Mycielski图的一般邻点可区别全色数
扭立方体图的全色数和邻点可区别全色数
扭立方体图的全色数和邻点可区别全色数陈美润【摘要】本文研究扭立方体图的全色数和邻点可区别全色数,确定了他们的精确值.通过这两个参数的值说明扭立方体图满足著名的全染色猜想(TCC)和邻点可区别全染色猜想.%We verify two conjectures (the famous total coloring conjecture and the more recent adjacent vertex-distinguishing total coloring conjecture) for the class of twisted cubes by explicit calculation of the respective parameters.【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(034)001【总页数】5页(P23-27)【关键词】正常全染色;全色数;邻点可区别全染色;邻点可区别全色数;扭立方体图【作者】陈美润【作者单位】厦门理工学院应用数学学院,福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】O157.50 引言图的染色问题是图论研究的主要问题之一，染色问题在组合分析和实际中有广泛的应用．继图的点染色、边染色之后，人们又提出了全染色的概念．图G=(V,E)的k-正常全染色是指用k种颜色对G的点和边进行染色使得相邻和关联的元素染不同的颜色．G的k-正常全染色所需最小的k值称为G的全色数，记为χt(G)．Sanchez-Arroyo证明了确定任意图的全色数是NP-hard 的．McDiarmid等人还证明了确定k正则二部图的全色数也是NP-hard 的．Behzad[1]和Vizing[2]各自独立提出以下著名的全染色猜想(TCC)．猜想 1[1,2] 对于任意图G，有∆(G)+1≤χt(G)≤∆(G)+2．对最大度点及其关联的边进行正常全染色需要∆(G)+1种颜色，所以猜想的下界是显然的．上界仍未得到证明．在全染色猜想方面，研究者主要开展以下三方面的研究：一是证明全染色猜想对于某些特殊图类成立，包括完全图、完全二部图、完全等部图、树、圈等；二是证明一般图类在一定限制条件下满足全染色猜想，研究全染色猜想出现了从低度图和高度图向中间挤的势态，Rosenfcld，Vijayditya和Kostochka研究了低度图的全色数，Chetwynd和Hilton等人研究了高度图的全色数，这两个方面的进展不断增强猜想的可信度；第三个方面是把界放宽，进行估界，试图来逼近猜想中的界，Bollobas，Harris和Chetwynd用概率方法得出了全色数与最大度的关系．在文[3]中，张忠辅等人提出邻点可区别全染色的概念．设h:V∪E→{1,2,… ,k}是G 的k-正常全染色，令h(uv)和h(v)分别表示边uv和点v的染色．点v本身的染色及与v关联的边的染色构成的集合记为，则={h(uv)|uv∈E(G)}∪{h(v)}．若G中任意两个相邻的点u和v，都有6=，则称k-正常全染色h为G的邻点可区别全染色．G的邻点可区别全染色所需最小的k值称为G的邻点可区别全色数，记为χat(G)．张忠辅等人对图的邻点可区别全色数进行观察，得到以下定理和邻点可区别全染色猜想．定理 1[3] 若G中有两个最大度点相邻，则χat(G)≥∆(G)+2．猜想 2[3] 对于任意图G，有χat(G)≤∆(G)+3．文献[4,5]中，作者分别考虑了广义Mycielski图、可扩立方体图的全色数和邻点可区别全色数．本文将考虑扭立方体图TQn的全色数和邻点可区别全色数．文章首先确定了扭立方体图的全色数χt(TQn)=n+1．首先，将n维扭立方体图TQn拆成2n−3个三维立方体，用四种颜色对2n−3个三维立方体进行正常全染色，并且使得TQn中任意两个相邻的点被染不同的颜色；其次，TQn中尚未被染色的边构成n−3个完美匹配，再用另外n−3种颜色对这些完美匹配分别染色，这就形成TQn的n+1正常全染色．最后研究了扭立方体图的邻点可区别全色数．1 扭立方体图的全色数本节将研究扭立方体的全色数，首先给出一些定义和已有的结论．长度为n的二进制字符串u记为un−1un−2… u1u0．记ui的补为ui并且有ui=1−ui．为了定义n-维扭立方体图TQn，先引入奇偶性函数Pi(u)．设u=un−1un−2… u1u0，对于任意的i(0≤i≤n−1)，定义Pi(u)=ui⊕ui−1⊕…⊕u1⊕u0，其中⊕是异或运算．