2014-2015年江西南昌市高一(上)数学期末试卷及答案
南昌市高一上学期期末数学试卷(I)卷
南昌市高一上学期期末数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·日照模拟) 已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则（）A . M⊆NB . N⊆MC . M∩N={0，1}D . M∪N=N2. （2分）线l经过原点和点（﹣， 1），则它的斜率为（）A . -B . -C .D .3. （2分） (2017高二上·苏州月考) 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，不一定正确的是（）A . AC⊥BDB . AC∥截面PQMNC . AC = BDD . 异面直线PM与BD所成的角为4. （2分）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）三棱锥P﹣ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积是（）A . 2πB . 4πC . πD . 8π6. （2分）设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：①若α⊥β，a⊂β，则a⊥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b可能成立；③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．其中，正确的个数为（）B . 1C . 2D . 37. （2分）直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（）A .B .C .D .8. （2分）奇函数、偶函数的图象分别如图1、2所示，方程，的实根个数分别为、，则等于（）A . 14B . 10D . 39. （2分）圆：与圆:的位置关系是（）A . 相离B . 相交C . 外切D . 内切10. （2分）如果函数f（x）的对于任意实数x，存在常数M，使不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，就称f（x）为有界泛函数．下列四个函数，属于有界泛函数的是（）①f（x）=1②f（x）=x2③f（x）=（sinx+cosx）x④ ．A . ①②B . ②④C . ③④D . ①③11. （2分） (2018高二上·嘉兴期末) 如图，在矩形中， ,点为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使得平面平面 .设直线与平面所成角为，则的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分）不等式的解集是（）A .B .C . （-2，1）D . ∪二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知点P在z轴上，且满足|PO|=1（O是坐标原点），则点P到点A（1，1，1）的距离________.14. （1分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为________．15. （1分） (2015高一上·柳州期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是AB、BB1的中点，则异面直线MN与BC1所成角的大小是________．16. （2分） (2019高一上·宁波期中) 已知函数，且，则的最小值为________；满足条件的所有的值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分） (2016高一上·南城期中) 设全集U=R，A={x|x2+px+12=0}，B={x|x2﹣5x+q=0}，若（∁UA）∩B={2}，A∩（∁UB）={4}，求A∪B．18. （5分） (2016高一下·揭阳期中) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．（Ⅰ）证明：BM⊥平面SMC；（Ⅱ）若SB与平面ABCD所成角为，N为棱SC上的动点，当二面角S﹣BM﹣N为时，求的值．19. （5分）已知圆C的方程为：x2+y2=4，（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；（2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；（3）圆C上有一动点M（x0 ， y0），=（0，y0），若向量=+，求动点Q的轨迹方程．20. （10分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费200元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？22. （30分） (2019高一下·镇江期末) 已知圆经过两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）求圆的方程；（3）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程；（4）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程；（5）已知点，在平面内是否存在异于点的定点，对于圆上的任意动点，都有为定值?若存在求出定点的坐标，若不存在说明理由．（6）已知点，在平面内是否存在异于点的定点，对于圆上的任意动点，都有为定值?若存在求出定点的坐标，若不存在说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1、答案：略2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、答案：略6、答案：略7、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、答案：略18-1、答案：略19-1、答案：略20、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略22-3、答案：略22-4、答案：略22-5、答案：略22-6、答案：略。
2014-2015学年江西省南昌市高一(上)期末数学试卷(乙卷)
2014-2015学年江西省南昌市高一（上）期末数学试卷（乙卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1. 已知角α的终边经过点P(0, −4)，则tan α=( ) A.−4 B.0 C.不存在 D.42. 设e 1→，e 2→是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A.e 1→ // e 2→ B.e 1→=e 2→C.e 1→=−e 2→D.|e 1→|=|e 2→|3. 已知向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|＝2√3，a →⋅b →=−3，则a →与b →的夹角是（ ） A.120∘B.150∘C.30∘D.60∘4. 代数式sin 120∘cos 210∘的值为（ ） A.√34B.−34C.−32D.145. 若cos (π+α)=−13，则cos α的值为（ ） A.−13 B.−2√23C.2√23D.136. 若tan (α−β)=13，tan β=43，则tan α等于（ ） A.−13B.−3C.13D.37. 如图所示，矩形ABCD 中，AB =4，点E 为AB 中点，若DE →⊥AC →，则|DE →|=( )A.2√3B.52C.2√2D.38. 函数y =sin 2x 是（ ） A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数9. 函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y =f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为( )A.y =cos 2xB.y =sin 2xC.y =sin (2x −π6) D.y =sin (2x +2π3)10. f(x)=a +12x +1是奇函数，则a =( )A.12 B.−12C.−1D.111. 设函数f(x)=A sin (ωx +φ)，(A ≠0．ω>0, |φ|<π2)的图象关于直线x =2π3对称，它的周期是π，则（ ）A.f(x)在[5π12, 2π3]上是减函数 B.f(x)的图象过点(0, 12)C.f(x)的最大值是AD.f(x)的一个对称点中心是(5π12, 0)12. 已知函数f(x)=√32sin x +12cos x ，则f(π12)=( )A.√32B.√22C.√2D.1二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分．共20分）若a →=(1, 2)，b →=(3, −4)，则a →在b →方向上的投影为________．l 弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是________．函数f(x)=1log 2(x−2)的定义域是________．