磁学部分(习题课)
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电磁学第一章习题
不一定。例：等势面上 U 相等，同一 E 线上的
不同点，U 不等。。
⑦ E 相等的场中， U 是否相等？
相等
2 计算
E, U , (F , ,W , A)
（1） E
————
1 E
4 0
dq
r2
rˆ
S
E dS
qi
0
E U
（2）U —— 叠加原理-积分求和：
（a）已知 q 分布——（U∞=0） U
4、dq 2 r dl 2 R sin Rd
r Rdr
R
dq Rd Rsin d
R O
R O
5、 dq 4r 2dr
或：
dq r 2 sin dr d d
例1：求半径为 R 的均匀带电Q半圆形细环
圆心处的场强。
dl
解：建坐标系如图，取微元
d q Rd
R
d
x
由对称性，Ex=0, 而
L
这表明静电力是
保守力
，
也表明 静电场中的电力线 不可能闭合 。
10、有一带电球壳，内、外半径分别为 a 和 b ，
电荷体密度 ρ=A/r ，在球心处有一点电荷 Q ，证 明当 A = Q/(2πa2) 时，球壳区域内的场强 E
的大小与 r 无关。
证：由高斯定理，有
E
1
4 0r 2
Q
r
a
A 4
r
r
p
p0
(b)U p E dl .
p
b
(d )Aab q E dl q U ab .
a
① 如图，
A
B
C
E
若将 q0 >0 放在 B 点，它向何方运动？ 向 C
不同点，U 不等。。
⑦ E 相等的场中， U 是否相等？
相等
2 计算
E, U , (F , ,W , A)
（1） E
————
1 E
4 0
dq
r2
rˆ
S
E dS
qi
0
E U
（2）U —— 叠加原理-积分求和：
（a）已知 q 分布——（U∞=0） U
4、dq 2 r dl 2 R sin Rd
r Rdr
R
dq Rd Rsin d
R O
R O
5、 dq 4r 2dr
或：
dq r 2 sin dr d d
例1：求半径为 R 的均匀带电Q半圆形细环
圆心处的场强。
dl
解：建坐标系如图，取微元
d q Rd
R
d
x
由对称性，Ex=0, 而
L
这表明静电力是
保守力
，
也表明 静电场中的电力线 不可能闭合 。
10、有一带电球壳，内、外半径分别为 a 和 b ，
电荷体密度 ρ=A/r ，在球心处有一点电荷 Q ，证 明当 A = Q/(2πa2) 时，球壳区域内的场强 E
的大小与 r 无关。
证：由高斯定理，有
E
1
4 0r 2
Q
r
a
A 4
r
r
p
p0
(b)U p E dl .
p
b
(d )Aab q E dl q U ab .
a
① 如图，
A
B
C
E
若将 q0 >0 放在 B 点，它向何方运动？ 向 C
大学物理-磁学习题课和答案解析
3．铜的相对磁导率μr＝0.9999912，其磁化率χm＝ 它是 磁性磁介质． -8.8×10-6 抗 ,
2． 均匀磁场的磁感应强度 B 垂直于半径为r的圆面．今
4． 如图，在面电流线密度为 j 的均匀载流无限大平板附近， 有一载流为 I 半径为 R的半圆形刚性线圈，其线圈平面与载流 大平板垂直．线圈所受磁力矩为 ，受力 0 0 为 ．
μ
5、（本题3分） 长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体 中有等值反向均匀电流I通过，其间充满磁导率为μ的均匀磁介 质．介质中离中心轴距离为r的某点处的磁场强度的大小H I =________________ ，磁感强度的大小B =__________ ． I 2 r 2 r
B (A) B (B) √ R B x (D) O 圆筒 电流 O x
B
0 I (r R) 2r
(r R)
O B
R
x O (C) x O
B
(E)
B0
O
R
R
x
R
x
2、（本题3分）一匀强磁场，其磁感强度方向垂直于纸面(指 向如图)，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，则 (A) 两粒子的电荷必然同号． (B) 粒子的电荷可以同号也可以异号． (C) 两粒子的动量大小必然不同． (D) 两粒子的运动周期必然不同．
（C） B dl B dl , BP BP 1 2
（D） B dl B dl , BP1 BP2
