图色数的一种求法
图论——染色、二部图匹配问题
1
四色问题(Four Color Problem)
2
着色(coloring)
着色: 给图的某类元素(点,边,面)中每个 指定1种颜色,使得相邻元素有不同颜色 点着色,边着色,面着色
3
着色(例)
边着色
点着色
面着色
4
色数
[着色] 图 G=(V,E) 的一个 k 顶点着色指用 k 种颜色 对G的各顶点的一种分配方案。若着色使得相邻顶
Def 设G = (V, E)是任意简单无向图. 若 M E且中任何两条边都不相邻, 则称M为G 的一个匹配(matching)或边独立集, M中每条 边的两个节点在M中匹配.
{ab, h c d
{ab, fi, cd, hj} {af, bg, ch, di, ej}
k-色图: 可k-着色,但不可(k-1)-着色 色数: 着色所需最少颜色数 点色数(G), 边色数’(G), 面色数*(G) 例: (G)=2, ’(G)=4, *(G)=3
7
色数
[特殊图的色数]
① 零图：(G)=1
② 完全图 Kn：(G)=n 若一个图的每一对不同顶点恰有一条边相连则称为完全图。
③ G是一条回路：(G)=2 若|V|是偶数
(G)=3 若|V|是奇数 ④ (G)=2的充要条件是: (a) |E|1；(b) G中不存在边数为 奇数的回路。（此时G为二部图） ⑤ 若G1、G2为G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}
色数
[Hajó s猜想] 若G是 k 色图, 则G包含 Kk 的一个同胚图
V1和V2称为互补节点集合, 一般不唯一:
图论讲义6染色应用
例：
G
χ (G) = 3
5
规范染色法（极大独立集法）
设ϕ = {V1,V2 ,L,Vk }是 G 点 k 染色。若V1 是 G 的极大独立集，V2 是 G \ V1 的极大独
i −1
U 立 集 ， V3 是 G \ (V1 U V2 ) 的 极 大 独 立 集 ， 一 般 地 ， Vi 是 G \ V j 的 极 大 独 立 集 j =1
M1, M 2 ,L M p ，使得 E = M1 U M 2 U L U M p ，且对每个 i (i = 1,2,L, p) 均有
⎢ε (G)⎥ ⎢⎣ p ⎥⎦
≤|
Mi
|≤
⎡ε (G)⎤ ⎢⎢ p ⎥⎥
。
证明：因图 G 是二部图，故由本章定理 6.2.1，边集 E(G) 可划分为 ∆ 个匹配 M1′, M 2′ ,L, M ∆′ ， 因而对任何 p ≥ ∆(G) ，G 中存在 p 个无公共边的匹配 M1′, M 2′ ,L, M ∆′ , M ∆′ +1,L, M ′p （其
执行算法 A 得 G 的 4 个边不交的匹配（如图 2）。相应的一个 4 课时课表如下：
教师 课时
1
2
3
4
x1
y1
y1
y3
y4
x2
y2
y4
x3
y3
y4
y2
x4
y4
y5
按这张课表安排，需
4
个教室。但因 ε
(G)
=
11，
⎡ε ⎢⎢ p
⎤ ⎥⎥
=
⎡11⎤ ⎢⎢ 4 ⎥⎥
=
3
，由定理
6.3.1，可
排出一张只需 3 个教室的 4 课时课表。事实上，将教师 x4 在第 1 课时的课调到第 3 课时而 将教师 x2 在第 3 课时的课与第 1 课时对调即可。从二部图的匹配上来看，是将第 1 课时和
zxc_g6color图的着色
12
6.2 色数多项式
[定理6-2-1] 设简单图G，G ij 和 G ij 分别如前所述，并
o
记 P1(k) 和P2(k)为 G ij 和 G ij 的k染色方案数，则
PG(k)= P1(k)+P2(k)
o
[证明]
[推论1] 对任何图G=(V,E)，n=|V|，m=|E|，PG(k)都 是k的整系数n次多项式，且：① 首项为kn； ② 次项为-mkn-1； ③ 常数项为0； ④各项系数的符 号正-负交替。
22
e
6.3 独立集、支配集和覆盖集
[极小支配集] K为G的一个极小支配集K为G的一个
支配集(K1)(K1KK1不是G的支配集)
[支配数] 设G的所有支配集为A1、A2、… 、Ak，记
0 min | Ai |
i 1..k
称为G的支配数。 [最小支配集] G的一个支配集Ai 称为G的一个最小支 配集若 |Ai| = 0 。
6
6.1 色数
[定理6-1-1] k-临界图G=(V,E)，=min{deg(vi)|viV}，
则 k-1。
