数学三角函数与圆初三
中考数学复习专题三角函数与圆.docx
2011 中考数学复习专题—三角函数和圆考点 1三角形的边角关系主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用。
1. 如图所示， Rt △ ABC～ Rt △ DEF，则 cosE 的值等于（）A ．1B．2C．3D．3 22232. 如图，已知直角三角形ABC中，斜边 AB的长为 m，∠B=40，则直角边 BC的长是（）A．msin 40B． mcos 40C ． mtan40D．mtan 403. 王师傅在楼顶上的点 A 处测得楼前一棵树CD 的顶端 C 的俯角为 60，又知水平距离BD=10m，楼高 AB=24m，则树高 CD为（）A ． 24 10 3 m B．2410 3 m C ． 24 5 3 m D．9m34. 如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图。
点P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C 处，已知 AB⊥ BD， CD⊥BD，且测得 AB=1.2 米， BP=1.8 米， PD=12 米，那么该古城墙的高度是（）A ． 6 米B． 8 米C． 18 米D． 24 米5.如图所示，某河堤的横断面是梯形 ABCD，BC∥ AD，迎水坡 AB长 13 米，且 tan ∠ BAE=12，5 则河堤的高 BE为米。
6．如果，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔P 在北偏东 60 方向上，在A 处东 500 米的 B 处，测得海中灯塔P 在北偏东 30 方向上，则灯塔 P到环海路的距离PC=米（用根号表示）。
7．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40 千米的 A、 B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在 A 地北偏东 45 、B 地北偏西 60方向上有一牧民区C。
一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案 I ：从 A 地开车沿公路到离牧民区 C 最近的 D 处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区 C。
(完整版)人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习(含答案)
圆与三角函数1 •已知，如图，AB是。
O的直径，点C为。
O上一点，OF丄BC于点F,交。
O于点E, AE 与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点，且/ ODBN AEC(1)求证：BD是O O的切线；(2)求证：CE二EH?EA(3)若。
O的半径为5，sinA^L，求BH的长.2•如图，已知AB是。
O的直径，C是。
O上任一点(不与A，B重合)，AB丄CD于E，BF为O O的切线，OF// AC,连结AF, FC, AF与CD交于点G,与。
O交于点H,连结CH.(1)求证：FC是O O的切线；(2)求证：GC=GE(3)若cos/ AOC=-, O O的半径为r,求CH的长.3•已知。
O是以AB为直径的厶ABC的外接圆，OD// BC交。
O于点D,交AC于点E,连接AD、BD, BD 交AC于点F.(1)求证：BD平分/ ABC;(2)延长AC到点P,使PF=PB求证：PB是。
O的切线；(3)如果AB=10, cos/ ABC」，求AD.54.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且/ ACBd DCE(1 )判断直线CE与。
O的位置关系，并证明你的结论;(2)若上&门/ACB据,BC=2求O O的半径.5 •如图，AB是。
O的直径，D、E为。
O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C,使得CD=BD连接AC交。
O于点F,连接AE、DE、DF.(1 )证明：/ E=Z C;(2) 若/ E=55,求/ BDF的度数；(3) 设DE交AB于点G,若DF=4, cosB二，E是・，的中点，求EG?ED的值.E6. AB, CD是。
O的两条弦，直线AB, CD互相垂直，垂足为点E,连接AD,过点B作BF丄AD,垂足为点F,直线BF交直线CD于点G.(1) 如图1,当点E在。
O外时，连接BC,求证：BE平分/ GBC(2) 如图2,当点E在。
北师大版九年级数学下册复习课件锐角三角函数与圆
典例精讲
如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA 的延长线上，∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD2=CA•CB； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线 于点E，若BC=12，tan∠CDA= ������ ������ ， 求BE的长．
典例精讲
(1) 证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C
又∵OD是e O的半径，
∴CD是e O的切线.
典例精讲
（3）解：如图，连接OE． ∵EB、CD均为⊙O的切线， ∴ED=EB，OE⊥DB， ∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°， ∴∠ABD=∠OEB， ∴∠CDA=∠OEB． 而tan∠CDA= ������ ������ ， ∴tan∠OEB= ������������ ������������ = ������ ������ ， ∵Rt△CDO∽Rt△CBE， ∴ ������������ ������������ = ������������ ������������ = ������������ ������������ = ������ ������ ，∴CD=8， 在Rt△CBE中，设BE=x， ∴（x+8）2=x2+122， 解得x=5． 即BE的长为5．
∴△ADC∽△DBC，
∴
AC = DC DC BC
，即CD2=CA•CB；
(2) 证明：如图，连接OD.