L1 L2
L1
L2
L1
L2
[ ]
5．有一矩形线圈 AOCD ，通以如图示方向的电流 I，将它置 于均匀磁场 B 中，B 的方向与X轴正方向一致，线圈平面与X 轴之间的夹角为 , 90 ．若AO边在OY轴上，且线圈可 绕OY轴自由转动，则线圈 （A）作使 角减小的转动． （B）作使 角增大的转动． （C）不会发生转动． （D）如何转动尚不能判定．
2． 均匀磁场的磁感应强度 B 垂直于半径为r的圆面．今
4． 如图，在面电流线密度为 j 的均匀载流无限大平板附近， 有一载流为 I 半径为 R的半圆形刚性线圈，其线圈平面与载流 大平板垂直．线圈所受磁力矩为 ，受力 0 0 为 ．
μ
5、（本题3分） 长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体 中有等值反向均匀电流I通过，其间充满磁导率为μ的均匀磁介 质．介质中离中心轴距离为r的某点处的磁场强度的大小H I =________________ ，磁感强度的大小B =__________ ． I 2 r 2 r
B (A) B (B) √ R B x (D) O 圆筒 电流 O x
B
0 I (r R) 2r
(r R)
O B
R
x O (C) x O
B
(E)
B0
O
R
R
x
R
x
2、（本题3分）一匀强磁场，其磁感强度方向垂直于纸面(指 向如图)，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，则 (A) 两粒子的电荷必然同号． (B) 粒子的电荷可以同号也可以异号． (C) 两粒子的动量大小必然不同． (D) 两粒子的运动周期必然不同．
（C） B dl B dl , BP BP 1 2
（D） B dl B dl , BP1 BP2
L1 L2
L1
L2
L1
L2
[ ]
5．有一矩形线圈 AOCD ，通以如图示方向的电流 I，将它置 于均匀磁场 B 中，B 的方向与X轴正方向一致，线圈平面与X 轴之间的夹角为 , 90 ．若AO边在OY轴上，且线圈可 绕OY轴自由转动，则线圈 （A）作使 角减小的转动． （B）作使 角增大的转动． （C）不会发生转动． （D）如何转动尚不能判定．
03 电磁学：第12、13章 习题课及部分习题解答-修订补充版
R
∫
S
E ⋅ dS ⇒2πrlE =
R
q
ε0
r l
q=∫
0
2 Ar ⋅ 2πrldr = πAlR 3 3
3
AR E= 3ε 0 r
(r > R)
目录·电势的计算
作业册·第十三章 电势·第8题
Zhang Shihui
③ 内外电势分布 内部电势 U =
∫
L
r R
Edr Ar AR dr + ∫ dr R 3ε r 3ε 0 0
dl = Rdθ
λ dl cos θ dEx = dE cos θ = 2 4πε 0 a
q q cos θ dθ = cos θ ⋅ adθ = 2 4πε 0 a θ 0 a 4πε 0 a 2θ 0 1
θ0
2
θ
−
θ0
2
θ0
2
dE
x
q 2 沿x正 E = ∫ θ0 dEx = (sin + sin ) = − 4πε 0 a 2θ 0 2 2 2πε 0 a 2θ 0 方向 2
均匀带电细棒垂面上场强
2.电势的计算
Zhang Shihui
① 叠加原理，取微 U = 元，直接求电势 ② 先利用高斯定理 求场强，再求电势
∑ 4πε r
0
qi
i
,U =∫
b a
dq 4πε 0 r
作业册 第13章电势 第1题 第8题 第2题
V
∫
S
E ⋅ dS =
Q
ε0
, U a = ∫ E ⋅ dl
ΔS
O
ΔS
x
ρd = 2ε 0
−x
截面放大后
大学物理 磁学习题课
2
( I 1 I 2 ) ln 2
第11章 恒定电流的磁场
17
MN上电流元I3dx所受磁力：
0 I1
a M
dx N
c I2
d F I 3 B d x I 3 [ 2(r x) 2(2r x) ] d x
r
0 I1
I3 r Or b
r d
x
F I3 [
0
0 I1
2(r x)
0I2
2(2r x)
]d x
0I3
S
B
圆面
Φm
2 B S BR cos
1 B d S B R 2 2
n
60°
R
B
任意曲面
S
S
很多漏掉负号 类似本页二.1(1)磁通量
12
第11章 恒定电流的磁场
P42 一选择1.