[证明] [推论1] k色图至少有k个度不小于k-1的顶点。 [推论2] 对G=(V,E)， =max{deg(vi)|viV}，则 (G) +1。 推论2给出了色数的一个上限，但很不精确。 [例] 二部图可二染色，但是可以相当大。
o o
[证明]
[例] 如图， 求 (G)。
9
6.2 色数多项式
[定义] PG(k)：对给定的图 G=(V,E) ，以k种颜色进行
正常着色的方案数目。
当 k< (G)时, 不可能进行正常着色, 此时PG(k)=0。
图论 图的着色
X(G(V1,V2))=
X(G)=2 G为二部图
Th5.1：如果图G的顶点次数≤ρ，则G是ρ+1可着色的。
Th5.2：如果G是一个简单连通的非完全图，如果它的最大顶点次 数为ρ(ρ≥3)，则称G为ρ可着色的。
下面的讨论的图为平面图：
Th5.3：每个平面图都是6可着色的。 Th5.4：每个平面图都是5可着色的。 Th5.5：每个平面图都是4可着色的。
ρ ≤ X’(G)≤ ρ+1
对任意图判断X’(G)= ρ 或X’(G)= ρ+1没有解决，但对于一些特殊图， 答案是清楚的。
对于n个点圈图： 2 or 3
.13：对于n(n>1)的完全图，
X’(kn)=n (n为奇数）X’(kn)=n-1(n为偶数) Th5.15：如G为具有最大顶点次数ρ的二部图，则X’(G)= ρ。
Corollary 5.9：地图4色定理 平面图的4色定理。 Th5.10：设G为一张每个顶点都是3次的地图，则 G为3可面着色G的每个面皆被偶数条边所围 Th5.11：如果每个3正规的地图是4可面着色的，则4色定理成立。
5.3 边的着色
G是k可边着色的：如果图G的所有的边皆可用k种颜色着色，使得 任何两条相邻的边均具有不同的颜色，则称G是k边着色的。 k为G的边色数：如果G为k可边着色的，但不是k-1可边着色的，则 称k为G的边色数，记为：X’(G)。 Th5.12：如果G为简单图且它的最大顶点次数为ρ
第五章 图的着色
5.1 色数 5.2 地图的着色 5.3 边的着色
5.1 色数
G为k可着色的：设G是一个无自环图，如果对它的每个顶点可以用 k种颜色之一着色，使得没有两个相邻的顶点有相同的颜色，则称G 是k可着色的。
图着色
我们可以把问题简化为3个点来分析，现给定
如下图，怎样求解呢？
1
该图的色数是多少？ 怎样用解空间树来表示呢？
3
2
由图可知，对于每一个顶点可选的颜色可以有3种不 同的选择，所以每一个节点有3个儿子节点，有4层。
判断条件
新加入节点t取某一种颜色i时，依次和上层的每一个节点 j(j<t)比较。如果a[t][j]=1并且x[t]=x[j],那么它是不可着色的。
在网络中,每个小区的信道需求用一个有n个元素的矢量来描 述,称作需求矢量D。
信道分配的问题就转换为:
对于一个带权图(G,w),其中G=(V,E,c0,c1,…,ck),建 立一个分配函数f,其值域为一个非负整数集,定义域 为图的顶点集合V,满足下列条件:
CoMP
（Coordinated e Points）
int OK(int t，int i) { int j; for( j=1;j<t;j++) {
if(a[t][j]&&x[j]==i)
return 0; } return 1; }
1
模拟演示
3 t=1
2
t=2
t=3
t=4
当前节 点
颜色的种 类
void Backtrace(int t，int m)
int main() { int m; int i; printf("请输入颜色种类：\n"); scanf("%d",&m); for(i=1;i<=m;i++)//初始化 x[i]=0; Backtrace(1,m); if(sum==0) { printf("不是%d可着色的!\n",m); } return 0;
图论课件-图的顶点着色
AC
所以， (G) 4
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
注：对图的正常顶点着色，带来的是图的顶点集合的
一种划分方式。所以，对应的实际问题也是分类问题。 属于同一种颜色的顶点集合称为一个色组，它们彼此不 相邻接，所以又称为点独立集。用点色数种颜色对图G 正常着色，称为对图G的最优点着色。
若G1是非正则单图，则由数学归纳，G1是可Δ (G)顶点 正常着色的，从而，G是可Δ (G)正常顶点着色的。
(2) 容易证明：若G是1连通单图，最大度是Δ ，则
(G) (G)
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) Δ (G)≥3
