2021年高一数学4月月考试题 理
2021年高一4月月考数学试题 Word版含答案
2021年高一4月月考数学试题 Word版含答案注意事项：请考生使用蓝色或黑色圆珠笔、签字笔或钢笔作答。
考核内容：成绩统计：卷Ⅰ（30分钟，48分）一、填空题（本大题12小题，每小题4分，共48分）1.若不等式的解集为，则＝________．2.已知数列{a n}是等差数列，且，，若，则_________．3、在△ABC中，，则的值为________．4、若，则角在第________象限。
5、函数，的值域是_________．6、若不等式的解集为，则实数的取值范围是▲．7.、在等差数列中，，则______8、下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点②经过空间任意三点有且只有一个平面③过两平行直线有且只有一个平面④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是9、若等差数列的前15项的和为定值，则下列几项中为定值的是________．①；②；③；④；⑤．10、若，且，则的最大值为______．11、如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．12、空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有个卷Ⅱ（30分钟，52分）二、解答题（本大题4小题，第13题12分，第14题每题12分，第15题12分，第16题16分，共58分）13．已知函数．（1）写出函数的最小正周期和单调增区间；（2）若函数的图象关于直线对称，且，求的值．14、已知的解集为，求不等式的解集.15．（本小题满分10分）在△ABC中，角所对的边分别是，且。
（1）求的值；（2）若，的面积，求的值。
16．（本小题满分14分）已知数列：1212312100122333100100100++++++，，，…，…，…（1）观察规律，写出数列的通项公式，它是个什么数列？（2）若，设，求。
（3）设，为数列的前项和，求。
试卷配套答案卷Ⅰ由根与系数的关系得,∴,∴不等式qx2+px+1＞0可化为-,即x2-x-6＜0,∴-2＜x＜3,∴不等式qx2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x＜3}. 15解：（1）故为等差数列，公差②()()()()214421122211++=++=++=n n n n n n b n ·又知 ∴1211111111444423341222n n S b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……… ③23601 5C31 就t26280 66A8 暨21199 52CF 勏35572 8AF4 諴31022 792E 礮30576 7770 睰26557 67BD 枽m23154 5A72 婲O38613 96D5 雕fu。
2021年高一下学期4月检测数学试题 Word版含答案
2021年高一下学期4月检测数学试题 Word版含答案xx.4.23一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．.1.简谐振动的初相是 .答案:2.计算 .答案:3.函数的定义域为________.答案:4.函数的单调增区间为________.答案:5.已知，则________.答案:6.已知，，若点在线段上，且，则点的坐标为________.答案:7.在中，若，则该三角形是三角形.答案:等腰或直角三角形8.如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是．答案: Array 9.已知，是方程的两根，则的值为.________答案:10.若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为.答案:11. 式子的值为.答案:12. 在平面直角坐标系中，已知，，为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为________．答案:13.函数，，在上有最大值，无最小值，则.答案:或14.在中，AB=2，AC=1，,O点是的外心，满足,其中为非零实数，则= ．答案:二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知平面向量＝(cos，sin)，＝(cosx，sinx)，＝(sin，－cos)，其中0＜＜，且函数f(x)＝(·)cosx ＋(·)sinx的图象过点(，1)，（1）求的值（2）将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值解：（1），，即∴，而，∴（2）由（1）得，，于是，即，当时，，所以，即当时，取得最小值，当时，取得最大值116.（本小题满分14分）已知向量＝(－1，2)，又点A(8，0)、B(n，t)，C(ksin，t)(0≤≤)(1)若⊥，且||＝||，求向量(2)若向量与向量共线，当k＞4，且tsin取最大值为4时，求解: ，又||＝||，∴5×64＝(n－8)＋t＝5t，得，或(2)＝(ksin－8，t)，∵与向量共线，∴t＝－2ksin＋16，∵tsin＝(－2ksin＋16)sin＝－2k(sin－)＋，又∵k＞4，∴1＞＞0232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k kθθθθ=-+=--+，,当sin ＝时， 取最大值为，由，得k ＝8，此时，17. （本小题满分14分）在平面四边形中，(1)若已知，，，，且.求的值；(2)若，，求的值.解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6，∠ADC ＝90°，则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513. ∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2)由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →.(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5.18. （本小题满分16分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M(－2，0)的直线L 与圆x ＋y ＝1交于P 、Q 两点(1)若＝－，求直线L 的方程 (2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线L 的斜率. （1）依题意，直线L 的斜率存在，因为 直线L 过点M(－2，0)，可设直线L ：y ＝k(x ＋2)因为P 、Q 两点在圆x ＋y ＝1上，所以||＝||＝1，因为·＝－，所以·＝||||cos ∠POQ ＝－，所以∠POQ ＝120，所以O 到直线L 的距离等于，所以，得k ＝±，所以直线L 的方程为x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0（2）因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以， 设P(x ，y)、Q(x ，y)，所以，，所以 即 （*） 因为P 、Q 两点在圆上，所以 把（*）代入得故故直线L 的斜率k ＝k ＝±.19. （本小题满分16分）如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪ABC ，直角边AB =40米，AC =米，扇形花坛ADE 是草坪的一部分，其半径为20米,为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路OM 和ON ，考虑到小区整体规划，要求M 、N 在斜边BC 上，O 在弧 上，，．（1）设∠OAE =，记,求的表达式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计的大小使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．解：（1）如图过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，则AF=20，OF=NG=20，CG=20，ON=，OM=ON,则120cos )]0,32l πθθθ⎛⎡⎤=++∈ ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭，...................................8分 （2）...............................12分，，即，总费用最少为..............................16分20. （本小题满分16分）设函数22()cos 2sin 262()f x x t x t t x R =--+-+∈，其中，将的最小值记为．（1）求的表达式；（2）当 时，要使关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．（3）问取何值时，方程在上有两解？解：（1）由已知有：由于，∴ ………………3分∴ 当 时，则当时，；当 时，则当时，；当 时，则当时，；综上， ……………………6分 D A BC O E M N 第19题图（2）当 时，，方程 即：即方程 在区间有且仅有一个实根，………8分令 ，则有：解法1：①若当k=-4时，方程有重根t=1，当k=-8时，方程有重根t=-1 ∴ ……10分② 628k k k +⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩＜-8＜-1k ＜-8q(-1)＜0＜k ＜-4q(1)＞0 或624k k k +⎧⎪⎧⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩＞1＞-4q(-1)＞0k ＞-8＞k ＞-4q(1)＜0 综上，当时，关于的方程在区间有且仅有一个实根． ……………………………………12分解法2：由),4[]8,(0)4)(8(0)1()1(+∞---∞∈⇒≥++≤- k k k q q ，得．（3）令，22()6151g u u u a u u u a =-+=-⇒-+=或 ……………………………………16分(P, 34964 8894 袔=X29521 7351 獑32647 7F87 羇39875 9BC3 鯃@ 33540 8304 茄。
2021年高一4月月考数学试题(A卷)含答案
第І 卷 （选择题 共 50 分）一、选择题：（共10小题，每题5分，满分50分）1．下列各角中与240°角终边相同的角为 （ ）A ．B ．C ．D ．2．若点在角的终边上，则等于（ ）(A) （B ） （C ） （D ）3．已知，则的值是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）4.若点在函数的图象上，则的值为（ ）A ．0B ．C ．1 （D ）5.函数的周期、振幅、初相分别是A ．B ．C ．D ．6．设，，，则( )A ．B ．C ．D ．7．设函数，则是 （ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为的奇函数D ．最小正周期为的偶函数8.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）（A ）向右平移个单位长度 （B ）向右平移个单位长度（C ）向左平移个单位长度 （D ）向左平移个单位长度9．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与的图象相同B ．与的图象关于轴对称C ．是由的图象向左平移π2个单位得到的 D ．是由的图象向右平移π2个单位得到的 10.同时具有性质“（1）最小正周期是；（2）图像关于直线对称；（3）在上是增函数”的一个函数是（ ）A ．B ．C ．D ．2021年高一4月月考数学试题（A 卷）含答案二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在答题卡的相应位置。
