江苏省南通中学14—15学年上学期高一期末考试数学试题(附答案)
江苏省南通中学2014_2015学年高一数学下学期开学试卷(含解析)
江苏省南通中学2014-2015学年高一下学期开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．已知全集S={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，（∁S A）∩B={1，4}，则B=．2．函数的定义域为．3．已知向量=（3，﹣2），=（﹣2，1），=（﹣12，7），若=m+n，m，n∈R，则m+n=．4．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=．5．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得到函数的图象，则φ的最小值为．6．设α是第二象限角，其终边上一点为，且，则sinα的值为．7．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于．8．设实数，a=lnx，b=e lnx，，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”连接）．9．在△ABC中，，，其中x为实数．若△ABC为直角三角形，则x=．10．已知||=4，||=6，|+|=8，则+与﹣的夹角的余弦值为．11．已知函数，若且，则cos2x0=．12．已知D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且，．设CD与BE相交于点F，，则实数λ=．13．若函数f（x）=3ax2+（3﹣4a）x﹣4的零点总在（0，2）内，则实数a的取值范围是．14．已知函数恰有两个不同零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设A={x|ax﹣2＞0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}．（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁R B≠∅，求实数a的取值范围．16．已知||=1，||=．（1）若与的夹角为60°，求|3﹣|；（2）若⊥（﹣），求与的夹角的大小．17．（1）若，，，，；（2）若，，α，β都是锐角，求2α+β的值．18．（16分）已知．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）若函数y=f（2x）﹣a在区间上恰有两上零点x1，x2，求tan（x1+x2）的值．19．（16分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知f（x）=ax2﹣2x﹣1（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求g（a）的解析式以及g（a）的最大值．江苏省南通中学2014-2015学年高一下学期开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．已知全集S={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，（∁S A）∩B={1，4}，则B={1，2，4}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据全集S，以及A与B的交集，A补集与B的交集确定出B即可．解答：解：∵全集S={1，2，3，4，5}，A∩B={2}，∁S A∩B={1，4}，∴B={1，2，4}，故答案为：{1，2，4}．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．函数的定义域为（0，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立取交集即可得到答案．解答：解：要使函数有意义，则，解得：0＜x≤1．∴原函数的定义域为（0，1]．故答案为：（0，1]．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，是基础题．3．已知向量=（3，﹣2），=（﹣2，1），=（﹣12，7），若=m+n，m，n∈R，则m+n=1．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件，平面向量坐标的运算可得，解方程组即可得到m，n 的值，从而求出m+n=1．解答：解：向量=（3，﹣2），=（﹣2，1），=（﹣12，7），∴m+n=（3m﹣2n，﹣2m+n），∵=m+n，∴（﹣12，7）=（3m﹣2n，﹣2m+n），∴，解得，∴m+n=1，故答案为：1．点评：本题考查平面向量的坐标运算，解方程组等知识，属于基础题．4．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6．考点：带绝对值的函数；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），可建立方程，即可求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），∴∴a=﹣6故答案为：﹣6点评：本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的对称轴，属于基础题．5．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得到函数的图象，则φ的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先对函数关系式进行平移变换，然后利用对应相等求出结果．解答：解：将将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin （2x+2φ）得到函数的图象．即：2φ+2kπ=解得：φ=2kπ+（k∈Z）当k=0时，故答案为：点评：本题考查的知识点：函数图象的平移变换符合左加右减的性质及相关的运算问题．6．设α是第二象限角，其终边上一点为，且，则sinα的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：首先判断m＜0，根据三角函数的坐标法定义，得到关于m的等式，求出符合条件的m，再求sinα．解答：解：由已知得到P到原点的距离为，由三角函数的定义得到cosα=，α是第二象限角，解得m=，所以sinα=；故答案为：．点评：本题考查了三角函数的坐标法定义，属于基础题．7．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数f（x）=2sinωx在上单调递增，可得0＜ω≤2，结合在上的最大值是，可得sin（ω）=，进而求出ω值．解答：解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，∴0＜ω≤2且sin（ω×）=解得ω=故答案为：点评：本题考查的知识点是正弦型函数的单调性，三角函数的值，其中根据已知分析出ω的范围是解答的关键．8．设实数，a=lnx，b=e lnx，，则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．（用“＜”连接）．考点：指数函数的图像与性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得﹣1＜a＜0，＜b＜1，1＜c＜e，从而可得答案．解答：解：∵x∈（，1），a=lnx即﹣1＜a＜0；又b=e lnx为增函数，∴＜b＜1；=lnx为减函数，∴1＜c＜e，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．9．在△ABC中，，，其中x为实数．若△ABC为直角三角形，则x=或4．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直和数量积的关系分类讨论可得x的方程，解方程可得．解答：解：∵在△ABC中，，，∴=﹣=（x﹣2，4），∴当A为直角时，=2x﹣3=0，解得x=；当B为直角时，•=2x﹣4﹣4=0，解得x=4；当C为直角时，=x（x﹣2）+12=0，方程无解．综上可得x=或4．故答案为：或4点评：本题考查数量积与向量的垂直关系，涉及分类讨论的思想，属基础题．10．已知||=4，||=6，|+|=8，则+与﹣的夹角的余弦值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知首先求出，的数量积以及差的模，然后利用数量积公式求+与﹣的夹角的余弦值．解答：解：由已知||=4，||=6，|+|=8，得到=6，=2，所以则+与﹣的夹角的余弦值为：===；故答案为：．点评：本题考查了平面向量的模的运算、数量积公式的运用；关键是求出两个向量的数量积以及差的模．11．已知函数，若且，则cos2x0=．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cosx+sinx，由，可得sinx0+cosx0=，两边平方解得：sin2x0=，由，可得2x0∈（0，），从而可求cos2x0=的值．解答：解：∵=cosx+sinx，又∵，即：sinx0+cosx0=，∴两边平方可得：1+sin2x0=，解得：sin2x0=，∵，∴2x0∈（0，），∴cos2x0===．故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．12．已知D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且，．设CD与BE相交于点F，，则实数λ=6．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据条件存在实数k：=，同理存在实数μ：，从而由平面向量基本定理得，这样便可解出，从而便得出λ=6．解答：解：如图，根据条件：；D，F，C三点共线，∴==；∴；同理，B，F，E三点共线，∴=；∴；解得；∴；∴；∴λ=6．故答案为：6．点评：考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．13．若函数f（x）=3ax2+（3﹣4a）x﹣4的零点总在（0，2）内，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪{0}．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论a=0和a≠0两种情况，从而综合得到结论．解答：解：①a=0时，f（x）=3x﹣4，令f（x）=0，显然x=在（0，2）内，成立；②a≠0时，f（x）=3ax2+（3﹣4a）x﹣4=（3x﹣4）（ax+1），令f（x）=0，得：x=，或x=﹣，∴只需0＜﹣＜2即可，解得：a＜﹣，综上：a的范围是：，故答案为：（﹣∞，﹣）∪{0}．点评：本题考查了函数的零点问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．14．已知函数恰有两个不同零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0， 1）．考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：令f（x）=0可得x=0为一个根，由题意可得+a|x|=0只有一个根，即有﹣=|x|（x﹣2）只有一个根．作出函数函数y=g（x）的图象，将直线y=﹣平移，即可得到a的不等式，解得a的范围．解答：解：令f（x）=0可得x=0为一个根，由题意可得+a|x|=0只有一个根，即有﹣=|x|（x﹣2）只有一个根．设g（x）=|x|（x﹣2）=，作出函数y=g（x）的图象，将直线y=﹣平移，可得当﹣＞0或﹣＜﹣1，直线和函数y=g（x）的图象只有一个交点．解得a＜0或0＜a＜1．则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）．点评：本题考查函数的零点的判断，考查函数和方程的转化思想的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设A={x|ax﹣2＞0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}．