高一数学4月月考试题.doc
山东省临沂市某重点中学2014-2015学年高一4月月考数学试题 Word版含答案
高一数学下学期月考试题2015.4.3一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面对算法描述正确的一项是：（ ）A ．算法只能用自然语言来描述B ．算法只能用图形方式来表示C ．同一问题可以有不同的算法D ．同一问题的算法不同，结果必然不同 2.在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（ ） A.与第几次抽样无关，第一次抽中的可能性要大些 B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性相等 C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样3.把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ）A.181B.91C.61D.314..袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.恰有一个白球；一个白球一个黑球 D.至少有一个白球；红、黑球各一个5. 在区域⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x ，内任意取一点),(y x P ，则122<+y x 的概率是（ ） A ．0 B ． 214-πC ．4πD ．41π-6. 在右面的程序框图表示的算法中，输入三个实数cb a ,,，要求输出的x 是这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入（ ）A ．x c >B ．c x >C ．c b >D ．c a > 7. 用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选 20人进行评教，某男生被抽到的机率是（ ）A 、1001B 、251C 、51D 、418. 在等腰直角三角形ABC 中，角C 为直角. 在ACB ∠内部任意作一条射线CM ，与线段AB交于点M ，则AC AM <的概率（ ）A 、22B 、12C 、34D 、419.下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )A ．510°B ．150°C ．－150°D ．－390°10.对某班学生一次英语测试的成绩分析，各分数段的分布如下图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ） A.92% B.24% C.56% D.76% 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ).12.在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干个组，［a,b ］是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高度为h ，则|a-b|=________. 13.在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角；③射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)． 14. 在区间上随机取一个数x ，则的概率为 .15.如右图求++⨯+⨯+⨯ 431321211100991⨯的算法的程序框图。
吉林省长汽车经济开发区第三中学高一数学4月月考试题
3A.1个B.2个C.3个D.4个5.若 f(x)2cos 2X -12 .x x sin cos — 2 2，则 JIf (―)等于A . 2-22、32；36.对于函数 y = cos(-x)，下面说法中正确的是2汽开三中2018---2019学年度高一下学期月考试卷数学学科注意事项:1、本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟。
2、答题前，在答题卡上填写个人相关信息。
3、所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束后，只需上交答题卡。
选项是符合题目要求的. 1. sin 300的值是1 A.—22.若 sin^ COST ::: 0 ,则角A .第一、二象限 C.第二、四象限3.若 a =sin50°，b 二cos50°，c 二 tan 50° 则 a 、b 、C 的大小关系是4.下列说法正确的个数为若a , b 都是单位向量，则 a = b. 、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个第一、三象限 第一、四象限A . cab BC.b C a D . C b a(1) 零向量与任意向量平行• (2)若a //b , b IIc ,贝U a // C . 向量忑与向量&是共线向量，贝U AB, C, D 四点在一条直线上.A .函数是周期为二的奇函数B •函数是周期为二的偶函数10.函数y 二sin 2x • cosx -1的值域是12.函数 f (x)二 X 「COSX 在 0,：；4 ■内5 1216.已知 cos 爲"cos 一，sin •工"sin ------------- ，贝U cosZ-： 的值为 ______ .13 13C.函数是周期为2二的奇函数 •函数是周期为2二的偶函数7.将函数y=cosx 的图象向左平移 '个单位，横坐标扩大到原来的 2倍，纵坐标扩大到原3来的3倍，所得的函数解析式为A . C.y = 3cos(2 x —)32 二八3cos(2x 亍)1 — y cos(2x )3 3 1 兀y = 3cos( x )2 38.已知 sin (： _亍)= A. 139.若扇形的圆心角为1 — ，则cos(')的值是36B. _!3C.D.2弧度、弧长为6cm,则 该扇形得面积为A.3cm 2B. 9cm 2C.D.29 二1 A. [ — 2,—]411.在厶ABC 中，已知 B.[ — 3,2] C.[tanA 、tanB 是方程A 、2、一2 —2,0] D.[ -3,-]43X 2+8X +1=0的两根，则tanC 等于(、一4A.没有零点B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中的横线上 13.已知？ABCD 勺对角线 AC 和BD 相交于 Q 且OA= a , O B=b , 则DA = ____ (用a , b 表示).14.计算：0 0 0sin 48 —sin 18 cos30 = cos18°的x 的取值范围为 _____________________15.在［0,2二］上，满足条三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题10分)已知函数f(x)=tan(x •—)4(1) 求函数f (x)的定义域； (2) 已知心上)二，求si"2co汀的值. 42 cos 日-3sin 618.(本小题12分)已知函数f(x)二:」2sin(2x —),x R4(1)求出f (x)的最大值及相应的x 的集合；(2)求f (x)的对称轴方程19. (本小题12分)在平面直角坐标系 xoy 中，角〉以ox 为始边，终边与单位圆 o 的交点B3在第一象限， 且B 的横坐标为35(1 )求sin ：•的值；(2)若点P(2, m)为角〉终边上一点，求 m 的值.TCQJI JT20.(本小题12分)已知cos(x ),X ・(一，一)410 4 2(1) 求sin x 的值；n(2) 求sin(2x )的值.321.(本小题12分)函数f(x)二As in (「x」J(A 0^ 0,| '：：：二)的部分图象如图所示(1)求函数f (x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调递增区间.22.(本小题12分)已知函数f(x)=2・..3sin xcosx 2sin2x_1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f (x)在区间卩,才I上的最大值和最小值.答案选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一.填空题：本题共4小题，每小题5分共20分，把答案填在答题纸中的横线上 13. a+b 14.15.16. 三、解答题 17. （本小题10分）（1）定义域{XX式4叫®}―1(2) f () = tan -4 2sin 二 2cos 二 _ tan 二 2 cos J - 3sin r 1 -3tan18. (本小题12分)解：（1）最大值为V 2，此时{x x =二+k 兀，k 乏Z}8兀 k 兀（2）对称轴方程为 x,k ・Z8 219. （本小题12分）(1)设 B(3, y)(y 0)则 y5 54所以 sin ：-=—5(2) tan二8 m = —320. (本小题12分)(1)7,2 10沁讪（XW 冷(2)21. （本小题12分）(1) A = '、2,，= 2二—，所以 f (x) =2 sin(2 x —)(2)增区间为［-5 k 二］(k ・ Z)12 1222. (本小题12分)Ji(1) f (x) = 2sin(2 x ) 6所以T = 7：二二 5 二 1 二(2)2x所以 si n(2 x )一166 6 2 6f （x ）最大值为2,最小值为-1sin2x = 24,cos2x = 257 2524 73 50sin(2 x71。
重庆市第一中学15—16学年高一4月月考数学试题(附解析)
重庆市第一中学2015-2016学年高一4月月考数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知(2,1),(,1)a b m ==-，//a b ，则m =（ ）A ．12B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】D考点：向量共线的坐标表示 .2.在等差数列{}n a 中，235a a +=，14a =，则公差d 等于（ ）A ．-1B ．0C ．12 D ．1 【答案】A【解析】试题分析：等差数列中()11n a a n d =+-，由235a a +=得1125a d a d +++=，解得1d =-.考点：等差数列的通项公式.3.已知2sin 3α=，则cos(2)πα+等于（ ） A ．19 B ．19- C ．59 D ．59- 【答案】B【解析】试题分析：()21cos(2)cos 212sin 9πααα+=-=--=-. 考点：1、诱导公式；2、同角三角函数基本关系式；3、倍角公式.4.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 边上的中点，则DE DC ∙的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】试题分析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()()()1,0,0,2,2,2E D C ， ()()1,22,0202DE DC ∙=-∙=+=.考点：向量数量积的坐标表示.5.等差数列{}n a 中，35a =，4822a a +=，则9a 的值为（ ）A ．14B ．17C ．19D ．21【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质可知4839a a a a +=+，解得917a =.考点：等差数列的性质.6.已知函数()sin()2(0)3f x x πωω=++>的图象向右平移3π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．83 D ．43【答案】A考点：1、图象平移；2、诱导公式.7.数列{}n a 的通项公式为*cos ,2n n a n N π=∈，其前n 项和为n S ，则2016S =（ ） A ．1008 B ．-1008 C ．-1 D ．0【答案】D【解析】试题分析：由数列{}n a 的通项公式为*cos ,2n n a n N π=∈ 可知数列{}n a 是一个周期为4的周期数列，其前四项分别为0,1,0,1-，故()201650401010S =⨯-++=.考点：1、特殊角的三角函数；2、周期数列的和.8.已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =只有一个实根，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．32(2,)eB ．3(,)2+∞C ．32(ln 2,)e D ．3(ln 2,)2【答案】D考点：数形结合.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足515S =-，3172d <<，则当n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】试题分析：由等差数列求和公式得251551522d d S a ⎛⎫=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭ ，整理得132a d =--，故 22215323222222n d d d d d d S n a n n d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+---=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对称轴35=2n d +，因为3172d <<，n Z ∈，故=9n 时取得最小值. 考点：1、等差数列求和公式；2、二次函数求最值. 10.