高一数学必修2月考试卷
2023-2024学年湖北省学高一下册2月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年湖北省学高一下册2月月考数学试题一、单选题1．已知πcos()63x -=，则πcos cos(3x x +-等于（）A B ．±C ．－1D ．1【正确答案】D【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.【详解】π1πcos cos()cos cos sin cos 132263x x x x x x ⎛⎫+-=++-⨯= ⎪⎝⎭，故选：D2．已知a ，b ∈R ，则“0ab ≠”的一个必要条件是（）A ．0a b +≠B ．220a b +≠C ．330a b +≠D ．110a b+≠【正确答案】B【分析】利用3,3a b ==-否定ACD 选项，进而得答案.【详解】解：对于A 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，此时0a b +=，故0a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于B 选项，当0ab ≠时，220a b +≠成立，反之，不成立，故220a b +≠是0ab ≠的必要条件，故正确；对于C 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时330a b +=，故330a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于D 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时110a b +=，故故110a b+≠不是0ab ≠的必要条件，故错误.故选：B3．函数()()23log 45f x x x =-++的单调减区间是（）A ．(),2∞-B ．()2,∞+C ．()2,5D ．()1,2-【正确答案】C【分析】先求出函数定义域，再根据复合函数单调性的判断法则求解单调区间.【详解】由题：2450x x -++>，()()150x x +-<，解得：()1,5x ∈-，()()23log 45f x x x =-++的减区间，即245y x x =-++的减区间，对称轴为2x =结合二次函数单调性，所以()()23log 45f x x x =-++的减区间()2,5.故选：C此题考查求复合函数的单调区间，需要熟练掌握单调性的讨论方式，易错点在于漏掉考虑定义域，导致出错.4．在平行四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上靠近点C 的三等分点，点F 在BE 上，若13AF x AB AD =+，则x =（）A ．23B ．45C ．56D ．67【正确答案】C【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.【详解】由题可知()23AE AB AD =+，∵点F 在BE 上，∴()1AF AB AE λλ=+- ，∴2133AF λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2233AB AD λ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ．∴221333λ-=，12λ=．∴21153326x =+⨯=．故选：C ．5．设(0,)x π∈，则函数()f x =）A．⎡⎣B ．[]0,2C．⎡⎣D ．[)0,2【正确答案】A利用二倍角公式化简函数表达式，再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】由(0,)x π∈，则0,22x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()f x ==sin 2sin 2224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又,2444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 2242x π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以0sin 242x π⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以()0f x ≤<故选：A本题考查了三角恒等变换、求三角函数的值域，考查了基本运算求解能力，属于中档题.6．已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（）A ．16B ．8+C ．12D ．6+【正确答案】A【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241x y+=，乘“1”得24822(2)82816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x y y x =时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A7．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()2cos 43g x mf x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为9，则m 的值为（）A ．2B ．52C ．2和52D ．2±【正确答案】B由图可得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4sin 26g x m x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212sin 26x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令sin 2[0,1]6x t π⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，转化为求2241y t mt =-++的最大值问题.【详解】由已知，43124T πππ=-=，所以2T ππω==，2ω=，又()23f π=，||2ϕπ<，所以sin(2)13πϕ⨯+=，6πϕ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()2cos 43g x mf x x π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭4sin 26m x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212sin 26x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，sin 2[0,1]6x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，令sin 26x t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则[0,1]t ∈，故2241y t mt =-++，若0m ≤，易得max 1y =，不符合题意；若01m <<，易得2max 129y m =+=，解得2m =±（舍）；若m 1≥，易得max 419y m =-=，解得52m =.故选：B.本题考查已知正弦型函数的最大值求参数的问题，涉及到由图象确定解析式、二次函数最值等知识，是一道有一定难度的题.8．已知平面向量a 、b 、c满足2a b a c ==⋅= ，且12a c a λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则1122a b b c ++-的最小值为（）A 31B ．23C 35D ．5【正确答案】B【分析】不等式12a c a c λ+≥- ，两边平方得到关于实数λ的不等式，进而得到2c =，再利用模长公式将1122a b b c ++- 转化为1122a b c b ++- ，再利用不等式a b a b +≥+即可得解.【详解】由12a c a c λ+≥- ，两边平方得22222124a a c c a a c cλλ+⋅+⋅≥-⋅+ 又2a c ⋅=，且12a c a λ+≥- 对任意实数λ恒成立，即22214204c c λλ⋅++-≥ 恒成立，所以221164204c c ⎛⎫∆=-⋅-≤ ⎪⎝⎭ ，即()2240c -≤ ，所以24c =，即2c = .由2a b c ===，知1122a b a b +=+ ，1122b c c b -=-所以11112222a b b c a b c b a c ++-=++-≥+=当且仅当12a b + 与12c b -同向时取等号.故选：B关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，求得2c =，再利用a b a b +≥+ 求最值，考查了转化思想与运算能力.二、多选题9．若函数()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，则（）A ．()f x 为偶函数B ．()e 1f =C ．141e f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．当[1,2)x ∈时，()ln(2)f x x =--【正确答案】ACD【分析】根据题意可得()f x 关于2x =与()1,0对称，再根据对称性满足的等式化简，逐个选项判断即可【详解】对A ，因为函数()22f x +为偶函数，故()()2222f x f x +=-+，故()f x 关于2x =对称.又()1f x +为奇函数，关于原点对称，故()f x 关于()1,0对称.综上，()f x 关于2x =与()1,0对称.关于2x =对称有()()4f x f x =-，关于()1,0对称有()()42f x f x -=--，()()=2f x f x --，故()()22f x f x --=--，即()()=f x f x -，所以()f x 为偶函数，故A正确；对B ，由A ，因为()e 2,3∈，()()()()e 2e e 2ln e 2f f f =--=--=--，故B 错误；对C ，由A ，1114ln 1e e e f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对D ，当[1,2)x ∈时，(]20,1x -∈，故()()()2ln 2f x f x x =--=--，故D 正确；故选：ACD10．设a ，b是互相垂直的单位向量，2AB a b λ=+ ，()1AC a b λ=+- ，下列选项正确的是（）A ．若点C 在线段AB 上，则2λ=B ．若AB AC ⊥，则23λ=C ．当1λ=时，与AB+ D ．当1λ=-时，a 在AC 上的投影向量为1255a b-【正确答案】ABD【分析】对A ：根据向量共线分析运算；对B ：根据向量垂直运算求解；对C ：根据单位向量分析运算；对D ：根据投影向量分析运算.【详解】由题意可得：221,0a b a b ==⋅=r r r r，对A ：若点C 在线段AB 上，则[),1,AB k AC k =∈+∞uu u r uuu r，则()()211a b k a b ka k b λλλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦r r r r r r，可得()12k k λλ=⎧⎨-=⎩，解得2k λ==或1k λ==-（舍去），故A 正确；对B ：由AB AC ⊥，可得()()()()22221221320AB AC a b a b a a b b λλλλλλλ⎡⎤⋅=+⋅+-=+-+⋅+-=-=⎣⎦uu u r uuu r r r r r r r r r ，解得23λ=，故B 正确；对C ：当1λ=时，则2AB a b =+===uu u r r r与AB共线的单位向量是⎫=±⎪⎪⎝⎭，故C 错误；对D ：当1λ=-时，可得()22221,a AC a a b a a b AC ⋅=⋅-=-⋅====r uuu r r r r r r r uuu r 则a 在AC上的投影向量为()2112cos ,555AC a AC AC a AC a a AC a AC AC a bAC a ACAC AC⋅⋅<>====-uuu r r uuu ruuu r r uuu rr r uuu r r uuu r uuu r r ruuu r r uuu ruuu r uuu r ，故D 正确.故选：ABD ．11．某摩天轮共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1～33号（因忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘客在乘坐舱距离底面最近时进入，在min t 后距离地面的高度()()()()sin 0,0,0,2πf t A t B A ωϕωϕ=++>>∈，已知该摩天轮的旋转半径为60m ，最高点距地面135m ，旋转一周大约30min ，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15min 时，乙距离地面的高度为(75m +，则乙所乘坐的舱号为（）A ．6B ．7C ．15D ．16【正确答案】BD【分析】先由最小正周期求出15πω=，进而由最高点和最低点与地面的距离求出6075A B =⎧⎨=⎩，由甲乘坐摩天轮15min 时，距底面为最大高度，求出3π2ϕ=，得到解析式，令()075f t =+求出0454t =min 或754min ，求出每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔，分别求出0454t =min 和754min 时，甲乙相差的乘坐舱个数，得到答案.【详解】由题意得：30T =min ，故2π2ππ3015T ω===，摩天轮最低点距底面13560215-⨯=m ，故13515A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：6075A B =⎧⎨=⎩，故()π60sin 7515f t t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于30T =min ，故甲乘坐摩天轮15min 时，距地面为最大高度，即()π1560sin 157513515f ϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，故()sin π1ϕ+=，因为()0,2πϕ∈，所以()ππ,3πϕ+∈，故5ππ2ϕ+=，解得：3π2ϕ=，故()π3π60sin 75152f t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()00π3π60sin 7575152f t t ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭()00,30t ∈，解得：0π3πsin 1522t ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令0π3ππ2π1524t k +=+，Z k ∈，解得：075304t k =-+，Z k ∈，因为()00,30t ∈，所以()07530,403k +∈-，解得：1k =，此时0454t =令0π3π3π2π1524t k +=+，Z k ∈，解得：045304t k =-+，Z k ∈，因为()00,30t ∈，所以()04530,403k +∈-，解得：1k =，此时0754t =综上：0454t =min 或754min ，每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角为π16，故每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔为π1516minπ1615=，当0454t =min 时，乙比甲晚出发45151544-=min ，甲乙相差15441516=个乘坐舱，由于没有13号乘坐舱，故乙在16号乘坐舱，当0754t =min 时，乙比甲早出发75151544-=min ，甲乙相差15441516=个乘坐舱，故乙在7号乘坐舱.故选：BD12．对任意两个非零的平面向量α 和β，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量a b ､满足0,a b a≥> 与b 的夹角π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且a b 和b a都在集合Z,Z n m n m ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭∣中．给出以下命题，其中一定正确的是（）A ．若1m =时，则1a b b a ==B ．若2m =时，则12a b =C ．若3m =时，则a b的取值个数最多为7D ．若2014m =时，则a b的取值个数最多为220142【正确答案】AC【分析】由新定义可知22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b b a a a b bθθ⋅⋅====，再对每个命题进行判断，即可得出结论.