（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁R B≠∅，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：（1）求出不等式x2﹣4x+3＞0的解集B，由A∩B=A得A⊆B，对a进行分类讨论，分别根据集合间的包含关系求出a的取值范围，最后再并在一起；（2）由补集的运算求出∁R B，对a进行分类讨论，分别根据A∩∁R B≠∅求出a的取值范围，最后再并在一起．解答：解：（1）由x2﹣4x+3＞0，得x＜1或x＞3，所以B={x|x＜0或x＞3}．因为A∩B=A，所以A⊆B，当a=0时，A=∅，满足题意；当a＞0时，，所以，解得，所以；当a＜0时，，显然满足A⊆B综上：a的取值范围是；（2）由（1）得，C R B={x|1≤x≤3}，且A∩∁R B≠∅，当a=0时，A=∅，不满足题意；当a＞0时，，所以，解得；当a＜0时，，显然不满足A∩∁R B≠∅，综上可得，a的取值范围是．点评：本题考查集合的混合运算，集合间的包含关系的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．16．已知||=1，||=．（1）若与的夹角为60°，求|3﹣|；（2）若⊥（﹣），求与的夹角的大小．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）直接由向量模的平方等于向量的平方，展开后代入数量积公式得答案；（2）设出与的夹角，由⊥（﹣）得其数量积为0，然后求得与的夹角的余弦值，则与的夹角可求．解答：解：（1）∵||=1，||=，且与的夹角为60°，∴|3﹣|====；（2）设a、b的夹角为θ，∵⊥（﹣），∴•（﹣）=，∴，∵0≤θ≤π，∴．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，关键是对公式的运用，是中档题．17．（1）若，，，，；（2）若，，α，β都是锐角，求2α+β的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin（+α）、sin（﹣）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]的值．（2）先利用二倍角的正切公式求得tan2α的值，再利用两角和的正切公式求得tan（2α+β）的值，可得2α+β的值．解答：解：（1）∵，，∴，，又，，∴，，∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=+=．（2）∵tanα，tanβ∈（0，1），又α，β是锐角，∴，∴，，∴，又∵，∴．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．18．（16分）已知．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）若函数y=f（2x）﹣a在区间上恰有两上零点x1，x2，求tan（x1+x2）的值．考点：正弦函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：利用三角公式化简函数f（x）=2sin（）（1）结合正弦函数的性质，把2x看成y=sinx中的“x“分别求解（2）代入可得y=2sin（），换元 t=，从而可得 y=2sint，，结合正弦函数的图象可求解答：解（1）=═sin（2x﹣120°）cos（2x﹣120°）=2sin（2x﹣60°）∴f（x）的最大值为2，此时，即（2）令，∵，∴设t1，t2是函数y=2sint﹣a的两个相应零点（即）由y=2sint图象性质知t1+t2=π，即∴点评：本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值（最值的求解一般是整体思想），利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用．19．（16分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的对称性即可求函数f（x）的解析式及其值域；（2）根据函数和方程之间的关系进行求解即可；（3）构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．解答：解：（1）若x＜0，则﹣x＞0，则当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x．∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x，x＜0，当x=0时，f（0）=0，则…3分值域为（﹣∞，﹣1）∪{0}∪（1，+∞）．…5分（2）令显然x=0不是方程f（x）=4﹣x的解．当x＜0时，g（x）=﹣2﹣x+x﹣4＜0，∴方程f（x）=4﹣x无负数解．…7分当x＞0时，g（x）=2x+x﹣4单调递增，所以函数g（x）至多有一个零点；…8分又g（1）=﹣1＜0，g（2）=2＞0，由零点存在性原理知g（x）在区间（1，2）上至少有一个零点．…9分故g（x）的惟一零点，即方程f（x）=4﹣x的惟一解x0∈（1，2）．所以，由题意，n=1．…10分（3）设h（x）=2﹣x﹣x，则h（x）在[1，+∞）上递减．∴．…13分当x≥1时，f（x）=2x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2﹣x﹣x．∴当时，存在x≥1，使得a＜2﹣x﹣x成立，即关于x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小于1的解．…16分．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．20．（16分）已知f（x）=ax2﹣2x﹣1（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求g（a）的解析式以及g（a）的最大值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据二次函数的图象和性质，结合已知中函数的解析式，易求出f（x）的最小值；（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，即﹣2≤f（x）≤2，分段求出g（a）的解析式，进而可得g（a）的最大值．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x﹣1，a＞0，∴；（2）∵|f（x）|≤2，∴﹣2≤f（x）≤2，1°若，g（a）为f（x）=﹣2的小根，则：ax2﹣2x+1=0，∴=，此时函数为增函数，故g（a）＜g（1）=12°若，g（a）为f（x）=2的大根，则：ax2﹣2x﹣1=2，∴ax2﹣2x﹣3=0，∴=，此时函数为减函数，故g（a）≤g（1）=3，故（a）的最大值为3．点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，函数的最值及其几何意义，难度中档．。
江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题-Word版含答案
南通中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答．题卡相应位置上．．．．．．．． 1． 若角135°的终边上有一点(一4，a )，则a 的值是 ▲ ．42． 若()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是π，其中0>ω，则ω的值是 ▲ ．23． 化简：sin13cos17sin17cos13︒︒+︒︒= ▲ ．124． 已知向量(14,0),(2,AB AC ==则AB AC 与的夹角的大小为 ▲ ．4π 5． 已知sin tan 0θθ⋅<,那么角θ是第 ▲ 象限角.二或三6． 已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=-a b a b ，则n = ▲ ．2- 7． ()()1tan11tan 44+︒+︒的值为 ▲ ．28． 下把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到的函数图象解析式为f (x )=▲ ．3sin2x9． 函数在()sin f x x a =-，[,]3x ππ∈上有2个零点，则实数a 的取值范围 ▲ ．10．已知函数()sin tan 1f x a x b x =++，满足()73f π=，则()3f π-= ▲ ．-511. 在ΔABC 中，有命题：①AB AC BC -=； ②0AB BC CA ++=；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ΔABC 为等腰三角形； ④若ΔABC 为直角三角形，则0AC AB ⋅=. 上述命题正确的是 ▲ （填序号）．②③12．已知函数tan 2xy =,则函数的定义域是 ▲ ．{}44x x x π-≤≤≠±且13．已知2a =,2b =,a 与b 的夹角为45︒,且()b a a λ-⊥,则实数λ的值为 ▲ ．2 14．在ΔABC 中， 512B π∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且2AC + 22BC AD -=2BD DC AC CB ⋅-⋅，则A ∠等于 ▲ ．6π二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知向量=(cos ,1)a α－，(2,1sin )b α=+，且1a b ⋅=-.(1)求αtan 的值； (2)求2sin 3cos 4sin 9cos αααα--的值.解：(1)因为()1sin 1cos 2-=+-=⋅ααb a ，即cos 2sin =αα．显然，0cos ≠α，所以2tan =α． (2)2sin 3cos 4sin 9cos αααα--=2tan 322314tan 9429αα-⨯-==--⨯-；16．（本小题满分14分）已知(1,2)a =，(3,2)b =-, 当k 为何值时 (1)ka b +与3a b -垂直？(2)ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+；3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=- (1)()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +·(3)10(3)4(22)2380a b k k k -=--+=-=，19k = (1)()//ka b +(3)a b -，得4(3)10(22)k k --=+，13k =- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反.17．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，0>ω，2πϕ<）的图像如图所示(1)求出函数()f x 的解析式； (2)若将函数()f x 的图像向右移动3π个单位得到函数 ()y g x =的图像，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心.解：（1） 6(2)42A --== 6(2)22b +-== 42()2233T πππ=--= 4T π= 12ω= 1()4sin()223f x x π=++（2） 1()4sin()226g x x π=++增区间 1222262k x k πππππ-+≤+≤+ k ∈Z424433k x k ππ⇒-+π≤≤+πk ∈Z ；增区间 42[4,4]33k k ππππ-++k ∈Z126x k ππ+= k Z ∈； 23x k ππ=-+k ∈Z 对称中心(2,2)3k ππ-+k ∈Z18．（本小题满分16分）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且7||7a b -=. (1)求()()sin cos 2sin cos 22ππαπβπαβ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)若1cos 7α=，且02πβα<<<，求β的值．22211||,(cos cos )(sin sin )77122(cos cos sin sin ),713cos().14a b αβαβαβαβαβ-=-+-=-+=-=解：(1)由条件得即所以故(2)0,(0,)22113cos ,cos()714sin )sin sin[()]sin cos()cos sin()131147(0,),.23ππβααβααβααββααβααβααβππββ<<<∴-∈=-=∴=-==--=---=-=∈∴=19．