当n≥ 1且为奇数时，TQn可以递归定义如下：TQ1是具有顶点集{0,1}的完全图K2．当n≥3时，TQn是在四个TQn−2拷贝的基础上加一些边形成．用ijTQn−2表示由TQn中形如ijun−3… u0的点导出的n−2维子扭立方体图，其中i,j∈ {0,1}．对于TQn的任意顶点u=un−1un−2… u1u0，如果Pn−3(u)=0，则u与点n−1un−2… u1u0和点n−2… u1u0相邻；否则，u 与点n−1un−2… u1u0和点un−1n−2… u1u0相邻．图1所示分别为三维扭立方体TQ3和五维扭立方体TQ5．以下总设n为奇数．图G1和G2的笛卡尔积G1×G2具有顶点集V(G1)×V(G2)，G1×G2的两个顶点(u1,u2)与(v1,v2)相邻当且仅当u1=v1且u2与v2在G2中相邻，或者u2=v2且u1与v1在G1中相邻．文献[6]对TQn的结构进行分析，得到以下结论．图1 三维扭立方体图TQ3和五维扭立方体图TQ5引理 1[6] 对任意n ≥ 3，由顶点集V(00TQn−2)∪V(01TQn−2)和V(10TQn−2)∪V(11TQn−2)导出的子图都同构于TQn−2×K2．此外，连接顶点集V(00TQn−2)∪V(10TQn−2)到V(01TQn−2)∪V(11TQn−2)的边构成TQn的一个完美匹配．易知TQn是一个具有2n个点，n2n−1条边的n正则图．下面欲将TQn拆分成2n−3个三维立方体和n−3个完美匹配．当n=5时，图2所示,,,为TQ5的四个三维立方体．根据引理1知TQ5中不在四个三维立方体的边恰好为TQ5的两个完美匹配，记为和．当n≥ 7时，假设TQn可拆分成2n−3个三维立方体,,… ,和n−3个完美匹配,… ,．由TQn+2的定义及引理1知TQn+2是在四个TQn的拷贝ijTQn的基础上加两个完美匹配形成的，记这两个完美匹配为和．ijTQn的三维立方体ij(i,j ∈ {0,1},l∈ {1,2,… ,2n−3})依然是TQn+2的三维立方体，总共有4×2n−3=2n−1个，记为与TQn的完美匹配(l∈ {1,2,… ,n−3})对应的四个匹配ij 的并00∪01∪10∪11构成TQn+2的完美匹配，记为．TQn的n−3个完美匹配导出TQn+2的n−3个完美匹配，连同引理1所指的两个完美匹配，所以，TQn+2可拆分成2n−1个三维立方体和n−1个完美匹配,… ,．以下证明用四种颜色可以对TQn的2n−3个三维立方体,… ,进行正常全染色，并且使得TQn中任意两个相邻的点被染不同的颜色．引理 2 当n≥5时，存在的正常4-全染色fn使得TQn中任意两个相邻的点被染不同的颜色．证明当n=5时，图2所示为,,,的4-正常全染色．可以验证该全染色使得TQ5中任意两个相邻的点被染不同的颜色，记该全染色为f5．图2 TQ5的四个三维立方体图,,,的4-正常全染色当n≥7时，假设存在满足引理条件的全染色fn．下面将在fn的基础上定义的满足引理条件的全染色fn+2．由TQn的三维立方体导出的TQn+2的四个三维立方体ij，其中k∈{1,2,… ,2n−3},i,j∈{0,1}．每个ij都同构于，设x∈V(),(x,y)∈E()，则ijDkn的点和边具有形式ijx∈V(ij,(ijx,ijy)∈E(ij)．定义ij的全染色如下：令fn+2(ijx)=(f n(x)+2×i+j)(mod4)，fn+2(ijx,ijy)=(fn(x,y)+2×i+j)(mod4)．下面将说明fn+2满足引理的条件．根据假设，fn是的正常4-全染色，在的点和边的染色都加上2×i+j给ij的对应点和边进行染色．显然，fn+2是ij的正常4-全染色．为了说明fn+2满足引理的条件，只需说明TQn+2中任意两个相邻的点u,v被染不同的颜色．下面分两种情况讨论.情形1 u,v在TQn的同一个拷贝ijTQn．假设u=ijx,v=ijy，其中x,y∈V(TQn)，则(x,y)∈E(T Qn)．根据定义，fn+2(u)=(fn(x)+2×i+j)(mod4),fn+2(v)=(fn(y)+2×i+j)(mod4)．根据假设，fn(x)6=fn(y)．所以，fn+2(u)6=fn+2(v)．情形2 u,v在TQn的不同拷贝．假设u∈V(ijTQn),v∈V(i0j0TQn)，其中ij,i0j0∈{00,01,10,11}且ij 6=i0j0．再设u=ijx，其中x∈V(TQn)，根据定义则v具有形式v=或v=或v=．则有fn+2(u)=(fn(x)+2×i+j)(mod4)，fn+2(v)=(fn(x)+2×i0+j0)(mod4)．事实上，可以验证当ij 6=i0j0时，有2×i+j 6=2×i0+j0．