圆与三角函数
三角函数和圆的关系
三角函数和圆的关系
单位圆与三角函数的关系：
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
三角函数的起源：
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。
古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。
他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。
对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。
喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。
然而古希腊的三角学基本是球面三角学。
这与古希腊人研究的主体是天文学有关。
梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。
高二数学单位圆与三角函数线
y N O P T x M A
1 1 OA OA AT 2 2
即sinα<α<tanα .
小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上，为有向线段 AT
cos1>cos1.5
tan2<tan3
例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0º <x<360º ) 解：由在y轴上找 到y=0.5的点，做 x轴的平行线， 交单位圆于点P 和P’两点，由三 角函数线知 x1=30º , x2=150º .
例4. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
P
O 1
我们把轴上的向量 OM , ON和AT (或AT ') 分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
例1.分别作出
2 3
3 、 4
2 、 3
的正弦线、
余弦线、正切线。
例2.比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
解得y=－1.
2 5 所以cosθ= － . 5
三寸人间 / 三寸人间
归去苏息吧."东舌暗自嘀咕咯壹下."给本宿主检测壹下韩擒虎の四维,还有梁师泰の四维/""回复宿主,韩擒虎武力95,智力82,统率88,政治64/梁师泰武力94,智力54,统率75,政治43/"
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆在数学中，三角函数是研究角度和三角形关系的重要工具之一。
而单位圆则是三角函数中的一个重要概念，它与三角函数之间存在着密切的关系。
一、三角函数的基本定义及公式三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角，正弦值等于对边与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角，余弦值等于邻边与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角，正切值等于对边与邻边长度的比值。
这些三角函数在单位圆中也有对应的定义及公式。
单位圆是以圆心为原点、半径为1的圆，在坐标系中可以表示为x^2 + y^2 = 1。
对于单位圆上的任意一点P(x, y)，可以定义其对应的角度为A，单位圆上的点与角度之间存在着一一对应的关系。
二、三角函数与单位圆的关系在单位圆中，以圆心为起点，与圆上任意一点P(x, y)连接，这条线段与圆的半径的夹角即为角A。
根据三角函数的定义，在单位圆中，可以得到以下关系：1. 正弦函数：sin(A) = y2. 余弦函数：cos(A) = x3. 正切函数：tan(A) = y/x利用这些关系，可以得到三角函数在单位圆中的图形。
正弦函数在单位圆中的图形表现为一个周期为2π的正弦波，其振幅为1。
余弦函数与正弦函数相位相差π/2，也表现为一个周期为2π的正弦波。
而正切函数在单位圆中的图形是一个以原点为渐近线的周期为π的函数。
三、三角函数在解决问题中的应用三角函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解决与角度和三角形相关的问题时。
1. 几何问题：三角函数可以用于求解直角三角形的边长、角度等问题。
例如，已知一个角的正弦值，可以通过反正弦函数求解角度值；已知两个边长，可以利用正弦定理或余弦定理求解另外一个角度或边长。
2. 物理问题：三角函数在解决物理问题中也有广泛应用。
例如，通过正弦函数可以描述周期性的振动现象；借助于正切函数可以求解斜面上物体的滑动问题。
圆和三角函数的知识点总结
圆和三角函数的知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义圆是由平面上到一点距离等于定值的所有点的集合所构成的图形。
这个定值称为圆的半径，记作R。
圆的中心是到圆上任意一点的距离都等于半径的点。
2. 圆的性质（1）圆的直径是经过圆心并且两端点在圆上的线段，其长度等于半径的两倍，即2R。
（2）圆的周长是圆的边界长度，等于2πR。
（3）圆的面积是圆的内部面积，等于πR²。
3. 圆的相关公式（1）周长的计算公式：C = 2πR（2）面积的计算公式：A = πR²4. 圆的图形圆的图形一般用于图像的绘制、工程设计和数学证明等方面，其圆心和半径都是图形的重要参数。
二、三角函数的基本概念1. 三角函数的定义三角函数是一类反映角度和三角形边长关系的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等。
其中，最基本的三角函数是正弦函数和余弦函数。
2. 三角函数的性质（1）正弦函数的性质：周期性、奇偶性、单调性等。
（2）余弦函数的性质：周期性、偶偶性、单调性等。