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1), (v3 )=3
v1
v6
v5
(2),C(v4)=3,C C(v4) 1, 2, 4,5, k 1
(1), (v4 )=1
v2
(2),C(v5)=1,C C(v5) 2,3, 4,5, k 2
v
块
块
块
G -v
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由于G本身2连通，所以G-xn的每个仅含有一个割点的块 中均有点与xn邻接。设分属于H1与H2中的点x1与x2，它们与 xn邻接。由于x1与x2分属于不同块，所以x1与x2不邻接。又 因为Δ ≥3，所以G-｛x1, x2｝连通。
图论讲义第6章-图的着色问题
u
(2) 设 G 不是 Euler 图。此时给 G 增添一个新顶点 v0，将 v0 与 G 的每个奇度顶点连一条 边 ， 得 到 一 个 新 图 G* 。 显 然 G* 的 所 有 顶 点 都 是 偶 数 度 的 ， 因 而 是 Euler 图 。 设
v0 e1v1e2
* eε ( G *) v0 是 G*的一个 Euler 闭迹，令 E1* = {ei i 为奇数}, E 2 = {ei i 为偶数}，这 * * *
ik-1
… v3 v2
i3
…
ik
u
…
im
i2 i1 i1
ห้องสมุดไป่ตู้
vm
v1
v
因 d ( v1 ) < Δ + 1 ，故必有某种色 i 2 不在 v1 处出现。这样 i 2 必然在 u 处出现（否则，可 。因此存在一条 用 i 2 给 uv1 重新染色，得到一个改进的 Δ＋1 边染色，与 c 是最佳染色矛盾） 边 uv2 染有色 i 2 。 。 又因 d ( v 2 ) < Δ + 1 ，必有某种色 i 3 不在 v2 处出现。 i 3 必然在 u 处出现 （理由同上） 因此存在一边 uv3 染有色 i 3 。 继续这个过程，可找出一个顶点序列 v1 , v 2 , 染有颜色 ij，且色 ij+1 不在点 vj 处出现， （ j = 1,2, , 以及一个颜色序列 i1 , i2 , , 使得边 uvj ） 。而且，因 c(u ) < d (u ) 且 d (u ) 是有
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
图论讲义6染色理论
第六章 染色理论许多实际问题可以归结为求图的匹配或者独立集。
此外，在许多应用中，人们希望知道：一个给定的图，它的边集至少能划分成多少个边不交的匹配？或它的顶点集至少能划分成多少个点不交的独立集？这便是图的边染色和顶点染色问题。
§6.1 点染色定义6.1.1 设G 是一个无环边的图。
G 的顶点正常k 染色(proper vertex k-colouring)π是指k 种颜色k ，，，L 21对于G 的各顶点的一种分配，使得任二相邻的顶点被染上不同的颜色。
换句话说，G 的顶点正常k 染色π是一个映射},,2,1{)(:k G V L →π,使得)(1i −π是独立集或空集),,2,1(k i L =.注：设π是G 的一个顶点正常k 染色。
令})(|)({)(V 1i x G V x i i =∈==−ππ，（k i ,,2,1L =）。
则π实际上是对顶点集)(G V 的一种划分：),,,(21k V V V L =π，其中φ=j i V V I ，)(1G V Vki i==U ，且每个i V 是独立集或空集),,2,1(k i L =.例：定义6.1.2 若存在G 的一种顶点正常k 染色，则称图G 是点k 色可染的(vertex k-colourable)， 有时简称为k 色可染的或可k 染色的。
注：⑴ 每个图G 一定是)(G ν色可染的。
⑵ 若图G 是k 色可染的，则对任何正整数k m ≥，G 也m 色可染。
定义6.1.3 设G 是无环边的图，令G k G |min{)(=χ是k 色可染的}，称)(G χ为G 的点色数，有时简称为色数(chromatic number)。
若k G =)(χ，则称G 为k 色图(k-chromatic graph)。
注：（1） 若k G =)(χ（即G 是k 色图），则G 中任何点k 染色),,,(21k V V V L =π中每个i V 都是非空的独立集。