已知函数2()lg2x f x x -=+，若(1)(1)f m f +<--，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(1,2)-【答案】C考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性；3、函数的奇偶性.【思路点睛】解决本题的关键在于把抽象的不等式化为具体不等式，因此我们可以从函数的单调性和奇偶性入手分析，通过奇偶性把不等式的两边化为只有一个f 符号的形式，然后根据函数的单调性去掉f 符号把抽象的不等式化为具体不等式，特别需要注意的是不能丢掉函数的定义域，这样就可以通过解不等式组得到实数m 的取值范围了.11.已知正项等比数列{}n a ，满足54329a a a a +--=，则67a a +的最小值为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】D【解析】试题分析：由已知54329a a a a +--= 得()()2232119a q a q -+-=，故32291a a q +=-.因此()()44267322299=911829183611a a a a q q q q q ++==-++≥⨯+=--，67a a +的最小值为36. 考点：1、等比数列的通项公式；2、分式函数求最值.【思路点睛】首先利用已知条件把正项等比数列{}n a 的各项用32a a q ，，表示出来，减少变量的个数，得到32291a a q +=-；然后再把67a a +也用32a a q ，，表示出来()46732=a a a a q ++，代入32291a a q +=-得()44673229=1a a a a q q q ++=-，分离q 得()2672991181a a q q +=-++-，最后利用均值不等式求得67a a +的最小值为36.12.设向量2(2,2)OA x x α=+，(,sin cos )2y OB y αα=+，其中,,x y α为实数，若2OA OB =，则x y的取值范围为（ ） A ．[6,1]- B ．[1,6]- C ．[4,8] D ．(,1]-∞【答案】A考点：1、向量相等的坐标表示，2、三角函数的有界性；3、三角恒等变换.【思路点睛】首先利用向量相等的定义得到关于,x y 的方程组，把x 用y 表示出来，然后利用三角恒等变换把2x y -化为一个角的一种三角函数的形式2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的有界性得到2x y -的范围，把x 用y 表示出来得到关于y 的不等式组，求得y 的范围，而222=2x y y y y --，进一步去求x y的范围就可以了.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设全集U R =，集合2{|log 1}A x x =≥，2{|230}B x x x =--<，则A B = .【答案】[2,3)考点：1、对数不等式；2、二次不等式；3、集合运算.14.已知||1a =，||3b =，||1a b -=，则a 与b 的夹角为 . 【答案】6π 【解析】试题分析：()2||1a b a b -=-= ，所以()21a b -=，即2221a a b b -+=，解得2a b =，cos 6πθθ==. 考点：1、向量的模；2、向量的数量积.15.数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，，则35是该数列的第 项. 【答案】24【解析】试题分析：从这个数列的规律看，我们可以把数列的项分组.第一组，当1n =时，只有1项；当2n =时，有2项；当3n =时，有3项每组中分子从1到n 而分母则从n 到1.我们知道如果出现35，那么7n =，也就是第七组的第三项. 接下来就要算具体个数， 由此我们就知道了，每次排列的个数为n 个，所以35出现是数列的第123456324++++++=项 . 考点：数列求通项.【方法点睛】先运用观察法仔细寻找这个数列的各项的变换规律，抓住它们的特征，进一步可以把数列的项分组，使看起来毫无规律可循的项特征明确起来.每一组的特征比较明显，变化规律也比较容易掌握，这样就容易知道35出现在第几组的第几个位置，那么就很容易计算出它是数列的第几项了.把数列中的项分组是解决此类问题的关键.16. 如图，在ABC ∆中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线,AB AC于点,M N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则3λμ+的最小值是 .【答案】3考点： 1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义.【方法点睛】由向量减法法则可知,BC AC AB BD AD AB =-=-，代入已知条件4BC BD =得到+3=4AC AB AD ，再把已知条件AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>代入得到1344AN AM AD u λ+=，根据,,B D C 三点共线得13144u λ+=，利用均值不等式得到34u λ≥，而3λμ+≥≥，从而求得3λμ+的最小值是3. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2322b b a +=，3232a b -=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n S 和n T 的值.【答案】（1）13n n a -=，4133n b n =-；（2）1(31)2n n S =-，22133n T n n =+.考点：1、等差数列、等比数列的通项公式；2、等差数列、等比数列的求和公式.18.（12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边长，且cos cos 2cos a B b A c C +=.（1）求角C 的值；（2）若4,7c a b =+=，求ABC S ∆的值.【答案】（1）3C π=；（2. 【解析】考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、面积公式；4、诱导公式.19.（12分） 已知向量(sin ,cos())4m x x π=+，(cos ,cos())4n x x π=-+，且()f x m n =∙. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若函数23()()2sin 2g x f x x m =--+在区间[,]44ππ-上有零点，求m 的取值范围.【答案】（1）[,],44k k k Z ππππ-+∈；（2）[-. 【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换把()f x 化为一个角的一种三角函数，进一步求()f x 的单调递增区间；（2）利用三角恒等变换把()g x 化为一个角的一种三角函数，()g x 有零点，即函数)4y x π=+与y m =图象有交点.函数)4y x π=+在区间[,]44ππ-上的值域为[-，由图象可得m 的取值范围.试题解析：（1）由2()sin cos cos ()4f x m n x x x π=∙=-+11sin 2[1cos(2)]222x x π=-++ 111sin 2sin 2222x x =-+ 1sin 22x =- 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈.（2）13()sin 2(1cos 2))224g x x x m x m π=----+=+-，()g x 有零点，即函数)4y x π=+与y m =图像有交点，函数)4y x π=+在区间[,]44ππ-上的值域为[-，由图象可得，m 的取值范围为[-.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的图象与性质.20.（12分）已知向量,,a b c ，满足||4,||2a b ==，0a b ∙=，()()0c a c b -∙-=.（1）求|2|a b -的值；（2）求||c 的最大值.【答案】（1）；（2）∴22(2)(1)5x y -+-=，令2x θ=+，1y θ=+，则2||c x y =+===≤=故||c 的最大值为考点：1、向量的坐标表示；2、向量模的坐标表示；3、向量数列积的坐标表示.21.（12分）已知函数2()2(0)g x ax ax b a =-+>在区间[1,3]上有最大值5，最小值1；设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若2(|lg 1|)31|lg 1|f x k k x -+∙-≥-对任意[1,10)(10,100]x ∈恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）12a b =⎧⎨=⎩；（2）[1,0]-.试题解析：（1）2()(1)g x a x b a =-+-，因为0a >，所以()g x 在区间[1,3]上是增函数， 故(1)1(3)5g g =⎧⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩.考点：1、二次函数的性质；2、换元法；3、反比例函数的性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质得到关于,a b 的方程组，求出,a b 的值；（2）把2()2f x x x=+-代入已知条件22|lg 1|231|lg 1||lg 1|k x k x x -+-+-≥--化简整理得22|lg 1|231|lg 1||lg 1|k x k x x -+-+-≥--，利用换元法令|lg 1|t x =-，(0,1]t ∈，22330k t k t++--≥对任意(0,1]t ∈恒成立，得到关于t 的函数22()33k h t t k t+=+--，(0,1]t ∈，分1k =-，1k <-和 1k >-三种情况求得k 的取值范围为[1,0]-.22.（12分）已知,A B 是函数21()log 21x f x x =+-的图象上任意两点，且1()2OM OA OB =+，点1(,)2M m . （1）求m 的值；（2）若121()()()n n S f f f n n n-=+++，*n N ∈，且2n ≥，求n S ； （3）已知1,12,2n n n a S n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩，其中*n N ∈，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若1(1)n n T S λ+>+对一切*n N ∈都成立，试求λ的取值范围.【答案】（1）12m =；（2）12n n S -=(2,)n n N ≥∈；（3）1(,)3-∞. （2）由（1）知：121x x +=，1212()()1f x f x y y +=+=，121()()()n n S f f f n nn -=+++，121()()()n n n S f f f n n n--=+++， 两式相加，得：1122112[()()][()()][()()]n n n n S f f f f f f n n n nn n ---=++++++ 11111n n -=+++=-∴12n n S -=(2,)n n N ≥∈.考点：1、中点坐标公式；2、倒序相加求数列的和；3、均值不等式.【方法点晴】（1）利用中点坐标公式得121x x +=，则121x x =-，211x x =-，进一步把12y y ，用12x x ，表示，求得m 的值；（2）由（1）知：121x x +=，1212()()1f x f x y y +=+=，121()()()n n S f f f n n n-=+++，故利用倒序相加法求n S ；（3）先求数列{}n a 的前n 项和n T ，得到n λ、的关系式，分离λ，进一步利用不等式的性质求λ的取值范围.。