【详解】对A ，若1m =时，'22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b n b a n a a b bθθ⋅⋅======，两式相乘得2'cos n n θ=⋅，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21cos 12θ∴≤≤，即'112n n ≤⋅≤，'1n n ∴==，即1a b b a ==，故A 正确；对B ，若2m =时，则2||cos 2||a b a n a b b bθ⋅=== ，同理||cos ||2b n b a a θ'==，相乘得到2cos 4nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21cos 12θ≤≤，即1124nn '≤≤，则()',n n 取值(2,1)时符合1124nn '≤≤，此时1a b = ，故B 错误；对C ，若3m =时，则2||cos 3||a b a n a b b bθ⋅===，同理||co |3s |b n b a a θ'==，相乘得2cos 9nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21cos 12θ∴≤≤，1129nn '∴≤≤，又0≥> a b ，得'n n ≥，3,2,3n n '∴==，4,2n n '==，5,6,7,8,9,1n n '==，a b ∴的取值个数最多为7个，故C 正确；对D ，若2014m =时，由上面推导方法可知22014112nn '≤≤，2220142n nn '≥∴≥，n ∴≥214252014n ∴≤≤，a b ∴ 的取值个数最多为2220141425202114-+≠，故D 错误.故选：AC.数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.三、填空题13．210341272(e 1)16lglg254+--+-=__________．【正确答案】5+5【分析】根据指数幂和对数公式计算即可.【详解】210341272(e 1)16lglg254+-+-()()21343411322lg 425⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭92222=++--5=故答案为.5+14．已知平面上不共线的向量,,a b c的夹角两两相等，且a b c == ，则,a b b c +-=__________．【正确答案】π6##30︒【分析】由题可得,,a b c两两的夹角为2π3，根据平面向量数量积的定义，运算律及向量夹角公式即得.【详解】因为平面上不共线的向量,,a b c的夹角两两相等，且a b c == ，,,a b c ∴两两的夹角为2π3，22πcos 32a a a b b ∴⋅=⨯=-，22a c c ab ⋅=⋅=- ，∴()()22222223222a b a c b b a a a a a b c b c a ⋅-⋅+-⋅=+⋅-=-+++=，()2222222222a a b a a ab a a b ⋅+=-⨯++=+=，即a b a +=r r r ，()22222222322b b a bc c ca a a -⋅+=+⨯+=-=，即b c -= ，所以()()23cos ,2a a b b c a b b c a b b c +⋅-+-=+- [],0,πa b b c +-∈ ，所以π,6a b b c +-=.故答案为.π615．函数()1,111,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨⎛⎫+≠⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．【正确答案】331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】要使关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只需使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝32、y ＝a 共有五个不同的交点，画出函数的大致图象，利用数形结合可得结果．【详解】由2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0，得[2f (x )－3][f (x )－a ]＝0，∴f (x )＝32或f (x )＝a ．画出函数y ＝f (x )的大致图象，如图，要使关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，即要使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝32、y ＝a 共有五个不同的交点，则a 的取值范围是331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．对任意实数11,2x y >>，不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值为________．【正确答案】不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，转化为2224211x y a y x ≤+--，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，两次利用基本不等式即可得出结果.【详解】不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，可得转化为2224211x y a y x ≤+--，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----≥8=≥=，当且仅当22x y ==时取等号，28a ∴≤，解得a -≤∴实数a 的最大值为.故易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方四、解答题17．已知R a ∈，解关于x 的不等式()2330ax a x +++>．【正确答案】答案见解析【分析】分类讨论求解含参数的一元二次不等式作答即可.【详解】当0a =时，不等式为330x +>，解得1x >-；当0a ≠时，不等式化为()310a x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，当a<0时，不等式为()310x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得31x a -<<-；当0a >时，不等式为()310x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，若3a =，不等式为()210x +>，解得1x ≠-；若0<<3a ，解得3x a <-或1x >-；3a >，解得1x <-或3x a>-.综上所述，当a<0时，原不等式的解集是31x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；当0a =时，原不等式的解集是{}|1x x >-；当03a <≤时，原不等式的解集是3|x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；当3a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或3x a ⎫>-⎬⎭．18．如图所示，在ABC 中，D 是边BC 的中点，E 在边AB 上，2,BE EA AD =与CE 交于点O．(1)若BO x AB y AC =+，求,x y 的值；(2)若6AB AC AO EC ⋅=⋅，求AB AC的值．【正确答案】(1)3,41,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）由,,E O C 三点共线，以及,,A O D 三点共线结合共线定理得出,x y 的值；（2）由11()23n AO m AB AC AB nAC -=+=+得出,m n ，进而得出2213622AO EC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+ ，结合6AB AC AO EC ⋅=⋅ 得出AB AC的值．【详解】（1）()()BO xAB y AC xAB y BC BA xBA yBA yBC x y BA yBC =+=+-=--+=--+因为12,23BD BC BE BA ==，所以3()2BO x y BE yBC =--+ ，因为,,E O C 三点共线，所以33122x y y --+=①又()2BO x y BA yBD =-++，所以()21x y y -++=②由①②可得，3,41,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）设1()2AO mAD m AB AC ==+，()AO AE EO AE nEC AE n AC AE =+=+=+-=1(1)3n n AE nAC AB nAC --+=+ 所以11,231,2n m m n -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,21,4m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以111(),243AO AD AB AC EC AC AE AB AC ==+=-=-+.22111366)4322AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=⨯+⋅-+=-+⋅+⎪⎝⎭又6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，所以2213022AB AC =-+ ，223ABAC= 即3ABAC= 19．已知,42ππα⎛∈⎫- ⎪⎝⎭，且满足26sin sin24αα=+(1)求sin2α的值；(2)若20,,tan tan 602πβββ⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭，求αβ+的值．【正确答案】(1)45(2)3π4【分析】（1）由平方关系以及商数关系得出tan 2α=，再由22tan sin22sin cos tan 1ααααα==+求解即可；（2）解方程得出tan 3β=，再由()tan 1αβ+=-以及π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得出αβ+的值．【详解】（1）当0α=时，sin sin20αα==，不满足26sin sin24αα=+，故0α≠.因为26sin sin24αα=+，所以22sin sin cos 2cos αααα=+.即222sin cos 2cos tan 21sin tan αααααα++==，即2tan tan 20αα--=解得tan 2α=或tan 1α=-（舍）故2222sin cos 2tan 4sin22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++（2）()()2tan tan 6tan 3tan 20ββββ--=-+=，解得tan 3β=或tan 2β=-（舍）.由（1）可知，πtan 2tan14α=>=，则,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，同理可得,42ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()tan tan 5tan 11tan tan 16αβαβαβ++===---因为函数tan y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，所以3π4αβ+=20．已知函数()2sin sin 2cos ,R 662x f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中)0ω>(1)求函数()f x 的最大值；(2)若对任意R a ∈，函数()(],,y f x x a a π=∈+与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，且关于x 的方程()12f x =在(]0,π上有两不等实数解()1212,x x x x <，求()12sin x x -的值．【正确答案】(1)1(2)4-【分析】（1）根据两和差的正弦公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数最值性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的性质，得出2ω=，再由对称性以及诱导公式得出()12sin x x -的值.【详解】（1）2ππ()sin()sin()2cos,R 662x f x x x x ωωω=++--∈3131cos cos (cos 1)2222x x x x x ωωωωω=++--+1πcos )12sin()126x x x ωωω=--=--，所以函数()f x 的最大值为1；（2）若对任意R a ∈，函数(),(,π]y f x x a a =∈+与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，则()y f x =的周期为π，又由0ω>，得2ππω=，得2ω=．1()2f x =，即4πsi 23n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭=- 函数(]πsin 2,60,y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭与34y =的图象如下图所示由对称性可得，122π3x x +=，1ππ20,63x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭因为14πsi 23n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭=- ，所以1πc os 26x ⎛⎫= ⎝⎭=-⎪()1211112ππππππsin sin(2)sin (2)sin (2)cos(2362266x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-=--=---=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21．已知函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ．(1)若函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点，求实数a 的取值范围；(2)若对任意实数3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立，求正实数a 的取值范围．【正确答案】(1)451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭U(2){12a a ≥-【分析】（1）将函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点转化成方程()()222320a x a x -+--=有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；（2）由复合函数单调性可知，函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 为[],41m m -上的减函数，将()()12ln2f x f x -≤恒成立转化成()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()2ln ln 233F x a a x a x ⎛⎫=+--+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有唯一零点，即()22330a a x a x+=-+->①有唯一零点，即()()222320a x a x -+--=有唯一零点，当2a =时，20x -=，解得2x =，符合题意；当2a ≠时，方程为一元二次方程，其()22Δ(23)82(25)a a a =-+-=-当52a =时，Δ0=，方程有两个相等的实数根2x =，符合题意；当52a ≠时，Δ0>，方程有两个不等的实数根12x =，212x a =-；若12x =为①的解，则()2223302a a a +=-⨯+->，解得1a >-；若212x a =-为①的解，则()212330122a a a a a +=-⨯+->--，解得43a >；要使①有唯一实数解，则413a -<≤．综上，实数a 的取值范围为451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭U ．（2）函数()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中内部函数2y a x =+在[],41x m m ∈-上为减函数，外部函数ln y x =为增函数，由复合函数性质知()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为[],41m m -上的减函数，()()max 2ln f x f m a m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()min 241ln 41f x f m a m ⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭，不等式()()12ln 2f x f x -≤转化为()()12max ln 2f x f x -≤，即转化为22ln ln ln 241a a m m ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即()222ln ln 224420224141a a m m am a m a a m m ⎛⎫++ ⎪≤⇒≤⇒-++≥ ⎪ ⎪++--⎝⎭令()()2442g m am a m =-++，3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()min 0g m ≥．二次函数对称轴为411882a m a a+==+，由0a >，开口向上（i ）当407a <≤时，11182a +≥，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()min 14420g m g a a ==-++≥，解得23a ≥，不符合题意，舍去；（ii ）当4475a <<时，3111482a <+<，函数()g m 在311,482a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,182a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递增，()min 11082g m g a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即224160a a -+≤，解得1212a -≤+即4125a -≤<；（iii ）当45a ≥时，113824a +≤，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 39344204164g m g a a ⎛⎫==⨯-+⨯+≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥，即45a ≥；综上可知，正实数a 的取值范围{12a a ≥-．关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立”进行等价转化，只需满足()()12max ln2f x f x -≤，再利用函数()f x 的单调性，即可将问题转化成不等式()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.22．已知定义域不为R 的函数()212xxk f x k -=+⋅（k 为常数）为奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()()2π(0),2sin cos20,2g x x x h x x x x λ⎛⎫⎡⎤=>=+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，是否存在实数λ，使得()()g h x f h x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)1k =-(2)存在；12λ<<【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，得到函数()h x 的值域，然后根据函数()f x 与()g x 的单调性进行讨论，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，()()0f x f x -+=，则2201212x xx xk k k k ----+=+⋅+⋅化简得()()()()221210x f x f x k +-=+-=，因为2120x +>，所以210k -=，即1k =±当1k =时，()12211212x x xf x -==-+++，其定义域为R ，不符合题意；当1k =-时，()12211212x x xf x --==---，其定义域为{}0x x ≠，满足题意所以，1k =-（2）因为()2(0)g x x x =>，所以()2sin cos20h x x x λ=+>在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则必有0x =时，()00h λ=>，当π2x =时，π202h λ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2λ<，所以02λ<<，()22112sin cos22sin 2sin 2sin 22h x x x x x x λλλλλλλ⎛⎫=+=-++=--++ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 0,1∈x ，当102λ<≤时，()2112sin 22h x x λλλλ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，即()[],2h x λλ∈-当122λ<<时，()2112sin 22h x x λλλλ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦单调递增，先增后减，在0x =或π2处取得最小值，且()0h λ=，π22h λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()max 12h x λλ=+，其中()12ϕλλλ=+为对勾函数，在122λ<<上单调递减，2λ<<上单调递增，又()139,22224ϕϕϕ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故()94ϕλ⎤∈⎦综上，()[]0,3h x ∈因为()2112xf x =--在()0,∞+递减，()2g x x =在()0,∞+递增，当[]0,3x ∈时，令()()()k x g x f x =-，则其单调递增，且()()10,20k k <>，则存在()01,2x ∈，使得()00k x =，又()()g h x f h x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，故()1h x >，所以()min 1h x >当102λ<≤时，()min 1h x λ=<，不符合要求；当122λ<<时，令()01π212h h λλ⎧=>⎪⎨⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎩所以12λ<<，综上，存在()1,2λ∈。
四川高一下学期第二次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知点在第三象限，则角的终边位置在（ ） ()tan ,cos P αααA ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限. P tan 0,cos 0αα<<α【详解】因为点在第三象限， ()tan ,cos P αα所以，tan 0,cos 0αα<<由，可得角的终边在第二、四象限，t an 0α<α由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上， cos 0α<αx 所以角终边位置在第二象限， α故选：B.2．平面向量与的夹角为，则=（ ） a b 60 ()2,1,1,a b == a b ⋅A B C ．1 D 【答案】A【分析】由平面数量积的定义求解即可.【详解】因为向量与的夹角为，， a b 60 ()2,11a b == ，=则1cos 6012a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯=故选：A.3．已知（ ） cos α=44cos sin αα-=A ．B ．C ．D ． 354512251225-【答案】A【分析】利用同角三角函数基本关系式先化简再求值.【详解】， cos α=442222cos sin (cos sin )(cos sin )αααααα∴-=+-. 22223cos sin 2cos 1215ααα=-=-=⨯-=故选：A.【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)选择合适的公式进行化简求值．4．已知向量满足则（ ） ,a b5,6,6,a b a b ==⋅=- a b += A ．3 B ．49C ．6D ．7【答案】D【分析】.【详解】. 7a +=== 故选：D5．已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）,,a b c ABC A ,,A B C 2cos 3a Cbc =+ABC A A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】D【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，2cos sin sin 03A C C +=2cos 3A =-得到，即可求解. ππ2A <<【详解】因为，由正弦定理得，2cos 3a Cbc =+2sin cos sin sin 3A C B C =+又因为，可得， πA C B +=-sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=所以，2cos sin sin 03A C C +=因为，可得，所以，(0,π)C ∈sin 0C >2cos 3A =-又因为，所以，所以为钝角三角形. (0,π)A ∈ππ2A <<ABC A 故选：D.6．在直角梯形中，，，，为的中点，则ABCD AB CD ∥AD AB ⊥4522B AB CD ︒∠===，M BCMA MD ⋅= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方C CF AB ⊥F CFB A AFCD 形，结合向量的线性运算可知，展开运算即可得出答案.1122MA MD CB BA CB CD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【详解】画出图形，过点作，垂足为，易知是等腰直角三角形，是正方C CF AB ⊥F CFB A AFCD形，BC=根据题意得21111122422MA MD CB BA CB CD CB CB CD CB BA BA CD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2111111cos1352cos13521cos0122 42222︒︒︒=-⨯+⨯-⨯+⨯⨯=--++=故选:B.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题.7．已知是所在平面内一点，且点满足O ABCA O则点一定的（）AB AC BA BC CA CBOA OB OCAB AC BA BC CA CB⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅-=⋅-=⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O ABCAA．外心B．重心C．内心D．垂心【答案】C【分析】表示与的角平分线垂直的向量，因为与垂直，所以AB ACAB AC-BAC∠OAAB ACAB AC-OA平行于的角平分线，即点位于的角平分线上，同理可得，点位于的角平BAC∠O BAC∠O ABC∠分线上以及的角平分线上，即点是的角平分线的交点，因此点是的内心.ACB∠O ABCA O ABCA【详解】因为，所以，AB ACOAAB AC⎛⎫⎪⋅-=⎪⎝⎭AB ACOA OAAB AC⋅=⋅即，cos()cos()AB ACOA OAB OA OACAB ACππ⋅-∠=⋅-∠即可得，即是的角平分线；OAB OAC∠=∠OA BAC∠同理可得是的角平分线，是的角平分线,OB ABC∠OC ACB∠所以点为三条角平分线的交点，即点是的内心.O ABCA O ABCA故选：C8．已知函数（其中）在区间上单调，且()()2sin f x x ωϕ=+π0,2ωϕ><ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当时，取得最大值，则不等式的解集为（ ）ππ2π263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π12x =()f x ()1f x >A ． B ．πππ,π(Z)124k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭πππ,π(Z)124k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．D ．πππ,π(Z)122k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭πππ,π(Z)122k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】先根据三角函数的性质确定函数解析式，然后解正弦不等式即可.【详解】因为函数在区间上单调，且， ()()2sin f x x ωϕ=+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以和均不是的极值点，其极值应该在处取得， π2x =2π3x =()f x π2π7π23212x +==又，所以也不是的极值点，ππ(()62f f =-π6x =()f x 又时，取得最大值，所以为另一个相邻的极值点， π12x =()f x π12x =()f x 故函数的最小正周期，所以， ()f x 7ππ2(π1212T =⨯-=2π2T ω==又时，取得最大值，所以，即， π12x =()f x ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈π2π,Z 3k k ϕ=+∈因为，所以，，可得，ππ22ϕ-<<0k =π3ϕ=()π2sin(23f x x =+由，得，()1f x >π1sin(232x +>所以，解得， ππ5π2π22π,Z 636k x k k +<+<+∈()ππππZ 124k x k k -+<<+∈所以不等式的解集为.()1f x >πππ,π(Z)124k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭故选：A二、多选题9．在下列各组向量中，能作为平面的基底的是（ ）A ．B ． ()()120,0,1,2e e →→==()()121,2,5,2e e →→=-=-C ． D ．()()123,5,6,10e e →→==()()122,3,2,3e e →→=-=【答案】BD【分析】判断两个向量是否共线即可，不共线的两个向量才能作为基底.【详解】对于A ，因为，所以，故两向量不能作为基底； 02100⨯-⨯=12//e e →→对于B ，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底； ()125280-⨯--⨯=-≠对于C ，因为，所以，故两向量不能作为基底；310650⨯-⨯=12//e e →→对于D ，因为，所以两向量不共线，故两向量能作为基底. ()2323120⨯-⨯-=≠故选：BD.10．将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的()sin 22f x x x =+()0ϕϕ>ϕ值可以为（ ） A ．B ．C ．D ．π12π67π125π6【答案】AC【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出()f x 关于的等式，即可求得值.ϕϕ【详解】因为，()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，()f x ()0ϕϕ>得到函数的图象，()ππ2sin 22sin 2233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为函数为偶函数，则，π2sin 223y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()ππ2πZ 32k k ϕ+=+∈解得， ()ππZ 122k k ϕ=+∈，则当时，，时，.0ϕ> 0k =π12ϕ=1k =7π12ϕ=故选：AC.11．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） ABC A A B C ､､a b c ､､A ．若,则A B >sin sin A B >B ．若，则为直角三角形 222c a b >+ABC A C ．若,则为直角三角形 222sin sin sin A B C +=ABC AD ．若，则满足条件的有两个 60,3,C c b === ABC A 【答案】AC【分析】根据正弦定理、余弦定理知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A 选项，若，则，由正弦定理可得，A B >a b >2sin 2sin R A R B >所以，，故A 选项正确；sin sin A B >对于B 选项，由可得：，则，222c a b >+2220a b c +-<222cos 02a b c C ab+-=<得到为钝角，故B 选项不正确；C ∠对于C 选项，若，由正弦定理可得， 222sin sin sin A B C +=222+=a b c 所以为直角三角形，故C 选项正确；.ABC A 对于D 选项，由正弦定理可得sin sin c b C B==故，由可得或，1sin 2B =()0,πB ∈π6B =5π6B =因为，则，故，故D 选项不正确. c b >C B >π6B =故选：AC. 12．