11.设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 12. 已知，且，则的值为__________.13.函数的定义域是14.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图像如图所示，则函数的解析式为 .15.给出下列命题：①函数的最小正周期是；②终边在y 轴上的角的集合是；③把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象； ④函数在区间上是增函数． 其中正确的命题是 （把正确命题的序号都填上）.三．解答题：本大题共6小题，共75分。
高一数学下学期4月月考试题含解析 试题
HY 中学2021-2021学年高一数学下学期4月月考试题〔含解析〕考生注意：1．本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．2．请将各题答案填写上在答题卡上．3．本套试卷主要考试内容：必修4第一章和第三章．第I 卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.512π=〔 〕 A. 85° B. 80°C. 75°D. 70°【答案】C 【解析】 【分析】 根据180π=代入512π换算，即可得答案； 【详解】180π=，∴75512121805π=⨯=.应选：C.【点睛】此题考察弧度制与角度制的换算，考察运算求解才能，属于根底题. 2.cos750︒=〔 〕A. 12-B.12C. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可得cos750cos30=，利用特殊角三角函数值，即可得答案；【详解】2cos 750cos(72030)cos303=+==. 应选：D.【点睛】此题考察诱导公式的应用，考察运算求解才能，属于根底题.α的终边过点()cos2,tan 2，那么角α为〔 〕A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据cos20,tan20<<，即可得答案； 【详解】cos20,tan20<<，∴点()cos2,tan 2在第三象限， ∴角α为第三象限角.应选：C.【点睛】此题考察三角函数在各个象限的符号，考察运算求解才能，属于根底题.cos3y x =的图象，只需把函数cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象〔 〕A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度C. 向右平移6π个单位长度 D .向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】比照两个函数中自变量x 的变化情况，再结合“左加右减〞的平移原那么，即可得答案；【详解】cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移12π单位可得cos 3(cos34)12y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，应选：B.【点睛】此题考察三角函数的平移变换，考察对概念的理解，属于根底题. 5.334απ=-,那么角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A. ⎝⎭B. 22⎛- ⎝⎭C. 22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D. 122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可分析角α的终边与4π-的终边重合,利用三角函数的定义求解即可 【详解】由题,33844πππ-=--,所以角α的终边与4π-的终边重合,因为单位圆的半径为1,那么cos 42y π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,sin 42x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,【点睛】此题考察终边一样的角的应用,考察三角函数的定义的应用2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为( )A. (),0210k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ B. (),0210k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C . (),010k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D. (),010k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图像变换原那么可得新曲线为2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+求解即可【详解】将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+,得()102k x k Z ππ=-+∈ 应选：A【点睛】此题考察三角函数的图像变换,考察正弦型函数的对称中心AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，假设扇形AOB 的面积为8，那么该扇形的圆心角的弧度数是〔 〕 A. 14B.12或者2 C. 1 D.14或者1【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.【详解】解：由题意得212,18,2l r lr =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或者4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或者1l r α==.应选：D【点睛】此题考察弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于根底题. 8.4sin 77πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，那么5cos 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔 〕A. 7-C. 47-D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，可求得答案. 【详解】55()71421427ππππππαααα++-=⇒-=-+， ∴54cos cos[()]sin 142777ππππααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.应选：C.【点睛】此题考察诱导公式的应用求值，考察运算求解才能，求解时注意符号的正负.α为第二象限角，以下结论错误的选项是〔 〕A. sin cos αα>B. sin tan αα>C. cos tan 0αα+<D. sin cos 0αα+>【解析】 【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角, 所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α< A,B,C 对,D 不一定正确. 应选:D【点睛】此题考察了三角函数在第二象限的符号,属于根底题.()cos sin xf x x x=-的局部图象大致为〔 〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数和(1)f 的正负，即可得答案； 【详解】()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，且()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，排除B ，D ；cos1(1)01sin1f =>-，排除A ；【点睛】此题考察根据函数的解析式选择函数图象，考察数形结合思想，求解时注意函数性质的运用.()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的局部图象如下图,BC ∥x 轴当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,假设不等式()sin 2f x m x -恒成立,那么m 的取值范围是( )A. 3,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 3,)+∞D. [1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据,B C 两点的对称性求得()f x 的一条对称轴方程，由此结合()f x 的周期性求得ω的值，结合π,03⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，进而求得()f x 的解析式，利用别离常数法化简()sin 2f x m x -，结合三角函数值域的求法，求得m 的取值范围.【详解】因为//BC x ,所以()f x 的图像的一条对称轴方程为2723212x πππ+==,71212344ππππω-==⨯,所以2ω=.由于函数()f x 图像过π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，由23k πϕππ⨯+=+,k Z ∈,且0ϕπ<<,得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. ()sin 2f x m x -，等价于()sin 2f x x m -,令()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()sin 2coscos 2sinsin 2cos 2336g x x x x x πππ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭.由70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()g x 的最大值为2,所以32m . 应选：A【点睛】本小题主要考察根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考察三角函数最值的求法，考察三角恒等变换，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.()()sin f x x ππ=-与()()114g x x =-的图象所有交点的横坐标为12,,,n x x x ，那么12n x x x +++=〔 〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】作出两个函数的图象，利用函数的对称中心为(1,0)，即可得答案； 【详解】作出两个函数的图象，易得一共有7个交点，即127,,,x x x不妨设127x x x <<<，127S x x x =+++，两个函数均以(1,0)为对称中心，∴71625342,2,2,1x x x x x x x +=+=+==， ∴3217S =⨯+=.应选：B.【点睛】此题考察利用函数的对称中心求函数零点和，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.第II卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.5sin13α=，2παπ<<，那么cos6tanαα-=______.