∵AB是e O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°.
∵OA=OD，∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=90°.
又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，
∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，
初三专题：圆与三角函数
BCEBD 圆与三角函数例1.如图，Rt △ABC 中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,以AB 上的一点0为圆心作⊙O 分别与AC ．BC 相切于点D ，E 。
(1)求⊙O 的半径。
(2)求sin ∠BOC 的值。
例2．如图，等腰△ABC 中，AB=A C ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E 。
(1)求证：DE 为⊙O 的切线(2)若BC=45，AE=1，求cos ∠AEO●专项训练：1．如图，已知Rt△ABC 和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC 上的点D 为圆心， OA 为半径的⊙O 与EC 相切于点D ，AD∥BC. (l)求证： ∠E=∠ACB: (2)若AD=1, tan ∠DAC=22，求BC 的长．2．如图，已知点0是Rt △ABC 的直角边AC 上一动点，以D 为圆心，OA 为半径的⊙O 交AB 于D 点， DB 的垂直平分线交BC 于F,交BD 于E 。
(l)连结DF ，请你判断直线DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论(2)当点D 运动到OA=2OC 时，恰好有点D 是AE 的中点，求tan ∠B 。
ADDA B3．如图，在△ABC中．AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过D作DF⊥BC,交AB的延长线于点E,垂足为F . (1)求证；直线DE是⊙O的切线；(2) 当∠E的值．4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点0为圆心，过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点E EF⊥AC于点F。
(1)求证：⊙O与AC相切：(2)若EF=2，BC =4，求tan∠A的值。
5．如图，△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于点C，在弧AC上取一点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D。
(1)求证：CD为⊙O的切线。
(2)连BF交AP于B若BE=6，EF=2．求tan ∠FAE。
数学三角函数与圆初三
∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴tan
BD 2 ∠A= DA 2
感悟、渗透、应用 ------求圆中的有关线段长等问题
【例3】(2003年·湖北省黄冈市)已知：如图，C为半圆 上一点， AC=CE，过点 C 作直径 AB 的垂线 CP，P 为垂足，弦 AE分别交PC，CB于点D，F， (1)求证：AD=CD； (2)若DF=5/4，tan ∠ECB =3/4，求PB的长. 【分析】 (1)证△ACD为等腰三角形即可得. (2)先证明 CD=AD=FD，在Rt△ADP中再利用勾股定理及tan ∠DAP=tan ∠ECB=3/4， 求 出 DP、PA、CP， 最 后 利 用 △APC∽△CPB求PB的长.
sin A sin B sin A cos A 2m 5 m5 sin A sin B sin A cos A 12 m5
①2-②×2得(sin
A+A，得m2-18m-40=0 解之得m=20或m=-2
感悟、渗透、应用 ------构造直角三角形
例2、如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径 为1, D、E分别为AB、AC的中点，DE=0.5, 则sin∠BAC的值等于------
感悟、渗透、应用
－－－－－非特殊角求其三角函数值的问题
【例 3】如图所示，已知 AB为⊙ O 的直径， C为 AB 延长线上 的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB=BC=2，求tan ∠A的值.
思想方法提炼
三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出 现与角有关的求解问题,三角函数与圆的综合应用是中考 中的热点问题之一.