如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上一点，G 为AC 与DE 的交点，且AG →=3GC →，若AB →=a →，AD →=b →，则用a →，b →表示BG →=________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）已知函数f(x)=sin 22x +√3sin 2x ⋅cos 2x ． （1）求f(x)的最小正周期；（2）若x ∈[π8, π4]，且f(x)=1，求x 的值．已知函数f(x)=sin (xπ2−π3)．（1）请用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；（2）求函数f(x)的单调递增区间．已知函数f(x)=√3sin ωx −2sin 2ωx 2(ω>0)的最小正周期为3π．当x ∈[π2, 3π4]时，求函数f(x)的最小值．已知点A(−1, 0)，B(0, 1)，点P(x, y)为直线y =x −1上的一个动点． （1）求证：∠APB 恒为锐角；（2）若|PA ¯|=|PB ¯|，求向量PB →+PA →的坐标．已知cos (x −π4)=√210，x ∈(π2, 3π4)． （1）求sin x 的值；（2）求sin (2x +π3)的值．已知函数f(x)=ax 2−4x +2，函数g(x)=(13)f （x ） （1）若f(2−x)=f(2+x)，求f(x)的解析式；（2）若g(x)有最大值9，求a 的值，并求出g(x)的值域．参考答案与试题解析2014-2015学年江西省南昌市高一（上）期末数学试卷（乙卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.【答案】此题暂无答案【考点】三射函可【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】相等向体与具反向量平行三度的性质单体向白向使的之【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】运用诱导于式化虫求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】运用诱导于式化虫求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表型正切公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】向使的之【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】正弦函射的单调长三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】正弦射可的图象由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】求两角因与差顿正弦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分．共20分）【答案】此题暂无答案【考点】平面常量么量积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】扇形常积至式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法对数函表的透义域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】向量因滤性线算性吨及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）【答案】此题暂无答案【考点】三角根隐色树恒等变换应用三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】五点法较函数熔=纯si隐（ωx+作）的图象正弦射可的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角根隐色树恒等变换应用三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】求两角因与差顿正弦运用诱导于式化虫求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于析式偏速站及常用方法二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2013-2014学年度江西省南昌三中第一学期高一期末考试及答案
2013-2014学年度江西省南昌三中第一学期高一期末考试数学试题一、选择题（3'1030'⨯=） 1、sin 300︒的值为A ．12B ．12-CD ．2、与600︒终边相同的角可表示为A ．360220k ⋅︒+︒B ．360240k ⋅︒+︒C ．36060k ⋅︒+︒D ．360260k ⋅︒+︒3、sin 68sin 67sin 23cos 68︒︒-︒︒的值为A ．2-B ．2CD ．14、如果α的终边过点(2sin,2cos )66P ππ-，则sin α的值等于A ．12B ．12-C ．D ．5、已知函数()y f x =的图象是连续不间断的，,()x f x 对应值表如下：则函数()y f x =存在零点的区间有A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]6、若,a b c d >>，则下列不等式关系中不一定成立的是A ．a b d c ->-B ．a c b c ->-C ．a c a d -<-D ．a d b c +>+7、函数2sin(2)6y x π=-为增函数的区间是A ．[,]63ππ-B ．7[,]1212ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ 8、sin10sin 30sin 50sin 70︒︒︒︒等于A ．116B ．18C ．14D ．169、已知tan 1θ>，且sin cos 0θθ+<，则cos θ的取值范围是A ．(2-B ．(1,2--C ．(0,2D ．(210、关于x 的方程2cos sin 0x x a -+=，若02x π<≤时方程有解，则a 的取值范围A ．[1,1]-B ．(1,1]-C ．[1,0]-D ．5(,)4-∞-二、填空题（4'520'⨯=）11、扇形的半径为1cm ，中心角为30︒，则该扇形的弧长为 cm 12、已知1sin()3πα+=-，且α是第二象限角，那么tan 2α= 。
江西九江市14-15学年高一上学期期末统考数学试题 (Word版含答案)
九江市2014-2015学年度上学期期末考试高一数学试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}2,0x y y x -A ==<，集合{}0x x B =≥，则A B =（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞ C ．()0,+∞ D ．[)0,+∞ 2、若直线l 的倾斜角为120，则直线l 的斜率为（ ）A B ． C D ．3、设:l n f x x →是集合M 到集合N 的映射，若{}0,1N =，则M 不可能是（ ） A ．{}1,e B ．{}1,1,e - C ．{}1,,e e - D ．{}0,1,e 4、圆()2224x y ++=与圆()()22219x y -+-=的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5、已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下四个结论中正确的个数为（ ）①若//m α，//n β，且//αβ，则//m n ； ②若//m α，n β⊥，且αβ⊥，则//m n ； ③若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥； ④若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、函数()x f x e x =+的零点所在的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2 7、若直线1:l 310ax y ++=与2:l ()2110x a y +++=平行，则实数a 的值是（ ） A ．3- B ．2 C ．3-或2 D ．3或2-8、已知函数()1ln1xf x x+=-，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称 9、如图所示试某一几何体的三视图，则它的体积为（ ） A ．1612π+ B ．4812π+ C ．6412π+ D ．6416π+10、已知函数()()()log 01a x x a f x x a <<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，（其中1a >），则()2f f a ⎡⎤=⎣⎦（ ）A ．0B ．1C ．2D ．log 2a11、直线:l 1y kx =-与曲线C :()22430x y x y +-+=有且仅有2个公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．14,1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,13⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 12、如图，正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为1，P 为C B 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是（ ）①三棱锥1Q P -AA 的体积为定值；②当1CQ 2=时，S 为等腰梯形； ③当3CQ 14<<时，S 为六边形； ④当CQ 1=时，SA ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②④第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、过点()1,3且与直线210x y +-=垂直的直线方程是 ．