诺顿定理的证明与应用
诺顿定理的详细证明
诺顿定理的详细证明
诺顿定理的定义对于一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，一般可以用一个电流源和电导（电阻）的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该含源一端口网络的短路电流（short-circuit current）Isc，而电导（电阻）等于把该一端口网络中的全部独立电源置零后的输入电导Geq（等效电阻Req）。
诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到。
但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。
如何证明诺顿定理（1）诺顿定理的内容任一线性含源单口网络，对外而言，可以简化为一个实际电源的电流源模型。
此实际电源的理想电流源参数等于单口网络端口处的短路电流，其内阻等于原单口网络去掉内部独立源后，从端口处得到的一个等效电阻。
诺顿定理可以用图1描述如下：
图1中ISC为短路电流，RO为诺顿等效电阻，N网络为含独立电源的单口网络，NO网络为N网络去掉独立源之后所得到的单口网络。
（2）诺顿定理的证明
设一线性有源单口网络N 与外电路相连。
如图2（a）所示，端口ab处的电压为U，电流为I。
现在寻求对外电路而言N网络最简单的等效电路。
首先，用替代定理将外电路用一个电压源US=U代替，如图2（b）所示。
根据叠加定理，N网络端口处的电流I可以看成由网络内部电源及网络外部电源US共同作用的结果，即
I= P+P
式中为外部电源去掉后（电压源短路）时的端口电流，即含独立电源的单口网络N的短路电流，即
P=Isc。
诺顿定理解题步骤
诺顿定理解题步骤
诺顿定理是微积分中一个重要的定理,它描述了函数在某个区间内的单调性。
下面是诺顿定理的解题步骤:
步骤1:确定函数的区间
要应用诺顿定理,需要确定函数在某一段区间内的单调性。
一般来说,需要确定函数在该区间内的上界和下界。
步骤2:确定函数的导数
要确定函数在某一段区间内的单调性,需要计算函数在该区间内的导数。
导数可以描述函数在某一点处的斜率,并且它可以用于确定函数在该点处的切线方向。
步骤3:确定函数在该点处的切线方向
通过计算导数,可以确定函数在该点处的切线方向。
切线方向可以描述函数在该点处的单调性。
步骤4:判断函数在该点处的切线方向是否与导数方向相同
如果函数在该点处的切线方向与导数方向相同,那么函数在该点处的单调性就是递增的;如果函数在该点处的切线方向与导数方向相反,那么函数在该点处
的单调性就是递减的。
步骤5:应用诺顿定理
通过以上步骤,可以应用诺顿定理来求解函数在某个区间内的单调性。
例如,如果函数为 f(x) = sin(x)/x,则需要确定它在 [0, 2π] 区间内的单调性。
步骤6:拓展
除了可以应用诺顿定理来求解函数的单调性,还可以应用诺顿定理来求解其
他类型的函数。
例如,可以应用诺顿定理来求解导数、反函数、积分函数等。
此外,诺顿定理还可以用于求解不等式、曲线的切线等数学问题。
实验三戴维南定理和诺顿定理的验证
实验三戴维南定理和诺顿定理的验证一、实验目的1、理解戴维南定理和诺顿定理的内涵与应用。
2、初步掌握使用直流电桥、电流表、电压表等测量仪器的能力。
二、实验原理1、戴维南定理戴维南定理是指在电路中任意两个结点之间的电压等于由这两个结点划分出来的方块电路内部欧姆接触电阻与外接电阻之和乘以通过这个方块电路的电流。
戴维南定理的实际应用与布朗—博利定理类似，也是希望通过这个定理来简化电路分析和设计过程中繁琐的计算。
学习戴维南定理主要是为了在电路分析和设计中寻找我们需要的信息。
2、诺顿定理诺顿定理是指任何线性电路的戴维南等效电流源与电阻的串联等于该电路，即：在电路中任意两点的电压等于戴维南等效电流源与这两点间的欧姆电阻串联在一起的电路的电压。
诺顿定理与戴维南定理是等价的，因此学习它们两个定理的任一一个都可以很好地理解和应用它们两个。
