高一数学暑期复习专题19——求数列通项方法归纳 - 副本
高中数学数列通项公式的求法(方法总结)
（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结一、 形如：特殊情况：当n+11,nn A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。
(n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z；的通项公式，进而求得n a 。
二、 形na a*；三、 形()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。
设λ是不动点方程的根，得数列 {}na λ-是以公比为A 的等比数列。
情形2：1*n n n A BC D a a a +*+=+型。
设1λ和2λ是不动点方程*A x Bx C x D*+=+的两个根；（1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以12A C A C λλ-*-*为公比的等比数列；（2）当12=λλλ=时，数列1n a λ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以2*C A D +为公差的等差数列。
【推导过程：递推式为a n+1=dca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列a n+1－λ=dca b aa n n ++－λ=d ca c a d b a c a n n +--+-))((λλλ，令λ＝－λλc a d b --，可得λ＝d c ba ++λλ ……（1）。
（1）是a n+1=dca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。
○1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝dca a c a n n +--))((22λλ∴2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --∙21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝21λλc a c a --∙b n○2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λc a c-＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。
数列求通项知识点归纳总结
数列求通项知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念，对许多数学问题的分析和解决起到了至关重要的作用。
在数列中，通项式的求解是数列问题的核心和关键。
下面将就数列求通项的基本方法和技巧进行归纳总结。
一、等差数列求通项等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示等差数列的第n项。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，其中首项a1=1，公差d=3，那么其通项公式为：an = 1 + (n - 1) * 3通过这个通项公式，我们可以根据给定的项数n来求出等差数列的第n项。
二、等比数列求通项等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n - 1)其中，an表示等比数列的第n项。
例如，对于等比数列2，4，8，16，32，...，其中首项a1=2，公比q=2，那么其通项公式为：an = 2 * 2^(n - 1)同样地，通过这个通项公式，我们可以根据给定的项数n来求出等比数列的第n项。
三、斐波那契数列求通项斐波那契数列是指一个数列中，从第三项起，每一项都等于前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为a1，公差为d，则斐波那契数列的通项公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，an表示斐波那契数列的第n项。
例如，对于斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，...，其中a1=0，a2=1，那么其通项公式为：an = a(n-1) + a(n-2)通过这个通项公式，我们可以根据给定的项数n来求出斐波那契数列的第n项。
综上所述，数列求通项是数学中重要且基础的一部分。
掌握数列求通项的基本方法和技巧，有助于我们更好地理解和应用数列的知识。
在实际问题中，数列求通项的能力也经常被运用到各种数学和科学领域。
数列求通项公式归纳总结
数列求通项公式归纳总结数列是数学中常见的概念，在各个领域都有着广泛的应用。
通过观察数列的规律并找出通项公式，可以使我们更好地理解数列的性质，进而解决更复杂的问题。
本文将对数列求通项公式的方法进行归纳总结。
一、等差数列求通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，n为正整数。
二、等比数列求通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，n为正整数。
三、斐波那契数列求通项公式斐波那契数列是指数列中第一项为1，第二项为1，之后每一项都等于前两项之和的数列。
设斐波那契数列的第n项为Fn，则斐波那契数列的通项公式可以表示为：Fn = ( (1 + sqrt(5))^n - (1 - sqrt(5))^n ) / (2^n * sqrt(5))其中，sqrt(5)表示5的开平方。
四、完全平方数列求通项公式完全平方数列是指数列中每一项都是一个完全平方数的数列。
设完全平方数列的第n项为an，则完全平方数列的通项公式可以表示为：an = n^2其中，n为正整数。
五、特殊数列求通项公式除了常见的等差数列、等比数列、斐波那契数列和完全平方数列，还有许多特殊的数列。
对于这些特殊的数列，求通项公式的方法也不尽相同，需要根据具体的规律进行归纳总结。
总结：数列求通项公式是数学中的一个重要内容，有着广泛的应用价值。
通过观察数列的规律并应用相应的方法，可以找到数列的通项公式，从而解决更加复杂的问题。
本文对等差数列、等比数列、斐波那契数列、完全平方数列以及特殊数列的求通项公式进行了归纳总结。
希望读者能够通过本文的介绍，掌握数列求通项公式的方法，并能够运用于实际问题的解决中。
数列通项公式方法总结
数列通项公式方法总结是数列中每一项与其序号之间的关系的一种表达方式。
它是数列研究中的重要工具，可以帮助我们快速计算数列的任意项，甚至可以通过输出项来推测数列的规律和性质。
在数学学科中，是数学家们用创新思维和数学技巧获得的成果，为解决实际问题提供了方便和便捷的方法。
常见的方法有等差、等比以及斐波那契等。
下面，我们将分别对这几种方法进行总结并进行详细阐述。
等差是指数列中每一项与它的前一项之间的差恒定的特殊数列。
使用这种方法，我们可以通过已知的前几项找出数列的通项公式。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，那么数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d。