14、函数()()2log 1f x x =-的定义域为 ．15、函数()()21m f x m m x =--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上为减函数，则实数m 的值是 ．16、已知圆1C :221x y +=与圆2C :()()22245x y -+-=，过动点(),a b P 分别作圆1C ，圆2C 的切线PM ，PN （M 、N 分别为切点），若PM =PN ，则()()2251a b -++的最小值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知集合{}22x a x a A =-<<+，(){}2220x x a x a B =-++=，R a ∈．()1若0a =，求A B 的值；()2若()R A B ≠∅ð，求a 的取值范围．18、（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是平行四边形，PA ⊥平面CD AB ，且D 2PA =A =，1AB =，C A =． ()1证明：CD ⊥平面C PA ；()2求四棱锥CD P -AB 的体积．19、（本小题满分12分）如图所示，光线从点()2,1A 出发，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好经过点()D 1,2．()1求直线C B 的方程；()2求线段C B 的中垂线方程．20、（本小题满分12分）已知函数()x x f x e e -=-．()1判断函数()f x 的奇偶性；()2若函数()f x 在区间()1,1a a -+上存在零点，求实数a 的取值范围．21、（本小题满分12分）如图所示，已知圆C :222x y r +=（0r >）上点(处切线的斜率为圆C 与y 轴的交点分别为A ，B ，与x 轴正半轴的交点为D ，P 为圆C 在第一象限内的任意一点，直线D B 与AP 相交于点M ，直线D P 与y 轴相交于点N ．()1求圆C 的方程；()2试问：直线MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）求函数()21225x x y +=-+，[]1,2x ∈-的最大值和最小值．23、（本小题满分10分）已知函数()()log 1a f x x =+是定义在区间[]1,7上的函数，且最大值与最小值之和是2，求函数()f x 的最大值和最小值．24、（本大题满分10分）求函数()221144log log 5f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]2,4x ∈的最大值和最小值．九江市2014-2015学年度上学期期末考试高一数学参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有2. 解：0tan120k ==，故选B. 4. 解：1(2,0)O -，12r =，2(2,1)O ，23r =1O O ∴= 21121215r r O O r r ∴=-<<+=，故选B.6. 解：1(1)10f e --=-<，0(0)010f e =+=>，(1)(0)0f f ∴-<，故选B.7. 解：3121a a =≠+ 3a ∴=-，故选A. 8. 解：11()lnln ()11x xf x f x x x-+-==-=-+- ()f x ∴是奇函数，故选C. 9. 解：直观图上部分是底面边长为8，高为3的正四棱锥，下部分是底面半径为2，高为3的圆柱，221832364123V ππ∴=⨯⨯+⨯⨯=+，故选C. 10. 解：2a a > 2()1f a ∴= 2(())(1)log 10a f f a f ∴===，故选A.11. 解：如图所示，直线1y kx =-过定点(0,1)A -，曲线C直线0y =和圆22(2)1x y -+=，0(1)1303AB k --==-，0(1)110AC k --==-，43AD k =，故选12. 解：①点P 到平面1AAQ 的距离h =， 111111133212P AA Q AA Q V S h -∆∴=⋅⋅=⨯⨯= 故①正确.②当12CQ =时，1PQ AD //，S 为等腰梯形1APQD ,故②正确.③当314CQ <<时，S 为五边形，故③错误. ④设11A D 的中点为R ，当1CQ =时，S 为平行四边形1APC R ，易得S④正确. 故选D.15.1-解：由幂函数定义可知：211m m --=，解得2m =或1m =-，又函数在(0,)x ∈+∞上为减函数，1m ∴=-. 16.15解：221215PC PC -=- 22221(2)(4)5a b a b ∴+-=-+--即240a b +-=，即动点(,)P a b 在直线240x y +-=上，点(5,1)-到直线240xy +-=22(5)(1)a b ∴-++的最小值为15.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) 解：(1){|22}A x x =-<< ………2分 {0,2}B =………4分{|22}A B x x ∴=-<≤………6分(2){|22}R C A x x a x a =≤-≥+或，且R a C A ∉………8分2R C A ∴∈，22a ≤-,22a ≥+………11分0a ∴≤或4a ≥………12分18.(本小题满分12分） 解:(1)证明：PA ⊥平面ABCD ，CD Ü平面ABCDPA CD ∴⊥………2分在ACD ∆中，2AD =，1CD =，AC =222AC CD AD ∴+=090ACD ∴∠=，即CD AC ⊥………4分又PAAC A =，PA Ü平面PAC ，AC Ü平面PAC ，CD ∴⊥平面PAC ………6分(2)=ABCD S AB AC ⨯=四边形9分11=33P ABCD ABCD V S PA -∴=⋅⋅四边形12分 19.(本小题满分12分)解：(1)点(2,1)A 关于x 轴的对称点为(2,1)A '-，点(1,2)D 关于y 轴的对称点为(1,2)D '-………2分根据反射原理，A '，B ，C ，D '四点共线………4分∴直线BC 的方程为(1)2(1)212y x ----=---，即10x y +-=………6分(2)由（1）得(1,0)B ，(0,1)C ………8分BC ∴的中点坐标为11(,)22，1BC k =-………10分∴线段BC 的中垂线方程为1122y x -=-，即0x y -=………12分 20.(本小题满分12分)解:(1)函数()f x 的定义域为R ，且()()xx f x ee f x --=-=-………3分∴函数()f x 为奇函数………4分(2)函数()f x 在R 上单调递增，证明如下：………6分 设任意12,x x R ∈，且12x x <，则11221212121()()()()()(1)x x x x x x x x f x f x e e e e e e e e ---=---=-+12x x < 120x x e e ∴-<， 12110x x e e +> 12()()0f x f x ∴-< 12()()f x f x ∴< ∴函数()f x 在R 上单调递增，且(0)0f =………9分(只要能说明函数()f x 在R 上单调递增亦给分)函数()f x 在区间(1,1)a a -+上存在零点，1010a a -<⎧∴⎨+>⎩，解得11a -<<故实数a 的取值范围为(1,1)-………12分 21.(本小题满分12分) 解:(1)3(11a⨯-=- a∴=2分 点在圆222:C x y r +=上 22214r ∴=+=………4分 故圆C 的方程为224x y +=………5分 (2)设00(,)P x y ，则22004x y +=直线BD 的方程为20x y --=，直线AP 的方程为0022y y x x -=+ 联立方程组002022x y y y x x --=⎧⎪-⎨=+⎪⎩，得00000004224(,)22x x y M x y x y +--+-+………7分 易得02(0,)2y N x -………8分 00000000000000000224222(2)(224)2(2)44(2)2MNx y y x y x x x y y x y k x x x x y +---+--+---+∴==--+ 220000000000004482242244(2)x y x x y x x y y y x x +---+-+-=-200000000048424(2)2x x x y x y x x x -+-+-==--………9分∴直线MN 的方程为000002222x y y y x x x +-=+--………10分 化简得00()(2)22y x x x y y x -+-=-………(*)令020y x x -=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，且(*)式恒成立，故直线MN 经过定点(2,2)………12分 请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分) 解：设2xt =，[1,2]x ∈-，12[,4]2x t ∴=∈………4分 则225y t t =-+………6分当1t =时，y 取最小值4………8分 当4t =时，y 取最大值13………10分 23.(本小题满分10分) 解：函数()f x 在区间[1,7]上是单调函数，()f x ∴最大值与最小值之和是(7)(1)2f f +=………4分即log 8log 22a a +=，解得4a =………6分∴函数()f x 在区间[1,7]上单调递增………8分max 43()(7)log 82f x f ∴===min 41()(1)log 22f x f ===………10分。