H dl 2 I L1
H dl I L2
1
第11章 恒定电流的磁场
16
P44 二1、如图所示，载有电流I1和I2的长直导线ab和cd相互平行，相距为
3r，今有载有电流I3的导线MN = r，水平放置，且其两端MN分别与I1、I2 的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN所受的磁力大小和方向．
载流导线MN上任一点处的磁 感强度大小为： I 0 I 2 0 1 I1 B 2( r x ) 2( 2r x )
1
B
•直导线延长线上
a
第11章 恒定电流的磁场
P
6
2.
圆电流轴线上某点的磁场
B
大小：
( I 1 I 2 ) ln 2
第11章 恒定电流的磁场
17
MN上电流元I3dx所受磁力：
0 I1
a M
dx N
c I2
d F I 3 B d x I 3 [ 2(r x) 2(2r x) ] d x
r
0 I1
I3 r Or b
r d
x
F I3 [
0
0 I1
2(r x)
0I2
2(2r x)
]d x
0I3
S
B
圆面
Φm
2 B S BR cos
1 B d S B R 2 2
n
60°
R
B
任意曲面
S
S
很多漏掉负号 类似本页二.1(1)磁通量
12
第11章 恒定电流的磁场
P42 一选择1.
H dl 2 I L1
H dl I L2
1
第11章 恒定电流的磁场
16
P44 二1、如图所示，载有电流I1和I2的长直导线ab和cd相互平行，相距为
3r，今有载有电流I3的导线MN = r，水平放置，且其两端MN分别与I1、I2 的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN所受的磁力大小和方向．
载流导线MN上任一点处的磁 感强度大小为： I 0 I 2 0 1 I1 B 2( r x ) 2( 2r x )
1
B
•直导线延长线上
a
第11章 恒定电流的磁场
P
6
2.
圆电流轴线上某点的磁场
B
大小：
大学物理-磁学部分习题课
+
v
+ Fm ++
A+
p
+
B
E
+d
-
B v02 2Ed E
m
带电粒子达到最右端时其轨迹与右侧平板相切，
该处速度方向沿轨迹切线方向，与平板平面平行。
Eq
y
带电粒子在磁场，电场中受力
F
Fe
磁不场做力功。Fm
qvFmB与E速q度 方qv向始B终垂直，
x 电场力作功等于粒子动能的增量：
z
Eqd
2r sin
该力对O点的力矩 dM rdF 0 I 2dl
2 sin
任一段单位长的导线对O点的力矩：
M
l 1
dM
0 I 2dl
0I 2
l 2 sin 2 sin
13
5. 如图所示，有一通有电流 I 的直导线附近，有一半 径为 R，质量为m 的细小线圈。细小线圈可绕通过其 中心与直导线平行的轴转动。直导线与细小线圈中心
两导线间夹角为，通有相同的电流I。试求单位长度的导线
所受磁力对O点的力矩。
解：导线1在 dl 处激发的磁场的大小
1
B 0I 0I
2d 2r sin
I dF
O
I
d
Idl
B 2
r
M
电流元 Idl受到的磁力为
dF Idl B
大小： dF (Idl )B 0 I 2dl
根据：
M
r
F
B 0 i
2
二.磁场的性质
i 为线电流密度
1.