已知函数，则（ ）sin cos ()2sin 2x xf x x+=+A ．既是周期函数又是奇函数 ()f x B ．的图像关于点对称()y f x =π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．的图像关于直线对称 ()y f x =π4x =D ．的最大值为 ()f x 12【答案】BCD【分析】对于A ，找反例即可判断；对于B ，验证即可；对于ππ(()44f f -≠-π()2f x f x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭C ，验证即可；对于D ，令，则原函数可化为，分π()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos t x x =+21t y t =+结合基本不等式即可判断. 0,0t t =≠【详解】因为函数，sin cos sin cos ()2sin 222sin cos x x x xf x x x x++==++对于A ，，ππsin()cos()π44()0ππ422sin()cos()44f -+--===+--，则，ππsincos π44(ππ422sin cos 44f +===+ππ()(44f f -≠-所以不是奇函数， A 错误．()f x对于B ，因，ππsin cos πsin cos 22()ππ222sin cos 22sin cos 22x x x x f x f x x xx x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎛⎫⎝⎭⎝⎭--===- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的图像关于点对称，B 正确．()y f x =π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，因为，ππsin cos πsin cos 22()ππ222sin cos 22sin cos 22x x x x f x f x x xx x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的图像关于直线对称．C 正确．()y f x =π4x =对于D ，令，则，πsin cos [4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭212sin cos t x x =+当时，；当或时，， 0=t 0y =[t ∈(211112t y t t t ==≤=++当且仅当时，等号成立，此时函数取得最大值，D 正确． 1t =12故选：BCD三、填空题13．若非零向量与的夹角为，且，设为与同向的单位向量，则在方向上的投影a b 60 1a = e b a b 向量为__________. 【答案】12e【分析】根据投影向量及求出答案. b e b=【详解】，又为与同向的单位向量，故， 1cos 602a b a b ⋅=︒= e b b e b= 所以. ()212a b b a b b e b b b⋅⋅=⋅=故答案为：12e14．已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________cm ． 210cm 【答案】【分析】设扇形的弧长为，半径为，由已知可得出，求解即可得出答案.l R 2210l RR =⎧⎨=⎩【详解】设扇形的弧长为，半径为， l R 由已知可得，圆心角，面积，2α=10S =所以有，即，解得212l R S R αα=⎧⎪⎨=⎪⎩2210l R R =⎧⎨=⎩R l ⎧=⎪⎨=⎪⎩故答案为：.15．已知是平面内两个夹角为的单位向量，若，且与的夹角为21,e e 120︒12122,a e e b e ke =-=+a b 锐角，则实数的取值范围是_______. k 【答案】()4,22,5⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ 【分析】根据向量夹角为锐角得到，再排除的情况，计算得到答案.()011222a b k k ⋅=--->//a b r r 【详解】因为与的夹角为锐角， a b所以， cos ,0a b a b a b ⋅=⋅> 又因为，12111cos1202e e ⋅=⨯⨯︒=- 则，()()()()2122121221222201212a b e e e ke e k e e e k k k +⋅=-⋅+=---⋅-=->解得， 45k <当时，，即，，解得. //a b r r a b λ= ()1212122e e e ke e k e λλλ+==-+ =12k λλ⎧⎨-=⎩=12k λ⎧⎨=-⎩综上所述：且 45k <2k ≠-故答案为：()4,22,5⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ 16．如图，在中，，，直线交于点，若则ABC A 12BM BC = NC AC λ=AM BN Q 57BQ BN = λ=_________ .【答案】/0.635【分析】由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可,,A M Q μ()1BQ BM BA μμ+-=u u u r u u u r u u r ,,A N C解得，利用向量的线性运算化简可得，即.47μ=35N A C C =u u u r u u u r 35λ=【详解】由题可知，三点共线，由共线定理可知，,,A M Q 存在实数使得,μ()1BQ BM BA μμ+-=u u u r u u u r u u r 又，所以，,5712B B M BC Q BN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ()57112BC BN BA μμ=+-u u ur u u u r u u r 又三点共线，所以，解得，,,A N C 57112μμ=+-47μ=即可得，所以，2355B BC N BA =+u u u r u u u r u u r ()()2355B BA A AN A BA C +=++u u r u u u r u ur u u u r u u r 所以，即，可得，25AN AC =25NC AC AC -=u u u r u u u r u u u r 35N A C C =u u u r u u u r 又，即可得.NC AC λ= 35λ=故答案为：.35四、解答题17．已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点．x α34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求；sin 2cos 2cos sin αααα-+(2)求的值．2sin sin 2αα+【答案】(1)15-(2) 85【分析】（1）分子分母同除，即可变成的分式，代入求值即可；cos αtan α（2）利用二倍角公式变形，1的代换变成分式，分子分母同除，即可变成的分式，代入cos αtan α求值即可.【详解】（1）因为角终边经过点，所以， α34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭4tan 3α=所以；sin -2cos tan 212cos sin 2tan 5αααααα-==-++（2）.2222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin2sin 2sin cos sin cos tan 15ααααααααααααα+++=+===++18．已知向量，，，（）(3,1)a =-(1,2)b =- m a kb =+ R k ∈(1)若向量与垂直，求实数的值m ak(2)当为何值时，向量与平行.k ma b + 【答案】(1)2 (2)1【分析】根据向量垂直的坐标公式可得； 根据向量平行的坐标公式可得.【详解】（1）由已知可得，(3,12)m k k =-+-因为向量与垂直，所以，m a3(3)1(12)0k k -⨯-++⨯-=解得；2k =（2），因为与平行，(2,1)a b +=--m a b + 所以，解得，2(12)1(3)k k -⨯-=-⨯-+1k =所以当时，向量与平行 1k =ma b + 19．已知，，.π0π2αβ<<<<1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()4sin 5αβ+=(1)求的值；sin 2β(2)求的值.cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)79-【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式计算； （2）利用两角和与差的余弦公式计算，注意角的范围.【详解】（1）.27sin 2cos 22cos 1449ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为，所以，π0π2αβ<<<<322ππαβ<+<又因为，所以，()4sin 05αβ+=>2παβπ<+<所以；()3cos 5αβ+==-因为，所以，2πβπ<<3444πππβ<-<所以sin 4πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭所以 ()cos cos 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()cos cos sin sin 44ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314535=-⨯+20．已知向量，函数. ()1sin ,1,,cos22m x n x x ⎫==⎪⎭()f x m n =⋅ (1)求函数的最大值及相应自变量的取值集合；()f x (2)在中，角的对边分别为，若，求面积的最大值. ABC A ,,A B C ,,a b c ()1,22f A a ==ABC A 【答案】(1)，此时自变量的取值集合为 ()max 1f x =ππ,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到解析式，再由辅助角公式化简，()f x 由正弦型函数的最值即可得到结果；（2）根据题意，结合（1）中解析式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果. ()f x π3A =【详解】（1）由题知，， ()1cos cos 22f x m n x x x =⋅=+ 1πcos 2sin 226x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭当，即时，最大，且最大值为，即∴ππ22π,62x k k +=+∈Z ππ,6x k k =+∈Z ()f x ()f x 1()max 1f x =，此时自变量的取值集合为. ππ,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z （2）由（1）知，，则， ()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π1sin 262f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭因为在中， ，所以， ABC A 0πA <<ππ132π666A <+<所以，所以， π5π266A +=π3A =又由余弦定理及，得：，2a =π3A =2222cos a b c bc A =+-即， 22222cos 3πb c bc =+-所以，即（当且仅当时等号成立）.22424b c bc bc +-=≥-4bc ≤b c =所以. 11sin 22ABC S bc A bc ==≤A 21．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A 乘缆车到B ，再从B 匀速步行到50m /min 2min C ．假设缆车匀速直线运行的速度为，山路AC 长为3150m ，经测量，130m /min . 123cos ,cos 135A C ==(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】(1)2600m (2)35min 37【分析】1）在△ABC 中，由cosA 和cosC 可得sinA 和sinC ，从而得sinB ，由正弦定理，可得AB ； sin sin AB AC C B =（2）假设乙出发分钟后，通过余弦定理算出此时甲乙之间的距离，结合二次函数即可得最值.x 【详解】（1）法一：由题意得： 54sin ,sin 135A C ==所以 ()5312463sin sin sin cos cos sin 13513565B AC A c A C =+=+=⨯+⨯=由正弦定理得: 3150,463sin sin 565AB AC AB C B==即所以. 2600m AB =法二：， 12cos 13A =3cos 5C =∴， 5tan 12A =4tan 3C =如图作于点D,BD CA ⊥设，则，，20BD k =15DC k =48AD k =52AB k =由，解得：633150m AC k ==50k =则522600m AB k ==（2）设乙出发 （）后到达点M ，此时甲到达N 点， min x 020x ≤≤如图所示，则，130AM xm =()502AN x m =+由余弦定理得：22222cos 74001400010000MN AM AN AM AN A x x =+-⋅=-+所以当时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. 35min 37x =22．已知O 为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特()sin cos f x a x b x =+(,)OM a b = ()f x 征向量，同时称函数为向量的相伴函数. ()f x OM(1)设函数，试求的相伴特征向量； ()73sin πsin π62g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x OM (2)若向量的相伴函数为，且在区间上单调递增，求实数的取值范ON =u u u r ()f x ()f x [,]m m -m 围；(3)已知，，为的相伴特征向量，，(2,3)A -(2,6)B (OT =u u u r π()sin 6h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π()23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭请问在的图象上是否存在一点P ，使得.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明()y x ϕ=AP BP ⊥ 理由.【答案】(1)12OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(2) π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦(3)存在，(0,2)P【分析】（1）化简得到，得到相伴特征向量. ()1cos 2g x x x =+（2）确定，计算函数的单调区间，得到，解得答案. π()2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]5ππ,,66m m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦（3）确定得到，再计算，，根据向量垂直关2m =-n π()2si 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2cos 2x x ϕ=,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭系，结合三角函数有界性得到答案.【详解】（1）， ()11sin cos cos cos cos 62π2g x x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+=+ ⎪⎝⎭的相伴特征向量为()gx 12OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭（2）向量的相伴函数为，故，ON =u u u r ()fx ()sin 2i πs n 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭取，得， πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈5ππ2π2π,Z 66k x k k -+≤≤+∈所以的单调递增区间为， ()f x 5ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦故，且，即，且，解得 []5ππ,,66m m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦m m >-5π6π6m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩0m >0π6m <≤所以实数的取值范围为. m 06π⎛⎤ ⎥⎝⎦，（3），相伴特征向量为， 1()sin sin cos 62πh x m x x m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭(OT =u u u r 故，则， 2m =-n π()2si 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ()2sin 2sin 2cos 232362π2ππ2πx x x x x h ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设，， ,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,3),(2,6)A B -故，， 2,2cos 32A x P x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2,2cos 62B x P x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故， AP BP ⊥ (2)(2)2cos 32cos 6022AP B x P x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即，， 2244cos 18cos 18022x x x -+-+=229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，， 22cos 22x -≤≤13952cos 2222x -≤-≤-故，又， 225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭2252544x -≤当且仅当时，和同时等于，等式成立， 0x =2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2254x -254故在图像上存在点，使得. ()y h x =(0,2)P AP BP ⊥。
