[教案+试卷]高中数学2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式优化训练
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13 D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4 解析：cos π4＝3x ＋210×x 2＋4， 解得x ＝1. 答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”不恒成立 剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b·c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a·b )·c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)，a·(b·c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)．假设(a·b )·c ＝a·(b·c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3.∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1. ∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a·b )·c ＝a·(b·c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cosβ，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β， |OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α， 即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ·b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉． 分析：直接套用基本公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ·b ＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ·a ＝－6，2×－6，2＝36＋4＝210， |b |＝－22＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝20210×25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系． 解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用 【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形， 则AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2),∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →| |BD →|＝1625×25＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ·n ≤|m |·|n |即可，要注意等号成立的条件． 证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ·n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2·c 2＋d 2·cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 当且仅当m 与n 共线时等号成立． ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b ＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ·n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ·n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313 B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012·广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )． 答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ·x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ·b ， 所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425×3－325×4＝0，所以向量x 与b 垂直．。
高中数学新人教版B版精品教案《2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式》
向量数量积的坐标运算与度量公式（课前预习案）学 习 目 标：1通过自学课本能推导出向量数量积的坐标表达式，并写出两向量垂直的坐标公式。
2通过自学课本能够准确写出向量的长度、距离和夹角余弦的坐标公式并会熟练地应用解决有关问题。
3通过合作探究一学会向量垂直条件坐标形式的应用，通过合作探究二学会求已知向量夹角为锐角和钝角时参数的取值范围。
通过合作探究三体会向量的工具性以及函数思想的应用。
4根据学习的内容，完成思维导图案。
自学指导一）阅读课本P112至思考讨论前思考以下问题1、在正交基底{}21,e e 下，已知向量b a ,的坐标分别为),(),(2211y x b y x a == 你能写出它们的正交分解式吗？{}21,e e 的模与数量积分别是多少？由此你能推出a ·b 坐标表达式吗？2、向量b a ,垂直的等价条件是什么？你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？（二）阅读课本P112下3、向量的长度、距离和夹角公式至P113例题2并思考思考以下问题1. 你能写出a ·b 的定义式吗？2、根据a ·b 的定义式你能快速写出|a |以及><b a ,cos 的表达式吗？3.若已知向量已知向量b a ,的坐标分别为),(),(2211y x b y x a == 你能写出|a |以及><b a ,cos 的坐标表达式吗？4已知),(),(2211y x B y x A ==则AB =自学检测中，已知四边形ABCD 是平行四边形，错误!＝1，－2，错误!＝2,1，则错误!·错误!＝A ．5B ．4C ．3D ．22已知向量a =（-1,2），b =（3,），若a ∥b ，则=_______;若a ⊥b ，则=_______3已知向量a =（4,5），b =（-4，3），求a ·b ，|a |，|b |,cos a b4 夹角的余弦值为与则若b b a a ),12,5(),4,3(=-=（1,2），B （-5,8），C （-2，-1），求证：AB ⊥AC 。
人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计
人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、教学目标1.掌握向量数量积的定义，并能够利用坐标运算求解向量数量积。
2.掌握向量数量积的度量公式，并能够灵活应用。
3.能够在实际问题中运用向量数量积解决几何问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：向量数量积的坐标运算和度量公式的应用。
2.教学难点：向量数量积的概念和度量公式的证明。
三、教学方法与手段1.探究式教学：通过让学生自己发现向量数量积的性质和应用方法，激发其学习兴趣和求知欲。
2.讲授式教学：通过教师讲解向量数量积的定义、性质和应用，使学生全面理解该知识点。
3.互动式教学：通过师生互动，让学生积极参与讨论，提高教学效果。
4.录屏演示：通过PPT和教学软件，演示向量数量积的坐标运算和度量公式的应用，加深学生对知识点的理解。
四、教学内容和步骤第一步：向量数量积的概念和坐标运算公式1.讲解向量数量积的定义和性质，并给出两个向量的数量积的向量形式和标量形式。
2.教师以矢量坐标运算符 $ \cdot $ 为例，讲解向量数量积的坐标运算公式和求解方法。
3.设计数学实例，让学生自己动手计算两个向量的数量积，加深其对该知识点的理解。
第二步：向量数量积的度量公式1.讲解向量数量积的度量公式和应用方法，包括向量夹角余弦公式和向量模长公式。
2.教师以例题和练习题为例，演示应用向量数量积的度量公式解决几何问题的过程。
3.让学生自己设计一个实际问题，通过向量数量积的度量公式解决问题，提高其应用能力。
第三步：练习和巩固1.给学生准备一些模拟测试题目，让他们在课后进行复习和练习，巩固所学知识。
2.班内进行一次小测验，检验学生对该知识点的掌握程度，及时纠正学生存在的问题。
五、教学评价与反思在教学过程中，教师应该注意引导学生积极参与课堂活动，并及时纠正学生存在的问题，以达到高效的教学效果。
并在教学评价中，关注学生对向量数量积知识点的掌握情况，及时评价和反馈学生的学习成果，以便教师更好的指导学生。
高中数学第2章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教案新人教B新人教B高一数学教案