所以，fn+2(u)6=fn+2(v)．综上，说明了fn+2是的满足引理条件的全染色．定理 2 当n≥5时，有χt(TQn)=n+1．证明因为TQn是n正则图，所以χt(TQn)≥n+1．为了说明χt(TQn)=n+1，只需说明TQn存在n+1正常全染色．首先，根据引理2，可以用4种颜色对进行正常全染色使得TQn中任意两个相邻的点被染不同的颜色．其次，TQn中未被染色的边构成n−3个完美匹配，用另外n−3种颜色对其进行染色，得到了TQn的n+1正常全染色．因此，χt(TQn)=n+1．2 扭立方体图的邻点可区别全色数本节将研究扭立方体图的邻点可区别全色数．当n≥3时，首先将TQn拆分成2n−2个四圈和n−2个完美匹配．当n=3时，图3所示,为TQ3的两个四圈．根据TQn的定义知TQ3中不在两个四圈的边恰好为TQ3的完美匹配，记为．当n≥5时，假设TQn可拆分成2n−2个四圈,… ,和n−2个完美匹配,… ,．类似分析知(i,j ∈ {0,1},k ∈ {1,2,… ,2n−2})是TQn+2的四圈，总共有4×2n−2=2n个，记为,,… ,．而TQn的n−2个完美匹配(l∈{1,2,… ,n−2})导出TQn+2的n−2个完美匹配00，记为．根据引理1知，TQn+2的不在ijTQn的边构成TQn+2的两个完美匹配，记为．所以，TQn+2可拆分成2n个四圈,… ,和n个完美匹配,… ,．当n≥3时，令hn为的全染色．对于任意u∈V(TQn)，记Hn(u)={hn(u),hn(u,a),hn(u,b)}，其中．以下将证明用四种颜色可以对进行正常全染色，使得TQn中任意两个相邻的点u,v，有hn(u)6=hn(v)且Hn(u)6=Hn(v)．图3 TQ3的两个四圈的邻点可区别4-全染色引理3 当n≥3时，存在的正常4-全染色hn使得TQn中任意两个相邻的点u,v，有hn(u)6=hn(v)且Hn(u)6=Hn(v)．证明当n=3时，图3所示为的4-正常全染色h3．可以验证TQ3中任意两个相邻的点u,v，有h3(u)6=h3(v)且H3(u)6=H3(v)．当n≥5时，假设存在满足引理条件的全染色hn．下面将在hn的基础上定义的满足引理条件的全染色hn+2．由TQn的四圈导出TQn+2的四个四圈ij，其中k ∈ {1,2,… ,2n−2},i,j∈{0,1}．每个ij都同构于，设x∈V(),(x,y)∈E()，则ij的点和边具有形式ijx∈V(ij),(ijx,ijy)∈E(ij)．定义ij的全染色如下：令hn+2(ijx)=(hn(x)+2×i+j)(mod4)，hn+2(ijx,ijy)=(hn(x,y)+2×i+j)(mod4)．下面将说明hn+2满足引理的条件．类似引理2，可以证明hn+2是的4-正常全染色使得TQn+2中任意两个相邻的点u,v，有hn+2(u)6=hn+2(v)．这里将这部分的证明省略．为了说明hn+2满足引理的条件，只需说明TQn+2中任意两个相邻的点u,v有Hn+2(u)6=Hn+2(v)．下面分两种情况讨论.情形3 u,v在TQn的同一个拷贝ijTQn．假设u=ijx,v=ijy，其中x,y∈V(TQn)，则(x,y)∈E(TQn)．将Hn(x)中的元素分别进行加2×i+j再模4运算所得到的集合记为(Hn(x)+2×i+j)(mod4)．根据定义，Hn+2(u)=(Hn(x)+2×i+j)(mod4),Hn+2(v)=(Hn(y)+2×i+j)(mod4)．根据假设，Hn(x)6=Hn(y)．所以，Hn+2(u)6=Hn+2(v)．情形4 u,v在TQn的不同拷贝．假设u∈V(ijTQn),v∈V(i0j0TQn)，其中ij,i0j0∈{00,01,10,11}且ij 6=i0j0．再设u=ijx，其中x∈V(TQn)，根据定义则v具有形式v=或v=或v=．根据定义，有Hn+2(u)=(Hn(x)+2×i+j)(mod4)，Hn+2(v)=(Hn(x)+2×i0+j0)(mod4)．事实上，可以验证当ij 6=i0j0时，对集族{{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3}}的任何元素A，有(A+2×i+j)(mod4)6=(A+2×i0+j0)(mod4)．所以，Hn+2(u)6=Hn+2(v)．综上，我们说明了hn+2是的满足引理条件的全染色．定理 3 当n≥3时，有χat(TQn)=n+2．证明因为TQn是n正则图，根据定理1知χat(TQn)≥n+2．为了说明χat(TQn)=n+2，只需说明TQn存在n+2邻点可区别全染色．首先，根据引理3，可以用4种颜色对进行正常全染色hn使得TQn中任意两个相邻的点u,v有hn(u)6=hn(v)且Hn(u)6=Hn(v)．