2014-2015年江西省南昌市高一上学期数学期末试卷带答案
2014-2015学年江西省南昌市高一（上）期末数学试卷（甲卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5.00分）已知角α的终边经过点P（0，﹣4），则tanα=（）A．0 B．﹣4 C．4 D．不存在2．（5.00分）已知向量=（1，1），b=（x2，x+2），若，共线，则实数x的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣23．（5.00分）已知||=，||=2，.=﹣3，则与的夹角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°4．（5.00分）代数式sin120°cos210°的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．（5.00分）已知tanα=﹣，＜α＜π，那么cosα﹣sinα的值是（）A．﹣ B．C．D．6．（5.00分）若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．7．（5.00分）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若，则||=（）A．B．2 C．3 D．28．（5.00分）三个数a=sin1，b=sin2，c=ln0.2之间的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）10．（5.00分）f（x）=是R上的增函数，则a的范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．[2，+∞）11．（5.00分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0．ω＞0，|φ|＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）在[，]上是减函数C．f（x）的一个对称点中心是（，0）D．f（x）的最大值是A12．（5.00分）已知向量=（1，0），=（cosθ，sinθ），θ∈[﹣，]，则|+|的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分．共20分）13．（5.00分）若||=1，||=，（﹣）•=0，则与的夹角为．14．（5.00分）已知α为第三象限的角，，则=．15．（5.00分）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．16．（5.00分）已知函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点为x 1，函数g （x ）=log 3x +x ﹣3的零点为x 2，则x 1+x 2= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）17．（12.00分）已知函数f （x ）=sin 22x +sin2x•cos2x ．（1）求f （x ）的最小正周期； （2）若x ∈[，]，且f （x ）=1，求x 的值．18．（12.00分）已知函数f （x ）=sin （﹣）． （1）请用“五点法”画出函数f （x ）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；x﹣0 π 2π y（2）当x ∈[0，2]时，求函数f （x ）的最大值和最小值及相应的x 的值．19．（12.00分）已知函数f （x ）=sinωx ﹣2sin 2（ω＞0）的最小正周期为3π．在△ABC 中，若f （C ）=1，且2sin2B=cosB +cos （A ﹣C ），求sinA 的值．20．（12.00分）已知点A （﹣1，0），B （0，1），点P （x ，y ）为直线y=x ﹣1上的一个动点．（1）求证：∠APB 恒为锐角； （2）若||=||，求向量+的坐标．21．（12.00分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB=60°，C 为上的一个动点．若=x+y，求x+3y的取值范围．22．（10.00分）已知函数f（x）=ax2﹣4x+2，（1）若f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）的解析式；（2）已知a≤1，若函数y=f（x）﹣log2在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．2014-2015学年江西省南昌市高一（上）期末数学试卷（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5.00分）已知角α的终边经过点P（0，﹣4），则tanα=（）A．0 B．﹣4 C．4 D．不存在【解答】解：∵角α的终边经过点P（0，﹣4），∴α=270°，此时tanα不存在，故选：D．2．（5.00分）已知向量=（1，1），b=（x2，x+2），若，共线，则实数x的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2【解答】解：因为，共线，向量=（1，1），b=（x2，x+2），所以x2=x+2，解得x=﹣1或者x=2；故选：C．3．（5.00分）已知||=，||=2，.=﹣3，则与的夹角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：设两个向量的夹角为θ∵∴∴∵θ∈[0，π]∴θ=120°故选：B．4．（5.00分）代数式sin120°cos210°的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：原式=sin（180°﹣60°）cos（180°+30°）=﹣sin60°cos30°=﹣×=﹣．故选：A．5．（5.00分）已知tanα=﹣，＜α＜π，那么cosα﹣sinα的值是（）A．﹣ B．C．D．【解答】解：∵tanα=﹣，＜α＜π，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则cosα﹣sinα=﹣﹣=﹣．故选：A．6．（5.00分）若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．【解答】解：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．7．（5.00分）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若，则||=（）A．B．2 C．3 D．2【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．则B（4，0），E（2，0）．设D（0，m），（m＞0），C（4，m）．∴=（2，﹣m），=（4，m）．∵，∴2×4﹣m2=0，解得m2=8．∴==．故选：B．8．（5.00分）三个数a=sin1，b=sin2，c=ln0.2之间的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b【解答】解：∵0＜a=sin1＜sin（π﹣2）=sin2=b，∴0＜a＜b．又c=ln0.2＜0，∴c＜a＜b．故选：B．9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【解答】解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x ﹣），故选：D．10．（5.00分）f（x）=是R上的增函数，则a的范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵f（x）是R上的增函数，∴0+a≤20=1，即a≤1，故选：B．11．（5.00分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0．ω＞0，|φ|＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）在[，]上是减函数C．f（x）的一个对称点中心是（，0）D．f（x）的最大值是A【解答】解：∵T=π，∴ω===2，∵图象关于直线x=对称，∴sin（φ+×2）=±1，即×2+φ=+kπ，k∈Z，又∵﹣＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=Asin（2x+）．再用检验法逐项验证．故选：C．12．（5.00分）已知向量=（1，0），=（cosθ，sinθ），θ∈[﹣，]，则|+|的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[1，2]D．[，2]【解答】解析：|a+b|==．∵θ∈[﹣，]∴cos θ∈[0，1]．∴|a+b|∈[，2]．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分．共20分）13．（5.00分）若||=1，||=，（﹣）•=0，则与的夹角为．