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学 习 目 标核 心 素 养1．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算．(重点)2．能运用数量积表示两个向量的夹角．计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养(1)向量内积的坐标运算：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 2．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22. (2)两点间的距离：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)两向量的夹角：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22. 思考：与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标如何表示？[提示] 由于单位向量a 0＝a |a |，且|a |＝a 21＋a 22，所以a 0＝a |a |＝1a 21＋a 22(a 1，a 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1a 21＋a 22，a 2a 21＋a 22，此为与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标．1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝( ) A ．5B ．4C ．－2D ．－1D [a·b ＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.] 2．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝________.－210 [∵a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a |＝22＋22＝22，|b |＝－82＋62＝10.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－422×10＝－210.]3．已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝________. ±4 [|a |＝32＋x 2＝5，∴x 2＝16.即x ＝±4.]平面向量数量积的坐标运算则x 的值等于( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________.(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.[思路探究] 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．(1)D (2)1 4(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47 [(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2；(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11C[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a ＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.]向量的模的问题则|2a－b|等于( )A．4 B．5C．3 5 D．45(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.[思路探究](1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(1)D(2)2 5 4 [(1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4,8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D. (2)由题意知，a ＋b ＝(－2,4)，a －b ＝(4,0)， 因此|a ＋b |＝25，|a －b |＝4.] 向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a 2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2. 2．已知向量a ＝(2x ＋3,2－x )，b ＝(－3－x,2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________．[2，＋∞) [∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)， ∴|a ＋b|＝x 2＋x ＋22＝2x 2＋4x ＋4＝2x ＋12＋2≥2，∴|a ＋b|∈[2，＋∞)．]向量的夹角与垂直问题1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？[提示] ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1. ∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？[思路探究] (1)可利用a ，b夹角为锐角⇔⎩⎪⎨⎪⎧a·b>0a ≠λb求解．(2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a·b ＝0来求m .(1)B [当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.](2)解：a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)，因为(a ＋m b )⊥(a－b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．3．若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)．因为2a －3b 与c 的夹角为钝角， 则(2k －3，－6)·(2,1)<0且不反向， 即4k －6－6<0， 解得k <3.当2a －3b 与c 反向时，k ＝－92，所以k 的范围是k <3且k ≠－92.](教师用书独具)1．向量垂直的坐标表示 (1)记忆口诀和注意问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．(2)可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题． 2．区分向量平行与垂直的坐标公式(1)向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单．(2)注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别.1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |＝( )A. 2 B ．2 C ．5 2D ．50A [∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝－12＋12＝ 2.故选A.]2．若a ＝(3，－1)，b ＝(x ，－2)，且〈a ，b 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．4D ．－4A [∵a ·b ＝|a |·|b |cos π4，∴3x ＋2＝10×x 2＋4×22，解得x ＝1或x ＝－4.又∵3x ＋2>0，∴x >－23，故x ＝1.]3．设a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)且a ⊥b ，则x ＝________. －23 [∵a ⊥b ， ∴a ·b ＝0.即x ＋2(x ＋1)＝0. 解得x ＝－23.]4．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b )． [解] (1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， 所以(a ＋b )2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。
高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修
答案：2
平面向量数量积的坐标运算
[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋
b)·a＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
(2)(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是
平行四边形， AB＝(1，－2)， AD＝(2,1)，则 AD·AC ＝ ( )
[解析] (1)由ab⊥∥cc， ⇒22xy＋－44＝＝00， ⇒xy＝＝－2，2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)． ∴|a＋b|＝ 10. (2)由题意可设 AB＝λa(λ＞0)， ∴ AB＝(2λ，3λ)．又| AB|＝2 13， ∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2 13)2，解得 λ＝2 或－2(舍去)． ∴ AB＝(4,6)．又 A(1，－2)，∴B(5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)
[活学活用] 已知平面向量 a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12. ∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3， ∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设 m，n 的夹角为 θ，
向量的夹角和垂直问题
[典例] (1)已知 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数 λ ＝________.