初三数学三角函数知识点归纳总结
初三数学三角函数知识点归纳总结三角函数是数学中一个重要的概念，也是初三数学中的重点知识之一。
它们在几何、物理和工程学等领域有广泛的应用。
下面，我们将对初三数学中的三角函数知识点进行归纳总结。
1. 正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，用sin表示。
在单位圆上，对于任意角度θ，点P(x, y)的坐标可以表示为P(θ, sinθ)，其中y坐标即为sinθ的值。
正弦函数的值域为[-1, 1]，定义域为所有实数。
2. 余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，用cos表示。
在单位圆上，对于任意角度θ，点P(x, y)的坐标可以表示为P(cosθ, θ)，其中x坐标即为cosθ的值。
余弦函数的值域也为[-1, 1]，定义域同样为所有实数。
3. 正切函数正切函数是三角函数中的一种，用tan表示。
正切函数可以表示为sinθ/cosθ，在θ=π/2+kπ（k为整数）的情况下，等于无穷大，即不存在定义。
正切函数的值域为所有实数，定义域除了θ=π/2+kπ之外的所有实数。
4. 反正弦函数反正弦函数是正弦函数的反函数，用arcsin表示。
在[-1, 1]的值域内，对于任意实数y，可以找到唯一的角度θ，使得sinθ=y，其中θ的范围在[-π/2, π/2]之间。
5. 反余弦函数反余弦函数是余弦函数的反函数，用arccos表示。
在[-1, 1]的值域内，对于任意实数x，可以找到唯一的角度θ，使得cosθ=x，其中θ的范围在[0, π]之间。
6. 反正切函数反正切函数是正切函数的反函数，用arctan表示。
在所有实数的定义域内，对于任意实数y，可以找到唯一的角度θ，使得tanθ=y，其中θ的范围在(-π/2, π/2)之间。
通过对上述知识点的了解，我们可以利用三角函数来解决一些有关角度和边长的问题。
在学习过程中，我们需要注意以下几个要点：1. 熟练掌握三角函数基本概念和符号表示，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、值域、定义域等。
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
而单位圆作为三角函数的基础，具有重要的几何和代数意义。
本文将探讨三角函数与单位圆之间的关系，以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
以正弦函数为例，它是一个周期函数，可以表示为f(x) = sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
通过图形可以看出，正弦函数的图像在一个周期内呈现出波浪形状，具有对称性。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆，圆心位于坐标原点(0, 0)。
单位圆的方程可以表示为x^2 + y^2 = 1。
单位圆上的点可以表示为(x, y)，其中x和y的取值范围是[-1, 1]。
单位圆在坐标平面上呈现出完美的对称性。
三、三角函数与单位圆的关系三角函数与单位圆之间存在密切的关系。
我们可以通过单位圆来解释三角函数的定义和性质。
1. 正弦函数与单位圆正弦函数可以通过单位圆上的点的y坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标即为sin(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而y坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算正弦函数的值。
2. 余弦函数与单位圆余弦函数可以通过单位圆上的点的x坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么x坐标即为cos(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而x坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算余弦函数的值。
3. 正切函数与单位圆正切函数可以通过单位圆上的点的y坐标和x坐标的比值来表示。
具体而言，对于一个角度x（弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标除以x 坐标即为tan(x)。
这是因为正切函数定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)，而单位圆上的点的坐标正好满足这个比值关系。
九年级数学圆与三角函数
专题复习 圆与三角函数
一、自主探究
△ABC 中，AB=AC
（1）若sin A=
3
5
，求tanC (2)若tanC=3，求cosA
归纳：1.已知等腰三角形 的三角函数，可求 的三角函数 2.已知等腰三角形 的三角函数，可求 的三角函数 二．例题讲解
例1、如图，已知P 为⊙O 外的一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于E ，交PA 、PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长为3r ， 求:①PA 的长（用r 表示）；
②tan ∠APB 的值.