人教A版高中必修二试题高一月考试卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学月考试卷满分：150分 时量：120分钟 姓名：__________命题人：易 艳一、选择题（每小题5分，共60分）1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则)(B C A U ⋂=（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3 D ．{}1,32、 已知函数xx x f 1+=)(，则函数()y f x =的大致图像为（ ）3、函数f （x ）＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间（ ） A ．（5，6） B ．（3，4） C ．（2，3） D ．（1，2）4、若6.03=a ，2.0log 3=b ，36.0=c ，则（ ）．A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >> 5、用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形6、下列函数中，与函数y x =相同的函数是 （ ）A ．xx y 2= B ．2y x =C ．ln x y e =D ．xy 22log =7、点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（ ） A ． 14π B ．7π C ．72πD ．7143π 8、函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[1,5]的值域是( )A ．[-2,6]B ．(－∞,-3 ]C ．[－3，＋∞)D ．[－3,6]9、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．πB ．π2C ．π3D ．π410、已知m ，n 是两条不重合的直线，γβα、、是三个两两不重合的平面，下列结论正确的是（ ）（1）若m//n ，n//β，且βααα//,，则⊂⊂n m （2）若,//,n m n =βα 则βα//,//m m （3）若βαγβγα//,//,//则（4）若n n //m ,,m ,//则且==βγαγβαA ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）11、异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．[30°，90°]B ．[60°，90°]C ．[30°，60°]D ．[30°，120°]12、对于函数()f x ，若在其定义域内存在两个实数(),a b a b <，当[],x a b ∈时，()f x 的值域也是[],a b ，则称函数()f x 为“科比函数”．若函数2)(++=x k x f 是“科比函数”，则实数k 的取值范围（ ）A ．]2,49(-- B ．]0,49(- C ．]0,2[- D ．),2[+∞-二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知函数2()21x f x a =-+是奇函数，则实数a 的值为______________． 14、方程0=27+•12-39xx的解集是 .15、一平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于 ．16、给出下列四个命题：①函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数log x a y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同； ②函数3y x =与3x y =的值域相同；③函数11221x y =+-与2(12)2x xy x +=⋅都是奇函数； ④函数2(1)y x =-与12x y -=在区间[0,)+∞上都是增函数，其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题（共70分）17、（满分10分）已知集合}51|{≥-≤=x x x A 或，集合{}22|+≤≤=a x a x B ． （1）若1-=a ，求B A 和B A ；（2）若B B A = ，求实数a 的取值范围．18、（满分10分）已知()f x 是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足条件以下条件：()()()f xy f x f y =+,(2)1f =.（1）求证：(8)3f =.(2)求不等式()3(2)f x f x >+-的解集.19、（满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(2)21()1(2)(2x x x x x x x f 。
河北省邢台市信都区邢台市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题(含答案)
邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考高一年级数学试题考试范围：必修一第一章、第二章、第三章说明：1．本试卷共4页，满分150分．2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．对于实数，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的定义域为，则）A ．B ．C ．D ．5．若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数的部分图象如图所示，则（ ）2,220x x x ∃∈++≤R 2,220x x x ∀∈++>R 2,220x x x ∀∈++≤R 2,220x x x ∃∈++>R 2,220x x x ∃∈++≥R {}{}*30,,40,A x x x B x x x =-≤∈=-≤∈N N A C B ⊆⊆C x 202xx+≥-2x ≤()y f x =[]1,4-y =31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(]1,935,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x ∃∈R 23208kx kx ++≤k 03k ≤<03k <<30k -<≤30k -<<()22f x ax bx c=++()1f =A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ）A．B ．1C ．2D ．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（ ）A ．函数在上是单调减函数B ．函数与函数C ．已知函数，则D ．函数的单调增区间为10．二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： (012)……22…23-112-16-13-()221f x x x =-+[)2,x ∃∈+∞[]1,1a ∀∈-()22f x m am <-+m ()3,1-1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,3-{}max ,,x y z ,,x y z ,x y 2221max ,,4x y x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭12()11f x x =-()(),11,-∞+∞ ()f t t =()g x =2211f x x x x⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()13f =y =[)1,+∞2(,,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x1-ymn且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ）A ．B ．C ．函数的对称轴为直线D ．关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间11．若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（ ）A ．“影子函数”可以是奇函数B ．“影子函数”的值域可以是R C ．函数是“影子函数”D ．若都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．当时，的最大值为______．13．已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是______；若，则______14．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）32x =0y <0abc >1009mn >12x =x 20ax bx c ++=12-()y f x =D 1x 2x D ∈()()121f x f x ⋅=()f x ()f x ()f x ()2(0)f x x x =>()(),y f x y g x ==()()y f x g x =⋅54x <14345y x x =-+-()f x x α=()4,2()()132f a f a +>-a 120x x <<()()122f x f x +122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭()(),f x g x R ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()1225g x g x x ->--a设集合（1）是否存在实数，使是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）若，求实数的取值范围．16．（15分）已知函数，对于任意，有．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上的最小值为，求的值；（3）若成立，求的取值范围．17．（15分）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）．（1）求函数的解析式；（2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？18．（17分）已知函数．（1）用单调性的定义证明函数在上为增函数；（2）是否存在实数，使得当的定义域为时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由．19．（17分）定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点．已知函数．（1）当时，求函数的不动点；{}{}{}2212,40,A x a x a B x x x C y y x B=-≤≤+=-≤==∈a x B ∈x A ∈a A C C = a ()25f x ax bx =+-x ∈R ()()()22,27f x f x f -=+-=()f x ()f x [],3t t +8-t ()()()22,,(1)10x x m f x ∃∈+∞-≥+m ()x ϕx ()232,031645,36x x x x x ϕ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩10x ()f x ()f x ()221x f x x-=()f x ()0,+∞λ()f x 11,(0,0)m n m n ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦()f x []2,2m n λλ--λD ()f x 0x D ∃∈()00f x x =0x ()f x ()()218,0f x ax b x b a =+-+-≠1,0a b ==()f x（2）若函数有两个不相等的不动点，求的取值范围；（3）设，若有两个不动点为，且，求实数的最小值．邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考答案1．A 2．B ． 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 9．BC 10．BCD 11．AC12．答案：0 13． 14．15．解：（1）假定存在实数，使足的充分不必要条件，则，则或，解得或，因此，所以存在实数，使是的充分不必要条件，．（2）当时，，则，由，得，当，即时，，满足，符合题意，则；当，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是．16．解：（1）因为关于对称，即，又，则可解得，所以；（2）当，即时，，解得或（舍去）；()221y x a x =-++12x x 、1221x x x x +()1,3a ∈()f x 12,x x ()121ax f x a =-b 23,32⎛⎤⎝⎦<5,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭a x B ∈x A ∈B A Ü20124a a -≤⎧⎨+>⎩20124a a -<⎧⎨+≥⎩2a ≥2a >2a ≥a x B ∈x A ∈2a ≥04x ≤≤15≤≤{}15C x x =≤≤A C C = A C ⊆212a a ->+13a <A =∅A C ⊆13a <212a a -≤+A C ⊆12125a a ≤-≤+≤113a ≤≤1a ≤a 1a ≤()()()22,f x f x f x -=+2x =22ba-=()24257f a b -=--=1,4a b ==-()245f x x x =--32t +≤1t ≤-()()2min ()3(3)4358f x f t t t =+=+-+-=-2t =-0t =当，即时．，不符合题意；当时，，解得（舍去）或，综上，或．（3）由可得，因，依题意，，使成立．而，不妨设，因，则，设，因，则，当且仅当时等号成立，即当时，，故的最大值为2，依题意，，即的取值范围为．17．解：（1）当．时，，当时，，故；（2）当时，开口向上，其对称轴为，所以其最大值为，当当且仅当，即时，等结成立，综上，施肥量为3kg 时，单株年利润最大为380元．18．【详解】（1），设，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上为增函数．