高中数学专题――概率统计专题.
高中数学统计与概率
高中数学统计与概率1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值;频率是概率的近似值。
2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是1/n,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为P(A)=m/n。
3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。
如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(A、B中有一个发生)的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B)。
4.抽签法和随机数表法(1)抽签法①优点:简单易行;②缺点:当总体容量非常大时,操作比较麻烦;若抽取前搅拌不均匀,可能导致抽取的样本不具有代表性.(2)随机数表法随机数表是由水技术(通常为自然数)形成的数表,表中的每一位置出现的数都是随机的.随机数表法的一般步骤:第一步:对总体进行编号;第二步:任意指定一个开始选取的位置,位置的确定可以闭着眼用手指随机确定,也可以用其他方法;第三步:按照一定规则选取编号;第四步:按照得到的编号找出对应的个体.【注释】①规则一经确定,就不能更改;②选取过程中,遇到超过编号范围或已经选取了的数字,应该舍弃.5.分层抽样一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分为有明显差别的,互不重叠的几部分时,每一部分可称为层,在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称分层抽样).【注释】分层抽样得到的样本,一般更具有代表性,可以更准确地反映总体的特征,尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此.分层抽样在各层中抽样时,还可根据各层的特点灵活选用不同的随机抽样方法.。
高中数学-概率与统计专题
概率与统计专题一:二项分布一、必备秘籍一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (01p <<),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为()(1)k k n k n P X k C p p -==-(0,1,2,k n =)如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量X 服从二项分布(binomial distribution ),记作(,)X B n p 。
二、例题讲解1.(2021·全国高三其他模拟)羽毛球是一项隔着球网,使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目.羽毛球比赛的计分规则:采用21分制,即双方分数先达21分者胜,3局2胜.每回合中,取胜的一方加1分.每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜,否则继续比赛;若双方打成29平后,一方领先1分,即算该局取胜.某次羽毛球比赛中,甲选手在每回合中得分的概率为34,乙选手在每回合中得分的概率为14.(1)在一局比赛中,若甲、乙两名选手的得分均为18,求在经过4回合比赛甲获胜的概率;(2)在一局比赛中,记前4回合比赛甲选手得分为X,求X的分布列及数学期望()E X.2.(2021·青铜峡市高级中学高三开学考试(理))设甲、乙两位同学上学期间,.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任每天7:30之前到校的概率均为23一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的每周五天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)记“上学期间的某周的五天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多3天”为事件M,求事件M发生的概率. 3.(2020·全国高三专题练习(理))一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是1.3(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列、期望、方差;(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.实战练习1.(2021·湖北武汉·)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能打破世,那么在本次运动会上:界纪录的概率都是23(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率;(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X ,求X 的分布列及期望.2.(2021·渝中·重庆巴蜀中学高三开学考试)某医院为筛查某病毒,需要检验血液是不是阳性,现有)(n n N *∈份血液样本,为了优化检验方法,现在做了以下两种检验方式:实验一:逐份检验,则需要检验n 次.实验二:混合检验,将其中m (n *∈N 且2m ≥)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这m 份血液样本全为阴性,因而这m 份血液样本只要检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这m 份血液样本究竟哪几份为阳性,就要对这m 份血液样本再逐份检验,此时这m 份血液样本的检验次数总共为1m +.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为)(01p p <<.现取其中k (k *∈N 且2k ≥)份血液样本,记釆用逐份检验方式,需要检验的这k 份样本的总次数为1ξ,釆用混合检验方式,需要检验的这k 份样本的总次数为2ξ.(1)若每份样本检验结果是阳性的概率为15P =,以该样本的阳性概率估计全市的血液阳性概率,从全市人民中随机抽取3名市民,(血液不混合)记抽取到的这3名市民血液成阳性的市民个数为X ,求X 的分布列及数学期望(2)若每份样本检验结果是阳性的概率为1p =总次数2ξ的期望值比逐份检验的总次数1ξ的期望值更少,求k 的最大值.(ln 4 1.386≈,ln5 1.609≈,ln 6 1.792≈)3.(2021·全国高三其他模拟(理))新冠疫情这特殊的时期,规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口罩,现将A 地区居民20000人一周的口罩使用量统计如表所示,其中1个人一周的口罩使用为6个以及6个上的有14000人.(1)求m 、n 的值;(2)用样本估计总体,将频率视为概率,若从A 地区的所有居民中随机抽取4人,记一周使用口罩数量(单位:个)在范围[)6,8的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.4.(2021·新沂市第一中学高三其他模拟)市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查,数据如下表:将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60]内的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关;(2)从上述课外体育不达标的学生中,按性别用分层抽样的方法抽取10名学生,再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因,记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况,现在从该市所有高中学生中抽取4名学生,求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率. 5.(2021·陕西汉中·高三月考(理))树木根部半径与树木的高度呈正相关,即树木根部越粗,树木的高度也就越高.某块山地上种植了A树木,某农科所为了研究A树木的根部半径与树木的高度之间的关系,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A树木,调查得到A树木根部半径x(单位:米)与A树木高度y(单位:米)的相关数据如表所示:(1)求y关于x的线性回归方程;(2)对(1)中得到的回归方程进行残差分析,若某A树木的残差为零,则认为该树木“长势标准”,以此频率来估计概率,则在此片树木中随机抽取80棵,记这80棵树木中“长势标准”的树木数量为X,求随机变量X的数学期望与方差.参考公式:回归直线方程为y bx a=+,其中()()()1122211,n ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y yb a y bxx nx x x====---===---∑∑∑∑6.(2021·四川成都·双流中学高三三模(理))从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图.(1)求a 的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高(假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替);(2)从该市的中学生中随机抽取一名男生,根据直方图中的信息,估计其身高在180cm 以上的概率.若从全市中学的男生(人数众多)中随机抽取3人,用X 表示身高在180cm 以上的男生人数,求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .7.