(2)已知 a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c 与 d 的夹角为π4，则实数 k 的值为________．
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课堂探究学案
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课堂探究探究一 向量数量积的坐标运算已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．【例1】 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解：(1)a ＝e 1－e 2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b ＝4e 1＋3e 2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， 所以a ·b ＝4×1＋3×(－1)＝1，a ＋b ＝(5,2)，所以|a ＋b |＝225229+＝．(2)设向量a 与b 的夹角为x ，则cos ＝a b a b ∙＝222211(1)43+-∙+＝152＝210．探究二 向量的模、夹角的坐标表示1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．2．向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．【例2】 已知向量a ＝(－2，－1)，a ·b ＝10，|a －b |＝5，则|b |＝( )A ．25B ．210C ．20D ．40解析：设b ＝(x ，y )，由a ＝(－2，－1)，a ·b ＝10，可得－2x －y ＝10．①a －b ＝(－2－x ，－1－y )，所以|a －b |＝22(2)(1)x y --+--＝5．②由①②可得x ＝－4，y ＝－2．所以b ＝(－4，－2)，|b |＝22(4)(2)-+-＝25．答案：A反思 本题是利用公式|a |＝2122a a + (其中a ＝(a 1，a 2))求解．【例3】 在△ABC 中，AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． 分析：要对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．解：当A ＝90°时，AB ·AC ＝0，所以2×1＋3×k ＝0．所以k ＝－23． 当B ＝90°时，AB ·BC ＝0，BC ＝AC －AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0．所以k ＝113． 当C ＝90°时，AC ·BC ＝0，所以－1＋k (k －3)＝0，所以k ＝3132±． 因此，当k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3132±时，△ABC 的一个内角为直角． 探究三 数量积的坐标表示在几何中的应用用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．【例4】 以原点O 和点A (5,2)为两个顶点作等腰直角△ABO ，B 为直角顶点，试求AB 的坐标． 解：设B (x ，y )，则OB ＝(x ，y )，AB ＝(x －5，y －2)．因为△ABO 是等腰直角三角形，故OB ⊥AB ，且|OB |＝|AB |，所以2222(5)(2)0,(5)(2),x x y y x y x y -+-=⎧⎨+=-+-⎩解得117,232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22327.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以AB ＝73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或AB ＝73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【例5】 已知a ＝(3，－1)，b ＝13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且存在实数k 和t 使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求2k t t+的最小值． 解：由题意有|a |＝2，|b |＝1．因为a ·b ＝3×12－1×32＝0，所以a ⊥b ． 因为x ·y ＝0，所以[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，化简得k ＝t 3－3t 4，所以2k t t+＝14(t 2＋4t －3)＝14 (t ＋2)2－74． 当t ＝－2时，2k t t+有最小值为－74． 反思 本题的关键是注意到a ⊥b ，以此来化简x ·y ＝0．探究四易错辨析易错点：因a·b<0理解不完全而致误【例6】设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C．1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭错解：由a与b的夹角为钝角，得a·b<0，即－2λ－1<0，解得λ>－12．错因分析：a·b<0⇔a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b的夹角为平角的情况舍去．正解：a·b<0⇒(－2,1)·(λ，－1)<0⇒λ>－12．又设b＝t a(t<0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)，所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线，所以λ∈1,22⎛⎫-⎪⎝⎭∪(2，＋∞)．故选A．答案：A。
