概率统计习题详解习题详解1-2章
天津理工大学概率论与数理统计第二章习题答案详解
第2章一维随机变量 习题2一. 填空题：1.设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 是 (){}x P x F ≤=ξ， 则 用 F (x) 表 示 概 {}0x P =ξ = __________。
解：()()000--x F x F 2.设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 为 ()()+∞<<∞-+=x arctgx x F π121 则 P{ 0<ξ<1} = ____14_____。
解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F 143.设 ξ 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，则 P{ ξ = 3 }= ___2783e - 或 3.375e -3____。
4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k C k P Kλξ，常 数 λ>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e -λ_____。
解：{}λλλλξ-∞=∞=∞==⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑e C Ce k C k Ck P KK KK K 11!1!105 设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭⎫⎝⎛==k A k P kξ则 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521ξP = 0.8 。
解：()A A k P k 161516181412141=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令15161A = 得 A =1615()()212521=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<ξξξp p P 8.041211516=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=6.若 定 义 分 布 函 数 (){}x P x F ≤=ξ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 17. 随机变量) ,a (N ~2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ，则随着σ的增大，g()σ之值 保 持 不 变 。
概率论与数理统计课后习题参考问题详解高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)说课讲解
中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1.设X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=111000)(2x x Ax x x F确定A 并求{}7.03.0≤<X P 。
解：由()F x 的右连续性得()11lim ()1x A F F x →+==={}()()220.30.70.70.30.70.30.4P X F F <≤=-=-=2. 检查下面数列，指出哪个是分布律，并说明理由,若是分布律,写出其分布函数. (1)5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； 解：由55()115x x xp x ====∑∑及 ()()00,1,,515xp x x =≥=L 知5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p 是分布律。
分布函数为0,11/15,123/1523()6/153410/154515x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩(2)3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 。
解：由253(3)06p -=<知 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 不是分布律。
3. 设离散型随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.04.03.0101,求：(1)X 的分布函数；解：010.310()0.70111x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩(2) }21{≤≤-X P 。
解：{12}P X -≤≤()()()21110.30.31F F P X =-+=-=-+=4.某射手的射击命中率为p ，现对一目标连续射击，直到第一次击中为止。
令X 表示到第一次击中为止所用的射击次数，试求X 的概率分布。
解：设i A ={第i 击中目标}，1,2,i =L()()11P X P A p === ()()()12111,1,2,k k k P X k P A A A A p p k --===-=L L5. 已知随机变量X 的密度函数为,01,()(2),12,0,kx x f x k x x <<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.试求:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）常数k ； 解：1211()d d (2)d f x x kx x k x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰22k kk =+= 即 1k =（2）X 的分布函数； 解： ()()dt x F x f t -∞=⎰()()010112100dt01dt 2dt 12dt 2dt 2xxx t x t t x t t x ≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨+-<≤⎪⎪⎪+->⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 22000122112212x x x x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪--<≤⎪⎪>⎩（3）13{}22P X <<。
概率论与数理统计习题集及问题详解
第1章 概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。
设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。
A B L R C D1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案§1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)424222p p p p p -=-+=2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布§2.2 10-分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X 有分布律： X 23 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。
§2.3 贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.6 均匀分布和指数分布2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。