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第38卷 第4期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 38 No.4 2018年 4月 Journal of Science of Teachers′College and University Apr. 2018
文章编号：1007-9831（2018）04-0001-03
图色数的一种求法 杨雅琴 （齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006） 摘要：利用组合数学中图转化成树的思想，从图中一顶点出发，按照图的邻接矩阵中各顶点间边存在的情况，建立各级树，根据要着色的顶点与已着色顶点间边存在的情况，给所要着色的顶点着色．当所有顶点都已着色后，所用颜色个数就是图的色数． 关键词：图；邻接矩阵；树；色数 中图分类号：O157 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2018.04.001
A method for calculating the chromatic number of a graph YANG Ya-qin （School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China） Abstract：Using combinatorial mathematics graph into a tree，starting from a vertex in that graph，builds trees at all levels according to the existence of edges between vertices in the adjacency matrix of graphs．According to the existence of coloring vertices and coloured vertex edges，color the vertices which need to be colored．The number of colors used is the chromatic number of the graph when all vertices are colored. Key words：graph；adjacency matrix；tree；chromatic number
近年来，对于图着色的研究有许多[1-6]，但关于图色数的求法并不多，多数文献是研究图的邻点可区别全色数的上界和图的一般邻点可区别全染色问题．本文借助利用组合数学中图转化成树的思想，从图中一顶点出发，按照图的邻接矩阵中各顶点间边存在的情况，建立各级树，根据要着色的顶点与已着色顶点间边存在的情况，给所要着色的顶点着色，当所有顶点都已着色后计算所用颜色个数就是图的色数． 定义[1]251 设G是n阶一般图，并令其顶点
12, , , naaaL按某种顺序排列．A是一个nn´的矩阵，其
第i行第j列元素ija等于连接顶点ia和ja的边的数目(1, )ijn££．于是，总有ijjiaa=，而且iia等于顶点
ia
处的环的个数，这样的矩阵A称为G的邻接矩阵． 算法 已知图G所包含点的集合V和所有边的集合E，以及用来给图中各点着色的k种颜色构成的集合{}12, , , kTBBB=L．
Step1 根据图G所包含点的集合V和所有边的集合E，得出图G的邻接矩阵A． Step2 设S表示点集V中已被着色的点构成的集合，M表示已给点着色的颜色构成的集合，初始值{}, {}SM==． Step3 设从点集V中点1a开始着色，给点1a着1B色，则{}{}11, SSaMMB==UU．
Step4 以点1a为树根，根据邻接矩阵A中点1a所对应行中元素值为1所对应点的情况，建立二级树
收稿日期：2017-08-10 基金项目：齐齐哈尔大学校教研项目（2017030） 作者简介：杨雅琴（1971-），女，吉林白城人，副教授，硕士，从事应用数学研究．E-mail：yyqcpy2008 @126.com 2 高 师 理 科 学 刊 第38卷 （见图1），将点23, , , taaaL记入S中，即{}23, , , tSSaaa=UL．
Step5 逐个选取点(2)
papt££，考察邻接矩阵A中点pa所对应行中元素值为1所对应点的情况，
如果点pa与S中每一点都有边相连（邻接矩阵A第p行中与S中所有点所在的列上的元素都为1），则给
点pa着TM-中新的颜色qB，并将颜色qB记入M中，即{}qMMB=U；否则，检查点pa与S中没有边