三、实验器材和器件示波器万用表直流电源初始化电阻电箱直流电桥四、实验步骤（1）连接和调节实验电路：按照实验电路图连接电路。
（2）找寻电路中的方块电路：将电路按照结点手法分成方块，再将方块内的欧姆电阻与外接电阻相加，求出它们的和R。
（3）测量电路电流：在电路中加入电流表I01、I02，分别测量出I01、I02，作为通过方块电路的电流Ip。
（5）计算电路方块的电压：将U01 - U02的值除以Ip，求出方块电路的电压Up。
（6）实验验证：实验中得到的Up和实际测量值的误差小于5％，表明戴维南定理的应用正确。
（2）求出诺顿等效电流源的电流：通过电路中的电阻电箱，依次取出100Ω、1kΩ、10kΩ、100kΩ等不同阻值的电阻，将它们依次串联在电路中，通过万用表测量电阻电箱电阻值并各自记下，然后将测量出的电流值与电阻值计算出来，可以得到诺顿等效电流源的电流。
（3）在电路中加入一电阻：通过电路中的电阻电箱，在电路中加入一电阻表现为RL。
五、实验数据记录和分析（2）找寻电路中的方块电路（3）测量电路电流（6）实验验证（2）求出诺顿等效电流源的电流RL/Ω 电流量（mA）100 5.0001k 0.82410k 0.100100k 0.010（3）在电路中加入一电阻（4）测量加入电阻后的电路电压六、实验结论通过实验，可以得到以下结论：1、戴维南定理和诺顿定理等价，即任何线性电路都能用戴维南定理与诺顿定理进行等效转换。
诺顿定理
小结：
求开路电压时，网络内部的独立源必须保留，注意等 效电压源的极性由开路电压的方向决定。 求短路电流时，网络内部的独立源必须保留，电流源 isc(t)的方向是短路电流流过网络内部的方向。 等效电阻时，网络内部的独立源必须置零。 若有源二端网络中含有受控源，求Req时应采用求输出 电阻的方法，即在对应的无独立源二端网络输出端外接 电源，按定义计算： Req＝端口电压/端口电流 或
2. 诺顿定理的应用
例1. 求电流I
解： 1. 求短路电流
Us I sc Is R1
2.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求等效电阻
R1 R2 Req R1 R2
3. 作诺顿等效电路，求电流I
I Req Req RL I sc
R2 (U s R1 I s ) R1 R2 RL ( R1 R2 )
' '' Uoc Uoc Uoc 50V
2、求出戴维宁模型的等效电阻（去掉激励源）
RL Req 20
2 U oc 502 31.25W 4Req 4 20
Pmax
讨论
(1)最大功率传输定理的求解是以求Uoc, Req为前提。 (2) 负载获得最大功率时，电源功率的传输效率并不是 最大。
§24 诺顿定理
诺顿定理用以简化一个线性有源二端网络， 它 是一个并联型等效电路。
其中：
1. 诺顿定理的证明：
N端口处的支路方程：
u (t ) i(t ) isc (t ) Req
电流源isc(t)和电阻元件Req并联组成的等效电路称为 诺顿等效电路。 电流源isc(t)的电流等于原线性电阻性有源二端网络 的短路电流，其方向是短路电流流过网络内部的方 向。 电阻元件Req 的电阻等于将原线性电阻性有源二端 网络N中所有独立源的激励化为零时该网络的端口 等效电阻。
电路中的诺顿定理解析
电路中的诺顿定理解析电路中的诺顿定理是电路分析中重要的定理之一。
它提供了一种简化复杂电路分析的方法，将复杂的电路网络转化为等效的电流源和电阻的串联电路。
本文将对电路中的诺顿定理进行详细解析，帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、什么是诺顿定理诺顿定理是由美国电气工程师诺顿（Edward Lawry Norton）在1926年提出的。
该定理表明，任何线性电路，无论其复杂程度如何，都可以用一个等效的电流源和电阻来表示。
这个等效电流源称为诺顿电流源，等效电阻称为诺顿等效电阻。
根据诺顿定理，可以通过将电路中的各种电压源和电流源换算为等效电流源，进一步简化电路分析。