(2021·安徽安庆一中高三三模(理))安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习,晚饭在校食堂就餐人数增多,为了缓解就餐压力,学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅,分别记做餐厅甲和餐厅乙,经过一周左右统计调研分析:前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%、选择餐厅乙就餐的概率为75%,前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%、选择餐厅甲就餐的概率也为50%,如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是23,择餐厅乙就餐的概率是13,记某同学第n 天选择甲餐厅就餐的概率为n P . (1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X ,求X 的分布列,并求E (X );(2)请写出1n P +与(*)n P n N ∈的递推关系;(3)求数列{}n P 的通项公式并帮助学校解决以下问题:为提高学生服务意识和团队合作精神,学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作,根据上述数据,如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数?请说明理由.8.(2021·湖北恩施·高三其他模拟)目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度,从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况,得到统计表如下:(1)现要在这10户家庭中任意抽取3户,求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;(2)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况,现从全市居民中抽取10户,其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()P k ,求使()P k 取到最大值时,k 的值.概率与统计专题二: 超几何分布一般地,假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件(不放回),用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,则X 的分布列为2,r其中n ,N ,M N *∈,M N ≤,n N ≤,max{0,}m n N M =-+,min{,}r n M =,则称随机变量X 服从超几何分布.1.公式 C C ()C kn k M N M n NP X k --== 中个字母的含义N —总体中的个体总数M —总体中的特殊个体总数(如次品总数)n —样本容量k —样本中的特殊个体数(如次品数)注意:(1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”,“正品、次品”;(2) 不放回抽样;(3) 注意分布列的表达式中,各个字母的含义及随机变量的取值范围。
高中数学概率统计专题练习题及答案
高中数学概率统计专题练习题及答案一、选择题1. 掷一枚骰子,结果为奇数的概率是多少?A. 1/2B. 1/6C. 2/3D. 1/32. 从1至20这20个数字中随机选出一个数,选出的数是素数的概率是多少?A. 1/5B. 1/4C. 1/2D. 2/53. 一只盒子中有5张红牌和3张蓝牌,从中随机抽取2张牌,同时放回,再随机抽取2张牌,求两次抽取都是红牌的概率是多少?A. 1/16B. 3/8C. 1/4D. 1/8二、计算题1. 一次考试中,甲乙丙三位同学都有70%的概率通过考试。
求三位同学中至少有一位通过考试的概率。
答案:1 - (1 - 0.7)^3 = 0.9732. 从1至100这100个数字中随机选出一个数,选出的数是2的倍数且小于等于50的概率是多少?答案:50/100 = 0.53. 有A、B两个车站,A车站开往B车站的列车间隔是15分钟,B车站开往A车站的列车间隔是10分钟。
现在一个人随机到达A车站,请问他至少要等待几分钟才能搭乘到开往B车站的列车?答案:最小公倍数(15, 10) = 30分钟三、应用题1. 每个学生参加一次足球比赛的概率是0.4,问一个班级20个同学中至少有10个学生参加比赛的概率是多少?答案:利用二项分布公式,计算P(X≥10),其中n=20,p=0.4,k≥10。
答案约为0.599。
2. 一批产品有10%的次品率,现从中随机抽取20个产品,求其中恰好有3个次品的概率。
答案:利用二项分布公式,计算P(X=3),其中n=20,p=0.1,k=3。
答案约为0.201。
3. 一支篮球队最近10场比赛中获胜的概率是0.8,在下一场比赛中,求该队至少获胜8次的概率。
答案:利用二项分布公式,计算P(X≥8),其中n=10,p=0.8,k≥8。
答案约为0.967。
以上为高中数学概率统计专题练习题及答案。
希望对您的学习有所帮助!。
高中数学概率统计难题集
高中数学概率统计难题集
1. 排列组合
1. 某班有10个男生和8个女生,从中选择5位同学参加一次数学竞赛,其中必须至少有2名男生和3名女生参赛。
求参赛人员的组合数。
2. 概率计算
2. 在一副有52张牌的扑克牌中,从中随机抽出5张牌,求抽到四张皇后的概率。
3. 离散型随机变量
3. 一批零件的质量服从正态分布,均值为80,标准差为5。
从中随机抽取一个零件,求质量小于75的概率。
4. 连续型随机变量
4. 一家餐厅餐桌到达的时间符合指数分布,平均每10分钟有一桌。
求在20分钟内没有餐桌到达的概率。
5. 相关性分析
5. 一对骰子同时抛掷,求两个骰子的和为7的概率。
这些难题涵盖了高中数学概率统计的不同概念和技巧,希望能
够提供给学生们一些有趣而具有挑战性的练题。
尝试解答这些问题,不断提升自己的数学思维能力和解题技巧。
> 注意:以上问题解析仅供参考,具体解答可能与题目提供的
信息有关。
在实际解题过程中,请根据题目给出的条件和公式进行
思考和推导,以获得正确的答案。
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高中数学概率统计在生活中的应用
概念
概率统计是数学的一个分支,主要研究随机现象的规律性。概率指的是在一 定条件下,一个随机事件发生的可能性。统计则是对数据进行收集、整理和分析 的方法,用于揭示数据的内在规律。随机变量是描述随机事件的变量,其取值有 一定的概率分布。
应用场景
1、抽奖:抽奖活动的中奖概率可以通过计算每个奖项对应的比例来得出。 例如,在一个有100个奖品的抽奖活动中,如果每个奖品的中奖概率为1/100,那 么参与者获得奖品的机会就很小。
随机变量是概率统计的一个重要概念。它用来描述随机现象的数量表现。随 机变量的取值可以是离散的,也可以是连续的。离散型随机变量和连续型随机变 量分别具有不同的性质和分布。离散型随机变量的分布通常用概率质量函数来描 述,而连续型随机变量的分布则用概率密度函数来描述。
统计初步是概率统计的一个重要应用领域。它主要涉及数据的收集、整理和 分析。在现实生活中,我们经常需要对数据进行统计分析,以便更好地了解现象 的本质和规律。统计初步主要包括描述性统计和推断性统计。描述性统计主要是 对数据进行整理、概括和表现,而推断性统计则是通过样本信息来推断总体信息。
概率是概率统计的基础。它研究随机事件发生的可能性。在现实生活中,我 们经常会遇到一些随机事件,比如抛硬币、掷骰子等。这些事件的发生都是随机 的,即它们的发生与否无法确定。概率就是用来描述这种随机性的。在高中数学 中,概率的计算主要包括古典概型和几何概型。古典概型是指只涉及有限个基本 事件的概率模型,而几何概型则涉及无限可分的基本事件。
总之,概率统计是数学与实际生活的桥梁,它既体现了数学的应用价值,又 为各个行业提供了重要的方法和工具。随着科技的不断发展和进步,概率统计的 应用前景将更加广阔。因此,我们应该重视概率统计的学习和应用,为未来的发 展打下坚实的基础。
人教版高中数学高三复习《概率与统计专题》
2 x 27,s 35.
s表示10株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度 离散程度的量. s越小,表示长得越整齐, s越大,表示长得越参差不齐.
17
考点3 线性相关分析
例3 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品 种发芽量之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12 月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种 子中的发芽数,得到如下资料:
作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计算得到 一些数据:
26
10
x 24.5,y 171.5, (xi x)( yi y) 557.5, i 1 10
(xi x )2 82.5.
i 1
刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每 个脚印长是26.5 cm,请你估计案发嫌疑人的身高
专题 概率与 统计
考点1 三种抽样方法与概率分布直方图
例1 1有一个容量为200的样本,其频率分
布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,
样本数据落在区间10,12内的频数为( )
A.18
B.36
C.54
D.72
2
2 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有
150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分 层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调 查,应在丙专业抽取的学生人数为 ________.
600
7
解析 :成绩小于60分的频率为0.002 0.006 0.01210
0.2,所以30000.2 600.