高中数学《平面向量》教案：向量的数量积和向量积
高中数学《平面向量》教案：向量的数量积和向量积一、教学目标本课程旨在让学生掌握向量的数量积和向量积的概念、性质和使用方法，特别是向量积在求解平面中的面积和三角形的重心、外心、垂心等几何中的应用。
二、教学内容1. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量的数量乘积，即A·B =|A||B|cosθ。
其中，cosθ是两个向量夹角的余弦值。
向量的数量积满足以下几个性质：(1) A·B = B·A，即数量积满足交换律；(2) A·(kB) = k(A·B) = (kB)·A，其中k是常数；(3) A·A = |A|^2即自己与自己的数量积等于向量的长度的平方。
2. 向量的向量积向量的向量积是指两个向量所形成的平行四边形的面积的大小，方向垂直于这两个向量构成的平面。
向量的向量积满足以下几个性质：(1) A×B = -B×A，即向量积满足反交换律；(2) A×(kB) = k(A×B) = (kB)×A，其中k是常数；(3) A×B = 0 当且仅当两个向量共线；(4) A×B的大小等于|A||B|sinθ，其中θ是两个向量所夹角的大小。
三、教学方法1. 以具体的例子讲解向量的数量积和向量积的含义和性质；2. 通过多个实例演示向量的数量积和向量积在几何中的应用；3. 帮助学生理解向量数量积和向量积的物理意义。
四、教学步骤1. 向量的数量积(1) 向量的数量积的概念和性质；(2) 数量积的计算方法和几何意义；(3) 举例说明向量数量积的应用在平面几何和物理中的场景。
2. 向量的向量积(1) 向量的向量积的概念和性质；(2) 向量积的计算方法和几何意义；(3) 举例说明向量的向量积的应用在平面几何和物理中的场景。
五、教学重点和难点1. 向量的数量积的概念、性质和应用；2. 向量的向量积的概念、性质和应用；3. 向量的数量积和向量积在几何中的应用。
人教B版高中数学必修四《2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式》_2
2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、背景描述在运算教学中，教师往往会从实效的角度出发，忽略了公式的本源而更加注重公式的应用。
结果会导致学生生搬硬套，不能灵活解题。
实际上，运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，教学设计要呈现出高中数学核心要素——数学运算。
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。
主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。
在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能通过运算促进数学思维发展。
二、教材分析前面我们学习了平面向量的数量积运算以及平面向量的坐标表示，这为研究向量数量积的坐标表示奠定了知识和方法的基础。
由于数量积运算涉及了向量的模与夹角，因此在实现了数量积运算的坐标表示之后，推导出模与夹角的度量公式。
本节课把数量积运算的研究从“定性”推到“定量”的深度，使空间结构系统地代数化，为用“数”的运算解决“形”的问题搭建了桥梁。
不仅使使学生形成了完整的知识体系，而且对后续用空间向量求解立体几何问题有着深远的意义。
三、学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了向量数量积的性质、运算及向量线性运算的坐标运算，并且初步体会了研究向量的一般方法。
从知识层面上看，学生对于本节课的学习相对容易。
但由于学生数学思维能力较弱，知识迁移能力不强，体现在对向量运算法则易混以及运算不准确等方面。
鉴于农村普通高中学生基础薄弱，数学思维能力较差的特点，教师要着力于引导学生构建知识体系，再设计合理的导学案，提升学生运算素养；让学生主动参与课堂并组织互助式学习得到帮助，缩小学生学习差距，共同进步。
四、重难点分析由以上教材分析和学情分析，确定本节教学重难点如下：1.教学重点：向量数量积的坐标表示2.教学难点：向量数量积坐标表示的应用五、目标分析1.通过探究数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表达形式；2.会利用坐标形式进行平面向量数量积的运算解决有关长度、角度、垂直等几何问题；3.通过向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对数量积的认识，提高运算速度，培养运算能力，提高归纳类比的能力及数形结合的能力，提升学生数学学科素养。