【答案】41 26【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得cos,tanαα,代入即可求解. 【详解】由同角三角函数关系式,可知因为5sin13α=,2παπ<<,所以2512cos11313α⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,5sin513tan12cos1213ααα===--,所以12541 cos6tan6131226αα⎛⎫-=--⨯-=⎪⎝⎭.故答案为: 41 26【点睛】此题考察了同角三角函数关系式的应用,属于根底题.14.()sin10sin3sin80cos1070m ︒︒+︒-=︒，角α的终边经过点()P m ，那么cos α=_________.【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的根本关系可得1m =，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为()22sin10sin370sin80cos10sin 10cos 101m ︒=+-=︒︒+︒︒=︒，2r ==，所以cos 2α=-.故答案为： 【点睛】此题考察了诱导公式、同角三角函数的根本关系以及三角函数的定义，属于根底题. 15.tan 3α=，那么2cos sin 2αα+=__________. 【答案】710【解析】 【分析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用22sin cos αα+代换化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α求值．【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++.故答案为：710． 【点睛】此题考察正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系．考察“1〞的代换．解题时注意关于sin ,cos αα的齐次式的化简求值方法．()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为____________．【答案】1009 【解析】 【分析】将函数的零点转化为求方程()0f x =的根，再计算根在区间()0,2020π的个数，即可得到答案.【详解】函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭在区间()0,2020π的零点，等价于方程11cos 232x π⎛⎫+=⎪⎝⎭在区间()0,2020π根的个数；∴12233x k πππ+=+或者12233x k πππ+=-， ∴4x k π=或者44,3x k k Z ππ=-∈，当1k =时，14x π=⨯或者4143x ππ=⨯-；当2k =时，24x π=⨯或者4243x ππ=⨯-；当504k =时，5044x π=⨯或者450443x ππ=⨯-； 当505k =时，450543x ππ=⨯-； ∴函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为504211009⨯+=.故答案为：1009.【点睛】此题考察三角函数的零点个数问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．α为第一象限角，且sin α．〔1〕求cos tan αα、的值； 〔2〕求()()3sin 2cos cos 2παπαπα--+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)1cos tan 52αα==;(2)7 【解析】 【分析】〔1〕利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；〔2〕利用诱导公式进展化简得到关于sin α，cos α的式子，再转化成关于tan α的式子，即可得答案； 【详解】〔1〕角α为第一象限角，且sin α，∴cos 5α===，∴sin 1tan cos 2ααα==. 〔2〕原式323sin 2cos 3tan 2271sin tan 2ααααα+++====. 【点睛】此题考察同角三角函数根本关系、诱导公式化简求值，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察运算求解才能.18.某同学用“五点法〞画函数()()sin f x A x =+ωϕ在某一个周期内的图象时,列表并填入了局部数据,如下表:(1)请将上表数据补充完好,填写上在相应位置,并求出函数()f x 的解析式;(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,求236g π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)见解析,()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)-1【解析】 【分析】〔1〕由表格中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即可求得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,由sin 22A π=可得2A =,那么()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,进而补全表格即可； 〔2〕由图像变换原那么可得()2sin g x x =,进而将236x π=代入求解即可 【详解】解:(1)根据表中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,又sin22A π=,所以2A =,所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 数据补全如下表:x6π 512π 23π 1112π76π ()sin A x ωϕ+ 02-2(2)由(1)知()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,再把得到的图像向左平移3π个单位长度,得到2sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图像,即()2sin g x x =,所以23232sin 2sin 1666g πππ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考察由三角函数性质求解析式,考察三角函数的图像变换,考察运算才能()()sin 0,0f x A x b A ωω=+>>的局部图象如下图．〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕设,MOx NOx αβ∠=∠=，求()sin αβ+的值． 【答案】〔1〕()4sin 18xf x π=-；〔2〕5665. 【解析】 【分析】〔1〕观察图象得到b 的值，再利用函数的周期、振幅求得函数的解析式；〔2〕分别求出sin ,cos ,sin ,cos ααββ的值，再代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】〔1〕易得3(5)12b +-==-， ∴3(1)4A =--=，∴()4sin 1f x x ω=-，281628T T ππωω=⇒==⇒=， ∴()4sin 18xf x π=-.〔2〕由图象得：34512sin ,cos ,sin ,cos 551313ααββ====， ∴()3124556sin cos cos sin 51351365sin αβαβαβ+=⨯=+=+⨯.【点睛】此题考察三角函函数的图象与性质、两角和正弦公式的应用，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.〔1〕求ω的值； 〔2〕求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及相应的x 的值；〔3〕假设()2f x =-，求25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】〔1〕2；〔2〕最小值-512x π=；最大值3，0x =；〔3〕1916【解析】 【分析】〔1〕由正弦函数的周期2T ωπ=，代入求解即可；〔2〕由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再求函数的值域即可；〔3〕由有1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，再结合诱导公式化简求值即可.【详解】解：〔1〕因为函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，由2T ππω==，得2ω=.〔2〕()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.于是，当26x ππ+=，即512x π=时，()f x 获得最小值- 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 获得最大值3.〔3〕因为()26f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 21cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111()44=+--1916=. 【点睛】此题考察了三角函数的周期，重点考察了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题.()2sin (sin cos )2f x x x x a =++-的图像经过点π(,1)4.〔1〕求a 的值以及()f x 的单调递减区间； 〔2〕当[,]22x ππ∈-时，求使()1f x <成立的x 的取值集合. 【答案】〔1〕a=1, ()f x 的单调递减区间为37[,],88k k k Z ππππ++∈；〔2〕{|}24x x ππ-<<【解析】 【分析】〔1〕根据函数f 〔x 〕的图象过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭求出a 的值，再化f 〔x 〕为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2) 由()1f x <，得sin 242x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭,结合正弦函数图像，解三角不等式即可. 【详解】解：〔1〕因为函数()()2sin sin cos 2f x x x x a =++-的图像经过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭，所以122a =-，解得1a = 又()()22sin sin cos 12sin 2sin cos 1f x x x x x x x =+-=+-1cos2sin2124x x x π⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭,由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递减区间为37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔2〕由()1f x <，得sin 24x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭ 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，532444x πππ-≤-≤ 故52444x πππ-<-<，解得：24x ππ-<< 故使()1f x <成立的x 的取值集合为{|}24x x ππ-<<.