23t t <<+12t -<<()man ()29f x f ==-2t ≥()2min ()458f x f t t t ==--=-1t =3t =2t =-3t =()()2(1)10x m f x -≥+()22(1)45x m x x -≥-+2245(2)10x x x -+=-+>()2,x ∃∈+∞22(1)45x m x x -≤-+22222(1)21241454545x x x x x x x x x x --+-==+-+-+-+2t x =-2x >220,451t x x t >-+=+()2221111t g t t t t=+=+++0t >12t t +≥1t =3x =max ()2g t =22(1)45x x x --+2m ≤m (],2-∞03x ≤≤()()223210101010320f x x x x x =+⨯-=-+36x <≤()1616045101045010f x x x x x ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭()21010320,0316045010,36x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪⎩03x ≤≤()21010320f x x x =-+12x =()23103103320380f =⨯-⨯+=36x <≤16010x x=4x =()222111x f x x x -==-()12,0,x x ∀∈+∞12x x <()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+⎛⎫--=--=== ⎪⎝⎭120x x <<(221212120,0,0x x x x x x -+>()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x ()0,+∞（2）由（1）可知，在上单调递增，呂存在使得的值域为，则，即，因为，所以存在两个不相等的正根，所以，解得，所以存在使得的定义域为时，值域为．19．【解析】（1）当时，，令，即，解得或，所以的不动点为或4．（2）依题意，有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，所以，解得，或，且，所以，因为函数对称轴为，当时，随的增大而减小，若，则；当吋，随的增大而增大，若，则；故，所以的取值范围为．（3）令，即，则，当时，由韦达定理得，由题意得，故，于是得，则，令，则，所以，()f x 11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦λ()f x []2,2m n λλ--22112112f m mm f n n n λλ⎧⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩221010m m n n λλ⎧-+=⎨-+=⎩0,0m n >>210x x λ-+=21212Δ40100x x x x λλ⎧=->⎪=>⎨⎪+=>⎩2λ>()2,λ∈+∞()f x 11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,2m n λλ--1,0a b ==()28f x x x =--()f x x =28x x x --=2x =-4x =()f x 2-()221x a x x -++=12x x 、()2310x a x -++=12x x 、22Δ(3)4650a a a =+-=++>5a <-1a >-12123,1x x a x x +=+=()22221212121221122(3)2x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-2(3)2y x =+-3x =-3x <-y x 5x <-2y >3x >-y x 1x >-2y >()2(3)22,a +-∈+∞1221x x x x +()2,+∞()f x x =()218ax b x b x +-+-=()2280,0ax b x b a +-+-=≠()1,3a ∈128b x x a -=()22f x x =()12121ax x x f x a ==-81b a a a -=-281a b a =+-1t a =-02,1t a t <<=+2(1)18101012t b t t t +=+=++≥+=当且仅当，即时取等号，所以实数的最小值为12．1t t=1,2t a ==b。
高一数学(必修2)第一次月考试卷
厦门华兴（实验）学校2013～2014学年（下）第一次月考高一数学科满分：100分；考试时间：90分钟出卷：_朱晓华_老师审题：童敦应_老师姓名____________ 班级__________ 考号__________友情提示：请把所有的答案填在答题卷上！请不要错位答题！一、选择题（5*10=50分）１．下列命题中正确的是（）Ａ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱Ｂ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱Ｃ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥Ｄ．棱台各侧棱的延长线交于一点2、下列几何体是棱柱的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3．下列说法错误的是（）Ａ．多面体至少有四个面Ｂ．九棱柱有９条侧棱，９个侧面，侧面为平行四边形Ｃ．长方体、正方体都是棱柱Ｄ．三棱柱的侧面为三角形4、下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确的有（）个．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４5、下列命题中正确的是（）Ａ．以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥Ｂ．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台Ｃ．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面Ｄ．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径6．下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（）Ａ．圆柱Ｂ．圆锥Ｃ．球Ｄ．圆台7、如下图,右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的()8、利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；八年数学试卷第1 页(共 4 页) 八年数学试卷第 2 页(共 4 页)③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的是（）A、①②B、①C、③④D、①②③④9、下列命题正确的是（）A. 经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面10、下列命题正确的个数是( )(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一直线平行(3如果)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线l和平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(1*25=25分)11、不共面的四点可以确定______个平面，共点的三条直线可以确定_______个或_______个平面。
高中数学必修二立体几何测试
西安市第一中学高一年级第二次月考数学试题（立体几何初步）班级 姓名 考号一、选择题（共12个小题，每小题4分，共计48分）1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ） A 、ABα B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对 2．下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3. 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4. 正方体////D C B A ABCD -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、AD C A //⊥ B 、AB C D //⊥C 、/AC 与DC 成45°角D 、//C A 与C B /成60°角5. 若直线l ∥平面α，直线a α，则直线l 与直线a 的位置关系是（ ） A 、直线l ∥直线a B 、直线l 与直线a 异面 C 、直线l 与直线a 相交 D 、直线l 与直线a 没有公共点6. 下列命题中，①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个直线平行;④垂直于同一平面的两个平面平行。
其中正确的个数有（ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、47. 在空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 、GH 能相交于P ，那么（ ）A 、点P 不在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外7题图 9题图8. 已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（ ） A 、22 B 、332 C 、324 D 、334 9. 正方体////D C B A ABCD -中，E 、F 、G 、H 分别为/AA 、AB 、/BB 、//C B 的中点，则异面 直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A 、45°B 、60°C 、90°D 、120°10. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：① 若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ； ②若b M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b.其中正确命题的个数有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 11. 已知m 、n 为直线，α、β为平面，有以下命题：①n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥α⊥∥α； ②n n m ⇒⎩⎨⎧β⊥β⊥∥m ；③α⇒⎩⎨⎧β⊥α⊥m m ∥β； ④⇒⎪⎩⎪⎨⎧βαβ⊆α⊆平行n m m ∥n ； 其中正确命题的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12. 如图直三棱柱111C B A ABC -的体积为V ，点P 、Q 分 别在侧棱1AA 和1CC 上，并且Q C AP 1=， 则四棱锥B-APQC 的体积为（ ） A 、2V B 、3VC 、4V D 、5V 二、填空题（4个小题，每小题4分，共计16分）13. 正方体////D C B A ABCD -中，平面//D AB 和平面D BC /的位置关系为14.正方体的内切球和外接球的半径之比为15.一几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为2的正方形，主视图和左视图是直角边长为2的等腰直角三角形， 则此几何体的体积为16.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有111D B C A ⊥.(注：填上你认为正确的的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。
安徽高一下学期2月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}23A x x =-≤≤{}0B x x =>A B ⋃=A ． B ． C ． D ．[]2,3-[]0,3()0,∞+[)2,-+∞【答案】D【分析】利用并集的定义可求得集合.A B ⋃【详解】因为集合，，因此，. {}23A x x =-≤≤{}0B x x =>[)2,A B ⋃=-+∞故选：D. 2．（ ） 4πsin 3=A ．B ．C D ．1212-【答案】D【分析】利用诱导公式直接求解. 【详解】由诱导公式：4πππsinsin πsin 333⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭故选：D3．下列函数中，值域是的是（ ） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．2y x =1y x=2x y =-lg(1)(0)y x x =+>【答案】D【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：的值域为； 2y x =[)0,∞+对于B ：的值域为； 1y x=(,0)(0,)-∞+∞ 对于C ：的值域为；2x y =-(),0∞-对于D ：，，，0x >11x ∴+>()lg 10x ∴+>的值域为； ()lg 1y x ∴=+()0,∞+故选：D4．若的解集是，则等于（ ）()210x a x b -++<()5,2-a b +A ．-14 B ．-6 C ．6 D ．14【答案】A【分析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数a 、b ，即可得.a b +【详解】∵的解集为，()210x a x b -++<()5,2-∴-5和2为方程的两根，()210x a x b -++=∴有，解得，52152a b -+=+⎧⎨-⨯=⎩410a b =-⎧⎨=-⎩∴. 14a b +=-故选：A.5．函数的最小正周期是（ ） 3sin24cos25=++y x x A ． B ．C ．D ．2πππ2π5【答案】B【分析】利用辅助角公式可得，，后由周期计算公式可得答案. ()525si n y x φ=++4tan 3ϕ=【详解】，则函数的最小正周期为. ()43sin24cos255sin 25tan 3y x x x ϕϕ=++=++=，2ππ2=故选：B6．已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.30.3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<a c b <<c<a<b b<c<a 【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“中间数”比较大小即可. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.3000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B7．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物31.2mg /cm 的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该20%30.2mg /cm 工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，(lg 20.3≈lg 30.477)≈（ ） A ． B ．C ．D ．891011【答案】A【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为，在根据题意列出不等式解1.2(10.2)n y =-出即可．【详解】过滤第一次污染物的含量减少，则为； 20% 1.2(10.2)-过滤第两次污染物的含量减少，则为； 20%21.2(10.2)-过滤第三次污染物的含量减少，则为；20%31.2(10.2)-过滤第n 次污染物的含量减少，则为；20% 1.2(10.2)-n 要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，30.2mg /cm 1.2(10.2)0.2-≤n 5(64≥n两边取以10为底的对数可得，5lg(lg 64≥n即， 52lg()lg 2lg 38⨯≥+n 所以，lg 2lg 313lg 2n +≥-因为， lg 20.3,lg 30.477≈≈所以，lg 2lg 30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯所以，又，所以， 7.77n ≥*n ∈N min 8n =故排放前需要过滤的次数至少为次． 8故选：A ．8．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范21,2()6,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩()0f x a -=围为（ ） A ． B ．C ．D ．(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)【答案】A【分析】画出函数 的图像，将方程恰有三个不同的实数根转化为函数()y f x =()0f x a -=与有3个不同的交点即可.()y f x =y a =【详解】若方程恰有三个不同的实数根， ()0f x a -=则函数与有3个不同的交点 ()y f x =y a =如图与的图像()y f x =y a =由图可得函数与有3个不同的交点，则 ()y f x =y a =01a <<故选：A.二、多选题 9．若，则下列不等式正确的是（ ） 110a b<<A ． B ． C ． D ．