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2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC 为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断解析：由=(1，1)，=(-4，2)，=(3，-3)，得2=2，2=20，2=18.∴2+2=2，即AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.(本题亦可画图，验证·=3-3=0⇒⊥) 答案：B2.已知m =(3，-1)，n =(x ，-2)，且〈m ，n 〉=4π，则x 等于（ ） A.1 B.-1 C.-4 D.4 解析：cos4π=410232+∙+x x ，解得x=1.答案：A3.已知a =(2，5)，b =(λ，-3)，且a ⊥b ，则λ=________________. 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b =0，即2λ-15=0，λ=215. 答案：215 4.设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，则满足+=的坐标(O 为原点)为_________________.解：设=(x ，y)，则=(x+3，y+1)，=-=(x+4，y-1).∵⊥，∴-(x+3)+2(y+1)=0，即x-2y+1=0. ① 又∵∥，∴3(y -1)-(x+4)=0，即x-3y+7=0. ② 由①②得x=11，y=6. ∴=(11，6).答案：(11，6)10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a =(m -2，m +3)，b =(2m +1，m -2)，且a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围为（ ） A.m ＞2或m ＜34-B.34-＜m ＜2 C.m ≠2 D.m ≠2且m ≠34- 解析：a 与b 夹角大于90°⇔a ·b ＜0，a ·b =(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)=3m 2-2m-8,解不等式3m 2-2m-8＜0，得34-＜m ＜2. 答案：B2.(2006高考重庆卷，文7)已知三点A(2，3)，B(-1，-1)，C(6，k)，其中k 为常数.若|AB |=||,则AB 与AC 的夹角为( )A.arccos(2524-) B.2π或arccos 2524 C.arccos 2524 D.2π或π-arccos 2524解析：由于||=||,且=(-3，-4)，=(4，k-3)，所以16+(k-3)2=25,解出k=6或0.当k=0时，·=0，其中夹角是2π；当k=6时，cos θ2524||||-=AC AB ，所以θ=π-arccos 2524. 答案：D3.已知m =(a ，b )，向量n 与m 垂直，且|m |=|n |，则n 的坐标为（ ） A.(b ，-a ) B.(-a ，b )C.(-a ，b )或(a ，-b )D.(b ，-a )或(-b ，a ) 解析：设n 的坐标为(x ，y)，由|m |=|n |，得a 2+b 2=x 2+y 2, ① 由m ⊥n ，得a x+b y=0, ② 解①②组成的方程组得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==.,,a y b x a y b x 或得n 的坐标为(b ，-a )或(-b ，a ). 答案：D4.若i=(1，0)，j=(0，1)，则与3i+4j 垂直的单位向量是______________. 解析：3i +4j =(3，4).设与3i +4j 垂直的单位向量为b =(x ，y)，依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+.53,5453,54.1,04322y x y x y x y x 或解得 故与3i +4j 垂直的单位向量为54i 53-j 或-54i +53j . 答案：54i 53-j 或-54i +53j 5.已知向量x 与a =(2，-1)共线，且a ·x =-18，则x =_______________.解析：设x =(2λ，-λ)，又a ·x =-18. ∴4λ+λ=-18.∴λ=518-. 答案：(518,536-) 6.设向量a =(1，-1),b =(3，-4)，x =a +λb ，λ为实数，试证：使模|x|最小的向量x 垂直于向量b .证明：因|x |2=x ·x =|a |2+λ2|b |2+2λa ·b ，故x 2=25λ2+14λ+2=(5λ+57)2+251. 当5λ+57=0，即λ=257-时，|x|最小. 此时x=a 257-b =(253,254). 又42533254⨯-⨯=0，∴向量x 与b 垂直. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a =(-1，3)，b =(2，-1)，且(k a +b )⊥(a -2b )，则k 的值为（ ） A.34 B.34- C.43 D.43- 解析：由(k a +b )⊥(a -2b )，得(k a +b )·(a -2b )=0. 而k a +b =(2-k ，3k-1)，a -2b =(-5，5). 故-5(2-k)+5(3k-1)=0，解得k=43. 答案：C2.(2006高考重庆卷，理7)与向量a =(21,27)，b =(27,21-)的夹角相等，且模为1的向量是( ) A.(53,54-) B.(53,54-)或(53,54-)C.（31,322-） D.