32第32讲一元微积分应用曲率

高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第三十二讲一元微积分的应用(五)——平面曲线的曲率脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中第六章一元微积分的应用本章学习要求：▪熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。

▪能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。

▪掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。

能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。

▪知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。

▪掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。

▪熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。

▪能利用定积分定义式计算一些极限。

第六章一元微积分的应用第七节平面曲线的曲率一、曲率的概念二、曲率的计算公式请点击三、参数方程下曲率的计算公式四、曲率圆、曲率中心一、曲率的概念我们已经讨论过曲线的凹凸性, 知道如何判断曲线的弯曲方向, 但是还不能描述和判定曲线的弯曲程度. 而在许多实际问题中都必须考虑曲线的弯曲程度, 例如, 道路的弯道设计, 梁的弯曲程度, 曲线形的切削工具的设计等等.你认为应该如何描述曲线的弯曲程度?Oxy⋅⋅MM ')(x f y =αα∆.)( 1C x f y ∈=设沿曲线运动到点点M 相应地切线转时 , M '),( 称为转角过角度α∆. 称弧的改变量为s ∆.,具有方向性与其中s ∆∆α单位弧长上的转角︵. 的平均曲率为M M 's∆∆=αk 曲率的概念ss k k s s d d lim lim 00αα=∆∆==→∆→∆. )( 处的曲率在点称为曲线M x f y =. 极限的方法又是平均值+例1解求半径为R 的圆上任意一点处的曲率. ⋅⋅⋅MM 'α∆α∆如图所示, 在圆上任取一点M , 则R ||||M M s '=∆︵α∆⋅=R 故=∆∆→∆s s α0lim即圆上点的曲率处处相同：Rk 1=半径越小的圆, 弯曲得越厉害.R R s 1lim 0=∆⋅∆→∆ααO设曲线方程为, )(x f y =, )(二阶可导x f 则在曲线上点) ,(y x M 处的曲率为)1( 232y y k '+''=二、曲率的计算公式Oxy⋅⋅MM ')(x f y =αα∆证如图所示,曲线在处切线的斜率为点 M αtan ='y 故y '=arctan αx y y x d d 11d d 2'⋅'+=α21y y '+''=又xy s d 1 d 2'+=从而 )1( d d 232y y s k '+''==αx y y d 1d 2'+''=α例2解.上任意一点处的曲率求直线bxay+=,0,=''='yay)1(232='+''=∴yyk.)(Rx∈∀直线上任意一点处的曲率均为零.俗话说, 直线不弯曲.例3解,)0(sin,cos上椭圆>>==babyaxθθ哪一点曲率最大, 哪一点曲率最小.利用参数方程求导法求出:dddd22xyxy和,sinddθθax-=,cosddθθby=,cosdd22θθax-=,sindd22θθby-=θθθcotsincosddababxy-=-=)cos (cot d d )(22'-='θθa a b x y θ32sin 1a b -=='+''= )1( 232y y k 23)cos sin (2222θθb a ab +故, 0)cos sin (cos sin )(3d d 23222222=+--=θθθθθb a b a ab k 令得驻点,23 , , 2 , 0πππθ=, b a >因为故在各象限中的符号依次为d d θk++ⅣⅢⅡⅠ--由此可得:取最大值时当k , , 0 πθ=2max b ak =取最小值时当k , 23 , 2 ππθ=2min ab k =23)])(())([(|)()()()( |22θθθθθθy x x y x y k '+''''-'''=则二阶可导若 , )(, )( , )()( θθθθy x y y x x ⎩⎨⎧==, )()(d d θθx y x y ''=322))(()()()()(d d θθθθθx x y x y x y ''''-'''=将它们代入曲率计算公式中即可得：三、参数方程下曲率的计算公式例4解. 0) (0, 4 2处的曲率在点求抛物线x y = , 2 x y ±=如果用会出现导数的分母为零的情形, 的图形与但 44 22yx x y ==相同,对称, 故原问题可以转为求曲线的与而 44 22xy y x ==图形关于在42xy =.)0 ,0( 处的曲率点x y =, 0)41 (020='='==x x x y , 21) 21 (0='=''==x x x y 在 42xy =处的曲率为点 )0 ,0( 21)1( 2321='+''=y y k 处的曲率为在点故 0) (0, 4 2x y =.21=k在有些实际问题中,, 1 || <<'y 若.|| y k ''≈则可取现在问你一下: (假设单位是统一的)如果告诉你一条曲线在点M 处的曲率为,51你能想象出它的弯曲程度吗？如果告诉你有一个半径为5 的圆, 你能想象出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？由此及前面讲的例题1 , 你有什么想法？M⋅OM⋅O.5 , 51==R k M 在点曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度曲率曲率半径1=四、曲率圆、曲率中心1.曲率圆、曲率中心的概念2. 曲率圆的性质请点击3. 曲率中心的坐标) ,( )( y x M x f y 上一点过光滑曲线=作其法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q ,使R MQ = || ),(2 )1( 123y x M y y k '''+==以Q 为中心, R 为半径所作的圆称为曲线在点M 处的曲率圆, 圆心Q 称为曲率中心, R 称为曲率半径.)(处的曲率为曲线在点M k 1.曲率圆、曲率中心的概念2. 曲率圆的性质曲率圆与曲线在点M 处相切, 且在点M 处两者曲率相同.曲率圆与曲线在点M处具有相同的一、二阶导数.当讨论曲线在点M处与一、二阶导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相应的曲率圆的局部性质来实现.)( , )( 存在且设曲线方程为x f x f y ''=, 0)(0≠''x f 则曲线在点的坐标为中心 ) ,( βαD 处的曲率 ) ,(00y x M , )1(20y y y x '''+'-=α, 120y y y '''++=β. M x f y y y 处的导数在点是与式中 )( ='''3. 曲率中心的坐标证处的在点设曲线 ) ,( )( 00y x M x f y =, ) ,( , βαD R 曲率中心为曲率半径为则曲线在点) ,(00处的曲率圆方程为y x M 222)()(R y x =-+-βα.) ,( , 是曲率圆上的点点其中y x 23222)1(1y y k R '''+==由于, ) ,( 00在曲率圆上又点y x M 故有=-+-2020)()(βαy x 232)1(y y '''+, 处的法线上位于曲线在点又M DM 其斜率为αβ--=00x y k 法曲线在点M 处切线的斜率为, y '从而, 有βα---='00y x y (1)(2)由(1) , (2) 两式消去得 , 0α-x22220)1()(y y y '''+=-β由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧, 所以 , 是反号的与β-''y y 故对上式两边开方得y y y '''++=201β由(2) 式, 得y y y x '''+'-=)1(20α画画图更清楚例5解处的在点求抛物线 )1 ,1( 2x y =曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.,2211=='==x x x y ,21=''=x y 处的曲率半径为在点 1) (1, )1( 232y y R '''+=21252)21(232=+=,1 , 100==y x曲率中心为y y y x '''+'-=)1(20α42)21(212-=+-=y y y '''++=201β2722112=++=曲率圆的方程为. )27 , 4( -D 曲率中心：4125)27()4(22=-++y x。