概率论与数理统计(第四版)习题问题详解全
飞机必被击落．求飞机被击落的概率．
解：设 表示“甲命中〞； 表示“乙命中〞； 表示“丙命中〞；如此
设 表示“ 人击中飞机〞 ，如此
设 表示“飞机被击落〞，如此由题设有
故有
．
五、某机构有一个9人组成的顾问小组，假如每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在
〔２〕放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布．
解：〔1〕设 表示“取出的样本中的次品数〞，如此 服从超几何分布，即 的概率函数为
从而 的概率分布为
0
1
2
3
4
即
0
1
2
3
4
〔2〕设 表示“取出的样本中的次品数〞，如此 服从超几何分布，即 的概率函数为
从而 的概率分布为
0
1
2
3
4
5
6
即
0
1
2
3
4
解：设 表示“第 次击中〞 ，如此由题设，有 ，得 ，从
而有 ， 设 表示“三次之击中〞，如此 ，故有
〔另解〕设 表示“猎人三次均未击中〞，如此
故所求为
五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率．
表示“取出的3件产品中废品不少于2件〞，如此
(1)
(2)
(3)
六、设 ．求A,B,C至少有一事件发生的
概率．
解：因为 ，所以 ，从而 可推出
设 表示“A,B,C至少有一事件发生〞，如此 ，于是有
第三章
一、设 求 ．
解：因为 ，所以 ，即
(完整版)大学数学概率统计课后习题解答
大学数学概率与数理统计课后习题详解习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ΛΛ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A Y ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B Y ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A Y 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B I Y {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}；(7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A Y ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A Y .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A Y ;(2)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A I 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x Y ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或Y Y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件C B A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）；(2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解
第一章 随机变量 习题一1、写出以下随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和Ω={}1843,,, (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数Ω= {} ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进展检验，合格的记上“正品〞，不合格的记上“次品〞，如连续查出2个次品就停顿，或检查4个产品就停顿检查，记录检查的结果。
用“0”表示次品，用“1”表示正品。
Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,}(4)在单位圆任意取一点，记录它的坐标Ω=}|),{(122<+y x y x(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度(6 ) .10只产品中有3只次品，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出，写出抽取次数的根本空间U =“在 ( 6 ) 中，改写有放回抽取〞 写出抽取次数的根本空间U =解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。
}其中 ei 表示“抽取 i 次〞的事件。
i = 3、 4、…、 10( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }其中 ei 表示“抽取 i 次〞的事件。
i = 3、 4、…2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出以下各对事件的关系(1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件(3)20>x 与18<x 互不相容 (4)20>x 与22≤x 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件解: 互不相容:φ=AB ;对立事件:φ=AB )1(且Ω=⋃B A3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示以下各事件(1)A 发生，B 与C 不发生 - C B A (2)A 与B 都发生，而C 不发生 - C AB(3)A,B,C 中至少有一个发生-C B A ⋃⋃ (4)A,B,C 都发生 -ABC(5)A,B,C 都不发生-C B A (6)A,B,C 中不多于一个发生 -C B C A B A ⋃⋃(7)A,B,C 中不多于两个发生-C B A ⋃⋃(8)A,B,C 中至少有两个发生-BC AC AB ⋃⋃4、盒装有10个球，分别编有1- 10的，现从中任取一球，设事件A 表示“取到的球的为偶数〞，事件B 表示“取到的球的为奇数〞，事件C 表示“取到的球的小于5”，试说明以下运算分别表示什么事件.(1)B A 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的不小于5 (4)C A 1或2或3或4或6或8或10(5)AC 2或4 (6)C A 5或7或9 (7)C B 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或105、指出以下命题中哪些成立，哪些不成立. (1)B B A B A = 成立 (2)B A B A = 不成立 (3)C B A C B A = 不成立 (4)φ=))((B A AB 成立(5)假设B A ⊂，那么AB A = 成立(6)假设φ=AB ，且A C ⊂，那么φ=BC 成立(7)假设B A ⊂，那么A B ⊂ 成立 (8)假设A B ⊂，那么A B A = 成立7、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品〞),,,(4321=i ，用1A ,2A ,3A ,4A 的运算关系表达以下事件.(1)没有一个产品是次品； (1)43211A A A A B =(2)至少有一个产品是次品；(2)432143212A A A A A A A A B =⋃⋃⋃=(3)只有一个产品是次品；(3)43214321432143213A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃=(4)至少有三个产品不是次品 4)432143214321432143214A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃⋃=8. 设 E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简以下各式：(1)()()F E F E (2) ()()()F E F E F E 〔3〕()()G F F E 解 :(1) 原式()()()()E F F F E F E E E ==(2) 原式 ()()()()E F F E F F E F E F E ===(3) 原式()()()()()G E F G F F F G E F E ==9、设B A ,是两事件且7060.)(,.)(==B P A P ，问(1)在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)6.0)(,=⊂AB P B A (2)3.0)(,==⋃AB P S B A10. 设事件 A ， B ， C 分别表示开关 a ， b ， c 闭合， D 表示灯亮，那么可用事件A ，B ，C 表示：(1) D = A B C ；(2) D = ()C B A 。