在这个公式中，a₁代表数列的首项，n代表数列的项数，d是数列的公差。
通过等差，我们可以轻松地找出等差数列中任意一项的值，大大提高了计算效率。
接下来是等比。
等比数列是指数列中每一项与它的前一项之间的比恒定的特殊数列。
利用等比，我们可以根据已知数列的首项和公比来确定数列的通项公式。
假设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n 项为aₙ，那么数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)。
在这个公式中，a₁代表数列的首项，n代表数列的项数，q是数列的公比。
通过等比，我们可以轻松找到等比数列中任意一项的值，进一步了解数列的性质和规律。
除了等差数列和等比数列外，斐波那契数列也是一种重要的数列类型。
斐波那契数列的前两项都是1，之后每一项都是前两项之和。
利用斐波那契，我们可以通过已知的项数来快速计算斐波那契数列的任意一项。
假设斐波那契数列的第一项为a₁，第二项为a₂，第n项为aₙ，那么数列的通项公式可以表示为：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁。
通过斐波那契，我们可以轻松找到斐波那契数列中任意一项的值，进一步分析数列的性质和规律。
在实际应用中，不仅可以帮助我们计算数列的任意一项，还可以帮助我们解决各种数学问题。
例如，在经济学中，我们可以利用来预测未来的经济发展趋势；在物理学中，我们可以利用来模拟物体的运动轨迹；在编程中，我们可以利用来设计高效算法等。
数列求通项公式方法总结
数列求通项公式方法总结数列是数学中的一种常见概念，它在很多应用领域中发挥着重要作用。
数列的通项公式是指能够通过一个公式来表示数列的每一项的方法。
在数学中，求解数列的通项公式是一种重要的技巧和思维训练。
本文将总结一些常见的数列求通项公式的方法。
方法一：递推法递推法是数列求解的一种常见方法。
它基于数列中每一项与前一项之间的关系，通过逐项递推来找到通项公式。
例如，考虑一个等差数列 2，5，8，11，14......，我们可以observe 最终一项与前一项之间的关系，即 +3。
因此，我们可以推断出该数列的通项公式为 2+3(n-1)，其中 n 为项数。
通过递推法，我们可以求解出许多常见的数列。
方法二：代数法代数法是一种通过代数方程来表示数列通项的方法。
对于一些特殊的数列，我们可以通过数学运算和等式推导来找到通项公式。
例如，考虑一个等比数列 2，4，8，16，32......，我们可以发现每一项与前一项之间的关系都是乘以2。
因此，我们可以写出等式an = a(n-1) * 2，其中 a(n-1) 表示前一项。
通过解这个等式，我们可以得到通项公式 an = 2^(n-1)。
方法三：配方法配方法是一种通过把数列分解成两个已知数列的和或差的方法，从而找到通项公式的方法。
这种方法常用于一些复杂的数列。
例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以发现每一项都是前两项之和。
通过设定两个已知数列 a(n) 和b(n)，满足 a(1) = a(2) = 1，b(1) = 2，b(2) = 3，并通过递推求解出 a(n) = a(n-1) + a(n-2) 和 b(n) = b(n-1) + b(n-2)。
因此，我们可以得到数列通项公式 F(n) = a(n) + b(n)。
方法四：生成函数法生成函数法是一种利用生成函数来表示数列的方法。
生成函数是一个形式化的工具，用于处理数列和序列的问题。
例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以将该数列转变为一个生成函数来表示。
高一数学辅导--求数列通项与求和
高一数学辅导--求数列通项与求和一．求数列通项常用方法：1.已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n2（n ∈N +），求n a .2.求数列的通项公式。
3.已知数列{}n a 满足112,12n n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .5.已知数列{}n a 中，51=a ,1123+++=n n n a a ，求n a 。
6.设n S 为{n a }的前n 项和，n S =23（n a －1），求n a （n ∈N +）二．数列求和常用方法：1.求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和n S2.求和111112123123n +++++++++++ 。
3.求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.4.求数列9，99，999，… 的前n 项和n S5.求和S n =23133353(21)3n n ∙+∙+∙++-∙6.求和23135212222n n n S -=++++三．综合问题：1.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{}n a 的通项公式;（2）求n S2.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，(Ⅰ)设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； (Ⅱ)设数列),2,1(,2==n a c n n n ，求证：数列{}n c 是等差数列； （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和．3.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项；（2）设n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．四．巩固作业：1.已知111,32n n a a a -==+，求n a ；2.已知111,32n n n a a a -==+，求n a ；3.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
求数列通项公式方法总结
求数列通项公式的方法总结：1)观察法。
例如1、3、5、7、9……2)公式法。
对于等差数列：a n=a1+(n-1)d;对于等比数列：a n=a1·q n-1。
3)形如a n+1=pa n+q,变形为（a n+1+k）=p(a n+k),其中k=q／(p-1)构造数列｛a n+k｝是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。
4)形如a n+2=pa n+1+qa n,,变形为a n+2+ma n+1=n(a n+1+ma n),自行解出m和n构造数列｛a n+1+ma n｝是以a2+ma1为首项，n为公比的等比试列。
5)形如a n+1=pa n+q n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+1,再利用3）的步骤即可求出通项公式。