相连的点（邻接矩阵A中第p行中与S中这点所在的列上的元素为0），记为pka．若S中和点pka着同色
的点与点pa都没有边相连，则点pa与该点着同一颜色；否则，给点pa着TM-中新的颜色qB，并将颜色
qB记入M中，即{}qMMB=U． Step6 在图1中分别以23, , , taaaL为树根，得到一些新的点()ppaaVSÎ-，将点()ppaaVSÎ-记
入S中，即{}pSSa=U，重复Step5，直到SV=或MT=为止．
例1 求图2的色数． 解 已知图2的点集为{1, 2, 3, 4, 5}V=和边集E，颜色集T={红、蓝、黄、白、黑}．
（1）得到图2的邻接矩阵 12345100111200101311011410101511110
æöç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷èøA．
（2）以点1为起始着色点，给点1着红色，{1}S=，M={红}，建立以点1为树根的二级树（见图3）．
由于点3与S中点1有边相连（邻接矩阵A中第3行第1列元素为1），因此从TM-中选取颜色给点3着色，点3着蓝色，{1, 2}S=，M={红，蓝}；由于点4与S中点1和点3有边相连（邻接矩阵A中第4行第1列元素和第4行第3列元素均为1），因此从TM-中选取颜色给点4着色，点4着黄色，{1, 3, 4}S=，M={红，蓝，黄}；由于点5与S中点1、点3和点4有边相连，因此给点5着白色，{1, 3, 4, 5}S=，M={红，蓝，黄，白}； （3）建立三级树（见图4a），由于点2与集合S上点1无边相连（邻接矩阵A中第2行第1列元素为0），给点2着与点1同色，即给点2着红色（见图4b）． 此时{1, 3, 4, 5, 2}SV==，所以，图2的色数是4． 有时不用写出图的邻接矩阵也可以求图的色数． 例2 求图5的色数． 解 已知图5的点集为{, , , , , , }VABCDEFH=和边集E，颜色集T={红，黄，蓝，白，黑，紫，绿}． （1）以点A为起始着色点，给点A着红色，{}SA=，M={红}，建立以点A为树根的二级树（见图６）．
3 4 图2 例１图示
5 1 2 3 4 5 图3 以点1为树根的二级树
１ a2 a3 … at
图1 二级树
a1
2 a 着色前 1红
2红 b 着色后 图４ 以点１为树根的三级树
1红 5白 4黄
3蓝
4黄 5白
3蓝 第4期 杨雅琴：图色数的一种求法 3 （2）由于点B与S中点A有边相连，因此从TM-中选取颜色给点B着色，点B着黄色，{, }SAB=，M={红，黄}；点D与S中点B有无边相连，点D着黄色，{, , }SABD=，M={红，黄}．
（3）建立三级树（见图7a），由于点C与集合S中点A无边相连，因此给点C着与点A相同的色，即给点C着红色（见图7b），{, , , }SABDC=，M={红，黄}；同理，给点H着红色，{, , , , }SABDCH=，M={红，黄}；点E虽与集合S中点A无边相连，但与点C有边相连，又点E虽与集合S中点B无边相连，但与点D有边相连，因此给点E着蓝色，{, , , , , }SABDCHE=，M={红，黄，蓝}．
（4）建立四级树（见图8a或图8b），因点F与S中点B和点D都无边相连，因此给点F着黄色，{, , , , , , }SABDCHEFV==，M={红，黄，蓝}．所以，图5的色数是3．
参考文献： [1] Richard A，Brualdi．组合数学[M]．北京：机械工业出版社，2012：245-295 [2] VanLint J H，Wilson R M．组合数学教程[M]．北京：国防工业出版社，2006：1-6 [3] 柳柏濂．组合矩阵论[M]．2版．北京：科学出版社，2005：56 [4] 晁福刚，张忠辅，强会英．图的邻点可区别全色数的一个上界[J]．纯粹数学与应用数学，2010（1）：91-95 [5] 严谦泰．关于图的一般邻点可区别全染色[J]．系统科学与数学，2010（1）：101-106 [6] Alan Tucker．应用组合数学[M]．北京：人民邮电出版社，2009：1-19
C H E C红 H红 E蓝 a 着色前 b 着色后 图7 以点A为树根的三级树
A红 A红 B黄 B黄 D黄 D黄
图6 以点A为树根的二级树 B黄 A红 D黄 图5 例2图示
A H F
E
D B
C
F F a 情形１ b 情形２
图8 四级树
A红 B黄 B黄
D黄 D黄
C红 C红 H红 H红 E蓝 E蓝
A红