（本小题满分16分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD ，AB =50米，BC =253米，为了便于游客休闲散 步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE 、EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°．(1)设∠BOE =α，试将OEF ∆的周长l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低 并求出最低总费用．解：(1)∵在Rt △BOE 中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=25cos α. 在Rt △AOF 中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=25sin α. 又∠EOF=90°，∴EF=22222525()()cos sin OE OF αα=++25cos sin αα, ∴252525cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++， 即25(sin cos 1)cos sin l αααα++=．当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π6；当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63.(2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求OEF ∆的周长l 的最小值即可.由（1）得，25(sin cos 1)cos sin l αααα++=，ππ[,]63α∈设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，∴225(sin cos 1)25(1)501cos sin 12t l t t αααα+++===--由，5ππ7π12412α≤+≤312t +≤≤31121t -≤-≤， 121311t ≤≤-，当π4α=，即BE=25时，min 50(21)l =+, 所以当BE =AF =25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000(21)+元. 20．（本小题满分16分）如图，已知扇形OAB 的周长2+23π，面积为3π，并且1OA OB +=.(1)求AOB ∠的大小；(2)如图所示，当点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若,OC xOA yOB =+其中x 、 y ∈R ，求xy 的最大值与最小值的和；(3)若点C 、D 在以O 为圆心的圆上，且OC DO =．问BC 与AD 的夹角θ取何值时，BC ⋅AD 的值最大？并求出这个最大值．解：（1）设扇形半径为r ，圆心角AOB α∠= 由22223123r r r αππα⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得123r πα=⎧⎪⎨=⎪⎩或36r παπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又当3r π=、6απ=时，1OA OB +=不成立；当1r =、23πα=时，1OA OB +=成立， 所以23AOB π∠=（2）如图所示，建立直角坐标系，则A （1，0），B 13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ()cos ,sin θθ． 由,OC xOA yOB =+得cos 2yx θ=-，3sin 2y θ=．即323cos sin ,sin 33x y θθθ=+=． 则32321cos sin sin sin(2)33363xy πθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又20,3θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()max xy +()min 100xy =+=．。
江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题苏教版
3x 1 的定义域为
x2 5ax 4
R ，则实数
a 的取值范围是
12．函数 f x x2 2x a 1 存在零点 x0
1 ,2
，则实数 a 的取
2
值范围是 ▲ ．
13．定义在区间 2, 2 上的奇函数 f x ，它在 0, 2 上的图象是一条
如图所示线段 (不含点 0,1 )， 则不等式 f x f x x 的解集为 ▲ ．
19．（本题满分 16 分）
已知函数 f (x) ( x
(1)求实数 a 的值；
1)( x x2
a)
为偶函数．
(2)记集合 E { y y f ( x), x { 1,1,2}} ，
的关系；
lg 2 2
lg 2lg 5
lg 5
1
，判断
与E
4
(3)令 h( x)
2
x f ( x)
ax
b ，若集合 A
x x h( x) ，集合 B
(4 ) x 1,( x 10) 2
(1)若 g(10000) g (1)，求 a 的值； (2)若 g (x) 是 R 上的增函数，求实数 a 的取值范围．
18．（本题满分 16 分） 在经济学中，函数 f ( x) 的边际函数 Mf ( x) 定义为 Mf ( x) f (x 1) f ( x) ，某公司每月
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1．已知集合 A 1,0,1 ， B 1,2 ，则 A B ▲ ．
2．下列四个图像中，是函数图像的是
▲．
3．设集合 A＝ {( x， y)|x－ y＝ 0} ， B＝ {( x， y)|x＋ y＋ 4＝ 0} ，则 A∩B＝ ▲ ．
2023-2024学年江苏省南通市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市如东高中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷
江苏省南通市如东高中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B=．2．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的子集个数为．3．函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域是．4．已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．5．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．6．函数f（x）=x2﹣2|x|的单调递增区间是．7．f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=．8．已知函f（x）=，则f（f（））=．9．如果函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在的区间是（n，n+1），则正整数n=．10．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．其中假命题的序号是．11．已知偶函数f（x）在m2，n上的单调性并用定义证明；（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m﹣+9恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x+1|+2a（a是常数且a∈R）（1）若函数f（x）的一个零点是1，求a的值；（2）求f（x）在上的最小值g（a）；（3）记A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求实数a的取值范围．江苏省南通市如东高中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：集合A与集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，能求出A∪B．解答：解：∵集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，∴A∪B={1，2，3，4，5}．故答案为：{1，2，3，4，5}．点评：本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的子集个数为4．考点：子集与真子集．专题：集合．分析：根据题意，易得集合M中有2个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案．解答：解：集合A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，则其子集有22=4个，故答案为4．点评：本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系，牢记若一个集合有n个元素，则其有2n个子集．3．函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域是1，2），故答案为：﹣1，01，+∞）．考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：根据已知中函数的解析式f（x）=x2﹣2|x|，我们易画出函数f（x）=x2﹣2|x|的图象，根据图象即可分析出函数f（x）=x2﹣2|x|的单调递增区间．解答：解：函数f（x）=x2﹣2|x|的图象如下所示：由函数的图象可得函数f（x）=x2﹣2|x|的单调递增区间是和﹣1，01，+∞）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象及性质，其中根据函数的解析式，画出函数的图象是解答本题的关键．7．f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=±1．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，解方程f（﹣x）=﹣f（x），即可得到结论．解答：解：若f（x）=在定义域上为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即=﹣，则（k•2x﹣1）（1+k•2x）=﹣（k﹣2x）（k+2x），即k2•22x﹣1=﹣（k2﹣22x，则k2•22x﹣1+k2﹣22x=0，即k2﹣1=0，解得k=±1，故答案为：±1点评：本题主要考查函数奇偶性的判断和应用，根据条件建立方程是解决本题的关键．8．已知函f（x）=，则f（f（））=．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数直接进行求值即可．解答：解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．点评：本题主要考查分段函数求值，比较基础．9．如果函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在的区间是（n，n+1），则正整数n=2．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解答：解：∵f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3），∴n=2．故答案为2．点评：本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．10．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．其中假命题的序号是①③④．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：①m∥n或m，n相交或m，n异面；②由面面垂直的判定定理可得α⊥β；③n∥α或n⊂α，④n⊥α或n⊥β．