河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量a=−2,0，b=−1,−1，则12a−2b等于（）A．1,2B．−1,−2C．−1,2D．1,−22．如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且BC=4BD，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AM=λAB，AN=μACλ>0,μ>0，则μ−1λ的最小值是（）A．23−43B．23+43C．233−7D．23+233．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a，AD=b，E 为BF的中点，则AE=（）A．45a+25b B．25a+45bC．43a+23b D．23a+43b4．设f x=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程f x=x有纯虚数根，则关于x的方程f f x=x的解的情况，下列描述正确的是（）A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解5．已知a=1,m与b=n,−4共线，且向量b与向量c=2,3垂直，则m+n=（）A．152B．163C．−103D．−26．已知非零向量a,b满足 a+2b=7a=7 b，则 a,b=（）A．π6B．π4C．π3D．2π37．图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是（）A．AB=2B．A′D′=22C．四边形ABCD的周长为4+22+23D．四边形ABCD的面积为628．在ΔABC中，点P满足BP=3PC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM=λAB，AN=μACλ>0,μ>0，则λ+μ的最小值为A．22+1B．32+1C．32D．52二、多选题9．给出下列四个命题，其中正确的是（）A．非零向量a、b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a−b的夹角是120°B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=6，若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围为6<b<22C．若单位向量a、b，夹角为120°，则当|2a+xb|x∈R取最小值时x=1D．已知OA =3,−4，OB =6,−3，OC =5−m,−3−m，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−3410．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3(a cos C+c cos A)=2b sin B，且∠CAB=π3.若点D是△ABC外一点，DC=1,DA=3，下列说法中，正确的命题是（）A．△ABC的内角B=π3B．△ABC一定是等边三角形C．四边形ABCD面积的最大值为532+3D．四边形ABCD面积无最大值11．在三角形ABC中，令CB=a，AC=b，若a+b=e1，a−2b=e2，e1=e2=1，e1⋅e2=12，则（）A．e1,e2的夹角为π3B．a=2e1+e23，b=e1 −e23C．a//bD．三角形ABC的AB边上的中线长为76三、填空题12．复数Z=log2(a−1)+i⋅log2a2−2a−2是实数，则a=.13．设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为.14．已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β−α的夹角为120°，则|α|的取值范围是__________________ .四、解答题c+2=a cos C.15．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知b=2，12(1)求A的值；(2)若5AD=2AB+3AC，CD=b，求c的值.16．已知向量a=3sin x,cos x ,b=cos x,cos x，设函数f x=a⋅b.上的单调增区间；(1)求f x在0,π2,f x−1≤m恒成立，求m的取值范围.(2)若对任意x∈0,π217．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，DC∥EF.(1)若DC=2EF，求证：OE//平面ADF；(2)若FB=FD，求证：平面AFC⊥平面ABCD.18．如图，在△ABC中，CA=3，CB=4，∠ACB=60°，CH为AB边上的高.(1)求CH的长；(2)设CM=mCB，0<m<1.①若CH⋅MA=9，求实数m的值；②求MH⋅MA的最小值.19．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使BE⊥EC．(1)若BE=3，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP//平面ABEF？若存在，求出APPD 的值；若不存在，说明理由．(2)求三棱锥A−CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．。
2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题一、单选题 1．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】B 【分析】先对复数1i1i+-化简，再求其共轭复数，从而可求得答案 【详解】因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+， 所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-， 故选：B2．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量()2a b c +⋅=（ ） A ．(－15，12) B ．0C ．－3D ．－11【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】()()()25,63,215123a b c +⋅=-⋅=-+=-. 故选：C3．已知正ABC ，则ABC 的直观图111A B C △的面积为（ ）A B C ．D 【答案】D【分析】根据斜二测画法中直观图与原图形面积关系计算．【详解】由题意21sin 26ABCSπ=⨯⨯=，所以直观图111A B C △的面积为S ==故选：D ．4，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由圆锥的体积公式，半圆弧长和半径的关系，圆锥母线长、底圆半径和高的关系，联立即可求解.【详解】如图，圆锥的体积21333V r h ππ== ①，由侧面展开图是一个半圆得2l r ππ= ②， 又222r h l += ③，联立①②③，即可解得2l =. 故选：C552，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ） A ．π B ．3π C ．43π D ．4π【答案】C【分析】在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，由正四棱锥的性质和三角形知识求得6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，求得3r =. 【详解】解：在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，如下图所示，则PH ⊥面ABCD ，PG BC ⊥52，所以()2222512PG PB BG --，2222213PH PG HG --所以在Rt PHG △中，1sin 2HG HPG PG ∠==，所以6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，则,2OH OQ r PO r ===，所以+33PO OH r ==3r =所以该四棱锥的内切球的表面积为22344433S r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：C.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．7．若向量()2cos ,2sin a θθ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ- D ．θ【答案】A【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合诱导公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设a 与b 的夹角为α， 所以2sin 3cos sin cos 212a b a bθπαθθ⋅-⎛⎫===-=- ⎪⨯⎝⎭⋅， 因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,22ππθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而[0,]απ∈，函数cos y x =在[0,]x π∈上是单调递减函数，所以32παθ=-， 故选：A8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简变形即可判断三角形的形状 【详解】因为2cos c a B =，所以由正弦定理得sin 2sin cos C A B =,所以()()sin sin 2sin cos A B A B A B π⎡⎤-+=+=⎣⎦， 所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=， 所以sin cos cos sin 0A B A B -=， 所以in 0()s A B -=，因为,(0,)A B π∈，所以(,)A B ππ-∈-， 所以0A B -=，所以A B =， 所以ABC 为等腰三角形， 故选：C9．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+， ,,P B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立.综上可得：31m n+的最小值是12. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183C ．243D ．543【答案】B【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得． 详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点， 当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大 此时，OD OB R 4=== 233ABCSAB ==AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心 2BM 233BE ∴==Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM -=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型． 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,222⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，分别取棱1BB ，11B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，M ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN BC ，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF .1//AA NE ，1AA NE =， ∴四边形1AENA 为平行四边形，1//A N AE ∴，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ， 又1A NMN N =，∴平面1//A MN 平面AEF .P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ， ∴点P 必在线段MN 上.在11Rt A B M ∆中，1A M同理，在11Rt A B N ∆中，可得1A N 1A MN ∴∆为等腰三角形.当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长.1AO A ==11AM A N =∴线段1A P 长度的取值范围是2⎡⎢⎣. 故选：C.【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．12．体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【详解】依题意得，N 是11B C 的中点，3216AB =， 则6AB =，延长11A D 直线MN 于P ，延长11A B 交直线MN 于Q ， 连接AP 交1DD 于E ，连接AQ 交1BB 于F ， 作出截面AFNME 如下图所示，则,AFNME AEFMNFE S SS =+AEF △中，13,AE AF ==62EF =故AEF △的面积12S EF h =⋅⋅=162342⨯617=四边形MNFE 的面积 134(322)2S =917=， 2117. 故选:B.【点睛】此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形.二、填空题13．已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．14．正三棱锥-P ABC 的侧棱长为2，30APB APC BPC ∠=∠=∠=︒．E ，F 分别是BP 、CP 上的点，AEF △周长的最小值____．【答案】22【分析】作出三棱锥的侧面展开图，利用数形结合思想求出AEF △周长的最小值． 【详解】解：作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示：AEF △的周长即为AE 、EF 、FA 三者的和，从图中可见：为使三角形AEF 的周长的值最小， 只需让A 、E 、F 、A '四点共线即可；根据题中给出的条件知：30APB BPC CPA '∠=∠=∠=︒，90APA '∴∠=︒，222222AA '=+ AEF ∴周长的最小值为2故答案为：2215．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 【答案】221##122+【分析】求出P 点到i 对应点的距离，再加上半径1可得． 【详解】由题意复数z 对应点是以i 对应点为圆心，1为半径的圆，222i i 22i 2(2)22--=-=+-= 所以max 221PZ =． 故答案为：221．16．在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin 3sin b A C B =，则ac 的最小值为________． 【答案】12【分析】利用正弦定理及和角公式可得23B π=，再结合条件及正弦定理可得2ac b =，然后利用余弦定理及基本不等式即求.