|a |>|b |a b <a b ab +<33a b >【答案】CD【解析】先利用不等式性质得到，再利用不等式性质逐一判断选项的正误即可. 0b a <<【详解】由知，，，即，故， 110a b <<0,0a b <<110a b-<0b aab -<0b a <<所以，A 错误，B 错误；|a ||b |<由知，，，则，故C 正确；0,0a b <<0a b +<0ab >a b ab +<由知，，则，故，即，D 正确. 0b a <<0a b <-<-()()330a b <-<-33a b -<-33a b >故选：CD.10．下列判断正确的是（ ） A ．，x ∀∈R 0x x +≥B ．命题“，”的否定是“，”x ∀∈Z 20x >0x ∃∈Z 200x <C ．函数是由函数向右平移得到的()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin2g x x =π3D ．“”是“是第一象限角”的必要不充分条件 sin tan 0θθ⋅>θ【答案】AD【分析】对四个选项一一验证：对于A 、B ：直接判断；对于C ：利用相位变换直接求解；对于D ：利用定义法判断.【详解】对于A ：当时，；当时，.所以恒成立.0x >20x x x +=>0x ≤0x x x x +=-=0x x +≥故A 正确；对于B ：命题“，”的否定是“，”.故B 错误；x ∀∈Z 20x >0x ∃∈Z 200x ≤对于C ：函数向右平移得到.故C 错误；()sin2g x x =π3π2πsin 23sin 32y x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫=-=⎝⎝⎭⎭⎪对于D ：充分性： 因为，所以，所以.所以.sin tan 0θθ⋅>2sin 0cos θθ>cos 0θ>ππ2π2π22k k θ-+<<+所以充分性不成立；必要性： 因为是第一象限角，所以，所以.所以必要性满足. θsin 0,tan 0θθ>>sin tan 0θθ⋅>故“”是“是第一象限角”的必要不充分条件.故D 正确. sin tan 0θθ⋅>θ故选：AD11．函数在区间上单调递增，则的取值可能为（ ）()()()sin 0f x x w w =>ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ωA ． B ． C ． D ．643212【答案】ACD 【分析】由且，可得出，根据正弦函数的单调性可得出0ω>ππ43x ≤≤ππ43x ωωω≤≤，其中，确定的可能取值，即可得出的取值范围. ππππ,2π,2π4322k k ωω⎡⎤⎡⎤⊆-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k ∈Z k ω【详解】因为且，则，0ω>ππ43x ≤≤ππ43x ωωω≤≤因为函数在区间上单调递增，则，其中， ()f x ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ,2π,2π4322k k ωω⎡⎤⎡⎤⊆-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k ∈Z 所以，，其中，解得，其中，ππ2π42ππ2π32k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩k ∈Z 38262k k ω-≤≤+k ∈Z 所以，，可得，，()38262k k k -≤+∈Z 74k ≤{}0,1k ∴∈因为，当时，；当时，， 0ω>0k =302ω<≤1k =1562ω≤≤所以，实数的取值范围是.ω3150,6,22⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 故选：ACD.12．对于函数，则下列判断正确的是（ ） ()4f x x x=+A ．在定义域内是奇函数 ()f xB ．，，有()12,0,2x x ∀∈12x x ≠()()12120f x f x x x -<-C ．函数的值域为()f x [)4,+∞D ．对任意且，有()12,0,x x ∈+∞12x x ≠()()1212122x x f f x f x ⎛⎫>+ ⎪+⎝⎭⎡⎤⎣⎦【答案】AB【分析】根据双勾函数的性质可判断A ，B ，C ；作差法比较与即可判122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()1212f x f x +⎡⎤⎣⎦断D.【详解】对于A,，且定义域为，故为奇函数，故A 正确； ()()f x f x -=-{}|0x x ≠()f x 对于B,在单调递减，故B 正确； ()4f x x x=+()0,2对于C ，当时，当且仅当时取得等号， 0x >()44f x x x=+≥=2x=当时，当且仅当时取得等号， 0x <()44()4f x x x x x=+=--+≤-=--2x =-所以的值域为，故C 错误； ()f x ][(,44,)-∞-+∞ 对于D ，已知任意且，()12,0,x x ∈+∞12x x ≠，1222x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()12121212121644,x x f x f x x x x x x x +++=++++， ()()1212121622x x f f x f x x x +⎛⎫⎡⎤∴-+=- ⎪⎣⎦+⎝⎭1244x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭而， ()2121221212164144x x x x x x x x +==<++故，故D 错误.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：AB.三、填空题13．若扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形所在圆的半径为________． 【答案】2.【分析】利用扇形的面积公式直接求得. 【详解】设扇形的半径为,圆心角为.R α由扇形的面积公式可得：，解得：.212S R α=21422R =⨯⨯2R =故答案为：214．已知是定义在上的奇函数，当时，，则的值为________．()f x R 0x ≥()21xf x =-21log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭f【分析】结合对数函数性质由奇函数的定义求值可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数， ()f x R 所以，()()f x f x -=-.()()()()2221log log 4222134f f f f ⎛⎫=-=-=-=--=- ⎪⎝⎭故答案为：．3-15．已知角的终边过点，则的值为________． θ()1,2P --cos2θ【答案】 35-【分析】由题可得，后由二倍角公式可得答案. cos θ【详解】因角的终边过点，则θ()1,2P --cos θ=故. 223cos22cos 1155=-=-=-θθ故答案为：. 35-16．我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，()y f x =y ()y f x =有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数()y f x =x a =为偶函数．已知函数，则该函数图象的对称轴为()y f x a =+()()2112e e x x g x x x a --+=-++x =________． 【答案】1【分析】根据偶函数的性质，结合函数对称性的性质进行求解即可.【详解】已知函数，()()2112--+=-++x x g x x x a e e()()()()()()()()221111111111121e e 121e e x x x x g x g x x x a x x a +---+---+++--=+-+++--+--+Q , ()()221e e 1e e 0x x x x x a x a --=-++-+-+=是一个偶函数. ()1y g x ∴=+的图象关于轴对称.()g x ∴1x =故答案为：1.17．设，已知集合，． U =R {}|25A x x =-≤≤{}|121B x m x m =+≤≤-(1)当时，求实数的范围；4B ∈m (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． :p x A ∈:q x B ∈p q m 【答案】(1) 532≤≤m (2) 3m ≤【分析】（1）由题意知，4是集合B 的元素，代入可得答案；（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m 的取值B A B B 范围.【详解】（1）由题可得，则； 1421m m +≤≤-532≤≤m （2）由题可得是的真子集， B A 当，则；B =∅1212m m m +>-⇒<当，，则（等号不同时成立），解得B ≠∅2m ≥21512m m -≤⎧⎨+≥-⎩23m ≤≤综上：.3m ≤18．已知，为锐角，，αβ1tan 2α=()cos αβ+=(1)求的值； sin2α(2)求的值． β【答案】(1) 45(2)4πβ=【分析】（1）由倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解即可；（2）由同角三角函数的基本关系得出，再由求解.()tan αβ+tan tan[()]βαβα=+-【详解】（1）2222sin cos 2tan 14sin 21cos sin 1tan 514ααααααα====+++（2）因为为锐角，且，所以. ,αβ()cos 0αβ+>π02αβ<+<所以. ()sinαβ+=()tan 3αβ+==，所以. 13tan()tan 2tan tan[()]111tan tan()132αβαβαβαααβ-+-=+-===+++⨯4πβ=19．已知点在指数函数的图像上(),16a ()()3=-xf x a b (1)求，的值； a b (2)判定函数在上的单调性并证明． ()()()1g x f x f x =-R 【答案】(1)，. 4a =2b =(2)单调递增，证明见解析.【分析】（1）根据指数函数的性质，可得，代入点进行计算可得；a b （2）根据指数函数的单调性，可判断函数的单调性，利用定义法可证明的单调性. ()g x ()g x 【详解】（1）由已知得，为指数函数，，解得，故点在指数函()(3)x f x a b =-31a ∴-=4a =(4,16)数的图像上，得，解得，，得到.()f x (4)16f =416b =2b ∴=()2x f x =（2），因为为单调增函数，且也为单调递增函数，故在上为1()22x xg x =-2xy =12x y =-()g x R 单调递增函数，证明如下：设，且，有，得12,R x x ∈12x x >12220x x ->，12121211()()2222x x x x g x g x -=--+121212121222122(22)(122x x x x x x x x x x ++-=+-=-+0>故在上为单调递增函数.()g x R 20．已知函数的部分图像如图所示，其中的图像()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭()f x 与轴的一个交点的横坐标为．x π12-(1)求这个函数的解析式；(2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．()()g x f x a =-π,212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2). ⎡-⎣【分析】（1）利用图像分别求出；,,A ωϕ（2）利用分离常数法得到，求出在区间上的值域，即可求解.()a f x =()f x π,212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图知：.2A =，所以，所以. 4ππ4π612T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭πT =2π2T ω==所以.()()2sin 2x x f ϕ=+由，且，ππ2sin 2266f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π02ϕ<<所以.π6ϕ=所以.()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令得：.()0g x =()f x a =对于，，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则.π5ππ2,663x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦由的图像和性质可得：在区间上的值域为. 2sin y t =()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π,212π⎡⎤-⎢⎣⎦⎡-⎣所以函数在区间上存在零点，有. ()()g x f x a =-π,212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a ⎡∈-⎣21．已知函数．()()21f x x a x a =+--(1)求关于的不等式的解集； x ()0f x >(2)若，求函数在上的最小值．()14f =-()51+=-f x y x ()1,x ∈+∞【答案】(1)当时，原不等式的解集为； 1a =-{|1}x x ≠当时，原不等式的解集为或； 1a >-{|x x a >1}x <-当时，原不等式的解集为或. 1a <-{|1x x >-}x a <(2) 2【分析】（1 ）利用一元二次不等式的解法及对参数分类讨论即可求解；a （2 ）根据已知条件及基本不等式即可求解.【详解】（1）由可得，即，()0f x >()210x a x a +-->()(1)0x a x -+>当时，不等式，解得，不等式的解集为；1a =-2(1)0x +>1x ≠-{|1}x x ≠当时，不等式的解集为或；1a >-{|x x a >1}x <-当时，不等式的解集为或；1a <-{|1x x >-}x a <综上：当时，原不等式的解集为；1a =-{|1}x x ≠当时，原不等式的解集为或；1a >-{|x x a >1}x <-当时，原不等式的解集为或.1a <-{|1x x >-}x a <（2）由，得，解得，(1)4f =-(1)11224f a a a =+--=-=-3a =所以，因为，所以，2()23f x x x =--1x >10x ->则，当且仅当，即时，()25221(1)2111f x x x y x x x x +-+===-+≥=---111x x -=-2x =等号成立，所以当时，函数在上的最小值为.2x =()51+=-f x y x ()1,x ∈+∞222．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成份，奖励给分别在项（物理、化66学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为．资料显示：年诺贝尔奖发放后基金总额约为万美元．设表示第r 202051000()f x 年诺贝尔奖发放后的基金总额（年记为，年记为，，依次类()*N x x ∈2020()1f 2021(2)f L 推）．（参考数据：，，）8(1.0312) 1.28=9(1.0312) 1.32=10(1.0312) 1.36=(1)分别求出、与的关系式；()2f ()3f ()1f (2)根据（1）所求的结果归纳出函数的解析式（无需证明）．()f x (3)若，试求出年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是多少．6.24%=r 2029【答案】(1)，； ()()2112r f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()23112r f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)；()15100012x r f x -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭(3)万美元339.456【分析】（1）根据已知条件列式化简，得出、与的关系式；()2f ()3f ()1f （2）根据（1）所求的结果，归纳可得的解析式；()f x （3）先求出年诺贝尔奖发放后基金总额，进而可得年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额，根20282029据所给数据代入化简计算即可．【详解】（1）由题意，， ()()()()()121111122r f f r f r f ⎛⎫=+-⨯=+ ⎪⎝⎭； ()()()()()()2132121211222r r f f r f r f f ⎛⎫⎛⎫=+-⨯=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）根据（1）所求的结果，归纳可得：；()()111151000122x x r r f x f --⎛⎫⎛⎫=+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）年诺贝尔奖发放后基金总额为 2028()()886.24%951000151000 1.03122f ⎛⎫=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭故年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是2029万美元． ()811119 6.24%51000 1.0312 6.24%4250 1.280.0624339.4566262f ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=。