其次，TQn中未被染色的边构成n−2个完美匹配，用另外n−2种颜色4,5,… ,n+1对其进行染色，得到了TQn 的n+2正常全染色．此外，(u)=Hn(u)∪{4,5,… ,n+1},=Hn(v)∪{4,5,… ,n+1}．所以，．于是，得到TQn的n+2邻点可区别全染色．因此，χat(TQn)=n+2．参考文献：[1]Behzad Mehdi.Graphs and their chromatic numbers[D].East Lansing:Michigan State University,1965.[2]Vizing Vadim Georgievich.Some unsolved problems in graphtheory[J].Uspekhi Mat Nauk,1968,23:117-134.[3]Zhang Zhongfu,Chen Xiang’en,Li Jingwen.On the adjacent vertex-distinguishing total coloring of graphs[J].Science in China Ser A Mathematics,2005,48:289-299.[4]Chen Meirun,Guo Xiaofeng,Li Hao,et al.Total chromatic number of generalized Mycielski graphs[J].Discrete Mathematics,2014,334:48-51. [5]Chen Meirun,Zhai Shaohui.Total and adjacent vertex-distinguishing total chromatic numbers of augmented cubes[J].Ars Combinatorics,2014,114:87-96.[6]Huang Wentzeng,Tan Jimmy,Hung Chunnan,et al.Fault-tolerant hamiltoncity of twisted cubes[J].Journal of Parallel and Distributed Computing,2002,62:591-604.。
P 2n的Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数
广西科 学 Ｇｕ ｎ ｘ Ｓ ｉ ｃｓ Ｏ ８ １ （ ） ４ ａ ｇ ｉ ｃ ｎｅ Ｏ ， ５ １ ：～６ ｅ ２
的 Ｍｙｉ ｓｉ 的邻 强 边 色 数 和 邻 点 可 区别 全 色数 ｃ ｌｋ 图 ｅ
Ａ ｊｃｎ ｔｏ ｇ Ｅ ｇ ｏ ｌ ｎ ａ ｊｃｎ－ｅｔｘ ｄａ ｅ ｔ Ｓｒ ｎ ｄ ｅ Ｃ ｌｒｙ ａ ｄ Ａ ｄａ ｅ ｔｖ ｒｅ 。 ｏ 。 Ｉ
ｔ ｔ １ ｈ ｏ ｔｃ ｎ ｍ ｂ ｒ Ｍ ｙ ｉｌｋｉｇ ａ ｈ ｏ ａ ｒ ｍａ ｉ ｕ ｃ ｅ． ｃｅｓ ｒ ｐ
图 的 染 色 是 图 论 研 究 的 主 要 内 容 之 一 ， 色 的 一 染
／ 为 Ｇ 的 ｋ 正 常 边 染 色 ， 为 ｋＰ ～ 记 － ＥＣ．
个 基本 问题就 是确定 相应 的色数 ． 图的强边染 色产 生
中 图法 分 类 号 ： ７ ５ ０１ ． ５ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０ ５ ９ ６ （ ０ ８ Ｏ 一０ ４ ０ １ ０ — １ ４ ２ ０ ） ｌ０ ０ — ３
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｅ ｇ ａ ｈ ｏ 尸： ｓｄ ｆ ｅ ｔ ｅａ ｊｃ ｎ ｔｏ ｇ ｅ ｇ ｈ ｏ ｔ ｕ ｅ ｎ ｄ ａｅ ｔ ｓｒ ｃ ： ｎ ｗ ｒｐ ｆ ｗａ ｅ ｉ ｄ，ｈ ｄａ ｅ ｔｓｒ ｎ ｄ ｅｃ ｒ ｍａ ｉ ｎ ｍｂ ｒａ ｄ ａ ｊｃ ｎ ｎ ｃ ｖ ｒｅ ｉｔ ｇ ｉ ｉｇ ｔｔｌ ｈ ｏ ｔ ｕ ｅ ， ｎ ｏ ｓｒ ｃ ｈ ｏｏ ｉｇ ｍｅｈ ｄ ｏ ｄａ ｅ ｔｖ ｒｅ ｅｔｘ ｄｓｉ ｕｓ ｎ ｏａ ｒ ｍａｉ ｎ ｍｂ ｒ ａ ｄ ｃ ｎ ｔｕ ｔｔ ｅｃ ｌｒｎ ｔ ｏ ｆａ ｊｃ ｎ ｅ ｔｘ ｎ ｈ ｃ ｃ ｄｓｉｇ ｉ ｉｇｔ ｔｌ ｏｏ ｉｇ ｏ ｈ ｒｐ ｆＭ ｙ ｉｌ ｉ ｆｇ ａ ｈＰ： ｌｏｂ ｏ ｆ ｍｅ ｅ ≥ ３ ｉｔ ｕｓ ｎ ｏａ ｌｒｎ ｆｔ ｅｇ ａ ｈ ｏ ｃ ｓ ｒｐ ａｓ ｅｃ ｎｉ ｄ ｗｈ ｎ ｎ ｈ ｃ ｅｋ ｏ ｒ ．