8
考点2 茎叶图与特征数
例2某赛季,甲、乙两名篮球运动员都 参加了7场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图所示 的茎叶图表示:
1 求甲、乙两名运动员得分的中位数; 2 你认为哪位运动员的成绩更稳定? 3 如果从甲、乙两位运动员的7场得
高中数学:概率统计专题
高三文科数学:概率与统计专题一、选择题:1.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量单位:kg分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数2.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A.13B.12C.23D.343、在一组样本数据x1,y1,x2,y2,…,x n,y n n≥2,x1,x2,…,x n不全相等的散点图中,若所有样本点x i,y i i=1,2,…,n都在直线y=错误!x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为A-1 B0 C错误! D14.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为A103 B15C110D1205.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,学科&网则此点取自黑色部分的概率是A.14B.π8C.12D.π46.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是二、填空题:7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是_______;8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____.9.某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,制作了对照表: 由表中数据得回归直线方程错误!=错误!x +错误!中的错误!=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量约为________度. 三、解答题10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售;如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理;Ⅰ若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y 单位:元关于当天需求量n 单位:枝,n ∈N 的函数解析式;Ⅱ花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位:枝,整理得下表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数102016161513101假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润单位:元的平均数;气温℃ 18 13 10 -1 用电量度243438642若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率;11. 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:质量指标值75,85 85,95 95,105 105,115 115,125 分组频数 6 26 38 22 8 I在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:II估计这种产品质量指标值的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;III根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定12. 某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y单位:千元的数据如下表:年份2009201020112012201320142015年份代号t1234567人均纯收入y1求y关于t的线性回归方程;2利用1中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:错误!=错误!,错误!=错误!-错误!错误!.13.某省会城市地铁将于2017年6月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进行了一次调查,随机抽查了50人,他们的收入与态度如下:1若以区间的中点值为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少结果保留2位小数;2由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.附:K2=错误!14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸单位:cm .下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s==≈,18.439≈,161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅.1求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小若||0.25r <,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.2一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.ⅰ从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查ⅱ在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.精确到附:样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑,0.09≈.。
高考数学概率统计
高考数学概率统计一、高考中概率统计的地位在高考数学试卷中,概率统计试题一般有1-2题,分值在10-15%左右,题型多为填空题、选择题和解答题,是考查的重点和热点.概率统计试题侧重考查考生运用概率统计知识分析和解决实际问题的能力,试题背景材料新颖,问题设计富有创意.二、高考中概率统计的考点1、随机事件的概率及等可能事件的概率;2、随机变量的分布列及期望与方差;3、古典概型和几何概型;4、统计初步知识,主要包括总体、样本、统计量、抽样方法;5、概率统计知识的综合应用.三、高考中概率统计试题的特点1、试题考查基础,不回避陈题,重点考查概率统计的基本概念和基本方法;2、试题突出能力,注重考查考生运用所学知识分析问题、解决问题的能力;3、试题设计精心,体现知识间的交汇,如函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等在概率统计中的应用;4、试题背景真实,体现公平性原则,突出概率统计知识的应用价值.四、高考中概率统计试题的备考策略1、把握复习重点,吃透考纲精神;2、重视双基训练,强化通性通法;3、培养思维能力,提高应变能力;4、交汇问题,提高综合能力;5、注意实际应用问题,体现数学学科价值.高考数学概率与统计专题复习一、考情分析在历年的高考中,概率与统计都是数学科目的重要组成部分,主要考查学生对随机现象的理解和掌握,以及运用概率与统计知识解决实际问题的能力。
这部分内容在高考中分值占比较大,一般为15%左右。
二、知识要点梳理1、随机事件的概率:理解随机事件的概念,掌握概率的定义及计算方法,包括古典概型和几何概型。
2、随机变量及其分布:理解随机变量的概念,掌握随机变量的分布函数和概率分布密度函数的定义及计算方法。
3、统计初步:理解统计的基本概念,包括样本、总体、变量、频率、分布等,掌握统计推断的基本方法,如假设检验、回归分析等。
4、概率与统计的应用:理解概率与统计在解决实际问题中的应用,如风险评估、预测模型等。
高中数学统计知识点高中数学概率与统计
高中数学统计知识点高中数学概率与统计
高中数学统计知识点包括以下内容:
1. 数据的收集和整理:包括原始数据的收集和整理,如问卷调查、实验结果等。
2. 描述统计:用于对数据进行总结和描述的方法,包括平均数、中位数、众数、极差、标准差等。
3. 概率:研究随机事件发生的可能性的数学分支,包括基本概念、概率的计算方法和
性质。
4. 概率分布:描述随机变量取值与相应概率的分布,包括离散型随机变量和连续型随
机变量的分布。
5. 统计推断:从样本数据中推断总体的特征的方法,包括点估计和区间估计。
6. 假设检验:用于推断总体参数的假设检验方法,包括单样本检验、双样本检验和相
关性检验等。
7. 相关分析:研究两个或多个变量之间关系的方法,包括相关系数和回归分析等。
8. 抽样调查:从总体中随机选择样本进行调查和统计分析的方法,包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
以上是高中数学概率与统计的主要知识点,通过掌握这些知识,可以进行数据的整理
和分析,并进行相关的统计推断和假设检验。
高中数学概率和统计知识点
高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=)()(I card A card =n m; 等可能事件概率的计算步骤:计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()mP A n =求值;答,即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率:P(A +B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A )=P(A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A ·B)=P(A)·P(B); 特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=kn k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:求概率的步骤是:第一步,确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,运用公式()()()()()()()()(1)kk n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.例1.在五个数字12345,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示).[解答过程]0.3提示:1335C 33.54C 102P ===⨯例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 .[解答过程]1.20提示:51.10020P == 例3.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为__________.(精确到0.01)[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.故填0.94.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)0≥i P ,=i 1,2,…;(2)++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数ξ是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n ,并且kn k k n k q p C k P P -===)(ξ,其中n k ≤≤0,p q -=1,随机变量ξ的分布列如下:称这样随机变量ξ服从二项分布,记作),(~p n B ξ,其中n 、p 为参数,并记:),;(p n k b q p C kn k k n =- .(2) 几何分布在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为:例1.厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[解答过程](Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算,有()()4110.20.9984P A P A =-=-=(Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2.