6)形如a n+1=pa n+q n+t n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+（t/q）n+1,则先忽略（t/q）n这一项,利用3）的方法配出3）的形式，然后再同时除以（t/q）n，再利用3）的步骤即可求出通项公式。
7)a n+1=ta n/(p+qa n)变形为1/a n+1=p/t·1/a n+q/t, 再利用3）的步骤即可求出通项公式。
8)利用s n-s n-1=a n的关系求出通项公式。
利用以上方法求通项公式时，要用到数列求和的方法，下面予以归纳：1)公式法。
对于等差数列s n=na1+n·(n-1)d或s n=n(a1+a n)/2,对于等比数列s n=a1·q n-I。
2)常用的几个基本求和公式a)1+2+3+……+n=n·(n+1)/2b)12+22+32+……+n2=n·(n+1)·(2n+1)/6c)13+23+33+……+n3=n2·(n+1)2/4d)1+3+5+……+（2n-1）=n23)倒序相加法。
主要用于等差数列或组合数列。
求数列通项的方法总结
求数列通项的方法总结
数列通项是指数列中任意一项与该数列的序号之间的关系。
求解数列
通项的方法主要有以下几种：
1. 直接法：根据数列中的一些已知条件和特点，直接推导出通项公式。
例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1是第一项，d是公差，n
是序号。
如果已知数列的首项和公差，可以直接根据该式求解通项。
2. 递推法：对于一些递推数列，可以通过前一项与后一项之间的关
系来推导出通项公式。
例如，斐波那契数列an=an-1+an-2，其中a1=a2=1，可以通过递推法求解出通项公式。
3. 求和法：对于一些数列，可以通过对数列进行求和，从而得到通
项公式。
例如，等差数列和公式Sn=(a1+an)×n/2，其中Sn是数列前n
项的和，a1是首项，an是最后一项。
通过反过程进行推导，可以求得通项。
4. 差分法：对于一些数列，可以通过数列中相邻项的差值与序号之
间的关系来推导出通项公式。
例如，对于二次数列an=n^2，可以通过差
分法求解出通项公式an=n^2-n+1
5. 代数法：对于一些复杂的数列，可以通过代数运算和方程求解的
方法来得到通项公式。
例如，对于给定的数列an=2^(n-1)，可以通过代
数法将an的表达式进行推导。
总之，求解数列通项的方法因数列的性质和特点而异。
不同的数列可
能需要不同的方法来求解，常用的方法包括直接法、递推法、求和法、差
分法和代数法等。
在实际问题中，根据数列的已知条件和特点选择适当的
方法可以更快地求解出数列的通项。
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高一数学暑期复习专题19——求数列通项方法归纳
【重难点讲解与典型例题】 一、公式法
例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
二、利用{
1(2)
1(1)
n n S S n S n n
a --≥==
例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列
{}n b 的通项公式；
三、累加法
例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例4 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例5已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
四、累乘法
例6 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例7已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。
五.构造等差或等比
n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+
例8（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；
例9．已知数列{}n a 中，11a =,1
11
1()22
n n n a a ++=+，求n a 。
六、待定系数法
例10已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例11 已知数列{}n a 满足1135241n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例12 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
七、对数变换法
例13 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
八、迭代法
例14已知数列{}n a 满足3(1)2
115n
n n n
a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。
九、数学归纳法
例15已知数列{}n a 满足112
2
8(1)8(21)(23)
9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。
十、换元法
例16已知数列{}n a 满足111(14116
n n a a a +=
++
=，，求数列{}n a 的通项公式。
附： 构造辅助数列
1．构造数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，使其为等差数列。
（形式：11+=+n n
n pa a a ）
例1.已知数列{}n a 满足 ,11=a 131+=
+n n
n a a a ，求证：⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n a 1是等差数列，并求{}n a 的通向公式。
2. 构造数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+λn a 1，使其为等比数列。
（q pa a a n n
n +=+1或0=++c Ba Aa n n ） 例2.在数列{}n a 中，已知,21=a 1
21+=+n n n a a a ，求证：数列{}n a 的通项公式。
3. 构造数列{}n n a a λ++1，使其为等比数列。
112-+++=n n n qa pa a
例3.已知数列{}n a 满足,11=a 32=a ，11223-++-=n n n a a a ，求{}n a 的通项公式。
【随堂练习】
1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n
2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和1
4122
3
3
3
n n n S a +=
-
⨯+
，1,2,3,n =
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2
n
n n
T S =，1,2,3,n = ，证明：1
32
n
i i T =<
∑
3.已知数列}a {n 满足）（2n 12a 2a n 1n n ≥-+=-，且81a 4=。
（1）求321a a a ，，；（2）求数列}a {n 的通项公式。