沪科版24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系公开课课件
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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系PPT演示课件
AOB COD AB=CD ，_____________ ． AB = CD ，那么____________ AB=CD AB = CD ，_________ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ．
（2）如果
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE﹦OF
证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD A E O B D
17
∵ AB﹦CD ∵ OA﹦OC
∴ AE﹦CF ∴ Rt△AOE≌Rt △COF C
·
F
∴ OE﹦OF
1°弧的概念：
顶点在圆心的圆心角等分成 360 份时，每 一份的圆心角是 1°的角，整个圆周被等分成 360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。 （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
10
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在自己的圆内作两条长度相同的弦，量 一量它们所对的圆心角
D B C
O A
11
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
两位同学作一条长度相同的弦，看一 看它们所对的圆心角是否相同
B O A
O' B' A'
12
(2) 推论： 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
B′
┏ A′ D′
④ OD=O′D′
15
试一试你的能力
一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ ×）
2相等的弧所对的弦相等。（ √ ）
B
二.如图，⊙O中，AB=CD,
50 o . 1 50，则 2 ____
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（2）AE= BF B
1.如图，已知AD＝BC，
︵
︵
A
C
D O
B
试说明AB=CD
2.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为 圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和 D、E。则AB与AD有怎样的大小关系？试 证明。
B A D
F
C O
G
E
4、已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。 求证：CD＝AE＝BF。
24.2 圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
想一想
圆心角
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB).
弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间 的距离(如线段OD).
A D B
O
二、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AC
,∠ACB=60°,
A
证明：
∵
AB =
AC
B
O
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
你会做吗?
三, 如图，在⊙O中，AC=BD， 1 45 ,求∠2的度数。 解: ∵ AC=BD
B
AOE 180 3 35
75
︵ ︵ 1. 如图，在⊙ O 中， AB＝AC，∠B＝70°. 求 ∠C度数. ︵ ︵ ︵ 2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE， ∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
第 1题
第 2题
沪科版九年级下24.2圆的基本性质弧弦圆心角课件
⌒⌒
AB = A′B′
ABA'B'.
定理与例题
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 圆心角__相__等_， 所对的弦____相__等__；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的 圆心角__相__等__，所对的弧____相__等___．
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
三、补充例题
⌒⌒
例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°，
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒⌒
A
证明：∵AB=AC
∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形．
又∠ACB=60°，
O·
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA. B
(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?
3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或 等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.
4：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的
1 ，圆的半径为4cm，求AB的长 3
O·D所以 OE = NhomakorabeaF.F
C
2、判断
在两个圆中，分别有 AB 和 CD , 若 AB 的度 数和 CD 相等，则有
（1）AB 和 CD 相等
（2）AB 所对的圆心角和 CD 所对的圆 心角相等
布置作业
1.在半径相等的⊙O和⊙O´中,A⌒B和A´⌒B´所对的圆心 角都是60°. (1)A⌒B和A⌒´B´各是多少度? (2)A⌒B和A´⌒B´相等吗?
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系PPT课件
D
①∠AOB=∠A′O′B′
B
●O
可推出 ⌒ ⌒ ②AB=A′B′
┏
A′ D′ B′
④ OD=O′D′
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试一试你的能力
一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ ×）
2相等的弧所对的弦相等。（ √ ）
B
二.如图，⊙O中，AB=CD,
1A
1 50， 则 2 _5_0_o_.
解: ∵ AC=BD （已知）
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质）
∴ AB=CD
图 23.1.5
∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等的弧所对的 圆心角相等）
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六、练习
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD = DE
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
解：
ED
∵ BC = CD = DE
两位同学先作一个度数相同的圆心角！
B
O
A
B'
O'
A'
这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用尺量一量！
这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？
它们相等吗？ 用什么方法验证的?
叠合法
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二、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？
︵︵
AB A' B '.
AB A' B '.
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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A
D B
O
B'
B
B'
D'
24.2圆的基本性质(3)-圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
· O
D
F C
（1）如果AB=CD, 那么_________,_______,_______;
(2)如果OE=OF, 那么_________,________,_______;
(3)如果A⌒B = C⌒D,那么________,_________,_______;
(4)如果∠AOB=∠COD,那么_______,_______,________.