()2172201360190C P C ξ===, ()11317220511190C C P C ξ===,()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=.记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B ,则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=.所以商家拒收这批产品的概率为2795.例12.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响.(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望. (注:本小题结果可用分数表示)[解答过程]解法一:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =,,,则14()5P A =,23()5P A =,32()5P A =,∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=.(Ⅱ)ξ的可能值为123,,,11(1)()5P P A ξ===,1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=, 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=.ξ∴的分布列为11235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=.解法二:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =,,,则14()5P A =,23()5P A =,32()5P A =.∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=. (Ⅱ)同解法一.离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望:++=2211p x p x E ξ…;期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差:+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.⑶基本性质:b aE b a E +=+ξξ)(;ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ~B(n ,p),则 np E =ξ ; D ξ =npq (这里q=1-p ) ;如果随机变量ξ服从几何分布,),()(p k g k P ==ξ,则p E 1=ξ,D ξ =2p q 其中q=1-p.例1.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η的分布列如下:则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ,891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ;工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ,664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD由E ε=E η知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D ε>D η,可见乙的技术比较稳定.小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 例2.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A :“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率()P A ;(Ⅱ)求η的分布列及期望E η.[解答过程](Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=, ()1()10.2160.784P A P A =-=-=.(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元.(200)(1)0.4P P ηξ====,(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=.η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=(元).抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1.简单随机抽样:设一个总体的个数为N ,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样).3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线. 典型例题例1.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程:A 种型号的总体是210,则样本容量n=1016802⨯=.例2.一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m ,那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同,若6m =,则在第7组中抽取的号码是 .解答过程:第K 组的号码为(1)10k - ,(1)101k -+,…,(1)109k -+,当m=6时,第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字,所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ,所以抽取号码为63.正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质(1)正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 222)(21)(σμπσ--=x ex f ,x R ∈ 其中σ、μ为常数,并且σ>0,则称ξ服从正态分布,记为~N ξ(μ,2σ).(2)期望E ξ =μ,方差2σξ=D .(3)正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方,并且关于直线x =μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定;曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”;反之越“高瘦”.三σ原则即为数值分布在(μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6526 数值分布在(μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544 数值分布在(μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974 (4)标准正态分布当μ=0,σ=1时ξ服从标准的正态分布,记作~N ξ(0,1) (5)两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.(6)2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.若2~(,)N ξμσ,则~(0,1)N ξμησ-=;②若2~(,)N ξμσ,则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.2.线性回归简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对n 个样本数据(11,x y ),(22,x y ),…,(,n n x y ),其回归直线方程,或经验公式为:a bx y+=ˆ.其中,,)(1221x b y a x n xyx n yx b ni ini ii⋅-=--=∑∑==,其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数.例1.如果随机变量ξ~N (μ,σ2),且E ξ=3,D ξ=1,则P (-1<ξ≤1=等于( ) A.2Φ(1)-1 B.Φ(4)-Φ(2) C.Φ(2)-Φ(4) D.Φ(-4)-Φ(-2)解答过程:对正态分布,μ=E ξ=3,σ2=D ξ=1,故P (-1<ξ≤1)=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2). 答案:B例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d ℃,液体的温度ξ(单位:℃)是一个随机变量,且ξ~N (d ,0.52). (1)若d=90°,则ξ<89的概率为 ; (2)若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99,则d 至少是 ?(其中若η~N (0,1),则Φ(2)=P (η<2)=0.9772,Φ(-2.327)=P (η<-2.327)=0.01).解答过程:(1)P (ξ<89)=F (89)=Φ(5.09089-)=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228.(2)由已知d 满足0.99≤P (ξ≥80),即1-P (ξ<80)≥1-0.01,∴P (ξ<80)≤0.01.∴Φ(5.080d-)≤0.01=Φ(-2.327).∴5.080d -≤-2.327.∴d ≤81.1635.故d 至少为81.1635.小结:(1)若ξ~N (0,1),则η=σμξ-~N (0,1).(2)标准正态分布的密度函数f (x )是偶函数,x<0时,f (x )为增函数,x>0时,f (x )为减函数.。
高中数学必修3概率统计知识点归纳
高中数学必修3概率统计知识点归纳概率统计是高中数学必修3中的一门重要课程,它研究的是随机事件的发生规律和变化趋势。
概率统计知识点在高中数学习中占据着重要的位置,对于培养学生的逻辑思维、数学建模和解决实际问题的能力具有重要意义。
下面将对高中数学必修3概率统计知识点进行全面归纳。
1.基础概念概率统计的基础概念包括样本空间、随机事件、事件的概率等。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合,用S表示;随机事件是样本空间的子集,用A、B、C等表示;事件的概率是指一个随机事件发生的可能性大小,用P(A)表示。
2.排列组合排列组合是概率统计中常用的工具,主要用于计算事件的可能性。
在排列中,元素的顺序是重要的,而在组合中,元素的顺序是不重要的。
排列可以表示为n!,组合可以表示为C(n,m)。
3.基本概率公式基本概率公式是指计算事件的概率的公式。
对于一个随机事件A,它的概率可以用公式P(A) = n(A) / n(S)来表示,其中n(A)表示事件A 的样本点数量,n(S)表示样本空间的样本点数量。
4.互斥事件与对立事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件,它们的概率相加等于两个事件发生的总概率。
对立事件是指两个事件互为对方的补集,它们的概率之和等于1。
5.条件概率条件概率是指在已知某个条件下,事件发生的概率。
条件概率可以用公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来表示,其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率;P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率;P(B)表示事件B发生的概率。
6.全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是处理复杂事件概率的重要方法。
全概率公式可以用于计算一个事件在不同条件下发生的概率,贝叶斯公式可以用于根据已知条件计算相应的概率。
7.随机变量与概率分布随机变量是指与随机事件相对应的数值,概率分布是指随机变量各取值的概率情况。
常见的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。
高中数学中的概率与统计详细介绍