【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质的应用问题，也考察了三角恒等变换问题，是根底题．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．〔1〕求()f x 的图象的对称中心； 〔2〕假设5,24x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域为[]1,2-，求m 的取值范围； 〔3〕设函数()()2f xg x n =-，假设存在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()03g x ≤≤，求n 的取值范围．【答案】〔1〕(,0),28k k Z ππ-∈;〔2〕11248m ππ≤≤;〔3〕542n -≤≤【解析】 【分析】〔1〕直接解方程sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得到对称中心；〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象如下图，观察图象可得m 的取值范围； 〔3〕将问题转化为()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解问题，求出函数的最值，即可得答案；【详解】〔1〕sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2,4x k k Z ππ+=∈，即,28k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的图象的对称中心(,0),28k k Z ππ-∈. 〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象如下图， 当2sin 214x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，∴246B x ππ+=-或者7246Cx ππ+=， 可得524B x π=-，2141C x π=， 当2sin 224x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，∴8G x π=，∴11248m ππ≤≤.〔3〕由题意得：()023f x n ≤-≤在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， ∴()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， 552,22424643x x πππππ⎡⎤∈-⇒-≤+≤⎢⎥⎣⎦，∴()[1,2]f x ∈-，∴()max [2]4f x =，()min 5[23]2f x -=-， ∴542n -≤≤. 【点睛】此题考察三角函的图象与性质、不等式有解问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意借助图形的直观性进展分析.。
2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题一、单选题 1．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】B 【分析】先对复数1i1i+-化简，再求其共轭复数，从而可求得答案 【详解】因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+， 所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-， 故选：B2．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量()2a b c +⋅=（ ） A ．(－15，12) B ．0C ．－3D ．－11【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】()()()25,63,215123a b c +⋅=-⋅=-+=-. 故选：C3．已知正ABC ，则ABC 的直观图111A B C △的面积为（ ）A B C ．D 【答案】D【分析】根据斜二测画法中直观图与原图形面积关系计算．【详解】由题意21sin 26ABCSπ=⨯⨯=，所以直观图111A B C △的面积为S ==故选：D ．4，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由圆锥的体积公式，半圆弧长和半径的关系，圆锥母线长、底圆半径和高的关系，联立即可求解.【详解】如图，圆锥的体积21333V r h ππ== ①，由侧面展开图是一个半圆得2l r ππ= ②， 又222r h l += ③，联立①②③，即可解得2l =. 故选：C552，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ） A ．π B ．3π C ．43π D ．4π【答案】C【分析】在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，由正四棱锥的性质和三角形知识求得6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，求得3r =. 【详解】解：在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，如下图所示，则PH ⊥面ABCD ，PG BC ⊥52，所以()2222512PG PB BG --，2222213PH PG HG --所以在Rt PHG △中，1sin 2HG HPG PG ∠==，所以6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，则,2OH OQ r PO r ===，所以+33PO OH r ==3r =所以该四棱锥的内切球的表面积为22344433S r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：C.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．7．若向量()2cos ,2sin a θθ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ- D ．θ【答案】A【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合诱导公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设a 与b 的夹角为α， 所以2sin 3cos sin cos 212a b a bθπαθθ⋅-⎛⎫===-=- ⎪⨯⎝⎭⋅， 因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,22ππθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而[0,]απ∈，函数cos y x =在[0,]x π∈上是单调递减函数，所以32παθ=-， 故选：A8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简变形即可判断三角形的形状 【详解】因为2cos c a B =，所以由正弦定理得sin 2sin cos C A B =,所以()()sin sin 2sin cos A B A B A B π⎡⎤-+=+=⎣⎦， 所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=， 所以sin cos cos sin 0A B A B -=， 所以in 0()s A B -=，因为,(0,)A B π∈，所以(,)A B ππ-∈-， 所以0A B -=，所以A B =， 所以ABC 为等腰三角形， 故选：C9．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+， ,,P B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立.综上可得：31m n+的最小值是12. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183C ．243D ．543【答案】B【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得． 详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点， 当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大 此时，OD OB R 4=== 233ABCSAB ==AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心 2BM 233BE ∴==Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM -=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型． 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,222⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，分别取棱1BB ，11B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，M ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN BC ，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF .1//AA NE ，1AA NE =， ∴四边形1AENA 为平行四边形，1//A N AE ∴，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ， 又1A NMN N =，∴平面1//A MN 平面AEF .P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ， ∴点P 必在线段MN 上.在11Rt A B M ∆中，1A M同理，在11Rt A B N ∆中，可得1A N 1A MN ∴∆为等腰三角形.当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长.1AO A ==11AM A N =∴线段1A P 长度的取值范围是2⎡⎢⎣. 故选：C.【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．12．体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【详解】依题意得，N 是11B C 的中点，3216AB =， 则6AB =，延长11A D 直线MN 于P ，延长11A B 交直线MN 于Q ， 连接AP 交1DD 于E ，连接AQ 交1BB 于F ， 作出截面AFNME 如下图所示，则,AFNME AEFMNFE S SS =+AEF △中，13,AE AF ==62EF =故AEF △的面积12S EF h =⋅⋅=162342⨯617=四边形MNFE 的面积 134(322)2S =917=， 2117. 故选:B.【点睛】此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形.二、填空题13．已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．14．正三棱锥-P ABC 的侧棱长为2，30APB APC BPC ∠=∠=∠=︒．E ，F 分别是BP 、CP 上的点，AEF △周长的最小值____．