，但也有可能n与α，β斜交解答：解：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故①错误②若m∥n，m⊂α，则当n⊄α时，根据线面平行的判定定理可得n∥α，由n⊥β可得α⊥β，当n⊂α时，由n⊥β，则可得m⊥β，由平面垂直的判定定理可得，α⊥β，故②正确③若α∩β=m，m∥n，当n⊆α时，满足已知；当n⊈α时，由线面平行的判定定理可得则n∥αn与β的关系同理可判断，故③错误④若m⊥n，α∩β=m，若n⊆β，由线面垂直的判定定理可得则n⊥α或若n⊆α，由线面垂直的判定定理可得n⊥β．n⊈α，n⊈β时，n与α，β不垂直，即有可能n与α，β斜交，故④错误故答案为：①③④点评：本题主要题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间直线与平面位置关系的判断，其中根据面面平行，线面垂直的判定及性质，空间直线与平面位置关系的定义和几何特征11．已知偶函数f（x）在0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f （2）是解决本题的关键．12．对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是①④⑤．①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；压轴题．分析：①根据三棱锥的结构特征判断．②根据对棱不一定相互垂直判断．③可由正四面体时来判断．④由棱中点两两连接构成平行四边形判断．⑤根据两边之和大于第三边判断．解答：解：①根据三棱锥的结构特征知正确．②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．⑤设图中CD是最长边．BC+BD＞CD，AC+AD＞CD若AC+BC≤CD 且AD+BD≤CD则AC+AD+BC+BD≤CD+CD，矛盾则命题成立．故答案为：①④⑤点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，通过作高，取中点连线，来增加考查的难度，即全面又灵活，是一道好题，属中档题．13．已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间上的最大值为2，则n+m=．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先结合函数f（x）=|log2x|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒数关系，再由“若f（x）在区间上的最大值为2”，求得m．n的值得到结果．解答：解：∵f（x）=|log2x|，且f（m）=f（n），∴mn=1∵若f（x）在区间上的最大值为2∴|log2m2|=2∵m＜n，∴m=∴n=2∴n+m=故答案为：点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法．14．已知函数f（x）=若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是0，）的最小值大于等于2x﹣1在0，）上的最小值为；2x﹣1在，）上递增∴当x=时y=当x=时y=∴y∈，）故答案为上的单调性并用定义证明；（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m﹣+9恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过a的值是否为0，利用奇偶性的定义，直接判断f（x）的奇偶性；（2）通过a=16，利用函数的单调性的定义判断f（x）在x∈（0，2上递减．…（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，22，+∞）上递增，所以f（x）min=f（2）=12，…所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2，即，即1≤m＜5．…（16分）点评：本题考查函数的恒成立，函数的单调性的应用，奇偶性的判断，分类讨论思想的应用，是中档题．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x+1|+2a（a是常数且a∈R）（1）若函数f（x）的一个零点是1，求a的值；（2）求f（x）在上的最小值g（a）；（3）记A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求实数a的取值范围．考点：函数的零点；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数f（x）的一个零点是1，得到f（1）=0，即可求a的值；（2）根据二次函数的图象和性质，即可求f（x）在上的最小值g（a）；（3）根据不等式的解法，即可求a的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）的一个零点是1，∴．（2）f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，x∈，①当a=0时g（a）=f（2）=﹣3．②当a＜0时，对称轴为g（a）=f（2）=6a﹣3．③当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴x=，若x=＜1，即a＞时，g（a）=f（1）=3a﹣2．若1≤≤2，即时，g（a）=f（）=2a﹣1﹣，若＞2，即0＜a＜时，g（a）=f（2）=6a﹣3．综上：g（a）=，（3）由题意知：不等式f（x）＜0无解即ax2﹣|x+1|+2a≥0恒成立，即对任意x∈R恒成立，令t=x+1，则对任意t∈R恒成立，①当t=0时g（0）=0，②当t＞0时，③当t＜0时，∴a≥g（t）max，即．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质以及函数零点的应用，对应含有参数的问题要对参数进行分类讨论．。
江苏省南通中学第一学期高一数学期终考试试卷
江苏省南通中学－第一学期期终考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1. 求值sin300= ▲ ． 2. 函数tan(2)3y x π=-的周期为 ▲ ．3. 在正方形ABCD 中，E 是DC 边的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE = ▲ ．4. 已知0tan cos <⋅θθ,则角θ是第 ▲ 象限角.5. 函数()sin cos f x x x =的最小值为 ▲ ．6. 已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==则AC BC 与的夹角的大小为 ▲ ．7. 已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若| a ＋b |＝a ·b ，则n = ▲ ．8. 已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足(5)7f =，则)5(-f = ▲ ．9. 下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭. ③把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到3sin 2y x =的图象. ④函数sin()2y x π=-在[]0,π上是减函数.其中，正确的是 ▲ ．（填序号） 10. 将函数sin y x =的图象向右平移4π个单位长度得到图象1C ，再将图象1C 上的所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到图象2C ，则2C 的函数解析式为 ▲ ．11．已知8,2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，(),1x =b ，其中0x >，若（a -2b ）∥（2a +b ），则x 的值 ▲ ．12．函数3sin(2)6y x π=--的单调递减区间为 ▲ ．13．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B C 、不重合）， 且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ ．14．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）.函数4sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧<⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分。
2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期末模拟数学试题(一)含详解
江苏省南通中学期末模拟（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知{}220M x x x =+-<，{}3N x x =≤，则()RM N = ð（）A.[]1,3B.(]1,3C.(][],21,3-∞- D.(](],21,3-∞- 2.命题“(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +≥”的否定是（）A.(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +<B.(0)x ∀∉+∞，，总有212x x +<C.(0)x ∃∈+∞，，使得212x x +<D.(0)x ∃∉+∞，，使得212x x +≥3.要得到函数2sin 2x y =的图像，只需将函数()2sin 24x y π=-的图像（）A.向左平移8π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度C.向左平移2π个单位长度 D.向右平移2π个单位长度4.已知函数()212log 21y ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.1a >B.01a ≤< C.01a << D.01a ≤≤5.在自然界，大气压强p （单位：mmHg ）和海拔高度h （单位：m ）的关系可用指数模型e kh p a -=来描述，根据统计计算得到760a =，0.000164k =．现已知海拔500m 时的大气压强约为700mmHg ，则当大气压强约为350mmHg 时，海拔高度约为（）（参考数据：ln 20.69=）A.3500mB.4200mC.4700mD.5200m6.函数()(1)cos π=-f x x x 的部分图象大致为（）A. B.C.D.7.设5log 2a =，sin53(sin 37)b ︒=︒，1222c =，则（）A.a b c <<B.c<a<b C .c b a<< D.a c b<<8.已知0a >，0b >，则“a b >”是“23a b e a e b +=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.命题“1x ∀>，21x >”的否定是“1x ∃ ，21x ”B.命题“(2,)x ∃∈-+∞，24x ”的否定是“(2,)x ∀∈-+∞，24x >”C.“()()0f a f b <”是“函数()f x 在区间(,)a b 内有零点”的充要条件D.“0b =”是“二次函数2y ax bx c =++为偶函数”的充要条件10.下列判断或计算正确的是（）A.0x ∃∈R ，使得02cos 3x =B.cos 652sin(108)0︒-︒<C.()()sin 45cos 45αα︒-=︒+D.2tan 1sin sin θθ-=11.已知00x y >>，，且22x y +=，若21+-mxyx y m 对任意的00x y >>，恒成立，则实数m 的可能取值为（）A.12B.98C.107D.212.已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（）A.若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B.当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ，C.当2ω=时，π2π()()125-<f f D.