（3）其他三角函数的性质：正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的性质。
3. 三角函数的公式三角函数有一系列的常用公式，如和差公式、倍角公式、半角公式、和角公式等，这些公式能够简化三角函数的计算。
4. 三角函数的图形正弦函数和余弦函数的图形是三角函数中最为常见的图形，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
在图像上，正弦函数是一个周期函数，其图像呈现正弦波形；余弦函数也是一个周期函数，其图像呈现余弦波形。
三、圆和三角函数的关系1. 弧度制和角度制圆和三角函数之间的关系在很大程度上依赖于角度的度量方式。
弧度制是一种更为自然的角度度量方式，而角度制是较为常见的角度度量方式。
弧度制和角度制的关系为：1弧度= 180°/π度。
2. 弧长和扇形面积正弦函数和余弦函数的定义涉及到圆的弧长和扇形面积，它们与三角函数之间有着密切的关系。
课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线
得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧 利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长 线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的 余弦线 、 正弦线 和 正切线 .
【拓展延伸】 理解三角函数线应注意的问题 对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在 过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在 坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线 由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同 向的为正值,反向的为负值.
三角函数圆的知识点总结
三角函数圆的知识点总结1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数之一。
它们的定义来自于单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，我们可以以圆心为原点建立直角坐标系，这样单位圆的边界就可以表示为坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$的点。
这里$\theta$表示与$x$轴正方向的夹角，即角度。
正弦函数$\sin \theta$在单位圆上对应点的纵坐标，而余弦函数$\cos \theta$在单位圆上对应点的横坐标。
这样，我们可以得到正弦函数和余弦函数的定义：$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{r}$$$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{r}$$其中$r$为单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为$2\pi$(或$360^{\circ}$)，并且它们都是偶函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是连续的，且在定义域内都是单调递增的。
它们的最大值和最小值都是1和-1。
2. 正切函数正切函数是另一个基本的三角函数，定义为$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$。
可以从正弦函数和余弦函数的定义中得到正切函数的等价定义：$\tan \theta =\frac{y}{x}$。
正切函数的图像是周期性的，周期同样是$2\pi$(或$360^{\circ}$)。
它是一个奇函数，即$\tan (-\theta) = -\tan \theta$。
正切函数在定义域内有无穷多个间断点，因为$\cos \theta = 0$时，$\tan \theta$无定义。
在这些点处，正切函数的图像会有无限大的正向或负向趋向。
正切函数的图像在$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$上是单调递增的，在$(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$上是单调递减的。
单位圆与三角函数
的取值集合.
2k
6
或
=2k
5
6
，k
Z
普通高中课程标准实验教科书人教B版必修4 基本初等函数（Ⅱ）
评价量规
23
同学们，你做到了吗？
数形结合
三
小
角
小
函
单
数
位
线
圆
显
藏
真
乾
容
坤
25
P
T
普通高中课程标准实验教科书人教B版必修4 基本初等函数（Ⅱ）
反馈演练
23
2、（提升题）设 a sin(530 ),b cos(530 ) ，c tan(530) , 则有（ ）
A. a b c
B. b a c
C. c a b
D. a c b
3、（拓展题）已知sin
1 2，求角
普通高中课程标准实验教科书人教B版必修4 基本初等函数（Ⅱ）
拓展研究
20
学生分组合作，运用本节知识解决下列问题： 观察角的终边在各位置的情形，结合三角函数线和已
学知识，你还能发现什么规律？得出哪些结论？请说明你 的观点和理由. y
1-
y sin x
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
sin MP
普通高中课程标准实验教科书人教B版必修4 基本初等函数（Ⅱ）
概念形成
11
正弦线、余弦线
y P
OM x
y
M
O
x
P
如图所示，与单位圆有关的有向线段（轴上向量）MP, OM
分别叫做角 的正弦线、余弦线.
