向量函数空间曲线

定积分（牛顿—莱布尼兹公式）

b a
b f (t )dt F (t ) a F (b) F (a )
即
a
b
b b b f (t )dt { a f1 (t )dt , a f 2 (t )dt , a f 3 (t )dt }
B.
空间曲线的弧长 弧长微元： ds [ x( t 0 )]2 [ y( t 0 )]2 [ z( t 0 )]2 dt
10.5.4 向量函数的积分 空间曲线的弧长
A. 向量函数的积分
若F (t ) f (t )， 即 {F1(t ), F2(t ), F3(t )} { f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t )} 称F (t )为f (t )的一个原（向量）函数 。 f (t )dt F (t ) C
圆柱面,
( x 1)2 y 2 1
交线如图.
C. 空间曲线C在坐标面上的投影曲线
即 投影柱面与坐标面的交线
H1 ( x, y ) 0 C xy : 空间曲线C在xoy面上的投影： z0 H 2 ( y, z ) 0 C yz : 空间曲线C在yoz面上的投影： x0 H 3 ( z, x ) 0 C zx : 空间曲线C在zox面上的投影： y0
10.5 向量函数 空间曲线
10.5.1 向量函数
数量函数
向量函数
u f ( x1 , x2 ,, xn )
r (t ) { x(t ), y(t ), z(t )}
Rn R1 R1 R3
x x 0 y y0 z z 0 例如：直线 a b c
参数方程：
ˆ x(t ) x x 0 ta ˆ y( t ) y y0 tb z z tc ˆ z(t ) 0
在xoy面上的投影区域。
10.5.3 向量函数的导数
向量函数 r (t ) { x(t ), y(t ), z(t )}
r lim { x( t 0 ), y( t 0 ), z( t 0 )} 若x(t ), y(t ), z(t )在t0可导，则称 t 0 t r (t0 ),即 为向量函数 r (t )在t0处的导数，记为 r (t0 ) { x(t0 ), y(t0 ),几何意义：空间曲线在对应点处的切线的切向量。
例8.
x R cost 螺旋线 y R si nt 上任一点处的切向量 z vt
与z轴正向的夹角都相等。
解：r (t ) { R sint , R cost , v}
设与z轴正向的夹角为
r ( t ) k cos | r ( t ) | | k | v （常数） 2 2 ( R ) v
z vt
B. 空间曲线方程的一般形式
F ( x, y, z ) 0 G: G ( x , y , z ) 0 z 4 x2 y2 例4 试画出空间曲线 G : 2 2 的图形。 x y 2x
解 z
4 2 x 2 y 2 上半球面,
10.5.2 空间曲线
A. 一元向量函数 空间曲线方程的参数形式：
x x(t ) y y( t ) z z(t )
t [a , b ]
x(t ), y(t ), z(t )在[a, b]上连续时，是一条连续 曲线。
例3（圆柱面螺旋线）半径R，角速度均匀为 ， 沿中心轴方向匀速移动速度为 v 。 x R cost 螺旋线方程为： y R si nt
s
b a
[ x(t0 )]2 [ y(t0 )]2 [ z(t0 )]2 dt
x R cost 例11. 求圆柱面螺旋线 y R si nt 在[0，t]区间 上的弧长。 z vt
解：s 0 0

t
t
[ R sin u]2 [ R cosu]2 [v ]2 du R 2 2 v 2 du
z 4 x2 y2 例5 求曲线 G : 2 2 在xoz面上的投影曲线。 x y 2x
(z 4 2x )
用投影曲线来确定某空间立体在坐标面上的投影区域。
2 2 2 2 {( x , y , z ) | 1 1 ( x y ) z 1 ( x y )} 例7 求立体