小五班计算综合.整数裂项与分数裂和
五年级奥数.计算综合.裂项(B级).学生版
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 通项归纳一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 考试要求知识结构裂项3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦ ()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
第五章 裂项综合(讲义)
第五章 裂项综合（讲义）➢ 知识点睛1. 整数裂项对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
现举例说明：例如：109433221⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯()3121032121⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯……那么，原式()31109811109321432210321⨯⨯⨯-⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯= ()3121011109⨯⨯⨯-⨯⨯= 330= 因此可以得知：()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+L 2. 分数裂项(1) “裂差”型运算对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- (2) “裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯➢ 精讲精练【板块一】整数裂项初步经典例题1观察下列规律，在括号内填入适当的数，使下述三个式子“左边相加=右边相加”。
（1）()()[]2103213121⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯ （2）()()[]32323132⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯ （3）()()[]43433143⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯算一算：87766554433221⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯练一练计算：122334989999100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L经典例题2计算：（1）344556677889910101111121213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（2）355717191921⨯+⨯++⨯+⨯L（3）7169706864534231⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯Λ练一练计算：25+588113235⨯⨯+⨯++⨯L【板块二】分数裂项综合经典例题3（1）11111223341920++++⨯⨯⨯⨯L（2）11111111612203042567290+++++++（3）15111929415571891092612203042567290110+++++++++练一练 11111011111212135960++++⨯⨯⨯⨯L经典例题4（1）3245671 255771111161622222929 ++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）11111 4464880120 ++++⨯（3）264264264264264 488121216124128128132 +++++⨯⨯⨯⨯⨯L【板块三】整数裂项进阶经典例题5(1)观察下列规律，在括号内填入适当的数。
小学数学分数裂项
小学数学分数裂项考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 4、通项归纳知识结构一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
分数及整数裂项计算
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++分数裂项计算教学目标知识点拨1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学数学分数裂项
小学数学分数裂项考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 4、通项归纳知识结构一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
小学数学分数裂项
小学数学分数裂项考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。
（4） 4、通项归纳知识结构一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
小学奥数—分数裂项
分数裂项计算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，1a b ⨯a b <那么有 1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： ，形式的，我们有： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2） 11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数整数裂项
分数整数裂项
分数整数裂项法是一种将整数乘积化成两个乘积差的形式的方法。
这种方法需要将整数分拆成两个或多个数字单位的和或差，以便进行计算。
例如，对于算式1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1），我们可以将其分拆为多个项，如1×2，2×3，3×4等，然后将这些项乘以相应的系数，得到最终结果。
需要注意的是，在进行分数整数裂项计算时，要瞻前顾后，前后抵消，才能得到正确的结果。
例如，在上述算式中，我们需要将1×2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)×1×2；2×3这一项，也需要化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]，这样就可以刚好可以前后项互相抵消。
总的来说，分数整数裂项法是一种非常实用的计算方法，可以用于解决很多数学问题。
但是，在进行计算时，需要小心系数和项数的变化，以免出现错误。
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（1） 能熟练运算常规裂和型题目；
（2） 复杂整数裂项运算；
（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、 复杂整数裂项型运算
复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N 。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、 “裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
考试要求
知识结构
整数裂项与分数裂和
（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用
（2） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、
整数裂项
【例 1】 计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯+
+⨯
【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯+
+⨯+⨯
【例 2】 计算101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯
【例 3】 计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
例题精讲
重难点
【巩固】333444797979⨯⨯+⨯⨯+
+⨯⨯
【例 4】 计算：111222333999999100100100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯
【例 5】 ()()()()1121231234123100++++++++++
+++++
【巩固】()()()33636936300++++++
++++
二、
分数裂和
【例 6】 填空： ()+=2165， ()+=31127， ()+=4
1209
()+=513011，()+=614213， ()+=715615
【巩固】计算：90
197217561542133011209127651+-+-+-+-
【例 7】 5667788991056677889910
+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 36579111357612203042
++++++
【例 8】 计算：1325791011193457820212435
++++++++=
【巩固】123791117253571220283042
+++++++
【例 9】 1111120102638272330314151119120123124
+++++++++
【巩固】35496377911053116122030425688
⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
【例 10】
22222222122318191920122318191920
++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯
【巩固】3
332
22333322223332223322322621262143214321321321212111+⋯+++⋯++-⋯+++++++-+++++++-
1、 14477104952⨯+⨯+⨯+
+⨯=_________
课堂检测
2、 计算：57911131517191612203042567290
-+-+-+-+
3、 11798175451220153012
++++++
4、 2222
2222122320042005200520061223
2004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯
5、 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1、 1122335050⨯+⨯+⨯++⨯
家庭作业
2、 2464689698100⨯⨯+⨯⨯+
+⨯⨯
3、 123791121313571220284056
+++++++
4、 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-⨯-⨯-⨯
⨯-⨯-
5、
121231234123502232342350
++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++
教学反馈。