关于图的邻点可区别全染色的一些结果
点u, v ,有f (u) = f (v ), 则 称f 是G的 一 个k -正 常 点 染 色,简 记 作k -P V C ,且 称χ(G) = min{k | G有k -正常点染色}为G的(点)色数. 定义 1.2
[1]
设G是 图, f 是 从 E (G) 到 {1, 2, · · · , k } 的 映 射,且 对 ∀ e1 ,e2 ∈ E (G),一
2
§ 1 预备知识
在这一节中我们给出一些与本文相关的基本概念,原理和引理.本文中所讨论的 染色若无特别声明均指的是正常染色,所考虑的图均为连通、有限、无向的简单图. ∆(G)和d(v )分别表示图G的最大度和图G中的顶点v 的度. 定义 1.1
[1]
设G是 图,f 是 从V (G)到{1, 2, · · · , k }的 映 射,若 对 任 意 相 邻 的 顶
前言 偶阶完全图的 k 重 M ycielski 图的邻点可区别全染色, 并得到了其色数的确切值. 在第三部分中, 给出了两个简单图G、H 的直积图G × H 的邻点可区别全色数与G的 邻点可区别全色数以及 H 的邻点可区别正常边色数之间的关系,还讨论了一些特殊图的 直积(如Sn × Pm 、Wn × Pm 、Fn × Pm 、Sn × Sm 、Wn × Wm 、Fn × Fm 、Sn × Cm 、Wn × Cm 、Fn × Cm 、Kn × Km (其中m、n均为偶数)、Kt × Kt (t为奇数))的邻点可区别全染 色,得到了相应色数的具体值. 冠图是一类具有优美对称性的图.本文在第四部分,通过构造具体染色方案的方法,得 到了冠图Wm ⊗ Wn (m, n ≥ 5)、Fm ⊗ Fn (m, n ≥ 5)的邻点可区别全色数.
iii
独创性声明
若干图的Mycielski图的点可区别均匀边色数
情形 1.1 当 n=3 时，令 C={1，2，3，4，5}构造 f 如下
f（v1v2）=f（v1′w）=1 f（v2v3）=f（v2′w）=2 f（v1v3）=f（v3′w）=3
f（v1v2′）=f（v2v3′）=f（v3v1′）=4 f（v2v1′）=f（v3v2′）=f（v1v3′）=5
此时
C（v1）={1，3，4，5} C（v2）={1，2，4，5} C（v3）={2，3，4，5} C（v1′）={1，4，5}
安常胜， 冯旭霞， 罗 亮， 崔俊峰
（兰州交通大学 数理与软件工程学院，甘肃 兰州 730070）
摘 要 ： 简 单 图 G 的 正 常 边 染 色 f， 若 对 于 坌u，v∈V （G）， 有 C （u）≠C （v）， 称 f 是 图 G 的 点 可 区 别 边 染 色 ， 其 中
C（u）={f（uv） uv∈E（G）}。 若满足 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，…，k），其中坌e∈Ei， f（e）=i（i=1，2，…，k），称 f 是图 G 的点可 区别均匀边染色。 讨论了若干图的 Mycielski 图的点可区别均匀边染色。
f（v1v2）=f（v1′w）=1 f（v1v2′）=f（v3′w）=f（v2v3）=2 f（v2v1′）=f（v3v2′）=3 f（v2v3′）=f（v2′w）=4
毕业论文范例——mycielski图的染色问题
目录中文摘要------------------------------------------------------------------2 英文摘要------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------4 一、mycielski图的定义-----------------------------------------------------5 1． mycielski图的定义----------------------------------------------------52 . 广义mycielski图的定义-----------------------------------------------5二、mycielski图的染色问题-------------------------------------------------5(一)边色数----------------------------------------------------------------51. Mycielski图的边色数---------------------------------------------------52.