【详解】∵在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，2sin (2)tan c B a c C =+， ∴sin 2sin sin (2sin sin )cos CC B A C C=+， ∴()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C =+=++=++， ∴2cos sin sin 0B C C +=，即1cos 2B =-，()0,B π∈，∴23B π=， 因为23sin sin 3sin 2sin 2sin 2b A C B B B ==⨯=， ∴22bac b =，即2ac b =，又222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，∴22222ac a c ac ac ac ⎛⎫=++≥+ ⎪⎝⎭，即12ac ≥，当且仅当a c =时取等号， ∴ac 的最小值为为12. 故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把23sin sin 2sin 2sin 2b A C B B =⨯=化为2ac b =，再利用余弦定理及基本不等式即求.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，,,E F G 分别是,,BC DC SC 的中点，求证：(1)//EG 平面11BDD B ；(2)平面//EFG 平面11BDD B .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【详解】（1）如图，连接SB ，∵,E G 分别是,BC SC 的中点，∴//EG SB .又∵SB ⊆平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ，∴直线//EG 平面11BDD B .（2）连接SD ，∵,F G 分别是,DC SC 的中点，∴//FG SD .又∵SD ⊆平面11BDD B ，FG ⊄平面11BDD B ，∴//FG 平面11BDD B ，由(1)知，//EG 平面11BDD B ，且EG ⊆平面EFG ，FG ⊆平面EFG ，EGFG G =，∴平面EFG ∥平面11BDD B .18．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，||3AB →=，6AC =.(1)用,AB AC →→表示AD →和EB ；(2)求向量EB 与EC →夹角的余弦值.【答案】(1)2133AD AB AC →→→=+，2136EB AB AC →→→=- (2)7130【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；（2）以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．【详解】（1）∵D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，∴11()33BD BC AC AB ==- ∴2133AD AB BD AB AC =+=+， ∵E 为AD 的中点，∴12AE AD =， ∴112121()223336EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=- （2）1536EC AC AE AB AC =-=-+， 如图，以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则(0,3),(6,0)B C ，∴21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36EC AB AC =-+=-， ∴(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-，145,25126EB EC =+==+=7130cos ,||526EB EC EB EC EB EC ⋅===⋅⋅19．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD AB ⊥，//AD BC ，若将图中阴影部分绕AB 旋转一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案】（1）68π；（2）1403π. 【解析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可；（2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，214282S ππ=⨯⨯=半球， 22(25)4(52)35S ππ=++-=圆台侧，2525S ππ=⨯=圆台底.故所求几何体的表面积为8352568ππππ++=.（2）()()2222122554523V πππππ⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台， 341162323V ππ=⨯⨯=半球， 所求几何体体积为161405233V V πππ-=-=圆台半球. 【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题. 20．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为3（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【答案】（1）3π；（2）98π. 【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高1OO h =，OD r =，再由11AO D △AOB 求出,h r 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB 剪开，侧展图如图所示：设OB R =，在半圆⊙A 中，23AB = 弧长'23BB π=，这是圆锥的底面周长，所以223R ππ=，所以3R故圆锥的底面积为23S R ππ==圆锥；（2）设圆柱的高1OO h =，OD r =，在Rt AOB 中，223AO AB OB -=，11AO D △AOB ，所以111AO O D AO OB=，即33h -3h =，222(3)()S rh r r ππ===-圆柱侧面积，2r ⎛=-+ ⎝⎭，所以，当r =32h =时，圆柱的侧面积最大， 此时298V r h ππ==圆柱.【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.21．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++. （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2 【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.【详解】（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab +-=- 由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， 又20,3C C ππ<<∴=. （2）2,2sin ,2sin sin sin sin sin 3a b c a A b B A B C====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦20,,sin 133333A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭， 2sin 23A π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭ ABC ∴∆周长的取值范围是(2.【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.22．已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ； （2）若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）AR AB的值为35，证明见解析． 【分析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，证明//BC AD ，1//PQ MD ，又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊂/平面11A D DA ，证明//PQ 平面11A D DA ；（2）R 是AB 上的点，当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ，通过证明//PR 平面11A D DA ，又PQ R P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．然后证明即可．【详解】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，因为四边形ABCD 为正方形，所以//BC AD ，故~PBC PDM △△，所以23CP BP PM PD ==， 又因为123CQ BP QD PD ==，所以123CQ CP QD PM ==， 所以1//PQ MD ．又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA ．（2）当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ．证明：因为35AR AB =， 即有23BR RA =， 故BR BP RA PD=． 所以//PR DA ．又DA ⊂平面11A D DA ，PR ⊄平面11A D DA ，所以//PR 平面11A D DA ，又PQ PR P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．所以平面//PQR 平面11A D DA ．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．。
山东省济宁市2023-2024学年高一下学期4月月考试题 数学含答案
济宁市2023-2024学年度第二学期阶段性测试数学试卷（答案在最后）注意事项：考试时间：120分钟满分：150分1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量()1,a t =，()3,9b =，若//a b r r，则t =（）A.1B.2C.3D.42.若tan 2θ=-，则1sin 2πsin 4θθθ-=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭（）A.12B.12-C.32-D.323.已知点E 为平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，且2DE BE =，则AE =（）A.2133AB AD+B.2133AB AD - C.1233AB AD+ D.1323AB AD-4.若向量a ，b满足2a = ，1b = ，()26a b a +⋅= ，则cos ,a b = （）．A.32B.12C.12-D.5.若函数()()sin 0x f x x ωωω=->的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（）A.32B.2C.52D.36.若1cos 23πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则A.9-B.79-C.79D.97.函数sin(2)3y x π=+的图象可由函数cos y x =的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位8.已知点G 为ABC 的重心，,D E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF AD AE λμ=+ ，则14λμ+的最小值为（）A.272B.7C.92D.6二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.在ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 的中线且交于点O ，则下列结论正确的是（）A.AB BC CA-= B.()13=+AO AB ACC.0AD BE CF ++=D.0OA OB OC ++=10.与向量()6,8=-a 共线的单位向量的坐标为（）A .45,35⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.45,35⎛⎫-⎪⎝⎭C .34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n += 第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，若30A ∠=︒，a =14c =，则C =________．13.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b的夹角为60︒，则2a b += ______.14.已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM AN ⋅的最大值为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量()()()1,2,,1,3,1a b t c ==-=-．