合A 到集合B 的映射，则集合=B
2．)6
cos()(π
ω-=x x f 最小正周期为
5
π
，其中0>ω，则=ω
3．若函数2()1f x x ax =++（x R ∈）是偶函数，则实数a =
4．已知集合[)4,1=A ，()a B ,∞-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．
5．函数)6
3sin(2)(π
+=x x f 的一个对称中心是
6．若0.3555,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是
7．已知角α的终边经过点)6,(--x P ,且135
cos -=α,则
=+α
αtan 1sin 1
8．函数y =的值域是
9．已知函数)(x f 满足：当x
x f x )2
1()(,4=≥，当)1()(,4+=<x f x f x ，则
)3log 2(2+f =
10．设0ω>,函数sin()23
y x π
ω=+
+的图像向右平移
43
π
个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 ．
11．已知函数f (x )=|lg x |．若0<a <b,且f (a )=f (b ),则a +2b 的取值范围是
12．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间[)+∞,0上是单调递增，若
0)2(lg ))5(lg 50lg 2(lg 2<-++⋅x f f ，则x 的取值范围为 ．
13．下列命题：①终边在y 轴上的角的集合是},2
|{Z k k ∈=
π
αα；②在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；③把函数)3
2sin(3π
+=x y 的图象向右平
移
6
π个单位长度得到y =3sin 2x 的图象；④函数)2sin(π
-=x y 在],0[π上是减函数其中真命
题的序号是
14．设a R ∈，若0x >时均有()()2
1110a x ax x ----≥⎡⎤⎣⎦
，则a =_________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本题满分14分) 已知α是第三象限角，且
3sin()cos(2)tan()2()1
sin()
tan()
f ππαπαααπααπ---+=
----
⑴ 化简()f α； ⑵ 若31
cos()25
πα-=,求()f α的值．
16．(本题满分14分) 已知集合{}
2280A x x x =+-≤，133x
B x ⎧
⎫=≥⎨⎬⎩⎭
，
（1）求A B ； （2）求B A C R )(
17．(本题满分15分)下图是正弦型函数π
sin()(000)2
y A x A ωϕωϕ=+>><<，，的图象．
（1）确定它的解析式； （2）写出它的对称轴方程．
18．(本题满分15分)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3．2千米，试问它的横坐标a 不
超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
19．(本题满分16分) 设函数2
1
4sin cos )(2
--+=a x a x x f ． (1)当 0≤x ≤
2
π
时，用a 表示)(x f 的最大值)(a M ； （2）当()2M a =时，求a 的值，并对此a 值求)(x f 的最小值； （3）问a 取何值时，方程)(x f =(1)sin a x +在[)π2,0上有两解？
20．(本题满分16分)
已知函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()()f
f x x =，则称x 为
()f x 的“稳定点”。

记集合(){}()(){
},A x f x x B x f f x x ====
（1）已知A ≠∅，若()f x 是在R 上单调递增函数，是否有A B =？若是，请证明。

（2）记M 表示集合M 中元素的个数，问：
()i 若函数()2(0)f x ax bx c a =++≠，若0A =,则B 是否等于0？若是，请证明，
()ii 若1B =，试问：A 是否一定等于1？若是，请证明
参考答案
1.{}5,3,3-
2.10
3.0
4.4≥a
5.)0,2
(π
-（答案不唯一）
6.a b c <<
7.32-
8.)4,0[ 9.241 10.2
3
11.),3(+∞ 12.)10,0( 13.③ 14. 2
3
15. 解：(1)f(α)=
)]sin([)
tan(1)
2tan()cos(sin αππαπ
ααα+-+-+-- =αα
παααsin tan 1)2tan(cos sin --=
απ
απ
αααcos ]
)
2cos()2sin([cos sin ---
=αααsin cos sin --=－cos α (2) ∵cos(23πα-
)=－sin α=5
1, ∴sin α=－5
1
，
∵ α是第三象限角， ∴cos α=－α2sin 1-=－
562,∴f（α）=－cos α=5
6
2 16. 解：（1）{}
{}2280|42A x x x x x =+-≤=-≤≤
{}13|13x B x x x ⎧
⎫=≥=≥-⎨⎬⎩
⎭ {}[]|121,2A B x x ∴=-≤≤=-
（2）),1[)4,()(+∞---∞= B A C R
17. 解：（1）由已知条件可知：3A =，π2π2π105T ⎡⎤
⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
．
2π
2T
ω=
=∴，3sin(2)y x ϕ=+∴． 把点π010⎛⎫
⎪⎝⎭，
代入上式π2π10k ϕ⨯+=，ππ3k ϕ=-．
又π02ϕ<<
∵，∴令1k =，得4π5ϕ=． ∴所求解析式为43sin 2π5y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（2）由sin y x =的对称轴方程可知4π2ππ52x k +=+， 解得π3π
220
k x k =-∈Z ，．
18.
19. (1) 2
1
0 42
1()024423
1242
a a a
a M a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪
⎪-≥⎪⎩
(20<<a ) (*) (2) 将=)(a M 2代入(*)式， 得6-=a 或3
10
=
a ． 当6-=a 时， 11)3(sin )(2
++-=x x f []5)(min -=x f ；
当310=a 时， 922)35(sin )(2+--=x x f []3
1)(min -=x f ． (3) 62a -<<，3a =．
20.（1）证明：先证 任取A x ∈0，则00)(x x f = B A B
x x x f x f f ⊆∴∈∴==0000)())((
再证 任取000))((y y f f B
y =∈
若00)(y y f ≠，不妨设00)(y y f >
由单调递增可知：000)())((y y f y f f >> 与00))((y y f f = 矛盾
同理00)(y y f <也矛盾，所以00)(y y f = A B ⊆∴ 综上：B A =
（2）①若0>a 由于x x f =)(无实根 则对任意实数x ，x x f >)( 从而x x f x f f >>)())(( 故x x f =)(无实根
同理若0<a 对任意实数x ， x x f <)(，从而x x f x f f <<)())((
故x x f =)(也无实根
0||=∴B
②不妨设0x 是B 中唯一元素 则00))((x x f f =
令00)()(x t f t x f == 那么)())((0x f t f f = 而t x f =)(0
故
t t f f =))(( 说明t 也是))((x f f 的不动点
由于 ))((x f f 只有唯一的不动点 故t x =0 即t t f =)( 这说明t 也是)(x f 的不动点，从而存在性得证
以下证明唯一性：若)(x f 还有另外一个不动点m ，即t m m m f ≠=)(
则m m f m f f ==)())(( 这说明))((x f f 还有另外一个稳定点m
与题设矛盾。