高中概率与统计试题

概率与统计1. (安徽理19)．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。

某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望3E ξ=，标准差σξ为2（Ⅰ）求n,p 的值并写出ξ的分布列；（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率【解：】(1)由233,()(1),2E np np p ξσξ===-=得112p -=,从而16,2n p ==，ξ的分布列为(2)记”需要补种沙柳”为事件A,则()(3),P A P ξ=≤得 或156121()1(3)16432P A P ξ++=->=-=2. （安徽文18）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g ”.（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。

求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g ”的概率。

（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g ”的卡片不少于2张的概率。

【解：】（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g ”的概率为310，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为333271010101000⨯⨯=（2）设(1,2,3)i A i =表示所抽取的三张卡片中，恰有i 张卡片带有后鼻音“g ”的事件，且其相应的概率为(),i P A 则127323107()40C C P A C ==,3333101()120C P A C == 因而所求概率为 3. （北京理17）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．【解：】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是4. （北京文18）（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．【解：】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． 5. （福建理20）（本小题满分12分）某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。

已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。

现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响。

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ.【解：】设“科目A 第一次考试合格”为事件1A ，“科目A 补考合格”为事件2A ；“科目B 第一次考试合格”为事件1B ，“科目B 补考合格”为事件2B (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为11A B g ,注意到1A 与1B 相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=g .答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.(Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得故44182349993E ξ=⨯+⨯+⨯=，答：该考生参加考试次数的数学期望为83.6. （福建文（18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为111,,,543且他们是否破译出密码互不影响。

(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. 【解：】记“第i 个人破译出密码”为事件(1,2,3)i A i =，依题意有123111(),(),(),54.3P A P A P A ===且123,,A A A 相互独立.（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B ，则有123123123B A A A A A A A A A =++且123123123,,A A A A A A A A A 彼此互斥 于是123123123()()()()P B P A A A P A A A P A A A =++＝314154314351324151⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝203.答：恰好二人破译出密码的概率为203. （Ⅱ）设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件D .123D A A A =g g ，且1A ，2A ，3A 互相独立，则有123()()()()P D P A P A P A =g g ＝324354⨯⨯＝52.而3()1()5P C P D =-=，故()()P C P D >.答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 7. （广东理17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． （1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于万元，则三等品率最多是多少？ 【解：】ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ=== 20(1)0.1200P ξ===，4(2)0.02200P ξ=-== 故ξ的分布列为：（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯=（3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤所以三等品率最多为3% 8. （广东文19）（本小题满分13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是.（1）求x 的值；（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.【解：】（1）Q0.192000x=∴380x = （2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－373＋377＋380＋370）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：48500122000⨯=名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知500y z +=，且,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有： （245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个 事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245)共5个 9. （海南宁夏理）（本小题满分12分）A B ，两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为（Ⅰ）在A B ，两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；（Ⅱ）将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值．（注：2()D aX b a DX +=）【解：】（Ⅰ）由题设可知1Y和2Y 的分布列分别为150.8100.26EY =⨯+⨯=，221(56)0.8(106)0.24DY =-⨯+-⨯=，220.280.5120.38EY =⨯+⨯+⨯=，2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY =-⨯+-⨯+-⨯=．（Ⅱ）12100()100100x x f x D Y D Y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2224(46003100)100x x =-+⨯， 当6007524x ==⨯时，()3f x =为最小值． 10. （海南宁夏文19）（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。

把这6名学生的得分看成一个总体。

（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。

求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率。

【解：】（１）总体平均数为()156789107.56+++++= （２）设Ａ表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”从总体中抽取２个个体全部可能的基本结果有：(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7), (6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共１５个基本结果。

事件Ａ包含的基本结果有：(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有７个基本结果；所以所求的概率为()715P A =11. （湖北理17）（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若a b ηξ=+,1E η=,11D η=,试求a,b 的值.【解：】（Ⅰ）ξ的分布列为：∴1113101234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以当a =2时，由1＝2×+b ,得b =-2;当a =-2时，由1＝-2×+b ，得b =4.∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.12. （湖南理16）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试 合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.【解：】用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立， 且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝12. （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是3171()1()()()1().28P ABC P A P B P C -=-=-=（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3.＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++＝3231113()()().2228++=＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=3331113()()().2228++=所以，ξ的分布列是ξ的期望33110123 1.8888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=13. （湖南文16）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。