高中数学中的概率与统计详细介绍数学是一门理论和实践相结合的学科,其中概率论和统计学作为数学的两个重要分支,对于我们理解和应用数据的规律和趋势起着至关重要的作用。
高中数学中,概率与统计成为数学课程中的一大亮点,通过深入学习与实践,可以帮助我们更好地理解和运用概率和统计的原理。
一、概率论概念及基本性质概率论是描述随机事件发生规律的数学分支。
在高中数学中,我们首先需要了解概率的基本概念和性质。
概率的基本概念主要包括样本空间、随机事件和概率。
样本空间是指一个随机试验的所有可能结果组成的集合,随机事件是指样本空间中的某些结果的集合,概率是指随机事件发生的可能性大小。
概率的基本性质主要包括非负性、规范性和可列可加性。
非负性要求概率值始终大于等于0,规范性要求样本空间的概率为1,可列可加性要求对于任意两个互不相容的随机事件A和B来说,它们的并事件的概率等于它们的概率之和。
二、条件概率与事件独立性在高中数学中,我们还需要掌握条件概率和事件独立性的概念和性质。
条件概率是指在某一条件下,事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(AB)/P(B),其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率;P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率;P(B)表示事件B发生的概率。
事件独立性是指两个事件相互独立,即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
事件独立性的判定条件是P(A|B) = P(A),即在事件B发生与否的条件下,事件A发生的概率与事件B发生与否时A发生的概率相等。
三、离散型随机变量及其概率分布在概率论的学习中,我们经常遇到离散型随机变量及其概率分布的问题。
离散型随机变量是指可以取有限个或可列无限个值的随机变量。
离散型随机变量的概率分布可以通过概率质量函数(Probability Mass Function,PMF)来描述。
概率质量函数是指离散型随机变量取到每一个可能值的概率。
概率质量函数具有非负性和规范性的特点,且所有可能值的概率之和等于1。
高中数学中的概率与统计
高中数学中的概率与统计概率与统计是高中数学中的一门重要课程,它不仅在数学领域中有着广泛的应用,而且在我们日常生活中也扮演着重要的角色。
概率与统计的学习可以帮助我们更好地理解和应用数学知识,同时也能培养我们的逻辑思维和分析问题的能力。
一、概率的基本概念和应用概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在高中数学中,我们学习了概率的基本概念和计算方法,如样本空间、事件、概率的定义和性质等。
通过概率的学习,我们可以计算事件发生的可能性,从而帮助我们做出正确的决策。
概率的应用非常广泛,例如在赌博中,我们可以利用概率的知识来计算赌博的胜率,从而决定是否参与。
在保险业中,概率可以用来计算保险公司的风险,从而制定合理的保险费率。
在投资领域,概率可以帮助我们评估投资的风险和回报,从而做出明智的投资决策。
二、统计的基本概念和应用统计是研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技巧。
在高中数学中,我们学习了统计的基本概念和统计量的计算方法,如平均数、中位数、众数、标准差等。
通过统计的学习,我们可以从大量的数据中提取有用的信息,从而更好地理解和解释现象。
统计的应用也非常广泛。
例如在市场调研中,统计可以帮助我们分析消费者的需求和行为,从而制定市场营销策略。
在医学研究中,统计可以用来分析药物的疗效和副作用,从而指导临床实践。
在社会调查中,统计可以用来了解社会问题的现状和趋势,从而提出相应的政策建议。
三、概率与统计的关系概率与统计是密切相关的。
概率研究的是随机事件的可能性,而统计研究的是观察数据的规律。
概率和统计可以相互补充,共同应用于实际问题的解决。
在概率中,我们可以根据统计数据来计算事件的概率。
例如,在投掷一枚硬币的问题中,我们可以通过统计频率来估计正面朝上的概率。
同样地,在统计中,我们可以利用概率的知识来解释观察数据的规律。
例如,在调查某个班级学生的身高分布时,我们可以利用正态分布的概率理论来解释为什么大部分学生的身高集中在平均值附近。
高中数学概率与统计
高中数学概率与统计在高中数学的学习中,概率与统计是一个非常重要的内容。
概率与统计涉及到我们日常生活中各种概率事件的计算与分析,以及统计数据的收集与解读。
本文将介绍概率与统计的基本概念、常用方法和一些实际应用。
一、概率的基本概念概率是用来度量一个事件发生的可能性的数值。
在概率计算中,我们常使用事件的概率来描述事件发生与不发生的可能性大小。
概率的计算可以通过频率方法或几何方法进行。
1.1 频率方法频率方法是通过实验来估计一个事件发生的概率。
我们可以进行大量的实验,记录事件发生的次数,然后用事件发生次数除以总实验次数,得到事件发生的频率。
经过大量实验,频率会逐渐接近真实概率值。
1.2 几何方法几何方法是通过对事件发生的空间进行几何概念的分析来计算概率。
例如,对于一个均匀的正方形,事件发生的区域的面积与正方形的面积之比就是事件发生的概率。
二、统计的基本概念统计是用来对数据进行收集、整理、分析和解读的方法。
通过统计,我们可以对一组数据的特征和规律进行描述和推断。
2.1 数据的收集数据的收集是统计的第一步。
我们可以通过调查、观察、实验等方式来收集数据。
收集到的数据可以是数值型数据或类别型数据。
2.2 数据的整理与分析收集到数据后,需要对数据进行整理和分析。
可以使用表格、图表、统计量等方式来呈现和分析数据。
常用的数据整理方法包括频数表、频率表、直方图、饼图等。
2.3 数据的解读与推断在数据分析的过程中,我们可以通过对数据的解读和推断来得出结论。
可以计算数据的平均值、中位数、众数、方差、标准差等统计量,从而对数据的特征和规律进行解读和推断。
三、常用的概率与统计方法在概率与统计的学习中,我们会接触到一些常用的方法。
3.1 排列与组合排列与组合是概率计算中常用的方法。
排列是指从若干个元素中选取若干个进行排序,组合是指从若干个元素中选取若干个不进行排序。
通过排列和组合的计算,可以得到事件发生的可能性的数量。
3.2 离散型随机变量离散型随机变量是指在一定范围内,可能取值有限且可数的随机变量。
高中数学概率统计
高中数学概率统计
概率统计是数学中的一个重要分支,它研究随机现象和事件发
生的可能性。
在高中阶段,学生需要通过研究概率统计来理解和应
用概率的基本概念和计算方法。
概率是指某个事件发生的可能性大小。
在数学中,概率可以通
过计算来得出。
常见的计算方法包括频率概率和几何概率。
学生需
要学会根据给定的条件计算概率,包括单个事件和多个事件的概率
计算。
在概率统计中,还有一些重要的概念需要学生掌握。
例如,样
本空间是指随机事件所有可能结果的集合;事件是样本空间的子集,表示满足特定条件的结果集合;试验是指对随机现象进行观察和记
录的过程。
高中数学概率统计还涉及到一些常见的概率分布,如二项分布、均匀分布和正态分布。
学生需要理解这些分布的特点和应用场景,
以及如何计算和图示化概率分布。
通过研究高中数学概率统计,学生可以提高他们的数据分析和问题解决能力。
他们能够在实际生活中应用概率统计的知识,例如在投资、保险和赌博等方面做出理性的决策。
总之,高中数学概率统计是一门重要的数学课程,它帮助学生理解和应用概率的基本概念和计算方法,提高他们的数学思维和问题解决能力。
高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)
高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)介绍本文档是针对高中数学必修二中的概率统计专题进行的训练,旨在帮助学生巩固和提高概率统计方面的知识和技能。
文档包含一系列经典必练题型,涵盖了该专题的重要内容。
题型一:排列组合1. 有5个不同的苹果和3个不同的橘子,从中任选3个水果,求共有几种选法。
2. 由字母A、B、C、D、E无重复组成的3位数共有多少种?题型二:事件与概率1. 一枚骰子被掷两次,求两次得到的点数之和为7的概率。
2. 从1至10的十个自然数中随机选择两个数,求两数之和为偶数的概率。
题型三:独立事件与复合事件1. 甲、乙、丙三个人独立地作一件事情成功的概率分别是1/2、1/3、1/4,求三人都成功的概率。
2. 一批零件共有100个,其中有5个次品。
从中连续取3个,求取出3个次品的概率。
题型四:条件概率1. 甲、乙两组各选一位同学参加足球比赛,甲组和乙组每组有5名同学,甲组中有两名女生和三名男生,乙组中有4名女生和一名男生。
从两组中各选出一位同学参加比赛,已知参赛者是女生,求该同学来自甲组的概率。
2. 甲、乙两个班级的数学成绩分别如下表所示,学生随机抽取一位,已知该学生是不及格的,求该学生来自乙班的概率。
题型五:概率分布1. 投掷一枚均匀硬币,正面向上为事件A,反面向上为事件B。
设事件A和事件B的概率分别为0.4和0.6,记为P(A)=0.4,P(B)=0.6。
求该硬币投掷一次出现事件A的概率。
2. 掷一个骰子,其点数的概率分布为:P(X=1)=1/6,P(X=2)=1/6,P(X=3)=1/6,P(X=4)=1/6,P(X=5)=1/6,P(X=6)=1/6。
求投掷一次出现点数为奇数的概率。
以上为高中数学必修二概率统计专题训练的经典必练题型,希望能够帮助学生加深对该专题的理解和应用。
高中数学概率统计
高中数学概率统计高中数学的概率统计是数学中的一个重要分支,它主要研究事件发生的可能性以及事件之间的关联性。
以下是一些常见的概率统计概念和方法:1. 概率:概率是指某个事件发生的可能性。
它的取值范围在0到1之间,其中0表示不可能发生,1表示一定会发生。
2. 随机事件:随机事件是在一次试验中可能发生的结果。
例如,掷硬币的结果(正面或反面)或掷骰子的点数(1到6)都是随机事件。
3. 样本空间:样本空间是指一个试验中所有可能结果的集合。
例如,掷硬币的样本空间是{正面,反面},掷骰子的样本空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
4. 事件:事件是样本空间的一个子集,表示我们感兴趣的结果。
例如,掷硬币出现正面可以表示为事件A,掷骰子点数大于3可以表示为事件B。
5. 概率计算:概率可以通过计算事件发生的次数与试验总次数的比值来确定。
当试验次数足够多时,这个比值将趋近于事件的概率。
6. 条件概率:条件概率是指在已知某个事件发生的条件下,另一个事件发生的概率。
它可以用P(A|B)表示,表示在事件B发生的情况下,事件A发生的概率。
7. 独立事件:独立事件是指两个事件之间没有相互影响,一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
如果事件A和事件B是独立事件,那么P(A|B) = P(A)。
8. 期望值:期望值是对随机变量取值的平均预期。
它是根据每个取值乘以其概率,再将所有乘积相加而得到的。
9. 正态分布:正态分布是一种常见的连续型概率分布,具有钟形曲线特征。
它在实际应用中广泛用于描述各种现象的分布情况。
以上是概率统计的一些基本概念和方法,通过学习这些内容,可以更好地理解和分析概率和统计问题,并在实际问题中应用这些知识进行分析和决策。
高中数学概率统计大题
高中数学概率统计大题1. 概率的基本概念首先,咱们得搞清楚什么是概率。
简单来说,概率就是某个事情发生的可能性。
比如说,你今天去学校,碰到你喜欢的人,那能不能说这件事的概率很高呢?当然,前提是你们都是同班同学。
如果班里只有一两个同学是你的菜,哎呀,那概率就低多了。
用个公式来表示,就是概率 = 有利事件数 / 可能事件总数。
听起来是不是很简单?但这就是概率的精髓所在。
1.1 概率的计算讲到概率的计算,这就像是做一道数学题,得动动脑筋。
比如,抛一个硬币,正面朝上的概率是多少?很简单嘛,正面和反面的机会各一半,所以是1/2。
再换个方式,如果你有一袋子五种不同颜色的糖果,想抽出一颗红色的,那么这个概率就是1/5。
你会发现,生活中的很多事情,其实都可以用概率来解释,真是妙不可言。
1.2 概率的应用说到应用,概率在生活中的用处可多了。
比如买彩票,大家都想中大奖,但实际上,中奖的概率就像在沙漠中找水源,几乎是微乎其微。
不过,很多人还是愿意花钱去买,因为“中奖”这个梦太诱人了,就像是泡面加蛋,简单却又能满足。
再比如,天气预报,听说今天下雨的概率是70%,其实这就给了你一个选择:是带伞还是不带。
说到底,概率在我们的生活中无处不在,哪怕是吃饭选择菜品的时候,心中也在暗自权衡哪个更好吃。
2. 统计的基本概念说完概率,咱们再聊聊统计。
统计就像是一位聪明的侦探,负责收集和分析数据,帮助我们理解世界的真相。
想象一下,你在班里做了个调查,问大家喜欢什么运动,最后发现大部分人都喜欢打篮球。
那这就是统计告诉你的结果,通过数据,让你更清楚大家的喜好。
2.1 数据的收集收集数据的方式有很多种,像问卷调查、观察记录等等。