三.练习：
1.已知P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，sin ∠（1） 若AC 为直径，，求tan ∠C 的值
（2） 变式：若点C 为优弧AB 上任一点，求tan ∠C 的值
2、如图，⊙O 中， OA ⊥OE ，弦AB 交OE 的于D 点，过B 做
P
34
⊙O 的切线，交OE 的延长线于C 点，若tan ∠A=
13
(1) 求证：CB=CD (2) 求sin ∠DCB 的值
3、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 与点D ，CF ⊥AB 于E ，
若sin ∠C=45
（1） 求证：∠AOD=∠C （2） 求tan ∠A 的值
4.如图，在⊙O 中，弧AB=弧AC,D 为弧AB 上一点，若cos ∠BDC= ，求tan ∠ADC 的值。
F
O A
D。
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解：(1)连结OD，∵OC为直径ห้องสมุดไป่ตู้∴∠CDO=90° 又∵OD为⊙O的半径∴CD是⊙O的切线
(2)由切割线定理有：CD2=CB·CA=8∴CD=2 2 ∵∠BDC=∠A，∠BCD=∠DCA∴△BCD∽△DCA
BD CD ∴ = 2 2 2 DA CA 4 2
∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴tan
感悟、渗透、应用 ------转换角
例1、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是 弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则 sin∠ABD的值是（ ） A 4/5 B．3/5 C．3/4 D．4/3
感悟、渗透、应用 ------构造直角三角形
例2、如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径 为1, D、E分别为AB、AC的中点，DE=0.5, 则sin∠BAC的值等于------
BD 2 ∠A= DA 2
感悟、渗透、应用 ------求圆中的有关线段长等问题
【例3】(2003年·湖北省黄冈市)已知：如图，C为半圆 上一点， AC=CE，过点 C 作直径 AB 的垂线 CP，P 为垂足，弦 AE分别交PC，CB于点D，F， (1)求证：AD=CD； (2)若DF=5/4，tan ∠ECB =3/4，求PB的长. 【分析】 (1)证△ACD为等腰三角形即可得. (2)先证明 CD=AD=FD，在Rt△ADP中再利用勾股定理及tan ∠DAP=tan ∠ECB=3/4， 求 出 DP、PA、CP， 最 后 利 用 △APC∽△CPB求PB的长.
小结:今天你有什么收获? 你还有什么疑问?
请各位专家批评指正
解：(1)连结AC∵AC=CE∴∠CEA=∠CAE ∵∠CEA=∠CBA∴∠CBA=∠CAE ∵AB是直径∴∠ACB=90° ∵CP⊥AB∴∠CBA=∠ACP ∴∠CAE=∠ACP∴AD=CD (2)∵∠ACB=90°∠CAE=∠ACP ∴∠DCF=∠CFD∴AD=CD=DF=5/4 ∵∠ECB=∠DAP，tan ∠ECB=3/4 ∴tan ∠DAP=DP/PA=3/4 ∵DP2+PA2=DA2 ∴DP=3/4 PA=1∴CP=2 ∵∠ACB=90°，CP⊥AB ∴△APC∽△CPB
A)2-2sin
(
2m 5 2 24 ) m5 m5
(2)当m=20时， 方程化为：25x2-35x+12=0 解之得 x=3/5，x=4/5 则sin A=3/5，sin B=4/5或sin A=4/5，sin B=3/5 即： AC=AB·sin B=10×4/5=8 BC=AB·sin A=10×3/5=6或AC=6，BC=8 于是内切圆半径r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2 当m=-2时，方程化为x2+3x+4=0 ∵此方程无实根 ∴m=-2应舍去 ∴m=20，r=2
AP PC ∴ PC PB
∴PB=4
三角函数与圆、方程结合
思维拓展：△ABC中，AB=10，外接圆O的面积为25π ，sin A，sin B 是方程 (m+5)x2-(2m-5)x+12=0 的个两根 ，其中 m≠-5.(1)求m的值；(2)求△ABC的内切圆的半径.
解(1)设⊙O的内切圆的半径为r，⊙O的半径为R ∵π R2=25π ∴R=5 因⊙O的内接△ABC的边AB=10=2R ∴AB是⊙ O 的直径，且∠ ACB＝90°，则△ ABC 是直角三角形，从而 ∠ A+∠B=90°， 故 sin B=cos A 因 sin A、sin B 是 一 元 二 次 方 程 (m+5)x2-(2m-5)x+12=0的两个根，故
三角函数与圆
思想方法提炼 感悟、渗透、应用 课时训练
思想方法提炼
三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出 现与角有关的求解问题,三角函数与圆的综合应用是中考 中的热点问题之一.
(1)非特殊角求其三角函数值的问题.
(2)已知三角函数值求圆中的有关线段长等问题. (3)三角函数与方程结合
sin A sin B sin A cos A 2m 5 m5 sin A sin B sin A cos A 12 m5
①2-②×2得(sin
A+cos A·cos A ,1 消去sin A和cos A，得m2-18m-40=0 解之得m=20或m=-2
感悟、渗透、应用
－－－－－非特殊角求其三角函数值的问题
【例 3】如图所示，已知 AB为⊙ O 的直径， C为 AB 延长线上 的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB=BC=2，求tan ∠A的值.
【解析】 (1)证∠CDO=90°即可，理由OC为圆的直径. (2)利用△BCD∽△DCA得到BD：DA的比值