专升本高等数学(二)必考公式、必考题型与模拟试题答卷

吴忧学数学
高等数学(二)必考公式1.预备知识
(1)直接代入求极限;
(2)利用等价无穷小极限;如
0tan
lim x
x x
→
=（ C ）．A．1-； B. 0； C. 1； D. 2.
(3)利用重要极限极限;如
1
lim(1)
3
x
x x
→∞
-=（ D ）．A．3e； B. 3
e-； C.
1
3
e； D.
1
3
e-.
(4)利用罗必达法则;如
3
lim
sin
x
x
x x
→
=
-
( A )A．6；B.-6；C. 0；D. 1．
(5)分段函数的极限
(6)分段函数的连续性;
如果函数1 , 02()ln(1),03x e x f x x k x x
⎧+≤⎪⎪=⎨+⎪+>⎪⎩处处连续，则k = ( C ).A ．67；B . 67-；C . 76；D . 76-． 2. 导数及应用
(1) 利用导数定义求导; 如果(3)6f '=，则0(3)(3)lim 2x f x f x
→--=（ B ）. A. -6 ； B. -3 ； C. 3 ； D. 6 .
(2)
(3)(4)(5)(6) A. y (7求)微分(8) A ．在1x =处取得极小值10，在5x =处取得极大值22-；
B . 在1x =处取得极大值10，在5x =处取得极小值22-；
C . 在1x =处取得极大值22-，在5x =处取得极小值10；
D . 在1x =处取得极小值22-，在5x =处取得极大值10．
(9)凹凸区间,拐点;如求曲线323
10510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,, 21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-
=x ,
用2
1-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x 21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),2
1(+∞-时，0>''y , 曲线的凹区间为),,21(+∞- 凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-. (10)证明不等式;如试证当1≠x 时，x x e e >.
证明：令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='x x f .
(1) 积分上限函数;如设()sin x
a F x tdt =⎰，则()F x '=（ B ）． A. sin t ； B. sin x ； C. cos t ； D. cos x .
(2) 定积分的几何意义;
(3)N-L 公式;如积分121dx x
--=⎰( B ).A. ln 2 ； B. ln 2- ；C. ln 3 ； D. ln3- .
(4)换元法;如积分01x x dx e e -=+⎰( D ).A. 3π ； B. 4π ；C. 6
π ； D. 12π . (5)分部积分法;如积分0cos x xdx π
=⎰( A ).A . -2； B . 2； C . -1； D . 0.
(6)反常积分;如广义积分20x xe dx +∞
-=⎰( B ).A.13；B. 14
；C. 15；D. 16. (7)求面积;如求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.
解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,
)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x ,
所求面积
()y y x x y y y y
z x x z z d 1ln d ln d d d ++⋅=∂∂+∂∂=∴. (3)多元函数的极值;如二元函数22(,)36f x y x xy y x y =++--的（ ）．C
A. 极小值为(0,0)0f =；
B. 极大值为(0,0)0f =；
C. 极小值为(0,3)9f =-；
D. 极大值为(0,3)9f =- .
6.概率
1. 设A与B相互独立，且p
A
P=
)
(，q
B
P=
)
(，则()
P A B=（ C ）．
A. 1q
-； B. 1pq
-； C. (1)(1)
p q
--； D. 1p q
-- .
2. 一盒子内有10只球，其中6只是白球，4只是红球，从中取2只球，则取出产品中至少有一个
是白球的概率为（ C ）．A. 3
5
； B.
1
15
； C.
14
15
； D.
2
5
.
3.设离散型随机变量ξ的分布列为
则ξ
1．当
A．
B．
C．
D．
2．
A．-3
B．一1
C．0
D
3．
A．
B．
C．
D．
4．
A．
B．
C．
D．
5．
A．0
B．2x3
C．6x2
D．3x2
6．设?(x)的一个原函数为Inx，则?(x)等于（）．
A．
B．
C．
D．
7．
A．
B．
C．
D．
8．
A．0
B．e一
C．
D．
9．
A.y4
B.- y4
C.y4
D.- y4
10．设
A．“5件都是正品”
B．“5件都是次品”
C．“至少有1件是次品”
D．“至少有1件是正品”
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．
18．
19．
20．
21．
22．
23．
24．
25．(本题满分8分)设事件A与B相互独立，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，求P(A+B).
26．
27．
28．(
形绕X
1
2
【解析】
3
【提示】本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式．只需注意e3是常数即可．
4．【答案】应选D．
5．【答案】应选C．
【解析】本题考查的知识点是函数在任意一点x的导数定义．注意导数定义的结构式为6．【答案】应选A．
【提示】本题考查的知识点是原函数的概念，因此有所以选A．
7．【答案】应选B．
【解析】本题考查的知识点是：函数y=?(x)在点(x，?(x))处导数的几何意义是表示该函数对应
曲线过点(x,?(x)))的切线的斜率．由
可知，切线过点(1，0)，则切线方程为y=x-1，所以选B．
8．【答案】应选C．
【解析】本题考查的知识点是奇、偶函数在对称区间上的定积分计算．
注意到被积函数是偶函数的特性，可知
所以选C．
9．【答案】应选D．
【提示】 z对x求偏导时应将y视为常数，则有
所以选D．
10．【答案】应选B．
【解析】本题考查的知识点是不可能事件的概念．不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件．由于只有4件次品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以选B．
11
12．
13
【提示】
14
15
16．
【提示】
17
【解析】
18．
19
20
【解析】
21．
【解析】
解法１
解法2
22．本题考查的知识点是函数乘积的导数计算．
23．本题考查的知识点是凑微分积分法．
24．本题考查的知识点是定积分的凑微分法和分部积分法．
【解析】本题的关键是用凑微分法将?(x)dx写成udυ的形式，然后再分部积分．
25．本题考查事件相互独立的概念及加法公式．
【解析】若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．
P(A+B)=P(A)+P(B)-p(AB)=P(A)+P(B)-p(A)P(日)=0．6+0．7-0．6×0．7=0．88．
26．本题考查的知识点是利用导数的图像来判定函数的单调区间和极值点，并以此确定函数的表达式．编者希望通过本题达到培养考生数形结合的能力．
【解析】 (1)
(2)因为
由上面三式解得α=2，b=-9，c=12．
27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法．
利用公式法求导的关键是需构造辅助函数
然后将等式两边分别对x(或y或z)求导．读者一定要注意：对x求导时，y，z均视为常数，而对y或z求导时，另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量．
求全微分的第三种解法是直接对等式两边求微分，最后解出出，这种方法也十分简捷有效，建议考生能熟练掌握．
解法1等式两边对x求导得
解法2
解法3
28．本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算．
【解析】
多一条确定对x本
解。