高斯定理
:
B
ds
0,
B 0
13 电磁学：第20、21章 习题课及部分习题解答
Zhang Shihui
2) dΨmA = M dI = 6.28×10−4 × (−50) = −3.14×10−6 (Wb/s)
dt
dt
3) ε = − dΨmA = 3.14 ×10−4 (V)
dt
题.一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm。环
心材料的磁导率μ =μ0。求在电流强度I为多大时，线圈 中磁场的能量密度w =1J/m3？ (μ0 =4π×10-7 T·m/A)
正方向如箭头所示，求直导线中的感生电动势。
解：设直导线中通电流i，计算直导
线在线圈中产生的磁通量ϕ ；通过 y
计算互感系数M=ϕ/i，进而求感生电
A yDI
动势。
O
x E Cx
建立如图所示的坐标系，y沿直导线。 b
取如图所示的窄带作为微元 dS = 2 ydx
B
h
其中 y = tan 30ο = 3
解： ε ac = ε ab + εbc
而
εab
=
−
d Φ扇形Oab dt
=
−
d dt
⎛ ⎜⎜⎝
−
3 4
R2B
⎞ ⎟⎟⎠
=
3R2 d B 4 dt
第20、21章 电磁感应 电磁波
练习册·第20章 电磁感应·第8题
εbc
=
−
d ΦΔObc dt
= − d [− π R2
dt 12
B] =
π R2
12
解：根据充电方向知Æ极板间场 强竖直向下。
由于充电电流 i 的增加 dD向下且
变大。
dt
+i
P⊗H E
−
由方向成右手螺 旋定则。
电磁学习题解答
b
l
两平面之间为
I
B
1 2
0
j
1 2
0
j
0
j
0
I b
a
I
两平面之间的磁通量为
B
B
S
0
I b
la
LI
故有 L 0la
b
电磁感应习题课
【例4】如图所示( t=0 时刻)，一无限长直导线与一矩形 线圈共面，直导线中通有电流 I=I0e-kt ( I0、k 为正常数）， 矩形线圈以速度 v 向右作平动，求任一时刻 t 矩形线圈中 的感应电动势。
oI
2R
磁 偶
3）轴线以外的磁场较复杂， 极
可定性给出磁感应线，
子S
P.
B
x
N
定电义流：与磁B偶线极仍矩服从P右m手 螺IS旋n 关系。S n与I的方向 N
若有N匝线圈，总磁矩为 ： Pm NISn Npm
4) x >>R时：
B
o IR2
2x3
o IS 2x 3
比较：E
成右手关系
即:
B
o Pm 2x3
o
i
c
与P点到平板的距离无关。
i
i
dB
... .
dl
....
dl
.