广义Myc ielski 图的边色数----------------------------------------------6(二)邻强边色数------------------------------------------------------------61. Myciel ski 图的邻强边色数---------------------------------------------72. 广义Mycielski 图的邻强边色数------------------------------------------7 （三）全色数--------------------------------------------------------------81. Mycielski图的全色数--------------------------------------------------82. 广义Mycielski图的全色数---------------------------------------------9 （四）邻点可区别全色数----------------------------------------------------91.Mycielski 图的邻点可区别全色数---------------------------------------102.广义Mycielski图的邻点可区别全色数----------------------------------12 致谢--------------------------------------------------------------------13 参考文献----------------------------------------------------------------14Mycielski图的染色问题摘要：本论文总结了Mycielski 图及广义Mycielski 图关于染色问题的各方面定义和定理，主要包括边色数、邻强边色数、全色数、邻点可区别全色数的相关结论。
多重Mycielski图的邻点可区别全染色
。
） 图 Ｇ 的顶点集 合 ，Ｅ（ 是 图 Ｇ 的边 集． 是 Ｇ）
Ｔｈ ｄａ ｅ ｔｖ ｒｅ — ｉｔ ｇ ｉｈｎ ｏａ ｏｏ ｉｇｏ ｅａ ｊｃ ｎ ｅ ｔｘｄｓｉ ｕｓ ｉｇ ｔ ｔｌ ｌｒｎ ｆ ｎ ｃ
ｋ－ ｕ ｔ— ｙ ｉｌ ｋ ｈ ｒ ｐ ｍ ｌｉＭ ｃｅ ｓ ｉｔ ｅ ｇ ａ ｈｓ
ＺＨ Ａ Ｎ Ｇ Ｃｈｅ ｎ， Ｃ Ｈ ＥＮ ａ — ｎ， ＬＩ ｎ ｓ ｅ ｇ Ｘｉｎｇ ａ Ｕ Ｘｉ — ｈ ｎＧ 有 ｔ ＴＣ Ｇ） ｎｔ ｌ —
ＡＶＤ Ｃ） Ｔ 叫做 图 Ｇ 的邻点 可 区别 全色 数．
定义 ２ 对 阶 图 Ｇ（ Ｅ）Ｍｋ Ｇ） 为 Ｇ的 ｋ ， ， （ 称
重 Ｍｙ ｉｌ ｉ （ ≥ ２ ，其 中 （ Ｇ） 一 ｛。， ｃ ｓ 图 ｋ ｅ ｋ ） Ｍ （ ） 。
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒｃ ：Ｔｈ ｐ ｅ ｏ ｎ ｓ ｏ ｈ ｄａ ｅ ｔ ｅ ｔｘ— ｉｔ ｇ ｉｈ ｎ ｏ ａ ｏ ｏ ｉｇ ｎ ｍｂ ｒ ｏ ｍｕｔ— ｅ ｕ ｐ ｒ ｂ ｕ ｄ ｆ ｔ ｅ ａ ｊ ｃ ｎ ｖ ｒｅ ｄｓ ｉ ｕｓ ｉｇ ｔ ｔ ｌｃ ｌｒｎ ｕ ｅ ｎ ｋ— ｌｉ ｎ Ｍ ｙ ｉｌｋ ｒ ｐ ｓ ａ ｅ ｄ ｓ ｕ ｓｄ Ｔｈ ｄａ ｅ ｔ ｅｔ ｘ— ｉｔ ｇ ｉｈ ｎ ｏ ａ ｏｏ ｉｇ ｎ ｍｂ ｒ ｎ ｋ ｍｕｔ ｃｅｓ ｉｇ ａ ｈ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ． ｅ ａ ｊ ｃ ｎ ｖ ｒｅ ｄｓ ｉ ｕ ｓ ｉｇ ｔ ｔｌｃ ｌｒｎ ｕ ｅ ｓ ｏ ｎ ｌ ｉ
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关于路和轮的广义Mycielski图的邻点可区别的边染色
ｆ ／ ４ｆ
ｌ ｏ ２； （ ｄ） ｍ
（ 阶数 为 ５的 圈 ）有 ｘ Ｇ △（ ） 如 果最 大度 点都 ， （） Ｇ； 相邻 ， ｘ Ｇ ≥△（ ＋ 。此 概念 提 出后 ， 则 （ ） Ｇ） １ 相关 的文 章 陆续产生 ， 请参 见文 献【— 】 ２ ３。
Ｍｙｉ ｓｉ 。 ｃｅ ｋ 图 ｌ
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／ ｊ Ｏ 。３ ｆ － （ ｄ） ｍ ；