（1）若()a b +r r ∥()2a c -，求实数t 的值；（2）若()a b c ⊥+ ，求a 与b夹角的余弦值．16.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC的夹角；（2）若⊥AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．17.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos 2f παπαπααπαπα+--=⎛⎫---- ⎪⎝⎭．（1）化简：()f α；（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若2c =，1()2f C =-，且ABC的面积S =，求a 、b 的值．18.已知向量(cos a x = ，()1,sin b x = ，函数()1f x a b =⋅+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()23g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，求函数()g x 的最值．19.已知函数2211()cos sin cos 222222x x x xf x =-+（1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象.若方程2()1g x m -=在[0,2x π∈上有两个不同的解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12tan()x x 的值.济宁市2023-2024学年度第二学期阶段性测试数学试卷注意事项：考试时间：120分钟满分：150分1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量()1,a t =，()3,9b =，若//a b r r，则t =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数t 的等式，即可得解.【详解】因为//a b r r，则39t =，解得3t =.故选：C.2.若tan 2θ=-，则1sin 2πsin 4θθθ-=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭（）A.12B.12-C.32-D.32【答案】D 【解析】【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，弦切互化得含tan θ的式子再代入即可解出答案．【详解】()()()2212sin cos 1sin 2sin cos 2sin cos πsin sin cos sin sin cos sin 4θθθθθθθθθθθθθθθ--+-==--⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2sin cos sin cos 11sin sin cos sin tan θθθθθθθθθ--===--，∵tan 2θ=-，1131=1=tanθ22-+\，故选：D3.已知点E 为平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，且2DE BE =，则AE =（）A.2133AB AD+B.2133AB AD -C.1233AB AD+D.1323AB AD-【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用向量的线性运算即可得出结果.【详解】因为AE AD DE =+，又2DE BE =，所以2221()3333AE AD DB AD AB AD AB AD =+=+-=+.故选：A.4.若向量a ，b满足2a = ，1b = ，()26a b a +⋅= ，则cos ,a b = （）．A.2B.12C.12-D.2【答案】B 【解析】【分析】将()26a b a +⋅= 展开，利用数量积的定义以及2a = ，1b =即可求解.【详解】由()26a b a +⋅= 可得：226a a b +⋅=，即22cos ,6a a b a b +⋅=，将2a = ，1b = 代入可得：2222cos ,6a b +⨯= ，所以1cos ,2a b = ，故选：B5.若函数()()sin 0x f x x ωωω=->的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（）A.32B.2C.52D.3【答案】C 【解析】【分析】由对称轴为3x π=可知3f π⎛⎫⎪⎝⎭为最大值或最小值，即可求解.【详解】∵()12sin cos 2sin 223f x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，∴当3x π=时，()2sin 333f x f πππω⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值或最小值，∴,332k k πππωπ-=+∈Z ，∴53,2k k ω=+∈Z ，∵0ω>，∴ω的最小值为52.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.6.若1cos 23πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则A.9-B.79-C.79D.9【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由1cos 23πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得，则，故选B.考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.7.函数sin(2)3y x π=+的图象可由函数cos y x =的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位【答案】B 【解析】【详解】分析：由函数sin 2cos 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由伸缩平移变换可得解.详解：由函数sin 2cos 2cos 2366y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.只需将函数cos y x =的图象各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到cos2y x =；再向右平移12π个单位得到：cos2 cos 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.点睛：1．利用变换作图法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y ＝sin 2x 的图象向左平移6π个单位得到的是y ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象，这是初学者容易犯的错误．事实上，将y ＝sin 2x 的图象向左平移6π个单位应得到y ＝sin 2(x ＋6π)，即y ＝sin(2x ＋3π)的图象．2．平移变换和周期变换都只对自变量“x ”发生变化，而不是对“角”，即平移多少是指自变量“x ”的变化，x 系数为1，而不是对“ωx ＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x 的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生．8.已知点G 为ABC 的重心，,D E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF AD AE λμ=+ ，则14λμ+的最小值为（）A.272B.7C.92D.6【答案】D 【解析】【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了2:1，即23AG AF =，由三点共线定理可知()213AG AF mAD m AE ==+- ，所以32m λ=，()312m μ=-.得(]3,,0,12λμλμ+=∈.再利用基本不等式解决最值问题即可.【详解】因为点G 为ABC 的重心，所以23AG AF =，则32AF AG = .因为,,D G E 三点共线，()213AG AF mAD m AE ==+-，所以32m λ=，()312m μ=-.所以(]3,,0,12λμλμ+=∈.所以()(14142242556333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫+=++⋅=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4μλλμ=，即1μ=，12λ=时，等号成立，故14λμ+的最小值为6.故选：D二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.在ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 的中线且交于点O ，则下列结论正确的是（）A.AB BC CA-=B.()13=+AO AB AC C.0AD BE CF ++=D.0OA OB OC ++=【答案】BCD 【解析】【分析】根据三角形重心的性质，结合向量加法和减法法则进行即可即可.【详解】依题意，如图所示：因为AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 的中线且交于点O ，所以O 是ABC 的重心.对于A ：若AB BC CA -= ，则AB BC CA =+ ，因为BA BC CA =+，所以BA AB =，显然不成立，故A 错误；对于B ：()()22113323AO AD AB AC AB AC ==⨯⨯+=+，故B 正确；对于C ：()()()111222AD BE C AB AC BA F BC CA CB =+++++++()()()1110222AB BA AC CA BC CB =+++++=，故C 正确；对于D ：222333OA OB OC AD BE CF++=---()220033AD BE CF =-++=-=，故D 正确.故选：BCD.10.与向量()6,8=-a 共线的单位向量的坐标为（）A.45,35⎛⎫⎪⎝⎭ B.45,35⎛⎫-⎪⎝⎭C.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】CD 【解析】【分析】与a共线的单位向量为a a± ，求出答案.【详解】与()6,8=- a 共线的单位向量为()6,834,1055a a-⎛⎫==- ⎪⎝⎭或()6,834,1055a a-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故选：CD11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c ，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b 可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.若向量m 、n 满足2m = ，3n = ，3m n ⋅=，则m n += 【答案】BC【解析】【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c 不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b 不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b = ，所以，a 在b 上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a bb⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅ 1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n 满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n +== ，D 错.故选：BC.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，若30A ∠=︒，a =14c =，则C =________．【答案】45 或135【解析】【分析】根据正弦定理直接求解即可.【详解】解：根据正弦定理sin sin a c A C =得sin 2sin 2c A C a === ，因为()0,150C ∈ ，所以45C = 或135C =故答案为：45 或13513.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b 的夹角为60︒，则2a b += ______.【答案】【解析】【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.【详解】2a b +== ，.14.已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM AN ⋅ 的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】法一建立直角坐标系，用坐标计算AM AN ⋅ 的最值；法二用极化恒等式得22AM AN MO ⋅=- ，当MO AD ⊥时MO 最小，从而AM AN ⋅ 最大.