. B oi B0 B 0i
•
×
0 0i 0
×
a
B
b
25
例9. 求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径
为R，环上均匀密绕N匝线圈，设通有电流I。
解：由于电流对称分布，与环共轴
R
的圆周上，各点B大小相等，
R1
方向沿圆周切线方向。
电磁学第二章习题课
C0
εo S C0 Q C V 1 l ε r 1 d 1 l ε r 1 d εr d εr
0S
d
特例 : 当l d时, C r C 0
S
d
0 SV Q CV l r 1 1 d d r
0 d1
r1 S2 r2 +D 1
B
+
+ S 1 + E1 E 2
d1 d2
S1
S2 D2
q = S
σ d1 d 2 ) E1d1 E2 d 2 ( ) ( 1 2 ε0 ε r 1 ε r 2
d1 d2
q ε r 1 ε r 2 ε0 S εr 1 εr 2 d 0S (3) C C0 VA VB d1 d 2 εr 2d1 εr 1d 2 εr 2d1 εr 1d 2
+Q1 +Q2
可见，若VAB不变，则E1=E2=E，D1<D2，Q1<Q2
(2)电量Q不变
VA + + + + + A 0 E D d 1 VB – – – – – B
–Q +Q
V'A + + + + + A E2 D d V'B – – – – – B
–Q
+Q
Q 由介质中的高斯定量得 D1 D2 D S D2 Q D1 Q E2d , VAB E1d , VAB E1 , E2 S 0 0S
例3、讨论平板电容器两极板间为真空和充满电介质 时的电位移和场强：(1)电势差不变；(2)电量不变。 解：(1)电势差不变:VAB= VA–VB
εo S C0 Q C V 1 l ε r 1 d 1 l ε r 1 d εr d εr
0S
d
特例 : 当l d时, C r C 0
S
d
0 SV Q CV l r 1 1 d d r
0 d1
r1 S2 r2 +D 1
B
+
+ S 1 + E1 E 2
d1 d2
S1
S2 D2
q = S
σ d1 d 2 ) E1d1 E2 d 2 ( ) ( 1 2 ε0 ε r 1 ε r 2
d1 d2
q ε r 1 ε r 2 ε0 S εr 1 εr 2 d 0S (3) C C0 VA VB d1 d 2 εr 2d1 εr 1d 2 εr 2d1 εr 1d 2
+Q1 +Q2
可见，若VAB不变，则E1=E2=E，D1<D2，Q1<Q2
(2)电量Q不变
VA + + + + + A 0 E D d 1 VB – – – – – B
–Q +Q
V'A + + + + + A E2 D d V'B – – – – – B
–Q
+Q
Q 由介质中的高斯定量得 D1 D2 D S D2 Q D1 Q E2d , VAB E1d , VAB E1 , E2 S 0 0S
例3、讨论平板电容器两极板间为真空和充满电介质 时的电位移和场强：(1)电势差不变；(2)电量不变。 解：(1)电势差不变:VAB= VA–VB
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B dS B dS B dS 0
S1
S2
S
三、计算磁感应强度B的方法
(1) 分割载流导线直接积分法 (2) 用结论公式迭加
电流元磁场分布 磁强迭加原理
(3) 安培环路定理
B dl μ0 I
L
四、几种典型磁场的分布
I 2
1.直线电流 （1） 直线电流沿长线上
1、面磁化电流密度与磁化强度的关系
i di dl
方向：M n 直接写成矢量式：i M n
在两种介质的分界面上： i (M2 M1) n
2、磁场强度矢量
H B M 单位：在国际单位制中“安培/米”
0
1安培/米=4π×10-3奥斯特
3、磁介质中的安培环路定理
H dl I0
课程名称：电磁学
磁学部分
（习题课） 侯召宇
石家庄铁道大学
稳恒电流的磁场
一、21..B载基的流本定线义物圈的理 磁量大矩小：PmBISFnqm0ax
大小： Pm IS
方向： 与I成右旋关系
方向： 电荷不受力的方向
二、 两个基本定律和两个重要定理
1.毕奥--萨伐μ尔定I律dl
S
1、无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流。设圆柱