若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，2()f x x -=，则1()2f =________．14.已知函数2=++(0)y ax bx c a ≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点，若01c <<，则a 的取值范围是__________.15.在中国古代数学著作《九章算术》的“方田”篇中，有一篇关于环形田的面积计算问题：今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？答：二亩五十五步，其大致意思为：现有一个环形田（如图），中周长92步，外周长122步，径长5步，问田的面积是多少？答：2亩55步2，则根据该问题中的相关数据可知该题所取的圆周率π的近似值是______；若已知某环形田的中周长1l 步，外周长2l 步，径长c 步，则该环形田的面积为______．（单位：步2）．16.已知集合{*N |A x x =∈=，若A B A ⋃=，满足条件的所有集合B 中元素的和__________.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）已知2tan 3α=，求sin cos cos 3sin αααα-+的值；（2）求值：22log 33582lg 2lg 22+--．18.已知函数()sin()(0)2ωϕωϕπ=+><f x x ，满足条件：()()f x f x π+=，且()()33ππ+=-f x f x ．（1）求()f x 的解析式；（2）由函数sin y x =的图象经过适当的变换可以得到()f x 的图象．现提供以下两种变换方案：①sin y x =→sin()ϕ=+y x →()y f x =②sin y x =→sin y x ω=→()y f x =请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．19.已知函数()122xxf x =-（1）证明函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数；（2）当0m >时，解关于x 的不等式()()22π7πsin cos 36f mx m x f m x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+->++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦20.已知sin cos π4t θθθ⎛=⎫ ⎝+⎪⎭+=，ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（1）当12t =，求33sin cos θθ-的值；（2）求函数()(sin cos )sin cos f a θθθθθ=+-的最大值().g a 21.如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，90A D ∠=∠=o ，4AB AD ==，7CD =，点E 从点D 出发，沿着边DC 运动到点C ，过点E 作直线l 垂直于边DC ，设DE x =，则l 的左侧部分的多边形的面积为()S x ，周长为()L x ．（1）求()S x 和()L x 的解析式；（2）记()()()S x f x L x =，求()f x 的最大值．22.已知定义在()0,+∞上的函数()ln f x x =．（1）若方程1()x f x e=有两个不等的实数根12,x x （12x x <），比较12x x 与1的大小；（2）设函数()223()()x g x af x f e=-（0a >），若,m n R ∃∈，使得()y g x =在定义域e ,e m n ⎡⎤⎣⎦上单调，且值域为[],m n ，求a 的取值范围．江苏省南通中学期末模拟（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知{}220M x x x =+-<，{}3N x x =≤，则()RM N = ð（）A.[]1,3B.(]1,3C.(][],21,3-∞-D.(](],21,3-∞- C【分析】先求得集合{21}M xx =-<<∣，结合集合交集、补集的概念及运算，即可求解.【详解】由不等式22(2)(1)0x x x x +-=+-<，解得2<<1x -，可得集合{}220{21}M x x x xx =+-<=-<<∣，{}3N x x =≤，可得{2R M xx =≤-∣ð或1}x ≥，所以()R {2M N x x =≤- ∣ð或13}x ≤≤．故选：C.2.命题“(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +≥”的否定是（）A.(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +<B.(0)x ∀∉+∞，，总有212x x +<C.(0)x ∃∈+∞，，使得212x x +<D.(0)x ∃∉+∞，，使得212x x +≥C 【分析】全称命题否定为特称命题即可，改量词否结论【详解】解：因为命题“(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +≥”，所以其否定为“(0)x ∃∈+∞，，使得212x x +<”故选：C3.要得到函数2sin2x y =的图像，只需将函数()2sin 24x y π=-的图像（）A.向左平移8π个单位长度B.向右平移4π个单位长度C.向左平移2π个单位长度 D.向右平移2π个单位长度C 【分析】由三角函数图像平移变化规律求解即可【详解】解：因为()()12sin 2sin 2422x y x ππ=-=-，所以要得到函数2sin 2x y =的图像，只需将函数()2sin 24x y π=-的图像向左平移2π个单位长度即可，故选：C4.已知函数()212log 21y ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.1a >B.01a ≤< C.01a << D.01a ≤≤D【分析】根据对数函数的性质可知，221t ax x =++要能取到()0,∞+的所有数，分情况讨论a 的取值范围.【详解】设12log y t =，221t ax x =++，因为函数的值域为R ，所以t 要能取到()0,∞+的所有数，当0a =时，21t x =+满足条件；当0a >时，440a ∆=-≥，得01a <≤；当a<0时，不成立.综上可知，01a ≤≤.故选：D5.在自然界，大气压强p （单位：mmHg ）和海拔高度h （单位：m ）的关系可用指数模型e kh p a -=来描述，根据统计计算得到760a =，0.000164k =．现已知海拔500m 时的大气压强约为700mmHg ，则当大气压强约为350mmHg 时，海拔高度约为（）（参考数据：ln 20.69=）A.3500mB.4200mC.4700mD.5200mC 【分析】由760a =，0.000164k =，500,700h p ==，可得0.000164500700760e -⨯=，若设大气压强约为350mmHg 时，海拔高度为x m ，则有0.000164350760x e -=，从而有0.0001645000.00016417607602x e e -⨯-⨯=，进可求出x 的值【详解】解：由题意得0.000164500700760e -⨯=，若设大气压强约为350mmHg 时，海拔高度为x m ，则有0.000164350760x e -=，所以0.0001645000.00016417607602x e e -⨯-⨯=，0.000164(500)17602x e --=，两边取对数，得1ln 0.000164(500)2x =--，解得47074700x =≈，故选：C6.函数()(1)cos π=-f x x x 的部分图象大致为（）A. B.C. D.B 【分析】取特殊区间进行判断函数在该区间上的正负，利用排除法可得答案【详解】解：当102x <<时，10x -<，cos 0x π>，所以()0f x <，当12x =时，()0f x =，当112x <<时，10x -<，cos 0x π<，所以()0f x >，所以排除A ，C ，当102x -<<时，10x -<，cos 0x π>，所以()0f x <，所以排除D故选：B7.设5log 2a =，sin53(sin 37)b ︒=︒，1c =，则（）A.a b c <<B.c<a<bC.c b a <<D.a c b<<D【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的单调性，分别计算三个式子的取值范围，比较大小.【详解】551log 2log 2a =<=，因为0sin 371<︒<，所以()sin 531sin 37sin 37sin 302b ︒=︒>︒>︒=，()111121222c -====，所以a c b <<.故选：D.8.已知0a >，0b >，则“a b >”是“23a b e a e b +=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件B【分析】若23a b e a e b +=+，则()220a be a e b b +-+=>，利用函数()2xf x e x =+的单调性可得a b >．反之不一定成立，例如取100a =，1b =．即可得出其不成立．【详解】解：若23a b e a e b +=+，则()220abe a e b b +-+=>，∴22a b e a e b +>+，又当0x >时，()2xf x e x =+单调递增，∴a b >．反之不一定成立，“a b >”不一定得出“23a b e a e b +=+”，例如取100a =，1b =．则“100220033a b e a e e e b +=+>+=+”．∴“a b >”是“23a b e a e b +=+”的必要不充分条件．故选B．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.命题“1x ∀>，21x >”的否定是“1x ∃ ，21x ”B.命题“(2,)x ∃∈-+∞，24x ”的否定是“(2,)x ∀∈-+∞，24x >”C.“()()0f a f b <”是“函数()f x 在区间(,)a b 内有零点”的充要条件D.“0b =”是“二次函数2y ax bx c =++为偶函数”的充要条件BD【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断选项A ，B ；根据零点存在性定理判断选项C ，根据偶函数的性质的判断选项D.【详解】对于A ，命题“1x ∀>，21x >”的否定是“1x ∃>，21x ”，故选项A 错误；对于B ，命题“(2,)x ∃∈-+∞，24x ”的否定是“(2,)x ∀∈-+∞，24x >”，故选项B 正确；对于C ，函数()f x 在区间(,)a b 上为连续不断的一条曲线，若()()0f a f b <，则函数()f x 在区间(,)a b 内有零点，反之不成立，比如：2()1,(5,5)f x x x =-∈-，则易知(5)(5)0f f ->，且在区间(5,5)-上有两个零点，故选项C 错误；对于D ，当0b =时，令2()y f x ax c ==+，定义域为R ，且2()()f x ax c f x -=+=，所以二次函数2y ax bx c =++为偶函数；当二次函数2y ax bx c =++为偶函数时，则有22()()f x ax bx c f x ax bx c -=-+==++，所以0b =，故选项D 正确，故选：BD .10.下列判断或计算正确的是（）A.0x ∃∈R ，使得02cos 3x = B.cos 652sin(108)0︒-︒< C.()()sin 45cos 45αα︒-=︒+ D.tan sin θ=BC 【分析】对于A ，由余弦函数的值域进行判断；对于B ，利用诱导公式和三角函数的符号进行判断；对于C ，利用诱导公式进行判断；对于D ，利用同角三角函数的关系化简即可判断【详解】解：对于A ，由02cos 3x =得03cos 2x =，而cos [1,1]x ∈-，所以03cos 2x =无解，所以A 错误；对于B ，cos652sin(108)cos(68)(sin108)cos68sin1080︒-︒=-︒⋅-︒=-︒⋅︒<，所以B 正确；对于C ，()()sin 45cos[90(45)]cos 45ααα︒-=︒-︒-=︒+，所以C 正确；对于D ，tan tan tan cos θθ==⋅，所以D 错误，故选：BC11.