【解答】解：||=1，||=，（﹣）•=0，则，所以所以与的夹角的余弦值为：cosθ==；所以θ=；故答案为：．14．（5.00分）已知α为第三象限的角，，则=．【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，15．（5.00分）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．【解答】解：∵函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，∴由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．故答案为：．16．（5.00分）已知函数f（x）=3x+x﹣3的零点为x1，函数g（x）=log3x+x﹣3的零点为x2，则x1+x2=3．【解答】解：函数g（x）=log3x+x﹣3的零点即方程log3x+x﹣3=0的根，即log3x=﹣x+3，即x=33﹣x；同理，函数f（x）=3x+x﹣3的零点可化为方程3x=3﹣x的根，且方程3x=﹣x有且只有﹣个根，故x1=3﹣x2，故x1+x2=3；故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）17．（12.00分）已知函数f（x）=sin22x+sin2x•cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]，且f（x）=1，求x的值．【解答】解：（1）=…（2分）=．…（4分）因为，所以f（x）的最小正周期是．…（6分）（2）由（1）得，．因为f（x）=1，所以…（7分）而，所以，…（10分）所以…（12分）18．（12.00分）已知函数f（x）=sin（﹣）．（1）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；x﹣0π2πy（2）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．【解答】解：（1）令，则．填表：xX0π2πy010﹣10…（5分）…（6分）（2）因为x∈[0，2]，所以，…（8分）所以当，即x=0时，取得最小值；…（10分）当，即时，取得最大值1 …（12分）19．（12.00分）已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．【解答】解：f （x）=sin（ωx）﹣2•=sin（ωx）+cos（ωx）﹣1=2sin（ωx+）﹣1…（2分）依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即=3π，解得ω=，所以f（x）=2sin （x+）﹣1．…（4分）由f（C）=2sin（+）﹣1及f（C）=1，得sin（+）=1，…（6分）∵0＜C＜π，∴＜+＜，∴+=，解得C=，…（8分）在Rt△ABC中，∵A+B=，2sin2B=cosB+cos（A﹣C），∴2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，∴sin2A+sinA﹣1=0，解得sinA=，…（11分）∵0＜sinA＜1，∴sinA=…（12分）20．（12.00分）已知点A（﹣1，0），B（0，1），点P（x，y）为直线y=x﹣1上的一个动点．（1）求证：∠APB恒为锐角；（2）若||=||，求向量+的坐标．【解答】（1）证明：点P（x，y）在直线y=x﹣1上，即点P（x，x﹣1），即，即有，则，若A，P，B三点在一条直线上，则∥，得到（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣1）x=0，方程无解，则∠APB≠0，则有∠APB恒为锐角．（2）解：由|AP|=|BP|，即，即，化简得到2x﹣1=0，即，则，．21．（12.00分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为上的一个动点．若=x+y，求x+3y的取值范围．【解答】解：设扇形的半径为r；考虑到C为弧AB上的一个动点，=x+y．显然x，y∈[0，1]；两边平方：=；所以：y2+x•y+x2﹣1=0，显然△=4﹣3x2＞0；∵y＞0，∴解得：，故；不妨令，x∈[0，1]；∴；∴f（x）在x∈[0，1]上单调递减，f（0）=3，f（1）=1，∴f（x）∈[1，3]；即x+3y的取值范围为[1，3]．22．（10.00分）已知函数f（x）=ax2﹣4x+2，（1）若f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）的解析式；（2）已知a ≤1，若函数y=f （x ）﹣log 2在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （2﹣x ）=f （2+x ）， ∴f （x ）的对称轴为x=2， 即，即a=1，∴f （x ）=x 2﹣4x +2． （2）因为设r （x ）=ax 2﹣4x +5，s （x ）=log 2x （x ∈[1，2]）则原命题等价于两个函数r （x ）与s （x ）的图象在区间[1，2]内有唯一交点 当a=0时，r （x ）=﹣4x +5在区间[1，2]内为减函数，s （x ）=log 2x （x ∈[1，2]）为增函数，且r （1）=1＞s （1）=0，r （2）=﹣3＜s （2）=1，所以函数r （x ）与s （x ）的图象在区间[1，2]内有唯一交点 当a ＜0时，r （x ）图象开口向下，对称轴为所以r （x ）在区间[1，2]内为减函数，s （x ）=log 2x （x ∈[1，2]）为增函数， 则由，所以﹣1≤a ＜0，当0＜a ≤1时，r （x ）图象开口向上，对称轴为，所以r （x ）在区间[1，2]内为减函数，s （x ）=log 2x （x ∈[1，2]）为增函数， 则由，所以0＜a ≤1，综上所述，实数a 的取值范围为[﹣1，1]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =y(0,1)1y =xa y =y(0,1)1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
南昌市2015学年高一上学期期末数学试卷 (2)
2014-2015学年江西省南昌市高一（上）期中数学试卷（甲卷）参考答案与试题解析8．解答：解：由条件（1）定义域为R，排除D；由条件（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0，即任意x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数，排除C；由条件（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．即x+t＞x时，总有f（x+t）＞f（x），即函数f（x）为R上的单调增函数，排除A故选：B9．解答：解：f（x）•f（y）=3x•3y=3x+y≠3xy=f（xy），所以选项A不正确；=f（x﹣y），选项B正确；f（x）•f（y）=3x•3y=3x+y=f（x+y），选项C正确；f（log34）=3log34=4，选项D正确；故选A．．10．解答：解：∵工厂前m年的总产量S与m在图中对应P（S，m）点，∴前m年的年平均产量即为直线OP的斜率，由图得，当m=5时，直线OP的斜率最大，即前5年的年平均产量最高，故选：C．11．解答：解：根据题意，可得f（x）=当x时，函数解析式为f（x）=x+2，在（﹣∞，]上是增函数，函数的最大值为f（）=，无最小值；当时，函数解析式为f（x）=（5﹣x），在（，5）上是减函数，函数的最大值小于，最小值大于0；当x≥5时，函数解析式为f（x）=5﹣x，在[5，+∞）上是减函数，函数的最大值为f（5）=0，无最小值．综上所述，可得函数f（x）有最大值，无最小值．故选：B．12．解答：解：∵幂函数f（x）=在[0，+∞）上单调递增，又∵f（a+1）＜f（10﹣2a），∴0≤a+1＜10﹣2a，∴﹣1≤a＜3，故选C．15．（4分）已知函数f（x）=log2（x+1）的值域是[1，2]，那么函数f（x）的定义域是[1，3]．解答：解：由函数f（x）=log2（x+1）的值域是[1，2]，即1≤log2（x+1）≤2，得2≤x+1≤4，解得：1≤x≤3．∴函数f（x）的定义域是[1，3]．16．．解答：解：设二次函数f（x）=a（x﹣2）2﹣4，∵函数图象过原点，∴f（0）=0，解得a=1，∴f（x）=（x﹣2）2﹣4．∵x∈，∴∈[﹣1，3]，设t=，则t∈[﹣1，3]，则g（t）=（t﹣2）2﹣4．且t∈[﹣1，3]，∴当t=﹣1，即x=2时，函数y有最大值5．故答案为：5BACDB DCBAC BC-2 [1，3] 5三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）计算（2）已知log189=a，18b=5，试用a，b表示log365．解答：解：（1）原式====．（2）由18b=5得：log185=b，log365=====．18．解答：解：（1）要使函数有意义，则，∴定义域A=（2，4]；（2）B={x|x﹣a≥0，a∈R}={x|x≥a}．①当a≤2时，A∩B=（2，4]．②当2＜a≤4时，A∩B=[2，a]③当a＞4时，A∩B=∅．19．解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，任取x1＜x2则∵x1＜x2∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴不论a为何实数f（x）总为增函数﹣（2）∵f（﹣x）=﹣f（x）即解得﹣﹣﹣∴∵2x+1＞1∴∴∴∴f（x）的值域为20．解答：解：（1）设u（x）=3﹣ax，∵a＞0且a≠1，∴u（x）是减函数．又x∈[0，2]时，f（x）有意义，∴3﹣2a＞0，故有0＜a＜，且a≠1．∴a的范围是（0，1）∪（1，）．（2）假设存在实数a，满足题设条件，∵f（x）在区间[1，2]上单调递减函数，再根据u（x）=3﹣ax是减函数，可得a＞1，3﹣2a ＞0，∴1＜a＜．由已知f（1）=1，即loga（3﹣a）=1，∴a=，∵∉（1，），∴这样的实数a不存在．21解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（4分）（2）∵∴∴，又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得：．…（12分）22．解答：解：（1）由题意得：4k+b=﹣1，即b=﹣4k﹣1（k≠0），f（x）=kx﹣4k﹣1，g（x）=﹣2kx2+2（4k+1）x，∵g（x）=﹣2x•f（x）的图象关于直线x=1对称，∴=1，∴k=﹣，b=1，∴f（x）=﹣x+1；（2）由（1）得：g（x）=x2﹣2x，g（x0）+＜0，即﹣2x0+＜0，∴2x0＞+，而g（x0+2）=﹣2（x0+2）=+2x0＞++＞0，即g（x0+2）的符号为正号．。