A
O C
B
1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。 2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。
3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余 各组量也 相等 。
请同学们认真学习课本第18页至第19页的内容， 回答下面的问题：
1、什么样的角是圆心角？
2、你能说出圆心角∠AOB， ∠A′OB′所
对的弦，弧吗？
3、将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到 ∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关
系？为什么？
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
︵ 如图所示，∠AOB叫作圆心角，AB 叫作圆心 角∠AOB所对的弧。
A．这两个圆心角所对的弦相等;
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与
CD关系是
（ A）
A． »AB 2C»D
C．»AB <2C»D
B．»AB >2C»D D．不能确定
3．如图1，⊙O中，如果 »AB 2C»D，那么 （ C ） A．AB=2AC B．AB=AC
《第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系》课件 (同课异构)2022年精品课件
平方根与立方根的异同
被开方数 正数 负数 零
平方根 有两个互为相反数
无平方根 零
立方根 有一个,是正数 有一个,是负数
零
二 开立方及相关运算
每个数a都有一个立方根，记作 3 a ，读作“三次 根号a〞. 如：x3=7时，x是7的立方根．
注意:这个根指数3绝 对不可省略.
3a
3叫做根指数
a叫做被开方数
2=
当堂练习
1.判断以下说法是否正确.
(1) 25的立方根是5;
( ×)
(2) 任何数的立方根都只有一个;
(√ )
(3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么
这个数一定是零;
( ×)
C B
AD BC，
O
A O D B O C .
A O D + B O D = B O C + B O D . A
D
即 A O B C O D ，
AB=CD.
能力提升：
6. 如图，在☉O中，2∠AOB =∠COD，那么C⌒D = 2A⌒B
成立吗？CD = 2AB呢？如果成立，请说明理由；如
解: ∵ x－2的平方根是±2， ∴ x－2＝4，∴x＝6. ∵ 2x＋y＋7的立方根是3， ∴ 2x＋y＋7＝27. 把x＝6代入，解得 y＝8. ∵ x2＋y2＝68＋82＝100，
∴ x2＋y2 的算术平方根为10.
方法总结：此题先根据平方根和立方根的定义，运用 方程思想求出x，y值，再根据算术平方根的定义求解．
O
A
练一练 判断以下各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角〔后 面会学到〕
圆心角
三 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系PPT课件
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
解 （2：）（∵1）∠AOB=∠AOC=∠BOC， ∵ AB∠、AAOCB、+B∠CA分O别C+是∠∠BAOOCB=、36∠0°A，OC、 ∠ABOBC=所∠对A的O弦C=，120° ∴弦∠ABBO、CA=C36、0°BC-1的20弦°心-12距0°相=等12。0° 得 ∵∠BCA的O弦B=心∠距A为OC3厘=∠米B，OC ∴AB、=AACC=的BC弦心距为3厘米。
圆心角：以圆心为顶点，以两条半径为边所 组成的夹角。
圆弧：圆上任意两点之间的部分。
圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧， 每条弧都叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧。
劣弧：小于半圆的弧。 弦：联结圆上任意两点的线段。
过圆心的弦就是直径。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
下面我们一起来视察一下：在⊙O中有哪些圆心角？
半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相 等的两个圆称为等圆。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等。
AB=CD吗？
弧AB与弧CD呢?
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
解 （2：）（∵1）∠AOB=∠AOC=∠BOC， ∵ AB∠、AAOCB、+B∠CA分O别C+是∠∠BAOOCB=、36∠0°A，OC、 ∠ABOBC=所∠对A的O弦C=，120° ∴弦∠ABBO、CA=C36、0°BC-1的20弦°心-12距0°相=等12。0° 得 ∵∠BCA的O弦B=心∠距A为OC3厘=∠米B，OC ∴AB、=AACC=的BC弦心距为3厘米。
圆心角：以圆心为顶点，以两条半径为边所 组成的夹角。
圆弧：圆上任意两点之间的部分。
圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧， 每条弧都叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧。
劣弧：小于半圆的弧。 弦：联结圆上任意两点的线段。
过圆心的弦就是直径。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
下面我们一起来视察一下：在⊙O中有哪些圆心角？
半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相 等的两个圆称为等圆。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等。
AB=CD吗？
弧AB与弧CD呢?