这样，我们只需要考虑电路中的电阻和电流，大大简化了电路分析的复杂性。
二、诺顿定理的公式推导诺顿定理的公式推导基于基尔霍夫定律和欧姆定律。
根据基尔霍夫定律，电流在电路中的分布是通过节点和支路之间的电流连续性来决定的。
而根据欧姆定律，电流和电阻之间存在线性关系。
假设我们有一个复杂的电路，其中包含多个电阻和电流源。
我们想要将其转化为等效的诺顿电流源和等效电阻。
需要进行以下步骤：1. 选择一个节点作为参考节点，并用箭头表示电流的方向。
2. 计算出从参考节点出发的电流，称之为I_N。
这个电流等于通过电路中所有支路的电流之和。
3. 使用基尔霍夫定律，将电路分解为多个闭合的环路。
根据欧姆定律，可以得到各个环路上的电流和电阻之间的关系。
4. 根据Ohm定律，计算出电阻上的电压。
5. 根据基尔霍夫定律，将电流源转化为等效的电阻并加到原有的电阻上。
6. 计算等效电阻RN。
它等于电阻上的电压除以参考电流I_N。
7. 使用等效电流源和等效电阻来表示原电路。
三、诺顿定理的应用诺顿定理可以应用于各种不同类型的电路分析，尤其是在复杂电路中。
它能够简化电路分析的过程，减少计算量，提高工作效率。
使用诺顿定理时，我们可以忽略电路中的电压源，只需要关注电流源和电阻。
这样可以大大简化电路的计算和分析过程。
诺顿定理文档
诺顿定理简介诺顿定理是电路分析中一个重要的定理，用于简化复杂的电路分析问题。
它是电流定理（基尔霍夫电流定律）的一个补充，通过将电路中的电压源转化为等效电流源，从而简化计算过程。
定义诺顿定理是指：任何一个含有线性电阻元件的双端口网络都可以被等效为一个等效电流源和一个等效电阻的网络。
等效电流源等效电流源是指一个具有一定电流值和方向的理想电流源，它可以代替原电路中的电压源。
等效电流源的电流值等于原电路终端电压源的短路电流，而方向则与电源电压的极性一致。
等效电阻等效电阻是指将原电路中的所有电压源置零后的电阻值。
通过测量原电路中两个终端之间的电压和短路电流，可以计算出等效电阻的数值。
等效电阻的计算方法有多种，可以通过戴维南定理、超节点法等进行计算。
应用实例下面通过一个简单的应用实例来说明诺顿定理的应用。
假设有一个包含电压源和电阻的电路如下图所示：电路图我们想要计算通过电阻R1的电流值。
首先，我们可以使用诺顿定理将电压源转化为等效电流源和等效电阻。
步骤如下： 1. 将电压源置零，断开电路中的电压源。
2. 测量电源短路时的电流，记作I0，即等效电流源的电流值。
3. 测量电源短路时，R1两端的电压，记作U0，即等效电阻。
将电源置零后，电路图变为：电路图2根据诺顿定理，我们可以将电路简化为一个等效电流源和一个等效电阻。
假设测量得到的等效电流源的电流值为I0 = 4A，等效电阻为R0 = 2Ω。
那么，我们只需要使用欧姆定律即可计算出通过电阻R1的电流：I1 = U0/R0 = 10V / 2Ω = 5A总结诺顿定理是电路分析中一个重要的定理，可以通过将电压源转化为等效电流源和等效电阻，简化电路分析的计算过程。
通过例子的演示，我们可以看到诺顿定理的应用实际上是将复杂的电路转化为简单的串联电路，使得计算更加便捷。
在实际工程中，诺顿定理在电路分析和设计中有着广泛的应用。
4-7诺顿定理
接电路
N/
u M 诺顿等效电路
－
ia
isc
R0
+
uM
－
b
b
isc 是N的端口短路电流 诺顿等效条件
R0 是N的等效电阻
a
ia
i
isc
u R0
N
isc
N0 －+u R0
★当R0 = 0时，N的诺 顿等效电路不存在！
b
b
二、诺顿定理的证明
含独立源 的线性单 口网络 N
ia
+
uM
－
b
isc是ab端口的短路电流
14 103
17.5 V
i u 17.5 7 mA RL 2500
四、应用诺顿等效定理应注意的事项
（1）诺顿定理适用于线性电路，不适用于非线性电路；
（2）用除源法求诺顿等效电阻R0时，受控源不能置零值， 必须保留在原电路中一并计算R0；
（3）uoc、R0、isc三个参量中，只要知其二就可确定诺顿等
