量子动力学物理状态和观测量随时间的变化

1

x x d x


两者都得到相同的结果 经典物理并无态矢的概念，但有平移、时间演化等。平移和时 间演化等作用于物理量如坐标，角动量等可观测量而使其改变。 因此，方法2）似乎与经典力学的联系更密切。
四、薛定谔绘景与海森堡绘景中的态矢和观测量

, t0 0; t S u t , t0 0 在薛定谔绘景中态矢随时间变化，
2. 对一般

ca a
a
C t c ，
a
* a
iE t a cae a a a
由于振荡项的作用，一般 C t 随时间而变小。 原则上，态消亡后仍有可能复活。
dE E ， E 为能量本征态的态密度， 对准连续谱， a'
二、时间演化算符的性质
, t0 ; t 1. (时间的)连续性 lim t t0
2. 幺正性（几率守恒） , t0 , t0 1 , t0 ; t , t0 ; t 1 即对 有
a a

lim u (t 0 , t ) 1
t t 0
u to , t u t o , t 1
这里 u t u t , t0 0 e

iHt
，算符不变 A S t A S t0 0。

it
2
c e
仍为
it
2

若 c 1, c 0 ，则
, t0 0; t
态。
八、自旋进动（续）

若 t0 0 时为sx
sx , to 0; t
2
c c 态，
则 t 时处于sx 态的几率为：
1 2
，
2
1 1 it 2 1 1 it 2 1 1 e | e | 2 2 2 2
a
即
Ca t 0 Ca t Ca t 0 e
iat
展开系数的模不变，但相位变化了。由于不同分量的相对相 位发生变化， , t0 0 与 , t0 ; t 可以是完全不同的。 i t 对 ,0 a ，则 ,0; t a e ，态保持为H与A的共同本征态。
i t exp i u t , t0 dt t t0 t t
i dt t t u t , t0 t0
t
3. 不同时的H不对易，如磁场方向随时间而变的自旋磁场作用 n 此时的解为 t t i t
a a a ； , t0 0 a a a ca a a a
e
iHt
a a e
a a
iHt
a a a e
a
i ' t
a
a
iat
；
, t0 0, t e
iHt
, t0 0 a a e
z

对 S 态， z E
e B |e| B Sz , 2me c m c e

i S z t 设 C | C | ， u t , 0 exp
, t0 0; t u t,0 c e
ca ' a '
a'
：
a
i t iat * B Ca a e B Cae a a
C
a a
* a
Ca
a | B | a e
i Ea Ea t
可见期望值一般是随时间变化的。 3. 对 a 也是B的本征态之特例（ B与H对易），则
u t0 dt , t0 1 idt
这里的 与坐标平移算子中的 相同，否则将推不出量子 力学的经典极限即牛顿运动定律
四、薛定谔方程
1. 时间演化算符的薛定谔方程 idt 由 u பைடு நூலகம்t dt , t0 u t dt , t u t , t0 1 u t , t0 ( (t-t0)不必为无穷小)
第二章：量子动力学
(物理状态和观测量随时间的变化) 2.1

时间演化和 Schrodinger 方程 时间在量子力学中是参量而非算符，不是可观测量。 相对性量子理论通过将位置作为参量而将时空对等处理

一、时间演化算符
时间演化 , t0 , t0；t
, to ; t u t, t0 , t0
B | Ca |2 a | B | a ' 不随时间变化
a
（与H对易的观测量是运动的常数）
八、自旋进动
e 考虑电子与磁场作用： s B e 0 me c eB 若 BBZ 。 ˆ ， S z ， , S 0
z
me c
t i , t0 ; t , t0 ; t t
五、时间演化算符的形式解
1. H与 t 无关，如稳恒磁场与磁矩的相互作用 此时容易解得
i
u t , t0 u t , t 0 t
u t , t0 e
it t0
2. H t ，但 t1 , t2 0 ，如方向恒定的交变磁场。则： i t u t , to exp dt t t0 容易验证该 u t , t0 满足 Schrodinger 方程：
2.2 薛定谔绘景与海森堡绘景
一、量子动力学的两种描述方法

薛定谔绘景：i）态矢随时间变化（通过作用于态矢的时 间演化算符描述），ii）观测量算符与时间无关。 海森堡绘景: i)态矢与时间无关, ii)观测量算符随时间变化 海森堡绘景和薛定谔绘景是等价的。

二、么正算符 量子力学中么正算符有多种功用： 1）一种表象的基矢与另一表象的基矢可由么正算符联系， 态矢本身不变，但其展开系数则因表象而变； 2）作用于态矢的空间平移和时间演化算符。在这种么正 算符作用下，态矢改变，但态矢的内积不变 ：

有 u t dt , t0 u t , t0 idt u t , t0
即
i
u t , t0 u t , t 0 t
2. 态矢时间演化的薛定谔方程 , t 对态矢 u t , t0 , t0 u t , t0 , t0 0 ，有 i 或 当然，若知 u t , t0 ，并知其对初态的作用，则无需解此方程 。
u t , t0 1 n 1

to
dt1 dt2
1
t0

n1
t0
dtn t1 t2
tn
在这一章中我们主要讨论第一种情形。
六、能量本征矢
知道时间演化算符随时间变化，还需知它如何作用于一态矢 才能求出态矢的时间变化。如果选用能量本征态矢为基，则 时间演化算符对态的作用可轻易求得。 有
0 0

即当时间大于特征时间
t
E
后，c t 将与1有较大差别。
t E
可见对非能量本征态，当演化时间超过
特征便消失了 （∆t寿命）。

时原态的
tE 常被称为时间---能量测不准关系。
要注意的是，这种测不准关系与不兼容算符的测不准关系 有本质的不同（时间是参量，不是算符。）




i p d x i p d x i x 1 x p d x ', x x dx' i p d x i p d x i 方法二： ，1 x 1 x p d x ', x x d x

ca g E |EEa ，有 C t dE E g E 2 eiE t ，
其中
dE E g E 1
2
。
九、关联振幅和能量一时间测不准关系（续）
3. 若初态近似为能量为 E0 的本征态，能量展宽为 E 。

则 C t eiE t dE E g E 2 ei E E t ，积分贡献主要来源 于 E E0 t 1 。
a
六、能量本征矢（续）
由上讨论可见量子力学的基本任务是找出与H对易的观测量 及其本征态。将初态由这个观测量的本征态展开，便可求出 态随时间的变化。 对有简并情形，我们需要找出一组完整的相互对易且与 H 对易的算符,并用它们的共同本征态为基。该基一般用组合 ' 指标 K ' 表征， K a, b, c, 这样,将任意态 以 K ' 展开将可求得其时间的演化了。
t2 t1 t0
三、时间演化算符的表达
与空间平移相似，考虑无穷小时间演化算符 u t0 dt , t0 ：
, t0 ; t0 dt u t0 dt, t0 , to
算符的连续性、幺正性和组合性可由 u t0 dt, t0 1 idt 且 为厄米算符来满足。 考虑到 的量纲与频率相同和经典力学中Hamiltonian是时 间演化的生成元，可合理地将 写为 ， 即
2 t cos for sx 2 sin 2 t for s x 2

可见在磁场作用下,原处于 sx 的自旋产生转动而处于 sx 的混和态，而且 sx 2 cos t 以角频率ω 振荡，且 等 于两态的能量差。类似可得 s y sin t , sz 0 ,即自旋