【答案】22【分析】作出三棱锥的侧面展开图，利用数形结合思想求出AEF △周长的最小值． 【详解】解：作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示：AEF △的周长即为AE 、EF 、FA 三者的和，从图中可见：为使三角形AEF 的周长的值最小， 只需让A 、E 、F 、A '四点共线即可；根据题中给出的条件知：30APB BPC CPA '∠=∠=∠=︒，90APA '∴∠=︒，222222AA '=+ AEF ∴周长的最小值为2故答案为：2215．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 【答案】221##122+【分析】求出P 点到i 对应点的距离，再加上半径1可得． 【详解】由题意复数z 对应点是以i 对应点为圆心，1为半径的圆，222i i 22i 2(2)22--=-=+-= 所以max 221PZ =． 故答案为：221．16．在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin 3sin b A C B =，则ac 的最小值为________． 【答案】12【分析】利用正弦定理及和角公式可得23B π=，再结合条件及正弦定理可得2ac b =，然后利用余弦定理及基本不等式即求.【详解】∵在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，2sin (2)tan c B a c C =+， ∴sin 2sin sin (2sin sin )cos CC B A C C=+， ∴()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C =+=++=++， ∴2cos sin sin 0B C C +=，即1cos 2B =-，()0,B π∈，∴23B π=， 因为23sin sin 3sin 2sin 2sin 2b A C B B B ==⨯=， ∴22bac b =，即2ac b =，又222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，∴22222ac a c ac ac ac ⎛⎫=++≥+ ⎪⎝⎭，即12ac ≥，当且仅当a c =时取等号， ∴ac 的最小值为为12. 故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把23sin sin 2sin 2sin 2b A C B B =⨯=化为2ac b =，再利用余弦定理及基本不等式即求.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，,,E F G 分别是,,BC DC SC 的中点，求证：(1)//EG 平面11BDD B ；(2)平面//EFG 平面11BDD B .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【详解】（1）如图，连接SB ，∵,E G 分别是,BC SC 的中点，∴//EG SB .又∵SB ⊆平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ，∴直线//EG 平面11BDD B .（2）连接SD ，∵,F G 分别是,DC SC 的中点，∴//FG SD .又∵SD ⊆平面11BDD B ，FG ⊄平面11BDD B ，∴//FG 平面11BDD B ，由(1)知，//EG 平面11BDD B ，且EG ⊆平面EFG ，FG ⊆平面EFG ，EGFG G =，∴平面EFG ∥平面11BDD B .18．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，||3AB →=，6AC =.(1)用,AB AC →→表示AD →和EB ；(2)求向量EB 与EC →夹角的余弦值.【答案】(1)2133AD AB AC →→→=+，2136EB AB AC →→→=- (2)7130【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；（2）以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．【详解】（1）∵D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，∴11()33BD BC AC AB ==- ∴2133AD AB BD AB AC =+=+， ∵E 为AD 的中点，∴12AE AD =， ∴112121()223336EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=- （2）1536EC AC AE AB AC =-=-+， 如图，以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则(0,3),(6,0)B C ，∴21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36EC AB AC =-+=-， ∴(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-，145,25126EB EC =+==+=7130cos ,||526EB EC EB EC EB EC ⋅===⋅⋅19．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD AB ⊥，//AD BC ，若将图中阴影部分绕AB 旋转一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案】（1）68π；（2）1403π. 【解析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可；（2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，214282S ππ=⨯⨯=半球， 22(25)4(52)35S ππ=++-=圆台侧，2525S ππ=⨯=圆台底.故所求几何体的表面积为8352568ππππ++=.（2）()()2222122554523V πππππ⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台， 341162323V ππ=⨯⨯=半球， 所求几何体体积为161405233V V πππ-=-=圆台半球. 【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题. 20．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为3（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【答案】（1）3π；（2）98π. 【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高1OO h =，OD r =，再由11AO D △AOB 求出,h r 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB 剪开，侧展图如图所示：设OB R =，在半圆⊙A 中，23AB = 弧长'23BB π=，这是圆锥的底面周长，所以223R ππ=，所以3R故圆锥的底面积为23S R ππ==圆锥；（2）设圆柱的高1OO h =，OD r =，在Rt AOB 中，223AO AB OB -=，11AO D △AOB ，所以111AO O D AO OB=，即33h -3h =，222(3)()S rh r r ππ===-圆柱侧面积，2r ⎛=-+ ⎝⎭，所以，当r =32h =时，圆柱的侧面积最大， 此时298V r h ππ==圆柱.【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.21．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++. （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2 【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.【详解】（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab +-=- 由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， 又20,3C C ππ<<∴=. （2）2,2sin ,2sin sin sin sin sin 3a b c a A b B A B C====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦20,,sin 133333A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭， 2sin 23A π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭ ABC ∴∆周长的取值范围是(2.【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.22．已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ； （2）若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）AR AB的值为35，证明见解析． 【分析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，证明//BC AD ，1//PQ MD ，又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊂/平面11A D DA ，证明//PQ 平面11A D DA ；（2）R 是AB 上的点，当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ，通过证明//PR 平面11A D DA ，又PQ R P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．然后证明即可．【详解】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，因为四边形ABCD 为正方形，所以//BC AD ，故~PBC PDM △△，所以23CP BP PM PD ==， 又因为123CQ BP QD PD ==，所以123CQ CP QD PM ==， 所以1//PQ MD ．又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA ．（2）当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ．证明：因为35AR AB =， 即有23BR RA =， 故BR BP RA PD=． 所以//PR DA ．又DA ⊂平面11A D DA ，PR ⊄平面11A D DA ，所以//PR 平面11A D DA ，又PQ PR P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．所以平面//PQR 平面11A D DA ．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．。
2021年高三4月月考数学(理)试题含答案