体内( r < R )的磁感应强度为 Bi ，体外( r > R )的为Be 则：
R
(A) Bi 与 r 成正比；Be 与 r 成正比
Ir
(B) Bi 与 r 成反比；Be 与 r 成正比
r (C) Bi 与 r 成反比；Be 与 r 成反比
L
L内
4、磁化率及磁导率
由磁场强度的定义可得到 B 0H 0M
在各向同性的非铁磁性物质中，磁化强度与磁场强度成正比，即
M mH
B 0 (1 m )H
r 1 m
相对磁导率
B 0r H H
0r
绝对磁导率
5、有磁介质时Gauss定理
B dS 0
m
3.磁力、磁力矩的功 A I m
4.磁场对运动带电粒子的作用
（1） 洛仑兹力 f qv B
大小： f qvB sin
q0
f与v
B方向一致
方向：
q0
f与v
B方向相反
（2）带电粒子在匀强磁场中的运动
①
v
//
B
② vB
匀速直线运动
qvB m v 2
1.磁场对电流导线的作用
（1）磁场对电流元的作用 df Idl B
（2）匀强磁场对直线电流的作用 f BIl sin
（3）磁场对任意电流的作用 (4) 电流与电流之间的相互作用
2.磁场对载流线圈的作用
M P Bsin
M P B m
m 与P B方向一致
0
1
(D) Bi 与 r 成正比；Be 与 r 成反比
D
2、电流由长直导线沿半径方向经 a 点流入一电阻均匀分布的圆
环，再由b点沿半径方向从圆环流出，经长直导线返回电源，
已知直导线上电流强度为 I ，∠aob=30° ，若长直导线 1，
2 和圆环在圆心 O 点产生的磁感应强度分别用 B1 B2 B3 表
3.螺线管
（1）长直螺线管内部：
B nI 0
（2）环形螺线管内部： B 0 NI 2 r
4.无限长载流圆柱面
5.无限长载流圆柱体 6.无限大载流平面
圆柱面内 圆柱面外
圆柱体内 圆柱体外
B0
I B 0
2r
I B 0 r
2R 2
I B 0
2r
B
1 2
0
j
五、 磁场对电流的作用
垂直纸面向外。
I
O
圆电流在O点的磁场：B2
0I
2R
垂直纸面向里。
取向里方向为正方向：BO
B2
B1
0 I
2R
(1
1
)
C
4、取一闭合积分回路 L ，使三根载流导线穿过它所围成的面，
现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：
(A) 回路L内的∑I 不变，L上各点的B不变
r
dB 0
0
4π r 2
2.安培定律
1.磁场中的高斯定理
B dS 0
S
2.安培环路定理
dF Idl B
B dl μ0 I
L
▲ 磁通量计算方法
(1)直接用公式dm 来自 dSm B dS
S
(2)利用高斯定理补成闭合曲面
B 0 A
I2 l2
O
a 30 b
I1 l1
1
2
3、无限长直导线在 P 处弯成半径为 R 的圆，当通以电流 I 时，
则圆心 O 点的磁感应强度大小等于：
( A) 0 I
2R
(B) 0I
4R
(C ) 0 I (1 1 ) (D) 0 2R
解： 长直电流的磁场：
R
B1
0 I 2R
示，则圆心 O点的磁感应强度大小为：
I2 l2
(A) B = 0，因为 B1= B2= B3= 0
(B) B=0 ，因为 B1≠0 ，B2≠0，
O
但 B1+B2 = 0 ，B3= 0 (C) B≠0，因为虽然 B3= 0 ，但B1+B2≠0 (D) B≠0，因为 B3≠ 0 ，B1+B2 ≠ 0，
R
匀速圆周运动
R mv qB
T 2m qB
f qB
2 m
③ v与B夹角
螺旋运动
螺旋半径
mv R
qB
vv
B
螺旋周期
螺距h：
T 2m qB
hv T //
v //
h
v v cos //
v v sin
磁化强度、磁场强度、有磁介质时的环路定理
a 30 b
I1 l1
1
2
所以B1+B2 +B3≠ 0
A
解：直导线在其延长线上的 B = 0 。 B1 0, B2 0
B31
0 I1
2R
l1
2R
0 I1l1 4R2
B32
0I2
2R
l2
2R
0I2l2 4R2
U1 U2 I1l1 I2l2
B31与B32方向相反。 B3 0
B0
（2） 有限长直线电流
Id l
lo
r
a
B
0I 4a
(cos1
cos2
)
1
（3） 无限长直线电流
B 0I 2a
dB
Px
2.圆形电流 （1）圆形电流轴线上
B
0 IR2 2(R2 x2 )3
2
（2）圆形电流圆心处 （3） 圆弧圆心处
B 0I 2R
B 0I 2 2R