人教A版高中必修二试题高一第二次月考试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学第二次月考试题（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题（每题5分，共60分）1．下列叙述中，正确的是（ ）. （A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α （B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ⋂=PQ（C ）因为AB α⊂，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α（D ）因为AB α⊂,AB β⊂,所以()A αβ∈⋂且()B αβ∈⋂ 2．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）.(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 3．已知函数23212---=x x x y 的定义域为（ ）. (A)． ]1,21()21,(-⋃--∞(B)．]2,(-∞ (C)．]1,21()21,(-⋂--∞(D)．]1,(-∞4．已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）. (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2 5．长方体的三个面的面积分别是632、、，则长方体的体积是（ ）.(A)．23(B)．32(C)．6(D)．66．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）.222正(主)视图22侧(左)视图(A)．524=+y x (B)．524=-y x (C)．52=+y x (D)．52=-y x7．一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）.(A).223π+ (B). 423π+(C). 2323π+ (D).2343π+8．若()21P -，为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）.(A)．30x y --= (B).30x y -+= (C)．30x y ++= (D)．30x y +-= 9．等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是（ ）. (A)．S 球=S 正方体 (B).S 球>S 正方体 (C)．S 球<S 正方体 (D)．无法确定10．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）.x y Ox y O x y O xyO(A) (B) (C) (D)11．已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是（ ）. (A)、34k ≥或4k ≤- (B)、34k ≥或14k ≤- (C)、434≤≤-k (D)、443≤≤k12．若直线k 24kx y ++=与曲线2x 4y -=有两个交点，则k 的取值范围（ ）.(A)．[)∞+,1 (B)．)43,1[-- (C)． ]1,43( (D)．]1,(--∞二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．）13．函数⎩⎨⎧≥<--=-)2(2)2(32)(x x x x f x，则)]3([-f f 的值为 ．14．已知222212:1:349O x y O x y +=+=圆与圆（－）（＋），则12O O 圆与圆的位置关系为 ．15．如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．16．已知圆2x －4x －4＋2y ＝0上的点P （x,y ）,求22y x +的最大值 ．三、解答题（共70分）17. (12分)已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .18．(14分) 已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y=x 上截得弦长27;③圆心在直线x －3y=0上. 求圆C 的方程.19．（14分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．20．（16分）已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； （3）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.ABCD ABCD E F答题卡一、选择题；（每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：（每题5分，共20分）13.14.15.16.三、解答题（共70分）17、(本小题满分12分)18. (本小题满分14分)19.（本小题满分14分）20.（本小题满分16分）A BC DAB1C1 DEF21. （本小题满分14分）答案一. 选择题；（每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBAACBCCCCAB二、填空题：（每题5分，共20分）17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩由于点P 的坐标是（2-，2）.-----------------------2分 则所求直线l 与210x y --=垂直，可设直线l 的方程为 20x y C ++=.--------------------4分 把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，即2C =.------------6分 所求直线l 的方程为 220x y ++=.…………………………………………8分（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-， 所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212S =⨯⨯=. ………………12 18. （本小题满分14分）解：设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线交于AB ， ∵圆心C 在直线03=-y x 上，∴圆心C （3a ，a ），又圆 与y 轴相切，∴R=3|a|. ---------------------4分 又圆心C 到直线y －x=0的距离7||,72||.||22|3|||===-=BD AB a a a CD ---------8分在Rt △CBD 中，33,1,1.729,)7(||222222±=±===-∴=-a a a a a CD R .-------------12分∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x .---------------14分19. （本小题满分14分）（1）证明:连结BD . 在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴.11//EF B D ∴. 又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1.（2）在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，∴ AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又B1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．20. （本小题满分16分）解：（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2， 直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.---------------5分（2） 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即 x+2y-6=0----------------10分（3）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为34------16分21.（本小题满分14分）。
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ABC DOEA 1B 1C 1D 1 高一年级第二次数学学科月考试题时间:2013年12月11日一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.圆锥的底面半径为a ，侧面展开图是半圆面,那么此圆锥的侧面积是 （ ）A ．22a π B ．24a π C ．2a π D ．23a π2．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面3.△ABC 是边长为1的正三角形，那么△ABC 的斜二测平面直观图C B A '''∆的面积为（ ）A ．43 B ．83 C ．86 D ．166 4．设正方体的表面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）A ．π343cmB ．π63cmC ．π383cm D ．π3323cm5．如图所示，O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能．．．是（ ）6．下面四个命题：①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．17．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．283π-B ．83π- C ．82π- D ．23πA ．B ．C．D ．正（主）视图侧（左）视图俯视图8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④9．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ?α，b ?β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A ．－45 B. .35D ．－3512．A 、B 两点相距4 cm ，且A 、B 与平面α的距离分别为3 cm 和1 cm ，则AB 与平面α所成角的大小是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．30°或90°二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是__________________14．圆锥底面半径为1，其母线与底面所成的角为060，则它的侧面积为__________________．15．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面P AE；(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．20．(本小题12分)如下图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图(尺寸如图所示)．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：AC⊥平面EBC；(2)求几何体ADEBC的体积V.22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB ＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．新密一高高一年级第二次数学学科月考试题 答 题 卷二.填空三．解答题 17.班级___________ 姓名_________________________ 考场 ______________ 考号_________________________ -----------------------------------------------------密 -------------------------------------------封----------------------------------------------------线-------------------------------------------------------------------------18.19.20.21.22.新密一高高一年级第二次数学学科月考答案一.选择题二.填空题13.614. 216.①②④15.[解析]如下图所示，连接AC，BD，则直线AB，CD确定一个平面ACBD.∵α∥β，∴AC∥BD，则ASSB＝CSSD，∴86＝12SD，解得SD＝9.16.[解析]如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝2 2a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝12AB＝12a，ME∥CD，且ME＝12CD＝12a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，∴NE＝12AC＝12a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．三.解答题17[证明](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18[解析](1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.∵P A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以P A⊥CD.而P A，AE是平面P AE内的两条相交直线，所以CD⊥平面P AE.(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD⊥平面P AE知，BG⊥平面P AE.于是∠BPF为直线PB与平面P AE所成的角，且BG⊥AE.由P A⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝P APB，sin∠BPF＝BFPB，所以P A＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ?平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20[解析] (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ∥EB ，且P A ＝42，BE ＝22，AB ＝AD ＝CD ＝CB ＝4，∴V P －ABCD ＝13P A ·S 四边形ABCD ＝13×42×4×4＝6423.(2)连接BP ， ∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴∠PBA ＝∠BEA .∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°.∴PB ⊥AE .又BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE. ∴AE⊥平面PBG.∴AE⊥PG.21[解](1)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝22AB，∴CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.(2)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝22AB＝22，∴CH⊥AB，且CH＝12，又平面ABED⊥平面ABC∴GH⊥平面ABCD，∴V＝13×1×12＝16.22[解析](1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1.(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)解：∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝12AC1＝52，CD＝12AB＝52，CE＝12CB1＝22，∴cos∠CED＝252＝225.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为22 5.。