【详解】法一：以A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设()0,M y ，则()2,2N y -，[]0,2y ∈，所以()()22111AM AN y y y ⋅=-=--+≤ ，当且仅当1y =时取得最大值．法二：由极化恒等式可得：2222AM AN AO MO MO ⋅=-=- ，当MO AD ⊥时，min 1MO =此时AM AN ⋅的最大值为1．【点睛】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量()()()1,2,,1,3,1a b t c ==-=- ．（1）若()a b +r r ∥()2a c - ，求实数t 的值；（2）若()a b c ⊥+ ，求a 与b 夹角的余弦值．【答案】（1）23t =（2）210【解析】【分析】（1）先求出a b + 和2a c - 的坐标，再由()a b +r r ∥()2a c - 列方程可求出实数t 的值；（2）由()a b c ⊥+ ，得()0a b c ⋅+= ，求出t 的值，再利用向量的夹角公式可求得结果.【小问1详解】因为()()()1,2,,1,3,1a b t c ==-=- ，所以(1,1)a b t +=+ ，22(1,2)(3,1)(5,3)a c -=--= ，所以()a b +r r ∥()2a c - ，所以1153t +=，解得23t =；【小问2详解】因为()(),1,3,1b t c =-=- ，所以()3,0b c t +=- ，因为()a b c ⊥+ ，所以()30a b c t ⋅+=-= ，得3t =，所以()3,1b =- ，设a 与b 夹角为θ，则2cos 101491a b a bθ⋅===+⨯+ ，所以a 与b 夹角的余弦值为10.16.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．【答案】16.6π17.sin cos 4αα-=，33sin cos αα+47128=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开33sin cos αα+，进而得解.【小问1详解】由OA OC += 得()224+cos sin 21αα+=，1cos 2α=，又0πα<<，3πα∴=，1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β,()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角β为6π.【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅=，即()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，1sin cos 4αα∴+=，152sin cos 016αα-∴=<，故ππ2α<<,()21531sin cos 11616αα-∴-=-=，sin cos 4αα∴-=.又33sin cos αα+()()22sin cos sin sin cos cos αααααα=+-+1151432⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭47128=.17.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos 2f παπαπααπαπα+--=⎛⎫---- ⎪⎝⎭．（1）化简：()f α；（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若2c =，1()2f C =-，且ABC的面积S =，求a 、b 的值．【答案】（1）()cos f αα=-；（2）2a b ==．【解析】【分析】（1）根据诱导公式可化简()f α；（2）由（1）可得3C π=，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解之得答案.【详解】（1）因为sin cos (tan )()cos tan sin f ααααααα--==--，所以()cos f αα=-；（2）因为1()2f C =-，即1cos 2C -=-，又0C π<<，所以3C π=，因为ABC的面积S =1sin 23S ab π==，解得4ab =，又22221cos 22a b C ab +-==，所以22+8a b =，由224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，所以2a b ==.【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题.18.已知向量(cos a x = ，()1,sin b x = ，函数()1f x a b =⋅+ ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()23g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，求函数()g x 的最值．【答案】（1）()22,2Z 33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数()g x1，1-．【解析】【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．（2）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．【详解】（1）()1cos 12sin 16f x a b x x x π⎛⎫=⋅+=+=++ ⎪⎝⎭ ．由22262k x k ππππ-≤+≤π+，Z k ∈，可得22233k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，∴单调递增区间为：()22,2Z 33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）若()22sin 2136g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，52663x πππ-≤-≤，即31sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则()11g x -≤≤，所以函数()g x 的最大值、最小值分别为：1+，1-．【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知函数2211()cos sin cos 222222x x x x f x =-+（1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象.若方程2()1g x m -=在[0,2x π∈上有两个不同的解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12tan()x x +的值.【答案】（1）()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π（2）实数m的取值范围是)1,1，()12tan 3x x +=【解析】【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简()f x ，并利用2πT ω=求出最小正周期即可.（2）先使用伸缩和平移变换得到()g x ，再将方程2()1g x m -=等价变换为1()2m g x +=，由()g x 的图象和性质求出12+m 的取值范围，即可求出实数m 的取值范围，同时，利用()g x 的对称性，可求出12tan()x x +的值.【小问1详解】2211()cos sin cos 222222x x x x f x =-+221cos sin 2sin cos 222222x x x x ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭13cos sin 22x x =+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期2π2π1T ==.【小问2详解】由（1）()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，∴()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ，∴()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-（k ∈Z ）上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间π7ππ,π1212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ122k x =+，k ∈Z 对称，方程2()1g x m -=等价于1()2m g x +=，∴当[0,2x π∈时，方程1()2m g x +=有两个不同的解1x ，2x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,122⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，且()3π026g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π322g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴当1122m +≤<时，方程1()2m g x +=有两个不同的解1x ，2x ，11m ≤<，实数m 的取值范围是)1,1-.又∵()g x 的图象关于直线π12x =对称，∴12π212x x +=，即12π6x x +=，∴()12tan x x +=.。
高一数学4月月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
石室中学高2018届2015-2016学年度下期四月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线6x π=-对称3.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +，R x ∈，0A >，0ω>，2πϕ<的图象（部分）如图，则()f x 的解析式是（ ） A ．()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（R x ∈） B ．()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（R x ∈）C ．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（R x ∈） D ．()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（R x ∈）4.已知5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则1cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2413 B ．513 C ．1324 D ．1355.函数5sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C ．32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 6.平行四边形CD AB 中，a AB =，D b A =，3C AN =N ，M 为C B 的中点，则MN =（ ）A ．1144a b -+B ．1122a b -+C ．12a b + D ．3344a b -+7.设13cos 6sin 622a =-，22tan131tan 13b =-，cos50c =，则有（ ） A ．c b a << B ．a c b << C ．a b c << D ．b c a <<8.已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值X 围是（ ） A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，sin :sin :sin C A B =C 12S ∆AB =，则C C C C AB⋅B +B ⋅A +A⋅AB 的值是（）A ．2 BC ．2-D ． 10.已知A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，关于x 的方程22C cos cos cos02x x -⋅A⋅B -=有一个根为1，则C ∆AB 一定是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形11.已知函数tan4xy π=，()2,6x ∈的图象与x 轴交于A 点，过点A 的直线与函数的图象交于B ，C 两点，则()C OB +O ⋅OA =（ ）A ．32B ．16C ．8D ．4 12.在C ∆AB 中，E ，F 分别是C A ，AB 的中点，且32C AB =A ，若CFt BE<恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34 B ．45 C ．67 D ．78第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.等边C ∆AB 的边长为2，则AB 在C B 方向上的投影为．14.在C ∆AB 中，已知C 8B =，C 5A =，三角形面积为12，则cos2C =． 15.设点O 是C ∆AB 的外心，13AB =，C 12A =，则C B ⋅AO =． 16.