2014-2015学年江西省九江市高一上学期期末考试数学试卷
2014-2015学年江西省九江市高一上学期期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合 A ＝{y|y ＝2−x ，x ＜0}，集合 B ＝{x|x ≥0}，则A ∩B ＝（ ）A 、（1，＋∞）B 、[1，＋∞）C 、（0，＋∞）D 、[0，＋∞）2．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）A 、3B 、−3C 、33D 、−33 3．设f ：x →ln|x|是集合M 到集合N 的映射，若N ＝{0，1}，则M 不可能是（ ）A 、{1，e}B 、{−1，1，e}C 、{1，−e ，e}D 、{0，1，e}4．圆（x ＋2）2＋y 2＝4与圆（x−2）2＋（y−1）2＝9的位置关系为（ ）A 、内切B 、相交C 、外切D 、相离5．已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下四个结论中正确的个数为（ ） ①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6．函数f （x ）＝e x ＋x 的零点所在一个区间是（ ）A 、（−2，−1）B 、（−1，0）C 、（0，1）D 、（1，2）7．若直线1l ：ax ＋3y ＋1＝0与2l ：2x ＋（a ＋1）y ＋1＝0互相平行，则a 的值是（ ）A 、−3B 、2C 、−3或2D 、3或−28．已知函数f （x ）＝ln xx -+11，则函数f （x ）的图象（ ） A 、关于x 轴对称B 、关于y 轴对称C 、关于原点对称D 、关于直线y ＝x 对称9．如图所示是某一几何体的三视图，则它的体积为（ ）A 、16＋12πB 、48＋12πC 、64＋12πD 、64＋16π10．已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧≥<<)(1)0(log a x a x x a ，（其中a ＞1），则f[f （a 2）]＝（ ） A 、0B 、1C 、2D 、log a 211．直线l ：y ＝kx−1与曲线C ：x 2＋y 2−4x ＋3＝0有且仅有2个公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A 、(0，34)B 、(0，34]C 、{31，1, 34}D 、{31，1} 12．如图，正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点 A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是（ ） ①三棱锥P−A A 1Q 的体积为定值；②当CQ ＝21时，S 为等腰梯形； ③当43＜CQ ＜1时，S 为六边形； ④当CQ ＝1时，S 的面积为26． A 、①④ B 、①②③C 、②③④D 、①②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．过点（1，3）且与直线x ＋2y−1＝0垂直的直线方程是___________．14．函数f （x ）＝1log 32--x x 的定义域为__________． 15．已知幂函数f （x ）＝（m 2−m−1）x m 在x ∈（0，＋∞）上单调递减，则实数m ＝__________．16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：（x−2）2＋（y−4）2＝5，过动点 P （a ，b ）分别作圆C 1，圆C 2的切线PM ，PN （ M 、N 分别为切点），若PM ＝PN ，则（a−5）2＋（b ＋1）2的最小值是_________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知集合A ＝{x|a−2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x|x 2−（a ＋2）x ＋2a ＝0}，a ∈R ．（1）若a ＝0，求A ∪B 的值；（2）若（∁RA ）∩B ≠∅，求a 的取值范围．18．如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝1，AC＝3．（1）证明：CD⊥平面PAC；（2）求四棱锥P−ABCD的体积．19．如图所示，光线从点A（2，1）出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D（1，2）．（1）求直线BC的方程；（2）求线段BC的中垂线方程．20．已知函数f（x）＝e x−e x ．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在区间（a−1，a＋1）上存在零点，求实数a的取值范围．21．如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）上点（1，3）处切线的斜率为−33，圆C 与y 轴的交点分别为A ，B ，与x 轴正半轴的交点为D ，P 为圆C 在第一象限内的任意一点，直线BD 与AP 相交于点M ，直线DP 与y 轴相交于点N ．（1）求圆C 的方程；（2）试问：直线MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【选做题】（请考生在第22−24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）22．求函数y ＝（2x ）2−21 x ＋5，x ∈[−1，2]的最大值和最小值．23．已知函数f （x ）＝log a （x ＋1）是定义在区间[1，7]上的函数，且最大值与最小值之和是2，求函数f （x ）的最大值和最小值．24．已知函数f （x ）＝log 412x−log 41x ＋5，x ∈[2，4]，求f （x ）的最大值及最小值．。
江西省九江市2014-2015学年高一上学期期末统考数学试题(扫描版)
参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2. 解：0tan120k== B.4. 解：1(2,0)O-，12r=，2(2,1)O，23r=12OO∴=21121215r r O O r r∴=-<<+=，故选B.6. 解：1(1)10f e--=-<，0(0)010f e=+=>，(1)(0)0f f∴-<，故选B.7. 解：3121aa=≠+3a∴=-，故选A.8. 解：11()ln ln()11x xf x f xx x-+-==-=-+-()f x∴是奇函数，故选C.9. 解：直观图上部分是底面边长为8，高为3的正四棱锥，下部分是底面半径为2，高为3的圆柱，221832364123Vππ∴=⨯⨯+⨯⨯=+，故选C.10. 解：2a a>2()1f a∴=2(())(1)log10af f a f∴===，故选A.11. 解：如图所示，直线1y kx=-过定点(0,1)A-，曲线C表示直线0y=和圆22(2)1x y-+=，0(1)1303ABk--==-，0(1)110ACk--==-，43ADk=，故选12. 解：①点P到平面1AAQ的距离4h=，1111111332412P AA Q AA QV S h-∆∴=⋅⋅=⨯⨯=故①正确.②当12CQ=时，1PQ AD//，S为等腰梯形1APQD,故②正确.③当314CQ <<时，S 为五边形，故③错误. ④设11A D 的中点为R ，当1CQ =时，S 为平行四边形1APC R ，易得S④正确.故选D.15.1-解：由幂函数定义可知：211m m --=，解得2m =或1m =-，又函数在(0,)x ∈+∞上为减函数，1m ∴=-. 16. 15解：221215PC PC -=- 22221(2)(4)5a b a b ∴+-=-+-- 即240a b +-=，即动点(,)P a b 在直线240x y +-=上，点(5,1)-到直线240x y +-== 22(5)(1)a b ∴-++的最小值为15. 三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)解：(1){|22}A x x =-<< ………2分 {0,2}B =………4分{|22}A B x x ∴=-<≤………6分(2) {|22}R C A x x a x a =≤-≥+或，且R a C A ∉………8分2R C A ∴∈，22a ≤-,22a ≥+………11分0a ∴≤或4a ≥………12分18.