2021年高三4月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则=A ．B ．C ．D ．2．设为虚数单位，则复数=A ．B ．C ．D ． 3．执行如图所示的程序框图，若输出值，则输入值可以是A ．B ．2C ．4D ．64．已知为等差数列,若,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知、、为互不重合的三个平面，命题若，，则；命题 若上存在不共线的三点到的距离相等，则．对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“且”为真B ．命题“或”为假C．命题“或”为假D．命题“且”为假7．设，则二项式展开式的常数项是（）A．B．C．D．8．已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9．在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（）A．B．C．D．10．函数在区间上的最大值的最小值是（）A．B．C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案填在答题卡相应位置11．在等比数列中，，公比，若前项和，则的值为．12．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上xx元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为人．13．按如图所示的程序框图运算，若输出，则输入的取值范围是______ ．14．当实数满足约束条件（其中为小于零的常数）时，的最小值为，则实数的值是 ． 15．在平面上有如下命题：“为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数满足，且”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程写在答题卡的相应位置． 16．（本小题满分13分）某地区有甲，乙，丙三个单位招聘工作人员，已知一大学生到这三个单位应聘的概率分别是0．4，0．5，0．6，且他是否去哪个单位应聘互不影响，用表示他去应聘过的单位数（1）求的分布列及数学期望；（2）记“数列（）是严格单调的数列”为事件，求事件 发生的概率． 17．（本小题满分13分）已知函数)0,0(3cos 32cos sin 2)(2>>-+=ωωωωa x x x a x f 的最大值为，是集合中的任意两个元素，且||的最小值为．（1）求，的值； （2）若，求的值． 18．（本小题满分13分）下图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，//，且= （1）求证：//平面；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）若，求平面与平面所成的二面角的大小．19．（本小题满分13分）已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．（1）证明：直线的斜率互为相反数；（2）求面积的最小值；（3）当点的坐标为，且．根据（1）（2）结论试推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线的斜率是否仍互为相反数？②面积的最小值是多少？20．（本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的极值；（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥,，则称为弦的伴随切线．特别地，当时，又称为弦的-伴随切线．①求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵：①求矩阵的逆矩阵；②求矩阵的特征值及相应的特征向量（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为；①若以极点为原点，极轴所在的直线为轴，求曲线的直角坐标方程；②若是曲线上的一个动点，求的最大值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数3)()()()()(2222cbacxbxaxxf+++-+-+-=（为实数）①求的最小值（用表示）；②若，求（1）中的最小值．xx届山东省济宁市兖州第一中学高三4月月考数学（理）试题参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A A C D C B B 二、填空题11．7 12．4320 13．14．-315．为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数满足且三、解答题16．（1）解：记该生到甲，乙，丙个单位应聘分别为事件B，C，D，则P(B)=0．4,P(C)=0．5,P(D)=0．5，的可能取值是0，1，2，3--------------2分P（=0）=0．12 P（=1）=0．38 P（=2）=0．38 P（=3）=0．12------6分所以的分布列为所以，----9分（2）解：因为数列（）是严格单调的数列，所以数列，即<--12 分P(A)=P(<)=P(=0)+P(=1)+ P(=2)=0．88--------------------------------13分17．解：（I），--3分由最大值为2，故，又，------------6分……………………………………… 7分（II ）由3132sin ,3232sin 232)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπαα即知f 。
2020-2021学年高一数学4月月考试题 (II)
2020-2021学年高一数学4月月考试题 (II)考试时间：120分钟一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为x a ＋y b ，则实数x ，y 的值为( )A ．x ＝4，y ＝1B ．x ＝1，y ＝4C ．x ＝0，y ＝4D ．x ＝1，y ＝－42．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)图像的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π43．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →4．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为（ ）A.5π6B.2π3C.5π3D.11π65．已知a ，b 满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.23π C.34π D.56π 6．要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－738．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图像关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图像关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图像D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”a ×b 是一个向量，它的模等于|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(1，3)，b ＝(－3，－1)，则|a ×b |＝( )A. 3 B ．2 C ．2 3D ．410．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π211．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是( ) A ．λ<103 B ．λ≤103 C ．λ≤103且λ≠－65 D ．λ<103且λ≠－6512．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 14．若非零向量a ，b ，c 满足a ∥b ，a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝________.15.已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm 2.16.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像如图，则ω＝________. 三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.18．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)． (1)求：sin(π－x )－sin(π2＋x )的值；(2)写出角x 的集合S .19．(12分)(1)已知a ，b 为非零向量，AB →＝a ＋b ， BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3a －3b ，求证A ，B ，D 三点共线．(2)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，当k 为何值时，(a ＋k c )∥(2b －a)？平行时它们是同向还是反向？20．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a ＋b )·(a －b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0)图像上的一个最高点的坐标为(π8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y ＝2交于点(38π，2)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)求函数的对称中心．22．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．鹤壁淇滨高中xx 下学期高一年级4月份月考数学试卷答案一．选择题1.B 2．A 3．A 4．D 5．D 6．D 7．D 8. C 9．B 10．C 11．D 12． C 二、填空题13． 30° 14． 0 15． 3π2 16． 32三．解答题17.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c . 因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →，MN →＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝MD →＋MC →＋DA →＋CB →＋AN →＋BN → ＝－AD →－BC →＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c . 所以MN →＝12a －b －12c .DN →＋CN →＝DM →＋MN →＋CM →＋MN →＝2MN →＝a －2b －c . 18.【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2k π＋π3，k ∈Z }.19.解：(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3a －3b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝5a ＋5b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵a ＋kc ＝(3,2)＋k (4,1)＝(3＋4k,2＋k )， 2b －a ＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)．又(a ＋kc )∥(2b －a )，∴(3＋4k )·2＝(2＋k )·(－5)， ∴k ＝－1613.