已知00x y >>，，且22x y +=，若21+-mxyx y m 对任意的00x y >>，恒成立，则实数m 的可能取值为（）A.12B.98C.107D.2ACD 【分析】不等式变形为2121m x y m xy y x +≤=+-，转化为min 121m m y x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭，利用基本不等式求12y x+的最小值，再求m 的取值范围.【详解】0,0x y >> ，212211mxy m x y x y m m xy y x+∴≤+⇔≤=+--，即min121mm y x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭，()12112122192552222x y x y y x y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22x y y x =，即23x y ==时，等号成立，即912m m ≤-，()997001221m m m m --≤⇔≤--解得：97m ≥或1m <，选项中满足条件的有ACD.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是不等式变形2121m x y m xy y x+≤=+-，转化为最值问题，第二个关键是“1”的妙用，求最值.12.已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（）A.若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B.当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ，C.当2ω=时，π2π()()125-<f f D.若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误；对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0ω>，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确.故选：AD【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0ω>得0k =，进而得答案.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，2()f x x -=，则1()2f =________．4-【分析】由于()f x 为奇函数，所以11()()22f f =--，然后代入解析式中可得结果【详解】解：因为奇函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，2()f x x -=，所以2111()()(4222f f -=--=--=-，故答案为：4-14.已知函数2=++(0)y ax bx c a ≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点，若01c <<，则a 的取值范围是__________.()12，【分析】将两点坐标代入函数，求得2a c +=，再根据c 的范围求a .【详解】将点(1,3)-和(1,1)代入函数得31a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：1b =-，则2a c +=,2a c =-，因为01c <<，所以()1,2a ∈.故答案为：()12，15.在中国古代数学著作《九章算术》的“方田”篇中，有一篇关于环形田的面积计算问题：今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？答：二亩五十五步，其大致意思为：现有一个环形田（如图），中周长92步，外周长122步，径长5步，问田的面积是多少？答：2亩55步2，则根据该问题中的相关数据可知该题所取的圆周率π的近似值是______；若已知某环形田的中周长1l 步，外周长2l 步，径长c 步，则该环形田的面积为______．（单位：步2）．①.3②.()122c l l +【分析】（1）读懂题意，提炼关键信息，环田的面积为大圆面积减去小圆面积，先用周长表示出大小圆的半径1r 和2r ，再用圆的面积公式求解；（2）将（1）的结果一般化，用周长来表示半径，得出结论.【详解】（1）设内圆的半径为1r ，外圆的半径为2r ．由题意知215r r -=，1292r π=，22122r π=，则()21230r r π-=，解得3π=．（2）由题意知112r l π=，则112l r π=，内圆的面积为22114l r ππ=，同理外圆的面积为224l π．又()212122r r c l l ππ-==-，所以该环形田的面积为()()2212122124442c l l c l l l l ππππ++-==．故答案为：3；()122c l l +【点睛】试题以《九章算术》的“方田”篇中关于环形田的面积计算问题为背景设题，从题干中提取有效信息并分析、处理数据，关键在于提炼信息，转化为数学运算.16.已知集合{*N |A x x =∈=，若A B A ⋃=，满足条件的所有集合B 中元素的和__________.36【分析】由题意可知，将等式两边平方整理得22248(2)0y xy x x -+-=，根据判别式可得04x ≤≤，再依次经检验得{}2,3,4A =，再根据A B A ⋃=可得满足条件的所有集合B ，即可计算元素的和.【详解】根据题意，将等式x =两边平方得22x x =+继续平方整理得22248(2)0y xy x x -+-=，故该方程有解；所以2226416(2)0x x x ∆=--≥，即240x x -+≥，解得04x ≤≤.又因为*N x ∈，故1,2,3,4x =；当1x =时，即24810y y -+=，解得312y ±=，代入x =+验证可知不符合题意；当2x =时，即240y y -=，解得0y =或4y =，代入验证可知符合题意；当3x =时，即242490y y -+=，解得332y =，代入验证可知符合题意；当4x =时，即28160y y -+=，解得4y =，代入验证可知符合题意；故{}2,3,4A =，由A B A ⋃=，可知集合B 是集合A 的子集；所以，满足条件的所有集合B 共有{}2B =，{}3B =，{}4B =，{}2,3B =，{}2,4B =，{}3,4B =，{}2,3,4B =，所以，所有元素之和为4(234)36⨯++=.故答案为：36.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）已知2tan 3α=，求sin cos cos 3sin αααα-+的值；（2）求值：22log 33582lg 2lg 22+--．（1）19-；（2）6.【分析】（1）由同角三角函数间的关系求解即可；（2）利用指数和对数的运算性质求解即可【详解】（1）21sin cos tan 1132cos 3sin 13tan 9133αααααα---===-+++⨯（2）22log 335582lg2lg 243lg(4)71622+--=+-=-=18.已知函数()sin()(0)2ωϕωϕπ=+><f x x ，满足条件：()()f x f x π+=，且()()33ππ+=-f x f x ．（1）求()f x 的解析式；（2）由函数sin y x =的图象经过适当的变换可以得到()f x 的图象．现提供以下两种变换方案：①sin y x =→sin()ϕ=+y x →()y f x =②sin y x =→sin y x ω=→()y f x =请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．（1）()sin(26f x x π=-；（2）答案见解析.【分析】（1）根据周期求ω，利用对称轴求φ；（2）选择①，先平移变换，后进行周期变换；选择②，先周期变换，后进行平移变换.【详解】（1）由()()f x f x π+=，知函数()f x 的周期为π，所以2T ππω==，即2ω=.由()()33f x f x +=-p p ，知函数()f x 的图象关于3x π=对称所以sin(2)13πϕ⨯+=±，即2,32k k ππϕπ+=+∈Z ，所以,6k k πϕπ=-∈Z .因为||2ϕπ<，所以6πϕ=-，所以()sin(26f x x π=-.（2）方案①：将sin y x =的图象向右平移6π个单位后，得到sin()6y x π=-的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到sin(26y x π=-的图象方案②：将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到sin 2y x =的图象；再将所得图象向右平移12π个单位，得到得到sin(2)6y x π=-的图象.【点睛】(1)求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点代入即可求解.(2)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；19.已知函数()122xxf x =-（1）证明函数()f x 在(),-∞+∞上为减函数；（2）当0m >时，解关于x 的不等式()()22π7πsin cos 36f mx m x f m x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+->++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦（1）证明见解析（2）答案见解析【分析】（1）设12x x <，由()()()121221122102xx x x f x f x +⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭，根据单调性定义可得结论；（2）利用奇偶性定义可知()f x 为奇函数；利用诱导公式可化简所求不等式右侧部分为ππsin sin 033f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，结合奇偶性得到()()22f mx m x f x m ->-；根据()f x 单调性可得自变量大小关系，通过对于m 范围的讨论，解一元二次不等式求得结果.【小问1详解】设12x x <，且12,x x ∈R ，则()()()12211212211212211122122222212222x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++-⎛⎫-=--+=+-=-+ ⎪⎝⎭；1222x x < ，12102x x +>，()()210f x f x ∴-<，()f x \在(),-∞+∞上为减函数.【小问2详解】()f x 定义域为R ，()()212212x xx xf x f x --=--=-=-，()f x \为定义在R 上的奇函数，即()()0f x f x -+=；7π3πππcos cos sin 6233x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，π7πππsin cos sin sin 03633f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-=++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴原不等式可化为()()220f mx m x f m x -+->，即()()()22f mx m x f m x f x m ->--=-；由（1）知：()f x 在(),-∞+∞上为减函数，22mx m x x m ∴-<-，即()()()22110mx m x m mx x m -++=--<；①当01m <<时，由()()10mx x m --<得：1m x m<<；②当1m =时，由()()()2110mx x m x --=-<得：x ∈∅；③当1m >时，由()()10mx x m --<得：1x m m<<或x >m ；综上所述：当01m <<时，不等式解集为1,m m ⎛⎫⎪⎝⎭；当1m =时，不等式解集为∅；当1m >时，不等式解集为1,m m ⎛⎫⎪⎝⎭.20.