普通高中课程标准实验教科书人教B版必修4 基本初等函数（Ⅱ）
5.3.2单位圆与三角函数
0°，90°，180°，270°和360°的正弦、余弦、正切值表
（角度制）
0°
90°
180°
270°
（弧度制）
0
2
π
3
2
2π
sin
0
1
0
−1
0
cos
1
0
−1
0
1
tan
0
不存在
0
不存在
360°
0
【跟踪训练1】
7
利用单位圆求 的正弦、余弦、正切值。
6
解：如图所示，过点做轴的垂线，垂足为点
1
口诀：“一全正二正弦三正切四余弦”
+
−
+
−
−
sin
sin 的正负
取决于
上下结构
−
+
−
+
cos
cos 的正负
取决于
左右结构
+
+
−
tan
tan 的正负由
, 共同决定
对称结构
【题型探究】
例1.求 270° 的正弦、余弦、正切。
1
270°
−1
1
−1 0, −1
三角函数表示吗？
−1
−1
,
1
1
角的终边与单位圆的
交点的坐标可以表示
为 cos , sin ，如图
−1
所示，
−1
cos , sin
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校九年级数学讲义
圆与三角函数 1.如图，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．
（1）求证：直线AB 是O 的切线；
（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若1
tan 2
CED ∠=
，O 的半径为3，求OA 的长．
2. 如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD ． （1）求证：DC =BC ；
（2）若AB =5，AC =4，求tan ∠DCE 的值．
3. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB=10，DC 切⊙O 于点C ，AD ⊥DC ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E 。
（1）求证：AC 平分∠BAD ； （2）若sin ∠BEC=5
3
，求DC 的长。
4. 如图1，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线 y ＝－
33 x － 533
与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；
（2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP :PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值； （3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
5.已知：AB 是⊙O 的弦，D 是AB ⌒
的中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ，
（1）求证：AD ＝DC ；
（2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝EC ，求sinC.
6.如图， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 的切线
交BC 于E ． （1）求证：1
2
DE BC
； （2）若tanC=2
5
，DE=2，求AD 的长．
7.如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连结BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连结DF ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE=
5
3
，求EF 的长．
8. 如图，已知Sin∠ABC=
13
，⊙O 的半径为2，圆心O 在射线BC 上，⊙O 与射线BA 相交于E 、F 两点，EF =23，
（1）求BO 的长；
（2）点P 在射线BC 上，以点P 为圆心作圆，使得⊙P 同时与⊙O 和射线BA 相切， 求所有满足条件的⊙P 的半径。
C O A
D P B
9. 如图，已知，在△ABC 中，∠ABC =090，BC 为⊙O 的直径， AC 与⊙O 交于点D ,点E 为AB 的中点，PF ⊥BC 交BC 于点G,交AC 于点F . （1）求证：ED 是⊙O 的切线. （2）如果CF =1,CP =2，sin A =
5
4
，求⊙O 的直径BC .
10. 如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F. （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，BE ＝1，求cosA 的值.
10如图，已知：AC 是⊙O 的直径，P A ⊥AC ，连结OP ，弦CB//OP ，直线PB 交直线AC 于
点D ，BD=2P A ． （1）证明：直线PB 是⊙O 的切线； （2）探索线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并加以证明； （3）求sin ∠OP A 的值．
11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O
F E
D
C B A O ·
的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂
AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若25
24
sin =
∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
12.如图，已知在△ABP 中，C 是BP 边上一点，∠PAC=∠PBA ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且交BP 于点E ． （1）求证：PA 是⊙O 的切线； （2）过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG •AB=12，求AC 的长； （3）在满足（2）的条件下，若AF ：FD=1：2，GF=1，求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值．
O
P 第22题图①
C B A 第22题图②O
P
C B A。