就像你在聚会上,听大家说笑话,心里默默记下最受欢迎的几个,回去可以和朋友们分享。
数据收集就像是打基础,只有把这些信息搜集齐全,才能在后面进行分析。
2.2 数据的分析数据分析就像是烹饪,你得把收集到的食材进行处理,最后做出美味的菜肴。
高中数学知识点总结概率与统计的统计推断
高中数学知识点总结概率与统计的统计推断高中数学知识点总结:概率与统计的统计推断概率与统计是高中数学中的一大重要分支,它涉及到统计推断。
统计推断是通过收集一部分数据来推断总体的特征和规律,从而对未知或难以获得的信息进行预测和判断。
本文将简要介绍概率与统计的统计推断相关的知识点。
一、抽样和抽样分布统计推断的基础是抽样,即从总体中随机选择一部分个体进行研究。
抽样要遵循随机性、代表性和独立性的原则,以确保样本的可靠性和有效性。
抽样分布是指随机抽取的各个样本所对应的统计量的分布。
常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布等。
二、参数估计参数估计是利用样本数据对总体的未知参数进行估计和推断的过程。
点估计是基于样本数据得出一个具体的数值作为总体参数的估计值,如样本均值、样本比例等。
区间估计则是确定一个区间,以一定的置信水平对总体参数进行估计,如置信区间。
三、假设检验假设检验是用于检验总体参数假设的方法。
根据已有信息和假设条件,利用样本数据对总体参数进行检验,判断假设是否被接受或拒绝。
假设检验包括原假设和备择假设,常见的检验方法有单样本均值检验、两样本均值检验、单样本比例检验等。
四、相关性与回归分析相关性分析主要研究两个变量之间的相关关系,其中常用的衡量指标是相关系数。
回归分析研究一个或多个自变量对因变量的影响程度和变化趋势。
线性回归是其中最常用的,通过最小二乘法来拟合自变量和因变量之间的线性关系。
五、抽样分布的中心极限定理中心极限定理是指当样本容量足够大时,样本均值的抽样分布逼近于正态分布。
它是统计推断的理论基础,使得我们可以基于样本均值进行正态分布的推断,如置信区间估计和假设检验等。
六、样本调查与调查问卷设计统计推断常常涉及到样本调查和调查问卷设计。
在进行统计推断之前,我们需要明确研究的目的、确定调查对象、设计合理的调查问卷,并通过适当的抽样方法进行样本调查。
合理的样本调查与问卷设计可以提高数据质量和统计结果的可信度。
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专题二概率统计专题【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容,它是一种处理或然问题的方法,在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用,渗透到社会的方方面面,概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识.概率与统计的引入,拓广了应用问题取材的范围,概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材.在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等基础知识为工具,考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用.由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的,高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法.该部分在高考试卷中,一般是2—3个小题和一个解答题.【考点透析】概率统计的考点主要有:概率与统计包括随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望和方差,抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性回归等.【例题解析】题型1 抽样方法-)中,在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码(编号为000999定后两位数为的号码为中奖号码,该抽样运用的抽样方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对分析:实际“间隔距离相等”的抽取,属于系统抽样.解析:题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码,中奖号码依次为:088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.答案B.点评:关于系统抽样要注意如下几个问题:(1)系统抽样是将总体分成均衡几个部分,然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本的一种抽样方法.(2)系统抽样的步骤:①将总体中的个体随机编号;②将编号分段;③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;④按事先研究的规则抽取样本.(3)适用范围:个体数较多的总体.例2(2008年高考广东卷理3)某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为()A.24B.18C.16D.12 Array分析:根据给出的概率先求出x的值,这样就可以知道三年级的学生人数,问题就解决了.x=⨯=,这样一年级和二年级学生的解析:C 二年级女生占全校学生总数的19%,即20000.19380+++=,三年级学生有500人,用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是37337738037015006450016⨯=.答案C.2000点评:本题考查概率统计最基础的知识,还涉及到一点分析问题的能力和运算能力,题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识.例3.(2009江苏泰州期末第2题)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,2500,3500(元)月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[)出人.分析:实际上是每100人抽取一人,只要把区间内的人数找出来即可.解析:根据图可以看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是()0.00050.00035000.4+⨯=,故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000⨯=,故抽取25人.点评:本题把统计图表和抽样方法结合起来,主要目的是考查识图和计算能力.题型2统计图表问题例4(安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题)从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如右图:若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为A .10B .20C .8D .16分析:根据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可.解析:B . 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++⨯=,人数为0.45020⨯=.点评:在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率,实际上小矩形的高是频率除以组距.例5 (2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题)某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是 ;众数是 .分析:根据茎叶图和中位数、众数的概念解决.解析:由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来,处在中间位置的一个(或是最中间两个数的平均数),故从茎叶图可以看出中位数是23;而众数是样本数据中出现次数最多的数,故众数也是23. 点评:一表(频率分布表)、三图(频率分布直方图、频率折线图、茎叶图)、三数(众数、中位数、众数)和标准差,是高考考查统计的一个主要考点.例5(2008高考广东文11)为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55,[)[)[)55,65,65,75,75,85,[)85,95由此得到频率分布直方图如图,则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是.分析:找出频率即可.解析:()200.0400.00251013⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦.点评:本题考查频率分布直方图,解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距,得出生产数量在[)55,75的人数的频率.题型3 平均数、标准差(方差)的计算问题例6 (2008高考山东文9)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为()A3B210C.3D.85分析:根据标准差的计算公式直接计算即可.解析:平均数是520410*********3100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,标准差是()()()()()22222205310433033302310131008010304082101005s⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=+++===答案B.点评:本题考查数据组的平均数和标准差的知识,考查数据处理能力和运算能力.解题的关键是正确理解统计表的意义,会用平均数和标准差的公式,只要考生对此认识清楚,解答并不困难.例7.(中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题)若数据123,,,,nx x x x的平均数5x =,方差22σ=,则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ,方差为 .分析:根据平均数与方差的性质解决.解析:16,18 例8.(浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题)如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为A . 84,4.84B .84,1.6C . 85,1.6D .85,4解析:C题型4 用样本估计总体例8(2008高考湖南文12)从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人.解析:60 由上表得23211500023060.500-⨯=⨯= 点评:考查样本估计总体的思想.题型5.线性回归分析例9.(2007高考广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据x3 4 5 6 y2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a =+;(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤;试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?分析:本题中散点图好作,本题的关键是求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+,它既可以由给出的回归系数公式直接计算,也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小,用求二元函数最值的方法解决.解析:(1)散点图如右;(2)方法一:设线性回归方程为y bx a =+,则 222222222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-∴79 3.5 4.52b a b -==-时, (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-, 即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+,∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值.