（6）同于戴维南等效变换， 与外电路之间无任何耦合联系 的单口网络N ，才允许作诺顿等效变换
例如：
①N内部含外部电路中受控源的控制量时， N不能作诺顿等
效变换
ia
N不可以作诺 顿等效变换！
+
N u1
+
R3
－
R1
R2
u
－
+
βu1
－
b
② N 中受控源的控制量，不允许为是N 以外的支路电流或 电压，但可以为N的端口电压或电流
§4-7 诺顿定理（等效电流源定理）
一、诺顿定理
含有独立电源的线性单口网络N，对任意外接电路的作用，
戴维南定理和诺顿定理
戴维南定理和诺顿定理引言在电路理论中，戴维南定理和诺顿定理都是非常重要的理论。
戴维南定理和诺顿定理是解决电路中相互独立的两个部分联通时的问题，最早于19世纪初被提出。
本文将介绍这两个定理的定义、证明以及应用。
戴维南定理定义戴维南定理是指任何由电阻、电源和电线组成的电路网络，在一对电端子之间的电势差等于这一对电端子在电路网络中所取的任何一条通路的电阻乘以沿此通路的电流的代数和。
证明设电路网络中有一对电端子，其电压为V，电流为I，连接这一对电端子的任意通路电阻为R。
则戴维南定理可以写成如下的方程：V = IR戴维南定理可以很容易地从欧姆定律推导出来。
因为电势差等于电流和电阻的乘积：V = IR应用戴维南定理可以应用于解决电路中的任何问题。
例如，可以使用戴维南定理计算两个点之间的电位差；可以使用戴维南定理计算电路中的总电阻，以及计算电阻的并联和串联等。
诺顿定理定义诺顿定理是指任何由电阻、电流源和电线组成的电路网络，在任意两个电端子之间的电流等于这一对电端子所取的任意一条通路的电流源的代数和和这一对电端子所取的任意一条通路的电阻的倒数之和。
证明设电路网络中有一对电端子，其电流为I，连接这一对电端子的任意通路电阻为R，通路电流源为Is。
则诺顿定理可以写成如下方程式：I = I_s - IR将其化简可得：I_s = IR + I诺顿定理的本质和戴维南定理相同，只是引入了电流源。
应用诺顿定理和戴维南定理可以互相转换。
诺顿定理通常用于求解对称网络中的电路，因为对于这类电路，电压源和电流源的作用是相同的。
戴维南定理和诺顿定理是电路理论中非常基础的两个定理。
熟练掌握这两个定理可以在解决电路问题中起到重要的作用，可以大大简化计算难度。
同时，掌握这两个定理还可以帮助我们更深入地理解电路中电势、电流以及电阻等基本概念。
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为 含 独 立 电 源 的 单 口网 络 ， 网 络 为 Ｎ 网 络 去 掉 独 立 源 Ｎ０ 之 后 所 得 到 的 单 口网 络 。 （） 顿 定 理 的证 明 ： ２诺
设 一 线 性 有 源 单 口网 络 Ｎ 与 外 电 路 相 连 。如 图 ２ ａ 所 （） 示， 口ａ 端 ｂ处 的 电 压 为 Ｕ， 流 为 Ｉ 电 。现 在 寻 求 对 外 电路 而
１ Ｖ ＲＰ的数 学模 型
般 运 输 调 度 问 题 的 文 字 描 述 ： 知 需 求 点 的位 置 坐 已 标和货物需 求量 ， 个车队 （ 多个 车辆 ） 一个 供应 点 （ 一 有 从 配 送 中心 ） 出发 ， 个 需 求 点 只 被 一 辆 车 访 问 ， 该 车 所 访 问 每 且 需 求 点 的需 求 量 总 和 不 能 超 过 车 辆 的 负 载 能 力 ， 如 何 安 应 排 车 辆 的行 走 路 线 使 得 总 路 线 最 短 。 要 求 ： 辆 车 运 输 完 每
２０ ０８年 第 ８期
改 进 的 粒 子 群
算法在 ＶＲ 中的应 用 Ｐ
郑 华 原 白 杨
（ 州 大 学茶 山 高教 园 区域 城 市 学 院 ， 江 温 州 ３ ５ ３ ） 温 浙 ２ ０ ５
摘 要 ： 输调度 问题 在理论 和 实践方 面都是一 个难 题 粒 子群 算 法是 一种 可 以解 决复 杂组合优 化 问题 的有 效求解 运 算法。提 出了改 变惯性权重 的粒子群 算法 ， 并应用该方 法用 于求 解典型 的运 输调 度 问题 ， 果表 明 ， 结 所提 出的 方法 不仅 能
Ｐ＝ 一 Ｕ
图６