给出下列命题：①函数sin y x =在第一象限是增函数； ②在非直角C ∆AB 中，()22sinC cos A++B 的值为常数；③向量()1,2a =与向量()2,b λ=的夹角为锐角，则1λ>-； ④若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． 其中为假命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）已知向量()cos ,sin a θθ=，[]0,θπ∈，向量()3,1b =-．（I ）若a b ⊥，求θ的值；（II ）若2a b m -<恒成立，某某数m 的取值X 围．18.（10分）如图，在平面直角坐标系x y O 中，以x O 为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255．（I ）求tan α及tan β的值； （II ）求2αβ+的值．19.（12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3cos 5B =，C 21AB⋅B =-． （I ）求C ∆AB 的面积； （II ）若7a =，求角C ．20.（12分）在锐角三角形C AB 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，C ∠所对应的边，向量()2223u a c b ac =+-，()cos ,sin v =B B ，且//u v ．（I ）求角B ；（II ）求sin sinC A+的取值X 围．21.（12分）如图，在平面四边形CD AB 中，D 4AB =A =，C 6B =，CD 2=，3D 4C CD 0AB⋅A +B⋅=．（I ）求四边形CD AB 的面积； （II ）求三角形C AB 的外接圆半径R ；（III ）若C 60∠AP =，求C PA +P 的取值X 围．22.（12分）（I ）将sin3θ表示成sin θ的多项式； （II ）求值：333sin 10sin 50sin 70+-；(III)已知3sin ,sin 8a x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin3,8sin b x x =且()f x a b =⋅，求函数()y f x =的最大值()g m ，并解不等式()51g m m <--．参考答案1.B【解析】主要考查正弦函数的图象与性质.对函数∵当时,∴函数的图象不关于原点对称,故A错误;当函数函数的图象关于点对称,故B正确;当时,函数∴函数图象不关于轴对称,故C错误;当函数∴函数的图象不关于直线对称,D错误.故选B.2.C【解析】主要考查平面向量的基本定理及其意义.===,与是不能构成基底的一组向量.故选C.3.A【解析】主要考查利用三角函数的性质求函数的解析式.由图象可知A=2,由图知即,,,又,∴函数的解析式是).故选A.4.D【解析】主要考查两角和与差的正、余弦公式,熟练掌握公式是解决本题的关键.==,==故选D.5.B【解析】主要考查三角函数的诱导公式、正弦函数的单调区间的求法.,∴函数的单调增区间,即函数单调减区间.由解得故函数的单调递增区间是).故选B.6.A【解析】主要考查平面向量的线性运算.平行四边形中,=====故选A.7.B【解析】主要考查两角和与差的三角公式,以及倍角公式.,,,又因为,故选B.8.B【解析】主要考查平面向量的数量积.因为关于的方程有实根,所以即,,,故选B.9.C【解析】主要考查三角形面积公式,向量数量积的定义.因为中,为等腰直角三角形,且为直角,==又因为,,,即故选C.10.D【解析】主要考查二倍角公式,两角和与差的三角公式在解三角形中的应用.依题意可知=整理得,∴三角形为等腰三角形.故选D.11.A【解析】主要考查正切函数的图象与性质,同时也考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题,是一道综合性题目.∵函数的图象与x轴交于A点,,解得,又∵过点Α的直线与函数的图象交于Β,C两点,设,且B,C两点关于A对称,即,如图所示,又,,故选A.12.D【解析】主要考查余弦定理在解三角形中的应用,以及不等式恒成立问题,余弦定理建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.根据题意画出图形,如图所示:,,又分别是的中点,,,∴在∆中,由余弦定理得===在∆中,由余弦定理得===,=,∵当取最小值时,比值最大,∴当,时,达到最大值,最大值为,则恒成立,的最小值为故选D.13.【解析】主要考查平面向量的数量积的几何意义,向量的夹角是解题的关键.因为等边Δ的边长为,所以在方向上的投影为故答案为14.【解析】主要考查三角形面积公式及倍角公式的应用.由三角形面积公式得又,,,故答案为15.【解析】主要考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义.过作OS垂足分别为,则分别为的中点,===故答案为16.①③④【解析】主要考查三角函数的性质和解三角形,以及平面向量的夹角和向量共线的知识.①因为都是第一象限角,且但,故①错误;②因为=故②正确;③当时,向量与向量的夹角为,不是锐角,故③错误;④当为零向量时,与共线,与共线,但与不一定共线,故错误;所以假命题为①③④.故答案为①③④.17.(1)若,则即,解得,又.(2),又,,又恒成立,．【解析】主要考查平面向量垂直的条件及数量积运算,考查三角恒等变换等知识. (1) 由得即求得tan,结合所给角的X围可求的值;(2)首先求出将问题等价转化为求的最大值,再利用三角恒等变换转化为求正弦函数的最值.18.(1)由条件得,∵为锐角,∴因此.(2)由(1)知,所以.为锐角,,.【解析】主要考查同角三角函数的关系式及两角和的正切公式与转化思想.(1)由条件得,利用同角三角函数的基本关系求出,进而求出及的值;(2)由(1)可求得再利用两角和的正切公式求出最后根据都是锐角确定的取值.19.(1),又,.(2)由(1)知,且,由余弦定理得,,,又由正弦定理知,又.【解析】主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式以及平面向量的数量积. (1) 根据平面向量的数量积,求出的值,再根据同角三角函数的基本关系求出,代入三角形面积公式即可求出结果;(2)利用余弦定理和正弦定理求出,再根据角的取值X围即可求出角C的值.20.(1)．又．(2)由(1)知,.又且,所以,.【解析】主要考查三角函数的恒等变形,解决本题的关键是利用向量之间的关系写出三角函数之间的关系,其中应注意余弦定理的应用.(1)根据两个向量共线的条件,得到关于三角形中边角的表达式,再结合余弦定理得到角的正弦值,求出角;(2)根据(1)的结果,写出之间的关系式,把要求的两个角的正弦值的和,写成一个角的形式,利用辅助角公式化成能够求函数值的形式,得到结果.21.(1)由得,,,,故,.(2)由(1)知,.(3)由(1)和(2)知点在三角形的外接圆上,故.设,则,,,.【解析】主要考查向量的数量积,余弦定理,以及三角形的面积公式,三角函数的单调性等.(1)由向量式和已知数据可得,而由余弦定理可得==,从而可求出由三角形面积公式即可求出四边形ABCD的面积;(2)由正弦定理可得代入数据即可求出三角形ABC的外接圆半径R的值;(3)利用正弦定理得出根据角的取值X围和三角函数的单调性即可得出结果.22.(1).(2)由(1)知,原式.(3),,,,当时,,当时,恒成立,当时,,综上,不等式解集为.【解析】主要考查两角和与差的正、余弦公式以及平面向量的数量积的运算,同时也考查了含绝对值不等式的解法. (1)利用两角和的正弦公式即可得出结果;(2)根据(1)的结论,将式子化简,再利用两角和的正弦公式即可求出结果;(3)利用平面向量的数量积将函数表示出来,根据三角函数的性质求出,再对进行分类讨论解不等式,即可求出结果.。
2020-2021学年高一数学4月月考试题 (II)
2020-2021学年高一数学4月月考试题 (II)考试时间：120分钟一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为x a ＋y b ，则实数x ，y 的值为( )A ．x ＝4，y ＝1B ．x ＝1，y ＝4C ．x ＝0，y ＝4D ．x ＝1，y ＝－42．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)图像的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π43．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →4．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为（ ）A.5π6B.2π3C.5π3D.11π65．已知a ，b 满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.23π C.34π D.56π 6．要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－738．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图像关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图像关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图像D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”a ×b 是一个向量，它的模等于|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(1，3)，b ＝(－3，－1)，则|a ×b |＝( )A. 3 B ．2 C ．2 3D ．410．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π211．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是( ) A ．λ<103 B ．λ≤103 C ．λ≤103且λ≠－65 D ．λ<103且λ≠－6512．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 14．若非零向量a ，b ，c 满足a ∥b ，a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝________.15.已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm 2.16.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像如图，则ω＝________. 三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.18．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)． (1)求：sin(π－x )－sin(π2＋x )的值；(2)写出角x 的集合S .19．(12分)(1)已知a ，b 为非零向量，AB →＝a ＋b ， BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3a －3b ，求证A ，B ，D 三点共线．(2)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，当k 为何值时，(a ＋k c )∥(2b －a)？平行时它们是同向还是反向？20．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a ＋b )·(a －b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0)图像上的一个最高点的坐标为(π8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y ＝2交于点(38π，2)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)求函数的对称中心．22．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．鹤壁淇滨高中xx 下学期高一年级4月份月考数学试卷答案一．选择题1.B 2．A 3．A 4．D 5．D 6．D 7．D 8. C 9．B 10．C 11．D 12． C 二、填空题13． 30° 14． 0 15． 3π2 16． 32三．解答题17.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c . 因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →，MN →＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝MD →＋MC →＋DA →＋CB →＋AN →＋BN → ＝－AD →－BC →＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c . 所以MN →＝12a －b －12c .DN →＋CN →＝DM →＋MN →＋CM →＋MN →＝2MN →＝a －2b －c . 18.【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2k π＋π3，k ∈Z }.19.