已知sin cos π4t θθθ⎛=⎫ ⎝+⎪⎭+=，ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（1）当12t =，求33sin cos θθ-的值；（2）求函数()(sin cos )sin cos f a θθθθθ=+-的最大值().g a （1）16-（2）()2,1 11,1221,1 2a a g a a a a ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩【分析】（1）根据1sin cos 2θθ+=得到3sin cos 8θθ=-，sin cos 2θθ-=-，代入计算得到答案.（2）确定t ⎡∈-⎣，化简得到()21122h t t at =-++，讨论1a <-，1a -≤≤和a >分别计算得到答案.【小问1详解】1sin cos 2θθ+=，故()2221sin cos sin cos 2sin cos 4θθθθθθ+=++=，3sin cos 8θθ=-，sin cos 0θθ<，又ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故π,0,cos 02θθ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭，则sin 0θ<，()22237sin cos sin cos 2sin cos 144θθθθθθ-=+-=+=，故sin cos 2θθ-=-，()()32327557sin cos sin cos sin cos sin cos 2816θθθθθθθθ-=-++=-⨯=-.【小问2详解】π)4t θ=+，ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故,π3π4π44θ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，故t ⎡∈-⎣，22111()(sin cos )sin cos 222t f a at t at θθθθθ-=+-=-=-++，设()21122h t t at =-++，二次函数的对称轴为t a =，当1a <-时，()()max 1h t h a =-=-；当1a -≤≤时，()()2max 1122h t h a a ==+；当a >()max 12h t h==-.综上所述：()2,111,1221,12a a g a a a a ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩21.如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，90A D ∠=∠=o ，4AB AD ==，7CD =，点E 从点D 出发，沿着边DC 运动到点C ，过点E 作直线l 垂直于边DC ，设DE x =，则l 的左侧部分的多边形的面积为()S x ，周长为()L x ．（1）求()S x 和()L x 的解析式；（2）记()()()S x f x L x =，求()f x 的最大值．（1）()()24,042722,473x x S x x x <≤⎧⎪=⎨--+<≤⎪⎩，()()28,0448,473x x L x x x +<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）153-【分析】（1）过B 作BF DC ⊥于点F ，分04x <≤、47x <≤两种情况讨论，利用矩形、梯形以及三角形的面积公式可求得()S x 的表达式，利用矩形、梯形以及三角形的周长公式可求得()L x 的表达式；（2）求得函数()f x 的表达式，分别利用函数的单调性以及基本不等式求得函数()f x 在04x <≤、47x <≤时的最大值，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：过B 作BF DC ⊥于点F，在直角梯形ABCD 中，4AB AD ==，7CD =，因为BF CD ⊥，AD CD ⊥，则//AD BF ，又因为//AB DF ，则四边形ABFD 为正方形，所以，4DF AB ==，3CF CD DF =-=，225BC BF CF =+=，当04x <≤时，()4S x x =，()28L x x =+；当47x <≤时，因为4tan 3BCF ∠=，位于直线l 右侧的直角三角形的两直角边长分别为7x -、()473x -，斜边长为()573x -，此时()()()()()2447142777222233S x x x x ⨯+=--⨯-=--+，()()()()844875778333L x x x x =++--+-=+.所以()()24,042722,473x x S x x x <≤⎧⎪=⎨--+<≤⎪⎩，()28,04()48,473x x L x x x +<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩.【小问2详解】解：由（1）得()()()22,04427223,47483xx x f x x x x ⎧<≤⎪+⎪⎪=⎨--+⎪<≤⎪+⎪⎩当04x <≤时，()28244x f x x x ==-++在(]0,4上单调递增，则()()41f x f ≤=；当47x <≤时，()()()227223483x f x x --+=+，令8t x =+，则(]12,15t ∈，所以()()()221522196315423t f x g t t t t--+⎛⎫===-++ ⎪⎝⎭，因为(]12,15t ∈，所以1962t t +≥=，当且仅当1962t t =，即(]12,15t =时取等号，所以()g t 的最大值为15-因为151->，所以()max 15f x -=．22.已知定义在()0,+∞上的函数()ln f x x =．（1）若方程1()x f x e=有两个不等的实数根12,x x （12x x <），比较12x x 与1的大小；（2）设函数()223()()x g x af x f e=-（0a >），若,m n R ∃∈，使得()y g x =在定义域e ,e m n ⎡⎤⎣⎦上单调，且值域为[],m n ，求a 的取值范围．（1）121x x <；（2）15312a <或2334a <.【分析】（1）由题意得1|ln |xx e=，然后作出函数ln y x =和1x y e =的图象，由图像可得1201x x <<<，从而得111ln x x e -=，221ln x x e =，再由21211211ln ln ln 0x xx x e e x x ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝<⎭可得结果；（2）设ln t x =，则2()()23g x h t at t ==-+，且[,]t m n ∈，由题意可知()h t 在[,]m n 上单调，且值域为[,]m n ，然后分1[,],m n a ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭和1[,],m n a ⎛⎤⊆-∞ ⎥⎝⎦两种情况结合二次函数的图象和性质讨论求解即可【详解】（1）方程1()x f x e =即为1|ln |x x e=.因为12x x <，由图知，1201x x <<<.所以111ln x x e -=，221ln x x e=，所以21211211ln ln ln xxe e x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数12x x <，所以2111((0x xe e-<，所以12ln 0x x <，从而121x x <.（2）函数223()()()x g x af x f e=-即为2()(ln )2ln 3g x a x x =-+，,m nx e e ⎡⎤∈⎣⎦.设ln t x =，则2()()23g x h t at t ==-+，且[,]t m n ∈，因为()g x 在定义域,m nx e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调，且值域为[,]m n ，所以()h t 在[,]m n 上单调，且值域为[,]m n .因为0a >，所以二次函数()h t 的图象开口向上.①当1[,],m n a ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭时，()h t 在[,]m n 上单调递增，所以(),(),h m m h n n =⎧⎨=⎩，即2223,23,am m m an n n ⎧-+=⎨-+=⎩所以方程2330ax x -+=在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数解，所以29120,31,211330,a a a a a a ⎧⎪∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩ ，解得2334a < .②当1[,],m n a ⎛⎤⊆-∞ ⎥⎝⎦时，()h t 在[,]m n 上单调递减，所以(),(),h m n h n m =⎧⎨=⎩，即2223,23,am m n an n m ⎧-+=⎨-+=⎩两式相减，得()1a m n +=.将1n m a =-代入，得2130am m a-+-=，同理可得，2130an n a-+-=，所以方程2130ax x a -+-=在1,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上有两个不相等的实数解，所以211430,11,211130,a a a aa a aa ⎧⎛⎫∆=-⨯->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪⎪⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎩ 解得15312a < .综上，a 的取值范围是15312a < 或2334a < .【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数、对数函数和二次函数的综合应用，考查数形结合的思想和转化思想，解题的关键是正确画出函数的图像，利用换元法把2()(ln )2ln 3g x a x x =-+转化为2()()23g x h t at t ==-+，从而利用二次函数的图像和性质求解，属于较难题。
江苏省南通市高一上学期数学期末联考试卷
江苏省南通市高一上学期数学期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则为（）A . (1,2)B .C .D .2. （2分） (2019高一上·锡林浩特月考) 下列哪一组函数相等（）A . 与B . 与C . 与D . 与3. （2分）函数的值域是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·西城期中) 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）．A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·丹东月考) 三个数，，的大小关系为（）．A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·大名月考) 函数f(x)＝3x＋ x－2的零点所在的一个区间是（）A . (－2，－1)B . (－1,0)C . (0,1)D . (1,2)7. （2分） (2019高三上·珠海月考) 已知函数（），若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·荆州期中) 把函数y=f（x）的图象向左、向下分别平移2个单位得到y=2x的图象，则函数f（x）=（）A . f（x）=2x+2+2B . f（x）=2x+2﹣2C . f（x）=2x﹣2+2D . f（x）=2x﹣2﹣29. （2分）(2017·东城模拟) 已知直线x+y=m（m＞0）与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），那么m的值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二上·丽水月考) 已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（）A . 相交B . 内切C . 外切D . 相离11. （2分）以下命题(其中a ， b表示直线，α表示平面)：①若a∥b ， b⊂α ，则a∥α；②若a∥α ，b∥α ，则a∥b；③若a∥b ，b∥α ，则a∥α；④若a∥α ， b⊂α ，则a∥b.