所以线性回归方程为0.70.35y x =+.方法二:由系数公式可知,266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -⨯⨯-=====-⨯ 93.50.70.352a =-⨯=,所以线性回归方程为0.70.35y x =+. (3)100x =时,0.70.3570.35y x =+=,所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤.点评:本题考查回归分析的基本思想.求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程,这里的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项,即()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-,而这个时候,当13336172a b -=时(),f a b 有最小值,结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值,组成方程组就可以解出a ,b 的值;方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式,一般考试中都会给出这个公式,但要注意各个量的计算;最后求出的19.65是指的平均值或者是估计值,不是完全确定的值.对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数0.9899r =,相关指数20.98R =.这说明x ,y 具有很强的线性相关性,说明解释变量对预报变量的贡献率是98%,即耗煤量的98%是来自生产量,只有约2%来自其它因素,这与我们的直观感觉是十分符合的.本题容易用错计算回归系数的公式,或是把回归系数和回归常数弄颠倒了.例10.(江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题)为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析.下面是该生7数学88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 106 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议.分析:成绩的稳定性用样本数据的方差判断,由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决.解析:(1)12171788121001007x --+-++=+=; 69844161001007y --+-+++=+=; 2994==1427S ∴数学,2250=7S ∴物理, 从而22S S >数学物理,所以物理成绩更稳定.(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到 497ˆˆ0.5,1000.510050994b a ===-⨯=, ∴线性回归方程为0.550y x =+.当115y =时,130x =.建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高.点评:《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出“①会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程”.2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题,在复习备考时不可掉一轻心.题型6 古典概型与几何概型计算问题例11 (2008高考江苏2)一个骰子连续投2次,点数和为4的概率 .分析:枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后,根据古典概型的计算公式计算.解析:点数和为4,即()()()1,3,2,2,3,1,基本事件的总数是36,故这个概率是31369=.或是数形结合处理.点评:古典概型的计算是一个基础性的考点,高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外,也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算.例12.(2009年福建省理科数学高考样卷第4题)如图,边长为2的正方形内有一内切圆.在图形上随机投掷一个点,则该点落到圆内的概率是A .4πB .4πC .44π-D .π分析:就是圆的面积和正方形面积的比值.解析:根据几何概型的计算公式,这个概率值是4π,答案A . 点评:高考对几何概型的考查一般有两个方面,一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查,二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查.例13.(2008高考山东文18)现有8名奥运会志愿者,其中志愿者123A A A ,,通晓日语,123B B B ,,通晓俄语,12C C ,通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组 成一个小组.(1)求1A 被选中的概率;(2)求1B 和1C 不全被选中的概率.分析:枚举的方法找出基本事件的总数,结合着随机事件、对立事件的概率,用古典概型的计算公式解决. 解析:(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,,122131()()A B C A B C ,,,,,, 132()A B C ,,,211212221()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,,222()A B C ,,,231()A B C ,,,232()A B C ,,,311312321()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,,322331332()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用M 表示“1A 恰被选中”这一事件,则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,, 122131132()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,}事件M 由6个基本事件组成,因而61()183P M ==. (2)用N 表示“11B C ,不全被选中”这一事件,则其对立事件N 表示“11B C ,全被选中”这一事件, 由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,},事件N 有3个基本事件组成, 所以31()186P N ==,由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=. 点评:本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识,考查分类讨论、“正难则反”等数学思想方法,考查分析问题解决问题的能力.题型7 排列组合(理科)例14.(浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题)由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数,按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,则19a =A .2014B .2034C .1432D .1430分析:按照千位的数字寻找规律. 解析:千位是1的四位偶数有123318C A =,故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个,即2014,答案A .例15.(2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题)有3张都标着字母A ,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片,若任取其中6张卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数等于 .(用数字作答)分析:由于字母A 是一样的,没有区别,故可以按照含有字母A 的多少分类解决,如含有2个字母A 时,只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可,再在其余位置上安排数字.解析:不含字母A 的有66720A =;含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=;含两个字母A 时,24665400C A =;含三个字母A 时,33662400C A =.故总数为72043205400240012840+++=.点评:解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步,根据排列组合的有关计算公式和两个基本原理进行计算.题型8 二项式定理(理科)例15.(浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题)已知1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如图所示,则实数a 的值为___________.分析:根据点列的图可以知道012,,a a a 的值,即可以通过列方程组解决.解析:由图123,4a a ==,又根据二项展开式113n n a C a na -===,()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====,解得13a =. 点评:本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题,解决问题的基本出发点是方程的思想. 例16(安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第4题)若23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈,且13:1:7a a =,则5a 等于A .56B .56-C .35D .35- 分析:根据展开式的系数之比求出n 值.解析:2323,n n a C a C =-=-,由23:1:7a a =,得8n =,故55856a C =-=-,答案B .点评:解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别,别把符号弄错了.题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差(理科的重要考点) 例17.(浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题)在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回...地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ,记x y x -+-=2ξ. (1)求随机变量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.分析:根据对随机变量ξ的规定,结合,x y 的取值确定随机变量可以取那些值,然后根据其取这些值的意义,分别计算其概率.解析:(1)x 、y 可能的取值为1、2、3,12≤-∴x ,2≤-x y ,3≤∴ξ,且当3,1==y x 或1,3==y x 时,3=ξ. 因此,随机变量ξ的最大值为3 .有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种,92)3(==∴ξP . (2)ξ的所有取值为3,2,1,0. 0=ξ 时,只有2,2==y x 这一种情况,1=ξ时,有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况,2=ξ时,有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况.91)0(==∴ξP ,94)1(==ξP ,92)2(==ξP . 