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4. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 ° .
. 5. 如图，已知 AB、CD 为 ⊙O 的两条弦， AD BC
求证：AB＝CD.
证明：连接AO，BO，CO，DO.
»， Q» AD BC
AOD BOC. AOD+BOD=BOC +BOD.
C
B
O A D
即 AOB COD，
解：连接OE.
∴∠COE=40°， ∵弧CE为40°， 180 40 ∴∠C = =70. A 2 ∵CE∥AB， ∴∠AOD=∠C=70°， ∴∠BOD=180°-70°=110°. D O C E B
当堂练习
1. 如果两个圆心角相等，那么
（D）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
练一练
» =CD » = DE »， 如图，AB是⊙O 的直径，BC ∠COD=
35°，求∠AOE 的度数．
E D
» =CD » = DE »， 解：∵ BC
C
BOC COD DOE =35 ， ∴
A
· O
B
AOE 180 3 35 75 . ∴
AB =CD.
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角 在同圆或等圆中
弦、弧、圆心角 的 关 系 定 理
圆心角 相等
弦 相等
应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等 弦心距 相等
⌒ ⌒ ，∠ACB=60°， 【变式题】如图，在⊙O中，AB=AC 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒， ∵AB=CD 证明： ∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∵∠ACB=60°， A
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. B
O C
方法总结：弧、圆心角、弦的灵活转化是解决圆相 关问题的重要法宝.
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
学习目标
1. 结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相 关性质. 2. 能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并 会初步运用这些关系解决有关问题 (重点，难 点 )．
导入新课
情境引入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存
(3) 圆心角相等，所对的弦相等.
四 关系定理及推论的运用
典例精析 例1 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O上. 求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°. A 证明：连接OA，OB，OC.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA 1 = 360 =120 . 3 B O C
在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
讲授新课
一 圆的对称性
观察与思考 把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
·
α
O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.
二 圆心角
概念学习
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .
⌒. 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB 3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. O B
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对 ⌒ 与CD ⌒ 2. 在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则 AB 的关系是 ⌒=2CD ⌒ A. AB ⌒ <CD ⌒ C. AB ⌒ >CD ⌒ B. AB （ A）
D. 不能确定
⌒ =AC ⌒，∠B＝70°，则 3. 如图所示，在⊙O中，AB ∠A＝________ 40 ° ．
E
B
F · O
A
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
①∠AOB=∠COD
C D E O B F A
⌒ ⌒ ②AB=CD ③AB=CD ④OE=OF
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图.
M
A
练一练 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角（后 面会学到）
圆心角
三 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 观察与思考 ⌒与CD ⌒， 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB 弦AB与弦CD，弦心距OE与OF有怎样的数量关系？
C
由圆的旋转对称性，我们发现： D 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD， ，AB=CD，OE=OF. 那么， AB CD （证明过程见课本）
D O B A
C
⌒ ⌒ ，那么圆心角∠AOB与 在☉O中，如果 AB=CD ∠COD，AB与CD，OE=OF有怎样的数量关系？
在☉O中，如果AB=CD，那么圆心角∠AOB与 ⌒与CD ⌒ ，OE=OF有怎样的数量关系？ ∠COD，AB 在☉O中，如果OE=OF，那么圆心角∠AOB与 ⌒ ，AB与CD有怎样 ⌒与CD ∠COD，AB C B D E 的数量关系？ F · O A
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所 对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等， 那么其余各组量都分别相等．
圆心角 相等 弦 相等
弧 相等
弦心距 相等
练一练 判一判： (1) 等弦所对的弧相等. (2) 等弧所对的弦相等.
（ × ） （ √ ） （ × ）
例2 已知，如图，点O是∠A平分线上的一点，☉O分别 交∠A的两边于点C，D和点E，F. 求证：CD=EF. 证明：过点O作OK⊥CD，
OH⊥EF，垂足分别为K，H.
∵OK=OH，（角平分线性质） ∴CD=EF. E H
F
K
O D
A
C
例3 如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦， 且CE∥AB，弧CE为40°，求∠BOD的度数.