(本小题满分12分）解:(1)证明：PA ⊥平面ABCD ，CD Ü平面ABCDPA CD ∴⊥………2分在ACD ∆中，2AD =，1CD =，AC =222AC CD AD ∴+=090ACD ∴∠=，即CD AC ⊥………4分又PA AC A =，PA Ü平面PAC ，AC Ü平面PAC ，CD ∴⊥平面PAC ………6分(2)=ABCD S AB AC ⨯=四边形9分11=33P ABCD ABCD V S PA -∴=⋅⋅四边形………12分 19.(本小题满分12分)解：(1)点(2,1)A 关于x 轴的对称点为(2,1)A '-，点(1,2)D 关于y 轴的对称点为 (1,2)D '-………2分根据反射原理，A '，B ，C ，D '四点共线………4分∴直线BC 的方程为(1)2(1)212y x ----=---，即10x y +-=………6分 (2)由（1）得(1,0)B ，(0,1)C ………8分BC ∴的中点坐标为11(,)22，1BC k =-………10分 ∴线段BC 的中垂线方程为1122y x -=-，即0x y -=………12分 20.(本小题满分12分)解:(1)函数()f x 的定义域为R ，且()()x x f x e e f x --=-=-………3分∴函数()f x 为奇函数………4分(2)函数()f x 在R 上单调递增，证明如下：………6分设任意12,x x R ∈，且12x x <，则11221212121()()()()()(1)x x x x x x x x f x f x e e e e e e e e---=---=-+ 12x x < 120x x e e ∴-<， 12110x x e e +> 12()()0f x f x ∴-< 12()()f x f x ∴< ∴函数()f x 在R 上单调递增，且(0)0f =………9分(只要能说明函数()f x 在R 上单调递增亦给分)函数()f x 在区间(1,1)a a -+上存在零点，1010a a -<⎧∴⎨+>⎩，解得11a -<< 故实数a 的取值范围为(1,1)-………12分21.(本小题满分12分)解:(1)3(11a⨯-=- a∴=2分 点在圆222:C x y r +=上 22214r ∴=+=………4分故圆C 的方程为224x y +=………5分(2)设00(,)P x y ，则22004x y +=直线BD 的方程为20x y --=，直线AP 的方程为0022y y x x -=+ 联立方程组002022x y y y x x --=⎧⎪-⎨=+⎪⎩，得00000004224(,)22x x y M x y x y +--+-+………7分 易得002(0,)2y N x -………8分 00000000000000000224222(2)(224)2(2)44(2)2MN x y y x y x x x y y x y k x x x x y +---+--+---+∴==--+ 220000000000004482242244(2)x y x x y x x y y y x x +---+-+-=-200000000048424(2)2x x x y x y x x x -+-+-==-- ………9分∴直线MN 的方程为000002222x y y y x x x +-=+--………10分 化简得00()(2)22y x x x y y x -+-=-………(*)令020y x x -=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，且(*)式恒成立，故直线MN 经过定点(2,2)………12分 请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)解：设2x t =，[1,2]x ∈-，12[,4]2x t ∴=∈………4分 则225y t t =-+………6分当1t =时，y 取最小值4………8分 当4t =时，y 取最大值13………10分23.(本小题满分10分) 解：函数()f x 在区间[1,7]上是单调函数，()f x ∴最大值与最小值之和是(7)(1)2f f +=………4分即log 8log 22a a +=，解得4a =………6分∴函数()f x 在区间[1,7]上单调递增………8分max 43()(7)log 82f x f ∴=== min 41()(1)log 22f x f ===………10分。
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2014-2015学年江西省南昌市高一（上）期末数学试卷（甲卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5.00分）已知角α的终边经过点P（0，﹣4），则tanα=（）A．0 B．﹣4 C．4 D．不存在2．（5.00分）已知向量=（1，1），b=（x2，x+2），若，共线，则实数x的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣23．（5.00分）已知||=，||=2，.=﹣3，则与的夹角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°4．（5.00分）代数式sin120°cos210°的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．（5.00分）已知tanα=﹣，＜α＜π，那么cosα﹣sinα的值是（）A．﹣ B．C．D．6．（5.00分）若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．7．（5.00分）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若，则||=（）A．B．2 C．3 D．28．（5.00分）三个数a=sin1，b=sin2，c=ln0.2之间的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）10．（5.00分）f（x）=是R上的增函数，则a的范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．[2，+∞）11．（5.00分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0．ω＞0，|φ|＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）在[，]上是减函数C．f（x）的一个对称点中心是（，0）D．f（x）的最大值是A12．（5.00分）已知向量=（1，0），=（cosθ，sinθ），θ∈[﹣，]，则|+|的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分．共20分）13．（5.00分）若||=1，||=，（﹣）•=0，则与的夹角为．14．（5.00分）已知α为第三象限的角，，则=．15．（5.00分）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．16．（5.00分）已知函数f（x）=3x+x﹣3的零点为x1，函数g（x）=log3x+x﹣3的零点为x2，则x1+x2=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）17．（12.00分）已知函数f（x）=sin22x+sin2x•cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]，且f（x）=1，求x的值．18．（12.00分）已知函数f（x）=sin（﹣）．（1）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；（2）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．19．（12.00分）已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．20．（12.00分）已知点A（﹣1，0），B（0，1），点P（x，y）为直线y=x﹣1上的一个动点．（1）求证：∠APB恒为锐角；（2）若||=||，求向量+的坐标．21．（12.00分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为上的一个动点．若=x+y，求x+3y的取值范围．22．（10.00分）已知函数f（x）=ax2﹣4x+2，（1）若f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）的解析式；（2）已知a≤1，若函数y=f（x）﹣log2在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．2014-2015学年江西省南昌市高一（上）期末数学试卷（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5.00分）已知角α的终边经过点P（0，﹣4），则tanα=（）A．0 B．﹣4 C．4 D．不存在【解答】解：∵角α的终边经过点P（0，﹣4），∴α=270°，此时tanα不存在，故选：D．2．（5.00分）已知向量=（1，1），b=（x2，x+2），若，共线，则实数x的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2【解答】解：因为，共线，向量=（1，1），b=（x2，x+2），所以x2=x+2，解得x=﹣1或者x=2；故选：C．