（31,322-）或（31,322-） 解析：设所求向量为e =(cos θ,sin θ)，由于该向量与a 、b 的夹角相等，故⇔∙=∙||||||||e b e b e a e a a ·e =b ·e ⇔27cos θ+21sin θ=21cos θ27-sin θ⇔3cos θ=-4sin θ,所以sin θ=53-且cos θ=54，或sin θ=53且cos θ=54-，所以B 选项成立. 答案：B3.已知点A(2，3)，若把向量绕原点O 按逆时针方向旋转90°，得到向量，则B 点坐标为( ) A.(2，-3) B.(-3，2) C.(3，-2) D.(3，2) 解析：设B(x ，y)，∵⊥，||=||， ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=+2,32,3,13,03222y x y x y x y x 或解得(舍去)，故B 点坐标为(-3，2). 答案：B4.已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)四点，则四边形ABCD 是( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析：=(3，-2)，=(-3，2)，=-，∴四边形ABCD 为平行四边形.又=(4，6)，·=3×4-2×6=0，即⊥，且||≠||，∴四边形ABCD 为矩形.答案：B5.已知a =(2，-3)，b =(1，-2)，且c ⊥a ，b ·c =1，则c 的坐标为( )A.(3，-2)B.(3，2)C.(-3，-2)D.(-3，2) 解析：设c =(x ，y)，c ⊥a ，∴2x -3y=0. ① 又b ·c =1，∴x -2y=1, ② 综合①②知x=-3，y=-2. 答案：C6.已知a =(3，1)，b =(x ，-3)，且a ⊥b ，则x 等于( )A.3B.1C.-1D.-3 解析：∵a ⊥b ，∴3x -3=0.∴x=1. 答案：B7.以原点O 及点A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠A=90°，则的坐标为______________. 解析：依题意，设=(x ，y)，则由||=||得222225y x +=+. ①而又由OA ⊥AB 得5x+2y=0. ② 由①②联立可解得x=2，y=-5或x=-2，y=5， ∴AB =(2，-5)或(-2，5).答案：(2，-5)或(-2，5)8.平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，|b |=1，且a ·b =5，则向量b =______________.解析：设b =(x ，y)，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,534,122y x y x∴b =(54，53-).答案：(54，53-)9.设O 为原点，点A(a ，0)，B(0，a )(a ＞0)，点P 在线段AB 上，且=t (0≤t≤1)，则·的最大值为______________.解析：∵·=·(+)=·(+t )=2+t ·=a 2+t(a ，0)·(-a ，a )=a 2+t(-a 2+0)=(1-t)a 2，∵0≤t≤1，∴-1≤-t≤0，0≤1-t≤1，即OA ·OP ≤a 2.答案：a 210.已知a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)(0＜α＜β＜π). (1)求证：a +b 与a -b 互相垂直；(2)若k a +b 与k a -b 的模相等，求β-α(其中k∈R 且k≠0).(1)证明：依题意知a +b =(cos α+cos β，sin α+sin β)，a -b =(cos α-cos β，sin α-sin β). 又(a +b )·(a -b )=(cos α+cos β)(cos α-cos β)+(sin α+sin β)(sin α-sin β)=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=0，所以(a +b )⊥(a -b ).(2)解：由于k a ±b =(kcos α±cos β，ksin α±sin β)， 所以|k a ±b |=)cos(212αβ-±+k k .又因为|k a +b |=|k a -b |，所以2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)，且k≠0，故cos(β-α)=0. 又0＜α＜β＜π，所以β-α=2π. 11.已知a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，且|k a +b |=3|a -k b |(k ＞0)， (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求此时a ，b 的夹角θ. 解：(1)由|k a +b |=3|a -k b |,得(k a +b )2=3(a -k b )2， ∴k 2a 2+2k a ·b +b 2=3a 2-6k a ·b +3k 2·b 2.∴(k 2-3)a 2+8k a ·b +(1-3k 2)b 2=0.∵|a |=1，|b |=1，∴k 2-3+8k a ·b +1-3k 2=0，∴a ·b =kk k k 4182222+=+. (2)a ·b =)1(41412k k k k +=+，由函数单调性定义易知f(k)=41(k+k 1)在(0，1］上单调递减，在［1，+∞)上单调递增，∴当k=1时最小值为f(1)=41(1+1)=21.此时a ，b 夹角为θ，cos θ=21121||||==∙b a b a ，∴θ=60°.。