设 ％ （ 是一个 图 ， Ｇ） 如果 点 集合 （ （ ） ｏ Ｇ）： ｈ ０… ， ； ２ ， １ …， ； ； ２ … ， 位， ，ｐ；且 边 集 合 … Ｙ｝ ｎ
第 ４期
【 基础数学与应用数学研 究】
关 于路 和轮 的广 义 Ｍｙ ｉｓ ｉ ｃｅ ｋ 图 ｌ 的邻 点可 区别 的边 染 色
闫丽 宏 １ 治文 １ 忠辅 １ ， 王 ， 张 ， ２
（ ． 阳 师范 学 院 数学 系 ，陕 西 咸 阳 ７ ２ ０ ；． １ 咸 １０ ０ ２兰州 交 通 大 学 应 用 数 学 研 究所 ， 肃 兰 州 ７ ０ ７ ） 甘 ３０ ０
摘
要 ： 个 图 Ｇ 的边 染 色被 称 为邻 点可 区别 的 。 果满 足 图 Ｇ 中任 意 两个相 邻 点所 关联 一 如
的边 所 染颜 色的集合 不 同。研 究 了图路 和轮 的广 义 Ｍｙｉｌ ｉ ｃ ｓ 图的邻 点 可 区别的边 染 色并证 明 ｅｋ
它 满足 邻 点 可 区 别 的 边 染 色猜 想 。 关 键 词 ： ； ； 义 Ｍｙ ｉ ｓ 路 轮 广 ｃｅｋ ｌ ｉ图 ； 点 可 区别 的 边 染 色 邻
完全二部图的Mycielski图的点可区别全色数
左 端 知 （ Ｍ（
）≥ ２ ） ｍ＋ ２要 证 结论 为 真 ， ， 仅
需给出 Ｍ（ Ｋ ）的一个 （ ｍ＋ ２ 一 ） Ｃ法． ２ ） ＶＩ Ｔ
设 Ｃ＝ ｛ ，， ，ｍ＋ １０． 厂为 １２ … ２ ， ｝令
厂 叫）一 ｍ＋ ｌ （ ；
ＵＥＧ （ ）Ｕ ｛ Ｉ Ｅ Ｖ ． 删 ） 其 中，
文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
图 的染色 是 图论 的主要 研 究 内容 之 一． 由计 算 机科学和信息科学所产生的点可区别边染色＿ ， １ 邻 ］ 点可 区别边染 色 （ 或邻 强 边 染 色 ）２ 及 Ｄ（ 点 可 ＿ 【 叫 区别全 染色 点可 区别 全 染 色［ 都 是 十分 困难 引， 。 等 的问题 ， 今 文献 甚 少． 文 给 出 了 完 全 二 部 图 的 至 本
不同元素中任取 个的组合数 ； ＋１ 和△分别表示Ｇ
的最 小度 和最 大度． 显然 ， 猜想 的左 端是 成立 的．
Ｍｙｉ ｓｉ ｃ ｌ 图的点可区别全色数． ｅｋ 定 义 １。 对 阶数 不小 于 ２的联 通 图 Ｇ（ Ｅ） ［ Ｖ， ，
令 －为 Ｖ（ 厂 Ｇ）ＵＥ（ 到 Ｃ一 ｛， ， ，｝ Ｇ） １ ２… 是 的映射 ， 其 中 ｋ为正 整数 ， 对任意 的 “Ｅ （ ， 表 示 Ｇ）Ｃ（）
厂“ （ ）Ｕ ｛ （ｖ ＇ Ｅ（ ） ． ｆ ｕ ）ｌ Ｏ∈ Ｕ Ｇ ） 如果 厂满足 ： ｉ ．对任 意 的 Ｕ ， Ｅ Ｅ（ ， ７ 删 Ｇ） 乱≠ ， ３ 有
ｆｕ ） ｆｖ ； （ｖ ≠ （ｍ）
１ 主 要 结 论 及 其 证 明
引理 １ Ｅ 对 Ｍ（ Ｋ ）有 ，
ｆ ｕ ）一 ２ （１ ｍ＋ １ ； ｆ ｕ ）一 ０ （ｓ ；
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由信息科学中的电信通讯站的频率分配问题、 计算机科学中的网络结构设计区分问题所引出的点可 区别边 染色 卜 ， 邻点 可 区别 边染 色 ， 邻 点可 区别全 染 色 等具 有 一定 的理论 价 值 和 实 际意 义 ， 逐 渐
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版
２ ０ １ ６正
Ｅ （ Ｇ ）ｕ ｛ ｌ Ｅ Ｖ ， Ｅ Ｖ ， “ Ｅ Ｅ （ Ｇ ） ｝ｕ ｛
则称 （ Ｇ ）为 由 Ｇ构造 而得 的 Ｍｙ ｃ ｉ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ 图．
Ｍｙ ｃ ｉ ａ ｌ ｓ ｋ ｉ 图 的 一 般 邻 点 可 区别 全 色 数
王 继 顺
（ 连云港师范高等专科学校 数学与信息工程学院 ， 江苏 连云港 ２ ２ ２ ０ ０ ６ ） 摘 要： 设图 Ｇ （ Ｖ ， Ｅ ）是阶数至少为 ２的简单连通 图， ｋ 是正整数． 从 ｕ Ｅ到 ｛ １ ， ２ ， …， ｋ ｝ 的映射门尔为图 Ｇ
１ 相关定义与猜想
定义 １ 设Ｇ （ Ｖ ， Ｅ）是 简单连 通 图 ， ｋ 是 正整 数 是 ｕ Ｅ（ Ｇ ）到 ｛ １ ， ２ ， …ｋ ｝的映射 ， 若 满足 ）≠ １ １ ， ＇ ３ １ ） ， 则 称厂为 Ｇ的 ｋ ・ 正 常全染 色 ， 进
１ ）对 任意 ， ／ Ｘ Ｗ∈ （ Ｇ ） ， ≠ ， 有 ｕ ｖ ）≠ １ ２ ， Ｗ） ；