3．（5.00分）已知||=，||=2，.=﹣3，则与的夹角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：设两个向量的夹角为θ∵∴∴∵θ∈[0，π]∴θ=120°故选：B．4．（5.00分）代数式sin120°cos210°的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：原式=sin（180°﹣60°）cos（180°+30°）=﹣sin60°cos30°=﹣×=﹣．故选：A．5．（5.00分）已知tanα=﹣，＜α＜π，那么cosα﹣sinα的值是（）A．﹣ B．C．D．【解答】解：∵tanα=﹣，＜α＜π，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则cosα﹣sinα=﹣﹣=﹣．故选：A．6．（5.00分）若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．【解答】解：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．7．（5.00分）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若，则||=（）A．B．2 C．3 D．2【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．则B（4，0），E（2，0）．设D（0，m），（m＞0），C（4，m）．∴=（2，﹣m），=（4，m）．∵，∴2×4﹣m2=0，解得m2=8．∴==．故选：B．8．（5.00分）三个数a=sin1，b=sin2，c=ln0.2之间的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b【解答】解：∵0＜a=sin1＜sin（π﹣2）=sin2=b，∴0＜a＜b．又c=ln0.2＜0，∴c＜a＜b．故选：B．9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【解答】解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x ﹣），故选：D．10．（5.00分）f（x）=是R上的增函数，则a的范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵f（x）是R上的增函数，∴0+a≤20=1，即a≤1，故选：B．11．（5.00分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0．ω＞0，|φ|＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）在[，]上是减函数C．f（x）的一个对称点中心是（，0）D．f（x）的最大值是A【解答】解：∵T=π，∴ω===2，∵图象关于直线x=对称，∴sin（φ+×2）=±1，即×2+φ=+kπ，k∈Z，又∵﹣＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=Asin（2x+）．再用检验法逐项验证．故选：C．12．（5.00分）已知向量=（1，0），=（cosθ，si nθ），θ∈[﹣，]，则|+|的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[1，2]D．[，2]【解答】解析：|a+b|==．∵θ∈[﹣，]∴cos θ∈[0，1]．∴|a+b|∈[，2]．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分．共20分）13．（5.00分）若||=1，||=，（﹣）•=0，则与的夹角为．【解答】解：||=1，||=，（﹣）•=0，则，所以所以与的夹角的余弦值为：cosθ==；所以θ=；故答案为：．14．（5.00分）已知α为第三象限的角，，则=．【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，15．（5.00分）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．【解答】解：∵函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，∴由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．故答案为：．16．（5.00分）已知函数f（x）=3x+x﹣3的零点为x1，函数g（x）=log3x+x﹣3的零点为x2，则x1+x2=3．【解答】解：函数g（x）=log3x+x﹣3的零点即方程log3x+x﹣3=0的根，即log3x=﹣x+3，即x=33﹣x；同理，函数f（x）=3x+x﹣3的零点可化为方程3x=3﹣x的根，且方程3x=﹣x有且只有﹣个根，故x1=3﹣x2，故x1+x2=3；故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤）17．（12.00分）已知函数f（x）=sin22x+sin2x•cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]，且f（x）=1，求x的值．【解答】解：（1）=…（2分）=．…（4分）因为，所以f（x）的最小正周期是．…（6分）（2）由（1）得，．因为f（x）=1，所以…（7分）而，所以，…（10分）所以…（12分）18．（12.00分）已知函数f（x）=sin（﹣）．（1）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；（2）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．【解答】解：（1）令，则．填表：…（5分）…（6分）（2）因为x∈[0，2]，所以，…（8分）所以当，即x=0时，取得最小值；…（10分）当，即时，取得最大值1 …（12分）19．（12.00分）已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．【解答】解：f （x）=sin（ωx）﹣2•=sin（ωx）+cos（ωx）﹣1=2sin（ωx+）﹣1…（2分）依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即=3π，解得ω=，所以f（x）=2sin （x+）﹣1．…（4分）由f（C）=2sin（+）﹣1及f（C）=1，得sin（+）=1，…（6分）∴+=，解得C=，…（8分）在Rt△ABC中，∵A+B=，2sin2B=cosB+cos（A﹣C），∴2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，∴sin2A+sinA﹣1=0，解得sinA=，…（11分）∵0＜sinA＜1，∴sinA=…（12分）20．（12.00分）已知点A（﹣1，0），B（0，1），点P（x，y）为直线y=x﹣1上的一个动点．（1）求证：∠APB恒为锐角；（2）若||=||，求向量+的坐标．【解答】（1）证明：点P（x，y）在直线y=x﹣1上，即点P（x，x﹣1），即，即有，则，若A，P，B三点在一条直线上，则∥，得到（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣1）x=0，方程无解，则∠APB≠0，则有∠APB恒为锐角．（2）解：由|AP|=|BP|，即，即，化简得到2x﹣1=0，即，则，．21．（12.00分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为上的一个动点．若=x+y，求x+3y的取值范围．【解答】解：设扇形的半径为r；考虑到C为弧AB上的一个动点，=x+y．显然x，y∈[0，1]；两边平方：=；所以：y2+x•y+x2﹣1=0，显然△=4﹣3x2＞0；∵y＞0，∴解得：，故；不妨令，x∈[0，1]；∴；∴f（x）在x∈[0，1]上单调递减，f（0）=3，f（1）=1，∴f（x）∈[1，3]；即x+3y的取值范围为[1，3]．22．（10.00分）已知函数f（x）=ax2﹣4x+2，（1）若f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）的解析式；（2）已知a≤1，若函数y=f（x）﹣log2在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（2﹣x）=f（2+x），∴f（x）的对称轴为x=2，即，即a=1，∴f（x）=x2﹣4x+2．（2）因为设r（x）=ax2﹣4x+5，s（x）=log2x（x∈[1，2]）则原命题等价于两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点当a=0时，r（x）=﹣4x+5在区间[1，2]内为减函数，s（x）=log x（x∈[1，2]）且r （1）=1＞s （1）=0，r （2）=﹣3＜s （2）=1，所以函数r （x ）与s （x ）的图象在区间[1，2]内有唯一交点 当a ＜0时，r （x ）图象开口向下，对称轴为所以r （x ）在区间[1，2]内为减函数，s （x ）=log 2x （x ∈[1，2]）为增函数， 则由，所以﹣1≤a ＜0，当0＜a ≤1时，r （x ）图象开口向上，对称轴为，所以r （x ）在区间[1，2]内为减函数，s （x ）=log 2x （x ∈[1，2]）为增函数， 则由，所以0＜a ≤1，综上所述，实数a的取值范围为[﹣1，1]．。