其中正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 312. （2分） (2017·新乡模拟) 已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥O ﹣ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A .B . 4πC .D . 3π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·上海期中) 若则的值为________14. （1分） (2020高三上·静安期末) 若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为________.15. （1分）已知函数f（x）=2ax（a∈R）在[0，1]上的最小值为，则a=________．16. （1分）(2020·如东模拟) 将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为________三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2017高一上·洛阳期末) 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．18. （5分） (2020高二下·嘉兴期中) 如图，直角梯形ABEF 等边，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面EBC所成角的正弦值.19. （5分） (2020高一上·南昌月考) 确定函数在区间上的单调性，并用定义法证明.20. （5分） (2017高二下·友谊开学考) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．（Ⅰ）求异面直线D1E与A1D所成的角；（Ⅱ）若二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．21. （10分） (2017高一下·上饶期中) 已知圆O的方程为x2+y2=5．（1） P是直线y= x﹣5上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，求证：直线CD过定点；（2）若EF、GH为圆O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，1），求四边形EGFH面积的最大值．22. （10分） (2018高一上·浙江期中) 已知．（1） t＞0，讨论在上的最值；（2）若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
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南通中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 若角135°的终边上有一点(一4，a )，则a 的值是 ▲ ．42． 若()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是π，其中0>ω，则ω的值是 ▲ ．23． 化简：sin13cos17sin17cos13︒︒+︒︒= ▲ ．124． 已知向量(14,0),(2,AB AC ==则AB AC 与的夹角的大小为 ▲ ．4π 5． 已知sin tan 0θθ⋅<,那么角θ是第 ▲ 象限角.二或三6． 已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=-a b a b ，则n = ▲ ．2- 7． ()()1tan11tan 44+︒+︒的值为 ▲ ．28． 下把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到的函数图象解析式为f (x )=▲ ．3sin 2x9． 函数在()sin f x x a =-，[,]3x ππ∈上有2个零点，则实数a 的取值范围 ▲ ． 10．已知函数()sin tan 1f x a x b x =++，满足()73f π=，则()3f π-= ▲ ．-511. 在ΔABC 中，有命题：①AB AC BC -=； ②0AB BC CA ++=；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ΔABC 为等腰三角形； ④若ΔABC 为直角三角形，则0AC AB ⋅=. 上述命题正确的是 ▲ （填序号）．②③12．已知函数tan 2xy =则函数的定义域是 ▲ ．{}44x x x π-≤≤≠±且13．已知2a =,2b =,a 与b 的夹角为45︒,且()b a a λ-⊥,则实数λ的值为 ▲ ．2 14．在ΔABC 中， 512B π∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且2AC + 22BC AD -=2BD DC AC CB ⋅-⋅，则A ∠等于 ▲ ．6π二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知向量=(cos ,1)a α－，(2,1sin )b α=+，且1a b ⋅=-.(1)求αtan 的值； (2)求2sin 3cos 4sin 9cos αααα--的值.解：(1)因为()1sin 1cos 2-=+-=⋅ααb a ， 即cos2sin =αα．显然，0cos ≠α，所以2tan =α．(2)2sin 3cos 4sin 9cos αααα--=2tan 322314tan 9429αα-⨯-==--⨯-；16．（本小题满分14分）已知(1,2)a =，(3,2)b =-, 当k 为何值时 (1)ka b +与3a b -垂直？(2)ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+；3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=- (1)()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +·(3)10(3)4(22)2380a b k k k -=--+=-=，19k = (1)()//ka b +(3)a b -，得4(3)10(22)k k --=+，13k =-此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反.17．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，0>ω，2πϕ<）的图像如图所示(1)求出函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 的图像向右移动3π个单位得到函数 ()y g x =的图像，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 解：（1） 6(2)42A --== 6(2)22b +-== 42()2233T πππ=--= 4T π= 12ω= 1()4sin()223f x x π=++（2） 1()4sin()226g x x π=++增区间 1222262k x k πππππ-+≤+≤+ k ∈Z 424433k x k ππ⇒-+π≤≤+πk ∈Z ； 增区间 42[4,4]33k k ππππ-++k ∈Z 126x k ππ+= k Z ∈； 23x k ππ=-+k ∈Z 对称中心(2,2)3k ππ-+k ∈Z18．（本小题满分16分）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且7||a b -=. (1)求()()sin cos 2sin cos 22ππαπβπαβ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)若1cos 7α=，且02πβα<<<，求β的值． 22211||,(cos cos )(sin sin )77122(cos cos sin sin ),713cos().14a b αβαβαβαβαβ-=-+-=-+=-=解：(1)由条件得即所以故(2)0,(0,)22113cos ,cos()714sin )sin sin[()]sin cos()cos sin()131147(0,),.23ππβααβααβααββααβααβααβππββ<<<∴-∈=-=∴=-==--=---=-∈∴=19．（本小题满分16分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD ，AB =50米，BC= 步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE 、EF 和OF ，考虑到整体规划， 要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°．(1)设∠BOE =α，试将OEF ∆的周长l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．解：(1)∵在Rt △BOE 中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=25cos α. 在Rt △AOF 中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=25sin α. 又∠EOF=90°，∴EF==25cos sin αα, ∴252525cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++， 即25(sin cos 1)cos sin l αααα++=．当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π6； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63.(2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求OEF ∆的周长l 的最小值即可.由（1）得，25(sin cos 1)cos sin l αααα++=，ππ[,]63α∈设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，∴225(sin cos 1)25(1)501cos sin 12t l t t αααα+++===--由，5ππ7π12412α≤+≤t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤≤-，当π4α=，即BE=25时，min 1)l =,所以当BE =AF =25米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)元. 20．（本小题满分16分）如图，已知扇形OAB 的周长2+23π，面积为3π，并且1OA OB +=.(1)求AOB ∠的大小；(2)如图所示，当点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若,OC xOA yOB =+其中x 、 y ∈R ，求xy 的最大值与最小值的和；(3)若点C 、D 在以O 为圆心的圆上，且OC DO =．问BC 与AD 的夹角θ取何值时，BC ⋅AD 的值最大？并求出这个最大值．解：（1）设扇形半径为r ，圆心角AOB α∠=由22223123r r r αππα⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得123r πα=⎧⎪⎨=⎪⎩或36r παπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又当3r π=、6απ=时，1OA OB +=不成立；当1r =、23πα=时，1OA OB +=成立， 所以23AOB π∠=（2）如图所示，建立直角坐标系，则A （1，0），B 1,22⎛-⎝⎭，C ()cos ,sin θθ． 由,OC xOA yOB =+得cos 2yx θ=-，sin y θ．即cos ,x y θθθ=+=．则21cos sin(2)363xy πθθθθ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又20,3θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()max xy +()min 100xy =+=．。