概率论与数理统计习题3详解讲解
、第三章习题详解:1_2 勺一2-〉+2「x〉0 y〉0 3.1设二维随机向量(X』)的分布函数为：尸(兀刃二—八’0. 其他求p {l<x <2,3<y<5 }・解：因为F(2, 5)二 1 —2-2—2〃+ 2 ・，F(L5)二1-2--2-+2-6尸(2)3)二 1 ----- 2-3 + 2y , F(U)二 1 — 2八一27 +所以P(1<X<23<K<5) = F(2, 5)-尸(1,5)-尸(2, 3) + F(l,3)” 25 + 21帶唱3. 2盒中装有3个黑球,2个白球•现从中任取4个球，用X表示取到的黑球的个数，用Y表示取到的白球的个数，求住力的概率分布.解:因为X+K二4,所以(X,F)的可能取值为(2,2), (3, 1)c c 3p(x 二2』二1)二o, P(X 二2, y 二2)二二-二0. 6de 2P& 二3, y 二1)二二—二0.4, P(X二3, y 二2)二0故(Xf)的概率分布为3・3将一枚均匀的硕币抛掷3次，用X表示在3次中出现正面的次数，用丫表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(x,r)的概率分布.解：因为Y二|X—(3—X)冃2X—31,又X的可能取值为0丄2,3所以(X, 7)的可能取值为(0, 3), (1, 1), (2, 1), (3, 3)且p(x 二o, r 二3)二4)3 = , P(x 二i, r 二i)二C；(较(穿二 |2 o 2 2 oP(X =2, y 二1)二,P(X=3, r 二3)二(i)3二i卩（6_ —刃, lo,⑴确定常数a;⑵求 p{x<o. 5, y<1.5 } (3)求 P{(X, Y) e D},这里 D 是由 x = O f y = 0. x+y = 1 这三条直 线所围成的三角形区域.解：(1)因为匸匸 / (x, y 〃xdy 二[[d(6 - X - y)dxdy=a[[_刁(6_兀_刃‘ k/x = y£ [ (6~x)2- ^~x)2Vx =2G ( (5 - x)dx - 9a I (兀)刃访二1,得9a=L 故&二1/9・ J-x J-x⑵ P(X <0. 5, y <1. 5)二 f°『£ (6 — x — y)dxdy1 严 51 r " f 1 o 5 39 ,二詁0 [(6—小-㊁厂° g 二胡g (6~x)飞炖P {(X, y) GD}二 jj/U 刃必心=£dx1~A二討［3-小-弱 肚二包（11-12—讼諾3.4设二维随机向量（X,Y ）的概率密度函数为: 0<x<L0<y <2,其他y)dy3. 6向一个无限平面靶射击，设命中点（X,Y ）的概率密度函数为/ （兀刃二 ---- -- : -- ,_oovx, y v+oo,7r （i + £ +求命中点与靶心（坐标原点）的距离不超过G 的概率.解：叱+厂如广颂册严二2兀丄•芥宀］ =171 2 1+厂 o 「1771 + £3. 7设二维随机向量（X 』）的概率分布如下表所示，求X 和Y 的边缘概率分布.12e 〃<2r-v)3. 5设二维随机向量（X 』）的概率密度函数为：/ （X, V ）二＜ （0. Q 0, y > 0,其他(1) 求分布函数F (兀刃；(2) 求P{Y<X}解：(1)求分布函数尸么—丿；当x>0』>0.F(x, y) - j f(u f v)dudv =£ £ 2「匚小dudv =2J ； e ^udu e ^'dv =(l-e (1 -e其他情形，由于/（x 』）二0,显然有尸（兀刃二0。
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习题解答习 题1.11．试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果． 解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果．（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球．（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x 表示，则有(,)x m m εε∈-+，其中m 为小包白糖的重量，ε为称量结果的误差限．易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生．2．写出下列试验的样本空间．（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间 [0 ，t ] 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标．解（1）Ω={（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}；（2）Ω={0，1，2，3，……}；（3）Ω={（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)}.（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x ，y ）,则x ，y 应满足条件22 1.x y +≤故此试验的样本空间为{}22(,)| 1.x y x y Ω=+≤3．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同” ，B =“点数之和为10” ，C =“最小点数为4” ．试分别指出事件A 、B 、C 以及A B 、ABC 、A C - 、C A - 、B C 各自含有的样本点．解A ={(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6)} ;B ={(4,6) ，(5,5) ，(6,4)};C ={(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4)};{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}A B =;ABC =∅AC ={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6)};C A -={(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)};{(5,5)}.BC =4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件k A（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k ” ，试用k A 间的运算表示下列事件：（1） 呼唤次数大于2 ；（2） 呼唤次数在5到10次范围内；（3） 呼唤次数与8的偏差大于2 ．解 (1) 3A ；(2) 115A A -；(3) 611A A .5．