此时，a ＋kc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2513，1013＝513(－5,2)＝513(2b －a )，故向量(a ＋kc )与(2b －a )同向．20.解：(1)由条件知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝12，|a |＝1，∴|b |＝22. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12，∴|a －b |＝22， ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52，∴|a ＋b |＝102， 设a －b ，a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a －b ·a ＋b|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. 21.【解】 (1)由题意得A ＝22－2＝ 2.由T 4＝3π8－π8＝π4， ∴周期为T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)＋ 2.以点(π8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有2×π8＋φ＝π2， ∴φ＝π4，∴y ＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.(2)由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数的对称中心为(k π2－π8，2)(k ∈Z )．22.【解】 (1)由题意知T ＝π＝2πω，∴ω＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，xKb 1.∴y ＝f 2(x )的最大值为2. 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． ∵y ＝cos x 的减区间为x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ，∴f 2(x )＝－2cos (2x ＋π6)的增区间为{x |2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z }，解得{x |k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z }， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为x ∈[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2021年高一下学期第四次月考数学(理)试题 含答案
M D C B A 2021年高一下学期第四次月考数学（理）试题 含答案一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的）1.已知且则的终边落在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知A .26 B.22 C.14 D.23.已知数列是等差数列，其前项和为，若则A ．21B ．28C ．35D ．424.已知为等比数列的前项，若，则，则A. B. C. D.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位6.如图，在平行四边形中，为中点，若，则的值为A ．B ．C ．D ．17.已知数列，其通项公式，则其前项和取最小值时的值为A ．4B ．5或6C ．6D ．58.在数列中，，则A ．B ．C ．D ．9.在中，内角所对应的边分别为若 且，则的面积A ．B ．C ．3D ．10.已知2()cos sin ,()[,]46f x x x x f x ππ=--则在上的最大值为 A. B.0 C. D.111.若非零不共线向量、满足，则下列结论正确的个数是①向量，的夹角恒为锐角 ② ③ ④.A．1 B．2 C．3 D．412.设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，.给出下列结论：（1）；（2）（3）的值是中最大的；（4）使成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为A.（1）,（3）B.（2）,（3）C. （2）,（4）D. （1）,（4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，若与平行，则___________；14.函数的单调递增区间为_______________________；15.数列1，2，3，4，5，6，…，，…是一个首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式，前项和.若将该数列排成如下的三角形数阵的形式12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………根据以上排列规律，数阵中的第行（）的第3个（从左至右）数是__________；16.已知为锐角，且，，则_______.三、解答题（本大题共6小题，第17题为10分，其余各题每题12分，共70分）17.（本小题满分10分）已知向量、满足与的夹角为600.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.18.（本小题满分12分）（1）已知数列的前项和为，若，求；（2）等差数列的前项和记为，已知，求.19.（本小题满分12分）（1）已知，且，求；（2）已知都是锐角，且，求.20.（本小题满分12分）已知数列的前项和为,且，数列满足.(1)求；(2)求数列的前项和.21.（本小题满分12分）已知向量，，函数．（1）求函数的解析式与对称轴方程；（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．22.（本小题满分12分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，，（1）求证：数列是等差数列；（2）若令，若，求;（3）在（2）的条件下，设，对于任意的恒成立，求正整数的最小值.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项） DAABB CBDAC CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14.15. 16.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解：（1），.................2分，，，....................................................5分（2）2422<+-===-k k a k，.........................................10分18.解：(1) 当时，；.................................. .... ....2分当时，111(321)[32(1)1]232n n n n n n a s s n n ---=-=++-+-+=⋅+.............4分 由于不适合此式， 所以…………………………………………6分(2) 解 由，得程组解得所以．..............................................................9分得解得或(舍去)．……………………………12分19. 解：（1），..............................3分62236666+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππαππαsin sin cos cos ....................6分（2）是锐角，且，，，.........................................8分()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+∴......................................10分是锐角，， ........................12分20.解:(1)由S n =2n 2+n, 得a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-1.................................8分又a 1=3也适合上式.所以a n =4n-1,n ∈N *........................3分由4n-1=a n =4log 2b n +3,得b n =2n-1,n ∈N *...........................6分(2)由(1)知a n b n =(4n-1)·2n-1,n ∈N *.所以T n =3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-12T n =3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n . ...........................8分所以2T n -T n =(4n-1)2n -[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n +5.故T n =(4n-5)2n +5,n ∈N *........................................12分21.cos 213sin 22sin(2)16x x x π=++=++............................................................3分对称轴方程为.............................................................................6分∴即：..........................................................10分 将 代入k 式可得： 解之得：∴∴ ……12分22.解：（1）∵，∴∴∴ ()222221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴数列是以1 为公差的等差数列....................................4分（2）由（1）知，公差为1，所以所以，故12231111.................1223(1)n n n S C C C C C C n n +=++⋅=++⨯⨯⨯+..............................8分max 4(3)1236()2158.n n n n d n d n d n N d d m m m N m ++==-=+∈∞∈∞∈+∴==≤-∴≥∈∴当（-单减,）时,单减，且的最小值为 30010 753A 町27778 6C82 沂28586 6FAA 澪40111 9CAF 鲯3 34475 86AB 蚫31712 7BE0 篠 225014 61B6 憶C/'。
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2021年高一数学4月月考试题理
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四
个选项中，选出符合题目要求的一项。
）
1．若数列的前n项和为，则
A．B．C．D．
2．数列的前项和为，若，则等于
A．1 B． C． D．
3、已知数列{}的前项和，第项满足，则
A． B． C. D．
4．在中，如果，，那么角等于
A． B． C． D．
5．定义：称为个正数的“均倒数”，若数列{}的前项的“均倒数”为，则数列{}的通项公式为.