解：(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3a －3b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝5a ＋5b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵a ＋kc ＝(3,2)＋k (4,1)＝(3＋4k,2＋k )， 2b －a ＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)．又(a ＋kc )∥(2b －a )，∴(3＋4k )·2＝(2＋k )·(－5)， ∴k ＝－1613.此时，a ＋kc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2513，1013＝513(－5,2)＝513(2b －a )，故向量(a ＋kc )与(2b －a )同向．20.解：(1)由条件知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝12，|a |＝1，∴|b |＝22. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12，∴|a －b |＝22， ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52，∴|a ＋b |＝102， 设a －b ，a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a －b ·a ＋b|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. 21.【解】 (1)由题意得A ＝22－2＝ 2.由T 4＝3π8－π8＝π4， ∴周期为T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)＋ 2.以点(π8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有2×π8＋φ＝π2， ∴φ＝π4，∴y ＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.(2)由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数的对称中心为(k π2－π8，2)(k ∈Z )．22.【解】 (1)由题意知T ＝π＝2πω，∴ω＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，xKb 1.∴y ＝f 2(x )的最大值为2. 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． ∵y ＝cos x 的减区间为x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ，∴f 2(x )＝－2cos (2x ＋π6)的增区间为{x |2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z }，解得{x |k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z }， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为x ∈[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
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华中学校高一绸月份月考数学试卷第I卷（选择题，满分50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. sin405：+cos(_270；)等于( )A. N B・2.若点(sin %os $位于第四象限，则角A.第一象限B.第二象限C・12D.在壬）C.第三象限D・第四象限3.对等式sin （ 如 sin cdsin 0的认识正确的是（ ） A.对于任意的角 Q B 都成立 B.只对a B 取几个特殊值时成立C.对于任意的角 a B 都不成立D.有无限个a 、0的值使等式成立(理)sin17 &os45Hcos17§in45 ? b - 2cos213^ 1, c =12A. c<a<b B ・ b<c<a C. a<b<c D ・ b<a<c 12 TT9.TT) sin GFTT,则tan2 a 的值为)® 26012060 120A. B.c.— 119D - _119119119= +=7- +（理）在公ABC 中， 内角A,B, C 所对边的绘别a, b, c, 且 acosC , bcosB , ccos A 满足2bcos cos ccos ，若 b 3 ,则a c 的最大值为 B a C A3 A. 2B. 3C. 2 3D. 9 10.（文）.在^ABC 中，下列关系式中一定成立的是A. a>bsinAB. a= bsinA I ・一丿 Sin TT C. （理）已知函数 (0 ( )a<bsinA < 一 1)D. a> bsinAJog 2014 + 1)4.在厶ABC 中， a = 3, b=5 4 厂-5 A * 5B ・9 sin47^^inl7. &杯05. =( 厂 cos17-4A ・_ 2B ・一2 6.计^F«os100 £ 」1-¥os1(A. — 2cos5 °B. 2cos5 °J sin A= 3才5 则 sin B=( )C . 3D ・1 ) -1 厶 C. 2 D ・2 釣（)C ・2sin5 °D ・ 2sin5 °a<b<c,且 c2<a2+b2,贝胚 ABC 钓 A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不存在A. 则厶ABC 的面谢3 3 B. 2 3 C.4 3 在厶ABC 中, 4-cos（错咿炯引用源。
，若a 、q 、c ）则B 等于=；15.（文）给出下列四个命题:互不相等，且f （a ） f （b ）f (c)，则 a c 的取值范围是（A.1,2014B.D. 1,2015二、 填空―,每小题5分,共25分.11. 12. 1 r 1若 tan 殳,则 cos20l-sin2 @53 2八 “ sin22 弋os45 &123 0化简 2 -0cos22 Tn45 訪23 -+ 0在厶ABC 中，角A 、 13. 则角A 的大小为B 、C 所对的边Ua 、_b 、 c,若 a= 2,sinB+cosB= 2,14.（文）已知（理）定义运算 sin(6~a "bsin(6 =ad — be •若 cos 71=a a =一1 GF ,7=P sin asin3 TT ,0<p<a<,P= 7T±-cos a cos14①对于向量、b 、c,若a|| b , b||c ，则a || c ；k②若角的集合人（I（Ji ）无字证^proofs without words ）,就是将数学命题用简单、有创意而且易于理輪 形来呈现•请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验的一个n 縫揍 公式：・③函数y 2*的图象与函数『 2X 的图象有且袒 2个公共点;④将函数f （ x ）的图象向右平彩个单位，得到f { x 2）的图象.其中真命题的序号是・（请写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）•cosBcosC —sin B sin C =—A, B, C为ZkABC的三内角，其对边分别为a, b, c,若 2= J + 一A（1）求A；（2）若a 才扌，b c 心求△ ABC的面积.17.（本小题满分12分）_• a _ ° a 亡—7T P _ -5- Psin = COS =已知，(,), 一，是第三象限的a卩5 2 13求COS （—）的值18. （本小题满分12分）在ZkABC中，角A, B, C对应的边分别是a, b, c,已知cos 2A— 3cos(B+ C)= 1.(1)求角A的大小；(2)若厶ABC的面积A5 3, b = 5,求sin Bsin C的值.19. （本小题满12分）（文）如图，一艘船上午9： 30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方厂向匀速航行，上午10： 00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75。
处，且与它相距8 2 n mile.求此船的航速JT~3（理）如图，已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形•记Z COP农，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.O A B p20. (本小题满分13分)己知A、B(A B)是Rt ARC的两锐角，若存在一正实数k使sin A , sin B是方程225x -(10*5k)x+2k 亠2 =0 的两根.求：(i)k 的值；(n) cos(A B)白屜.(文)设向量a= ({3sinx, cosx), 向严b=(cosx, -cosx), 记f(x)=a・b+2 21. (本小题满分14分)f(x)的最大值及取得最大值吋对应的X的值⑴写岀函数f(x)的最小正周期;2f(x)iog」[x _2(2a_1)x+ 8](a e R)2(理)已知函数(1)若使函数f(X)在[a,+oC)上为减函数，求a的取值范围;3- (2)当a = 4时，求7T Kf (sin(2x_ ~)), x" [~~3 12］2的值域; f(x)(3)若关于X的方程1 log x 31在［1 ,3］上仅有一解，求实数a的取值范围.2华中学校高一年级四月份月考数学试题参考答案二、解答题:16.试題舁析：(1) vcosBcosC-stnBstnC-i2 j丄 2zr又g ——-・・・如—.八亍(2)由余弦走理a 2-^+c a-2Zc cos/<得(2J3)2-(^+c)a-2bc-2bc cosy —Ac sin —=2 2 2sin a乂山 n ）s tv I a>s /所以ci >s(a /?) n>s aa>b J • sin asin /=(-I)x(-A)4x(-li)33 65,一.选择题:1 —5DBDBC6-10 6C 7B8 (文) T —3.4 X — 7r- 6二•填空题:(a + Psindi 4—s on siC （理）A 9（文）B （理）C 10（文）B （理）C7（文）丞（理）彳15 （文）②④“（理）.・.cos(B + C)- —z 12 =16—2dc —2Ac ・(―—)，be =4 .•- S A 亿［解答］||| sin a 广• a€cx>s u （一尙n18.［解答］⑴由 cos 2A — 3cos(B+ C) = 1,得 2cos2A+3cos A —2= 0,即(2cos A — 1)(cos A+2) 1 =0,解得cos A=或 _ 2 T 1 (2) ill S besin A = 2 2 71 舍去).因为OvAv/r,所以A= 3 < bc=5 3,得 bc=20,又 b = 4 由余弦定理得 a2= b2+ c2- 2bccos A= 25+16^ 20 = 故 a 三 3 bc ・ 2 3 c= 4. 21.b c 从而由正弦定理得 sin B sin C=sin A sin A= a a be 20 3 5 sin2A= ( a2 21 4 1 19.(文)设航速为 v n mile/h ,在△ ABS 中，AB= v, 2BS = 8 2 n mile ,-5-ZBSA=45°,由正弦定理，得 1 2v ,/.v= 32 n mile/h. sin 30 ° sin 45 0 (理)解：如图，證 RtAOB^, OB=cosa BC=s T a ~3 在 RtA OAD 中, DA= BC= sin a 1 V3 聊形AB0D 1 三网 2 co^2 a - 兀 ,所以 0A= cos a sin2a+ 所以AB=OB - 兀出 =tan60V sin (2 a 亏) 兀 由于OVaV-了，所以当 2a + 因此，当a 二吋，矩形 _V3 3 V3 a) sin a =sin a cos a sin2 a cos2 a) 1 V3 V3 73 TT V3 最大石-= ABCD 的曲■积龜担最大面积为 20. ■ f 角军答］(I )由题意知: 4 sin A 、sin B 是方程 +25x (40 5k)x + = -------------------- = --------- 2k 2 0的两根, s i rA ・ 1^0 5 s iBa --------- 25 + 2 k =cAa-s — 5 s i rA + s iBn 2=靳 25 A i n Ac o si rA :+ 2・ ) ccAsAcos 2 2= k 25 (n) k 5 时, 方程 2 25x 0) 35x 12 0两根为 50 (满足 ) 3 s i nA 5 3 ,Bc o s cos( A B) cos Acos B sin Asin Bj 21 ・(文)解⑴f(x)=ab=^sinxcosx - cos2x + 211 + cos2x=sin2x -22TT最小正周期T=——I M€ I——一X「2」(2)2x r一s当 6 2、I——+ >2a 1 a4（理）— 2_ +解：（1）a 2(2a 1)a_8 0 3 ■ 3 n 汽f（X）•(2)当：=4一_ =吋，X 冥<3 时，函数f x的最大值及取得最大值1（12 分）a1■・・・・・・(■■ ^4)log 7T___ +2一1(X一 2X*)'n7T<2x7T7T2x«-+ 2 =sin I 6sin(2 ) x 3f(Qn ②工)) 3 2 7T 1 (sin (2>e- [(sin(2x sin(2x )8) log J 314]3531 (••9 log 分）12 2x24a = x + —,x € [13]3S专或仕2妃返即4 12或沪2即x t由对勾图形可知二................................ (14 分)。