则随机变量ξ的分布列为:因此,数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 点评:有放回的“取卡片、取球”之类的问题,其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决,这是一类重要的概率模型.例18.(江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题)某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为23. (1)求比赛三局甲获胜的概率;(2)求甲获胜的概率;(3)设甲比赛的次数为X ,求X 的数学期望.分析:比赛三局甲即指甲连胜三局,可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算,也可以将问题归结为三次独立重复试验,将问题归结为独立重复试验概型;甲最后获胜,可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和;甲比赛的次数也就是本次比赛的次数,注意当三局就结束时,可能是甲取胜也可能是乙取胜等.解析:记甲n 局获胜的概率为n P ,3,4,5n =,(1)比赛三局甲获胜的概率是:333328()327P C ==; (2)比赛四局甲获胜的概率是:2343218()()3327P C ==; 比赛五局甲获胜的概率是:232542116()()3381P C ==; 甲获胜的概率是:3456481P P P ++=. (3)记乙n 局获胜的概率为'n P ,3,4,5n =.333311'()327P C ==,2343122'()()3327P C ==;23254128'()()3381P C ==;所以甲比赛次数的数学期望是:1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=. 点评:这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题,但这里又不是单纯的独立重复试验概型,是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合.这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型. 题型11 正态分布例19.(2008高考湖南理4)设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =( )A .1B .2C .3D .4分析:根据正态密度曲线的对称性解决.解析:B 根据正态密度曲线的对称性,即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称,故1122c c ++-=,即2c =. 点评:本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识.例20(2008高考安徽理10)设两个正态分布2111()(0)N μσσ>,和2222()(0)N μσσ>, 的密度函数图像如图所示.则有A .1212,μμσσ<<B .1212,μμσσ<>C .1212,μμσσ><D .1212,μμσσ>>分析:根据正态密度曲线的性质解决.解析:A 根据正态分布),(2σμN 函数的性质:正态分布曲线是一条关于μ=x 对称,在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线的最高点越底且弯曲较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡峭,选A .点评:考试大纲对正态分布的要求是“利用实际问题直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义”,这个考点多次出现在高考试卷中. 【专题训练与高考预测】文科部分一、选择题1.从某鱼池中捕得120条鱼,做了记号之后,再放回池中,经过适当的时间后,再从池中捕得100条鱼,若其中有记号的鱼为10条,试估计鱼池中共有鱼的条数为 ( )A .1000B .1200C .130D .13002.已知x 与y 之间的一组数据:x 0 1 2 3y 1 3 5 7则y 与x 的线性回归方程为ya bx =+必过点( )A .()2,2B .()1.5,0C .()1,2D .()1.5,43.从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2007人中剔除7人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率 ( ) A .不全相等 B .均不相等C .都相等,且为200750D .都相等,且为4014.根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为:O 型50%,A 型15%,B 型30%,AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率为 ( ) A .15% B .20% C .45% D .65%5.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 ( )A .14B .13C .12 D .16.有如下四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望中奖,他应选择的游戏盘是 ( )二、填空题7.归直线方程为0.50.81y x =-,则25x =时,y 的估计值为 .8.若由一个2*2列联表中的数据计算得24.013K =,那么有 把握认为两个变量有关系.9.一工厂生产了某种产品180件,它们来自甲、乙、丙3条生产线,为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列,则乙生产线生产了 件产品.10.如图:M 是半径为R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点N ,连接MN ,则弦MN 的长度超过2R 的概率是 .三、解答题11.一个质地均匀的正方体玩具的六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6,现将这个正方体玩具向桌面上先后投掷两次,记和桌面接触的面上的数字分别为,a b ,曲线:1x yC a b+=. (1)曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率;(2)曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率.12.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:年收入x (万元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y (万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系; (2)如果某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.理科部分一、选择题1.在区间[]2,2-内任取两数a ,b ,使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是( )A .16B .14C .13D .122.在一次实验中,测得(,)x y 的四组值分别为()1,2,()2,3,()3,4,()4,5,则y 与x 的线性回归方程可能是( )A .1y x =+B .2y x =+C .21y x =+D .1y x =-5.向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹,只要炸中其中任何一座,另外两座也要发生爆炸.已知炸中第一座军火库的概率为0.2,炸中第二座军火库的概率为0.3,炸中第三座军火库的概率为0.1,则军火库发生爆炸的概率是 ( ) A . 0.006 B .0.4 C . 0.5 D . 0.6 6.从标有1237,,,,的7个小球中取出一球,记下它上面的数字,放回后再取出一球,记下它上面的数字,然后把两数相加得和,则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是( )A .1649B .1549C .27D .13497.在长为60m ,宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪,在一次大风后,发现该场地内共落有300片树叶,其中落在椭圆外的树叶数为96片,以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为 ( )A .2768mB .21632mC .21732mD .2868m8.6名同学报考,,A B C 三所院校,如果每一所院校至少有1人报考,则不同的报考方法共有( ) A .216种 B .540种 C .729种 D .3240种 二、填空题9. 某校有高一学生400人,高二学生302人,高三学生250人,现在按年级分层抽样,从所有学生中抽取一个容量为190人的样本,应该高 学生中,剔除 人,高一、高二、高三抽取的人数依次是 . 10. 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ . 11. 若2x =,则50(1)x +展开式中最大的项是 项. 三、解答题13.甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环,且每次射击成绩互不影响.射击环数的频率分布条形图如下:若将频率视为概率,回答下列问题.(1)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率;(2)若甲、乙两运动员各自射击1次,ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数,求ξ的分布列及E ξ.15.袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X 的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y 的分布列.16.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:年收入x (万元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y (万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系; (2)如果某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.【参考答案】文科部分1.解析:B 根据用样本估计总体的思想,池中有记号的鱼的频率是110,故鱼池中鱼的条数是1200条. 4.解析:D 过样本中心点.选D .7.解析:C 任何个体被抽到的概率都相等,且是200750. 8.解析:D 只有O 型和A 型,根据互斥事件的概率加法得结论为65%.9.解析:B 相当于在3张奖券中1张有奖,3人抽取,最后一人抽到中奖奖券的概率是13.10.解析:A 选择游戏盘的原则是中奖的概率大,A中中奖的概率是38,B中中奖的概率是13,C中中奖的概率是44π-,B中中奖的概率是1π,比较大小即知.11.解析:11.690.5250.8111.69⨯-=12.解析:95%13.解析:60.三条生产线的产品也组成等差数列.14.解析:12连接圆心O与M点,作弦MN使090=∠MON,这样的点有两个,分别记为12,N N,仅当N在不属于M的半圆弧上取值时满足2MN R>,此时021180=∠ONN,故所求的概率为21360180=.15.解析:基本事件的总数是.(1),a b应满足22111a b≤+,即22111a b+≥,逐个检验,()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,随机事件:曲线C和圆221x y+=有公共点的概率包含着11个基本事件,故所求的概率是1136;(2)曲线C所围成的区域的面积是2ab,即求25ab≥的概率,基本事件只能是()5,5,()5,6,()6,5,()6,6,故所求的概率是41369=.16.解析:(1)由题意知,年收入x为解释变量,年饮食支出y为预报变量,作散点图(如图所示).从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.6x=∵, 1.83y=,1021406iix==∑,102135.13iiy==∑,101117.7i iix y==∑,0.172b≈∴, 1.830.17260.798a y bx=-=-⨯=.从而得到回归直线方程为0.1720.798y x=+.。