成 为 图论工 作者研 究 的重 要课 题 ｍ ］ ．为 拓展 图染 色理 论 的应用 领域 ， 文献 ［ １ １ ］ 进一 步 提 出 了一 般邻 点
可 区别边染色概念 ， 文献 ［ １ ２— １ ３ ］ 提出图的一般邻点可区别全染色的新染色概念．由于其 同样是十分 困 难的问题 ， 至今文献甚少． 文献［ １ ４ １ 根据路、 圈、 扇、 轮等图的结构性质， 确定了其一般邻点可区别的全色数．
的一般邻点可区别全染色（ 简记 ｋ － Ｇ Ａ Ｖ Ｄ Ｔ Ｃ ） ， 如果对任 意 ２个相邻顶点 “≠ 的色集合 ｃ （ ／ ／ ， ）≠ Ｃ （ ） ， 其 中 Ｃ （ ｕ ）＝ ｛ ， （ ｕ ） ｝ｕ ｛ ， （ 删）ｆ ２ ／ ／ ＇ ） ∈ （ Ｇ ） ｝ ， 并称 （ Ｇ ）＝ｍｉ ｎ ｛ ｋ ｆ Ｇ有 ｋ － Ｇ Ａ Ｖ Ｄ Ｔ Ｃ｝ 为图 一般邻点可区别全
关于 图 的一 般邻 点可 区别全 色数 ， 有 ２个 猜想 ． 猜想 １ ¨ 。 设 Ｇ （ Ｖ ， Ｅ）是有 凡个 顶点 的简单 图 ， 有
．
≤ｒ ｌ ｏ ｇ ￣ ｌ ＋１ ．
猜想 ２ 定义 ３ Ｌ １
设Ｇ （ ， Ｅ ） 是有 ｎ 个顶点的简单图 ， 且Ａ （ Ｇ ）≥ ４ ， 则
２ ）对 任意 １ １ ， ＇ １ ３ ∈ Ｅ（ Ｇ ） ， 有厂 （ ）≠ ） ｕ ）≠ ｕ ）
一
步；
３ ）对 任意 ∈Ｅ（ Ｇ ） ， 有 Ｃ（ １ ｌ ， ）≠ Ｃ （ ） ， 则 称 为 Ｇ 的一 个 ｋ 一邻 点 可 区 别 全 染 色 法 （ 简 记 为
第３ ４卷 第 ４ 期
２ ０ １ ６年 １ ２月
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版
ＮＡＴＵＲＡＬ Ｓ ＣＩ ＥＮＣＥ Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＩ ＮＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ４
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ６
文章编号 ： １ ０ ０ ４— １ ７ ２ ９ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ４— ０ ３ ０ ７— ０ ６
任意 １ １ ， ＇ ０ Ｅ Ｅ（ Ｇ ） ， 有Ｃ （ Ｍ≠） ｃ ｏ ， ） ， 则 称 为 Ｇ的一般邻点 可区别全染色 （ 简记 为 － Ｇ Ａ Ｖ Ｄ Ｔ Ｃ ） ， 并称 （ Ｇ ）＝
ｍ ｉ ｎ ｛ ｋ Ｉ Ｇ有 ． ｊ ｝ 一 Ｇ Ａ Ｖ Ｄ Ｔ Ｃ ｝ 为 Ｇ的一般邻点可区别全色数．
色数 ． 综 合运用构造法 、 调整法及概率法讨 论 了路、 圈、 扇、 星、 轮和完全二 部 图的 Ｍｙ ｃ ｉ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ 图的一般 邻点可 区别全染色 ， 给出了其确切 的一般邻点可 区别全色数．
关键词 ：Ｍ ｙ ｃ ｉ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ 图； 一般邻点可区别全 染色 ； 一般邻点可 区别全色数
ｋ － Ａ Ｖ Ｄ Ｔ Ｃ） ， 而称
。
（ Ｇ ） ＝ｍｉ ｎ ｛ ｋ Ｉ Ｇ的 ｋ － Ａ Ｖ Ｄ Ｔ Ｃ｝ ｌ
为 Ｇ的邻点可区别全色数， 其中 ｃ （ Ｍ ）＝ ｕ ） Ｉ ｔ ／ ， ∈ Ｖ （ Ｃ ） ｛ｕ ｛ ， （ ｕ ｖ ） Ｉ １ １ ， ｏ ＇ ∈ Ｅ （ Ｇ ） ｝ 称为点 ｕ 在厂Ｆ 的色第 定义 ２＿ １ 设 Ｇ （ ， Ｅ） 是 简单 连通 图 ， ｋ 是 正 整数 是 （ Ｇ ）ｕ Ｅ（ Ｇ ）到 ｛ １ ， ２ ， … ｝ 的映射 ， 若对
≤△（ Ｇ ）＋１ ．
设Ｇ （ ， Ｅ ） 是简单连通图， 若图 （ Ｇ ） 满足 Ｖ （ Ｍ（ Ｇ ） ）＝ ｕ ｕ｛ ｃ ｃ Ｊ ｝ ， ｇ （ Ｍ（ Ｇ ） ）＝
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６— ０ ６—２ ２ 基金项 目：国家 自然科学基金 （ ６ １ １ ７ Ｏ ３ ０ ２ ） ； 连云港市第五期“ ５ ２ １ ” 人才 培养工程 资助项 目 作者简介 ：王继顺 （ １ ９ ７ ０一） ， 男， 山东 临沭人 ， 副教授 ， 研究方 向： 图论染色及其应用 ， Ｅ － ｍ ａ ｉ ｌ ： ｗ ｊ ｉ ｓ ｈ ｕ ｎ ＠１ ６ ３ ． ｔ ｏ ｍ