A． B． C． D．
6．中的对边分别是其面积，则中的大小是
A. B. C. D.
7．在中，若，则此三角形为
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．已知△中，，，且，则△的面积是
A． B． C． D．
9．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知数列 {a n}（n N）中，a1 = 1，a n+1 =
a n
2a n + 1
，则a n =
(A) 2n－1 (B) 2n + 1 (C) 1
2n－1(D)
1
2n + 1
11、设，且则
A．B．C．D．
12、数列{}满足，则{}的前100项和为
（A）3690 （B）5050 （C）1845 （D）1830
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）
13．在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则___▲__．
14．已知数列满足，且，则＝▲.
15．已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S xx＝▲
16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为。
记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
……
可以推测的表达式，由此计算▲
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。
）
17、（本题10分）
已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令b n=(n N*)，求数列的前n项和．
18．（本题12分）
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n 项和．
19、（本题12分）
在中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若。
（Ⅰ）求角A 的度数；
（Ⅱ）若，，求边长b 和角B 的值。
20、（本题12分）
已知数列的前n 项和为满足：．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令31323log (1)log (1)log (1)n n c a a a =-+-++-，对任意，是否存在正整数m ，使都成
立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
21、（本题12分）
已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为，向量 ，且满足。
（1）若，求角；
（2）若，△ABC 的面积，求△ABC 的周长。
22．（本题12分）
已知函数()()(1)2f x x R f x f x ∈+-=对任意都有.
（1）求的值；
（2）数列满足*)(),1()1(
)2()1()0(N n f n
n f n f n f f a n ∈+-++++= 求证：数列是等差数列
（3）222212314,,121n n n n
n n b S T b b b b a n =
==++++-+，试比较与的大小.
万州二中高xx 级高一下4月月考数学
（理科参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）
ABBDC BBADC CB
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）
13．
14．n (n ＋1)2 15．1000 16．5720 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
） 16、【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有
，解得，
所以；==。
…………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b n ===，
所以==，
即数列的前n 项和=。
…………… 10分
17、解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
解得，．所以，．
…………… 5分
（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，
．
…………… 12分
18、（Ⅰ）
，故
∴ ∴
而， ∴ …………… 5分
（Ⅱ）
由余弦定理得 ，∴
将，代入得
由①②解得：或 …………… 9分
当b=1时，0
sin 1sin ,,,302A B b b a B A B a =⋅=<∴<∴=；
当b=2时， ……………12分
19、（1）当时，，解得， 1分
当时，由得， 2分
两式相减，得，即（）， 3分
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列． 4分
（2）由（1）知，
31323(1)log (1)log (1)log (1)122n n n n c a a a n +=-+-++-=+++=， 6分 所以， 7分
则121
111111112[(1)()()]2(1)22311
n c c c n n n +++=-+-++-=-++， 8分 由对任意都成立，得， 10分
即对任意都成立，又，
所以m 的值为1，2，3． .12分 20（1）
……4分
……6分
（2） ……9分
222222cos 84a b c bc A b c b c =+-⇒+=⇒+= ……11分
……12分
21、解：（1）f (x )对任意
1111()(1)2()12222
x f f f =+-=∴=时有 ………………2分 令
…………………4分
（2）证明：f (x )对任意x ∈R 都有
则令 ……………………5分 1121(0)()()()(1)121(1)()()()(0)11112[(0)(1)][()()][()()][(1)(0)]22n 1)(*)
1(*)
(2)(11(*)
n n n n n n n n a f f f f f n n n
n n a f f f f f n n n n n a f f f f f f f f n n n n
a n N a n n N a a n n n N +-=+++++--∴=+++++--∴=++++++++∴=+∈∴=+∈∴-=+-+=∈（）
∴{a n }是等差数列. …………………8分
（3）解：由（2）有
22221444112()441(21)(21)2121
n b n n n n n n n ∴==<==--+--+
2222121111112[(1)()()]3352121142(1)2121
n n n T b b b b n n n S n n ∴=+++
+<-+-++--+=-==++ ……………12分
32055 7D37 紷35180 896C 襬27059 69B3 榳t23125 5A55 婕
32863 805F 聟25804 64CC 擌e+30546 7752 睒E26081 65E1 旡C22678 5896 墖p。