试用事件A 、B 、C 及其运算关系式表示下列事件：（1）A 发生而B 不发生；（2）A 不发生但B 、C 至少有一个发生；（3）A 、B 、C 中只有一个发生；（4） A 、B 、C 中至多有一个发生；（5）A 、B 、C 中至少有两个发生；（6）A 、B 、C 不同时发生．解 (1)AB ；(2)()A B C ；(3) ABC ABC A BC ； (4) AB A C BC ；(5)AB BC AC ； (6) ABC6．在某大学金融学院的学生中任选一名学生．若事件A 表示被选学生是女生，事件B 表示该生是大学二年级学生，事件C 表示该生是运动员． （１）叙述ABC 的意义．（2）在什么条件下ABC C =成立？（3）在什么条件下A B ⊂成立？解（1）该生是二年级女生，但非运动员．（2）全学院运动员都是二年级女生．（3）全系男生都在二年级7．化简下列各事件：（1） ()A B A -；（2）()A B B -；（3）()A B A - ；（4）()A B B -（5）()()()A B A B A A ．.解．(1) ()A B A A -=；(2) ()A B B A B -= ；(3) ()A B A A B -=- ；(4) ()A B B -=Φ；(5) ()()()()A B A B A B A A B AB ==.习题1.21．已知事件A 、B 、A B 的概率分别为0.4，0.3，0.6．求()P AB 解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-及题设条件得()0.40.30.60.1P AB =+-=又 ()()()()0.40.10.3P AB P A B P A P AB =-=-=-=2．设1()()()4P A P B PC ===，()0P AB =，1()()16P AC P BC ==，求（1）A 、B 、C 中至少有一个发生的概率；（2）A 、B 、C 都不发生的概率。
解（1）由已知()0P AB =，且有ABC AB ⊂，所以由概率的单调性知()0P ABC =再由概率的加法公式，得A 、B 、C 中至少有一个发生的概率为()()()()() ()()()32 =0.625416P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+-= （2）因为“A 、B 、C 都不发生”的对立事件为“A 、B 、C 中至少有一个发生”，所以得P （A 、B 、C 都不发生）=1-0.625=0.375。
3．设()P A p = ，()P B q = ，()P A B r = ，求()P AB ) ， ()P AB ， ()P AB ) ．解 . 由()()()()P A B P A P B P AB =+-得()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-=+-则()()()()P AB P A P AB p p q r r q =-=-+-=-()()()()P AB P B P AB q p q r r p =-=-+-=-()()()11P AB P A B P A B r ==-=-4．设A 、B 、C 是三个随机事件，且有C A B A ⊃⊃， ，()0.9P A = ， ()P B C = 0.8 ，求()P A BC -．解 因()()()1P B C P BC P BC ==- 则()()110.80.2P BC P B C =-=-=又由,A B A C ⊃⊃知A BC ⊃，于是()()()0.90.20.7P A BC P A P BC -=-=-=5．某城市共有A 、B 、C 三种报纸发行. 已知该市某一年龄段的市民中，有45%的人喜欢阅读A 报，34%的人喜欢阅读B 报，20%的人喜欢阅读C 报，10%的人同时喜欢阅读A 报和B 报，6%的同时人喜欢阅读报A 和C 报，4%的人同时喜欢阅读C 报和B 报，1%的人A 、B 、C 三种报纸都喜欢读. 从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）不喜欢读任何一种报纸；（3）只喜欢读A 报；（4）只喜欢读一种报纸.解 设A 、B 、C 分别表示从该市这一年龄段的市民中任选一人喜欢读A 报 、B 报、C 报由题设知()0.45,()0.34,(P A P B P C ===()0.10,()0.04,()0.06()0.010P AB P BC P AC P ABC ==== （1）该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜欢读一种报纸的概率()()()()() ()()()=0.45+0.34+0.20.10.060.040.010.8P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+---+=（2）该市这一年龄段的市民中任选一人不喜欢读任何一种报纸的概率()()1()=10.8=0.2P ABC P A B C P A B C ==-- (3) 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读A 报的概率()()()()()[()()] =0.450.10.060.01=0.3P ABC P AB P ABC P A P AB P AC P ABC =-=-----+(4) 同理可以求得：该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读B 报的概率()()()()()[()()] =0.340.10.040.01=0.21P ABC P AB P ABC P B P AB P BC P ABC =-=-----+该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读C 报的概率()()()()()[()()] =0.200.060.040.01=0.11P ABC P AC P ABC P C P AC P BC P ABC =-=-----+故该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读一种报纸的概率()()()() =0.3+0.210.11=0.62P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC =+++ 6．设()0P AB =，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容；（2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件（5）()0P A =或()0P B =；（6）()()P A B P A -=。
解 因为概率为零的事件不一定是不可能事件，所以（4）正确；又因为()()()()P A B P A P AB P A -=-=，所以（6）正确.习题1.31．将10本书任意放到书架上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率．解 设A =“3本外文书排在一起”。
10本书总的排法有10！种；3本书排成一列共有3！种，将这3本书排列后作为一个元素与另外7本书在一起有8！种排法，所以，事件A 含有的样本点数为3!8!，故()3!8!10.0667.10!15P A === 2．假设十把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率．解 设A =“能打开门”。
样本空间的样本点总数是21045C =，事件A 含有的样本点数为211337C C C +，则21133721032124()0.533.4545C C C P A C ++===≈ 3．某人欲给朋友打电话，但只记得朋友的电话由五个不同数字组成，其首位是5 ，末位是3 ，中间号不是0 ，只好试拨．求其试拨一次即拨对的概率．解 设A =“试拨一次即拨对”。
由题意，样本空间的样本点总数为37A 个，而正确的号码只有一个。
因此3711()0.0048.765P A A ==≈⨯⨯ 4．从装有5只红球4只黄球3只白球的袋中任意取出3只球，求下列事件的概率：（1）取到同色球；（2）取到的球的颜色各不相同．解（1）设A =“取到3只同色球”。