即
Ｉ 下 — Ｕ一１ ５
Ｕ ＝ ４ ＝ ６０ Ｉ
则
Ｉ ＋Ｐ ｓ 一面 ＝Ｐ ＋Ｉ ｃ Ｕ—
维普资讯
Ａ ｕｇ， ２ ８ ００
现 代 商 贸 工 业 Ｍｏ ｅｎＢ ｓ ｅｓ ｒｄ ｄ ｓ ｙ ｄｒ ｕｉ ｓ ａｅＩ ｕｔ ｎ Ｔ ｎ ｒ
如下 ：
．
Ｉ ：Ｉｃ ＇ ｓ ＇ ＋Ｉｃ＋Ｉｃ＝１ Ａ（ ）由诺 顿等 效 电路 （ ｃ ｓ ｓ ＂ ｓ ５ ３ 图
嘲 日 口ｈ
图 ２
６ 单 口 网络 的 Ｖ Ｒ 为 ） Ｃ
根 据 叠 加 定 理 ， 网络 端 口处 的 电流 Ｉ 以 看成 由 网 络 Ｎ 可 内部 电源 及 网 络 外 部 电源 ＵＳ共 同 作 用 的结 果 ， 即
Ｉ Ｐ＋ Ｐ ：
式 中 为外 部电源去掉 后 （ 电压 源短 路） 的端 口电流 ， 时 即含独立 电源的单 口网络 Ｎ 的短路电流 ， 即
Ｐ＝ Ｉｃ ｓ
式 中 Ｐ为 Ｎ 网 络 内独 立 电 源 是 零 （ 压 源短 接 ， 流 源 电 电
开路） 的端 口电流 ， 时 ＮＯ对外等效 为一个内阻 Ｒ 则 Ｏ，
维普资讯
Ａｕ ｇ，２０ ０８
现 代 商 贸 工 业 Ｍｏ ｅｎＢ ｓ ｅｓ ａｅＩｄ ｓ ｙ ｄｒ ｕｉ ｓ Ｔｒｄ ｕｔ ｎ ｎ ｒ
２０ ０８年第 ８期
诺 顿定 理 的 证 明 与 应 用
赵 占全
（ 源 职 业技 术 学 院 机 电 系 ，河 南 济 源 ４ ４ ５ ） 济 ５ ６０
摘 要 ： 出 了诺 顿 定理 的 直 接 证 明 ， 后 通 过典 型 实例 说 明如 何 应 用 诺 顿 定理 解题 。 给 然
关键词 ： 顿定理 ； 维南定理 ； 代定理 ； 诺 戴 替 叠加 定 理 中图 分 类 号 ： ４ ０５ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２３ ９ （０ ８ ０ —３ ２０ １ ７—１ ８ ２ ０ ） ８０ ９—１
由上 式 画 出一 电路 正好 是 一 个 电 流 源 与 一 个 电 阻 支 路
ｌ 诺 顿定理 的证 明
（ ） 顿 定 理 的 内 容 ： 一 线 性 含 源 单 Ｉ 网 络 ， 外 而 并联 ， １诺 任 ＝ １ 对 电流源 的电流等于含独立 源二端 网络 的短路 电流 ， 并 言 ， 以简 化 为 一 个 实 际 电 源 的 电 流 源 模 型 此 实 际 电 源 联 电 阻等 于将 Ｎ 网络 内部 所 有 电 源 置 零 后 得 到 的 ＮＯ 网 络 可 Ｏ如 的 理 想 电 流 源 参 数 等 于 单 口 网 络 端 口 处 的 短 路 电 流 ， 内 从 端 口看 进 去 的等 效 电 阻 Ｒ ， 图 ３所 示 。 这 就 证 明 了 诺 其 阻 等 于 原 单 Ｉ 网 络 去 掉 内 部 独 立 源 后 ， 端 Ｉ处 得 到 的 一 顿 定 理 。 ＝ １ 从 ＝ １
一
得 到理 想 的 结 果 ， 且 减 少 运 算 时 间 。 而 关 键 词 ： 子 群 算 法 ； 输 调 度 ； 性 权 重 粒 运 惯
中 图分 类 号 ： ４ ０２ 文 献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２３ ９ （０ ８ ０ —３ ３０ １ ７ —１ ８ ２ ０ ） ８０ ９ —２
解： 用诺 顿 定 理 。
（ ） 等效 电阻 ＲＯ将 网络 去 电 源 后 １求 ，
Ｒｏ＝ 一ｍ
．
言 Ｎ 网络 最简单 的等效 电路 。首先 ， 替代 定理将 外 电路 用 用 一 个 电 压 源 ＵＳ ＝Ｕ 代 替 ， 图 ２ ｂ 所 示 。 如 （）
（ ） 短 路 电流 （ 叠 加定 理 ） ２求 用
个等效电阻 。
曲 瞻
诺 顿 定 理 可 以 用 图 １描 述 如 下 ：
［
图３
２ 诺 顿定理 的应 用
图 １
２ １ 诺 顿定 理 在 一 般 直 流 电路 中 的应 用 ．
图 １中 ＩＣ为 短 路 电 流 ， Ｓ ＲＯ 为 诺 顿 等 效 电 阻 ， 网 络 Ｎ
例题 Ｉ 求 图 ４单 口网络 的 Ｖ Ｒ（ Ｃ 电压与 电流的约束关