概率统计第6章
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概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
一个任意分 布的总体
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
概率与数理统计第六章
t
ｘ
ｙ
W {T t (n 1)}
2021/3/11
t
ｘ 16
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
例6.2 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅 中毒患者的脉搏数（次/分）如下：54，67，68，78，70，66， 67，70，65，69.已知人的脉搏次数服从正态分布．试问四乙基铅
在取6份水样，测定该有害物质含量，得如下数据： 0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰，0.530‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定？ 0.05
练习2 一公司声称某种类型的电池的平均使用寿命至少为21.5小 时，有一实验室检验了该公司制造的6套电池，得到如下的寿命数 据（单位：小时）：19 18 22 20 16 25 设电池寿命服202从1/3/正11 态分布，试问这种类型的电池寿命是否低于该18 公
即提出假设： H0 : p 0.02 若 H0 正确，则取到次品为小概率事件.
2021/3/11
在一次试验中， 小概率事件是 几乎不可能发 生的．
小概率原理
2
6.1 假设检验的基本概念
2. 两类错误
犯了“弃真”错误 第一类错误
犯了“纳伪”错误 第二类错误
P(拒绝H0 | H0为真)
P(接受H0 | H0为假)
注意：我们总把含 有“等号”的情形 放在原假设．
在原假设 H0 为真的前提下，确定统计量
U
X 0
~
N (0,1)
n
2021/3/11
因为X
~
N
,
2
n
,
所以
X
~
N (0,1)
概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间
[0.3545 , 2.5545]
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
03 *6.2.3 单侧置信区间
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
[θˆ1, θˆ2 ] θ 的置信区间 双侧置信区间
但在某些实际问题中，例如，对于机器设备零部件来说，平均 寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的“下限” ；又如，在购 买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均 值的“上限”．这就引出了单侧置信区间的概念．
2 1
2 2
2,
求均值差
1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
02 两个正态总体参数的置信区间
解
(1) F0.025 (16, 12) 3.16,
F0.975 (16 ,
12)
1 F0.025 (12 ,
16)
1 2.89
由公式得方差比
2 1
2 2
的置信区间为
S12 S22
F0.975 (n2
12
2 2
n1 n2
P u U u 1,
2
2
( X Y uα 2
σ12 n1
σ
2 2
n2
,X
Y
uα
2
σ12 σ22 ) n1 n2
5
02 两个正态总体参数的置信区间
(2)
2 1
2 2
2
未知，1 2 的置信区间
T
X
Y Sw
(1
1 n1
2)
1 n2
~
t (n1
n2
2)
Sw
估什么？
1 2
2 1
概率论与数理统计-6
一、统计量
定义1 设X1, X2, …, Xn是总体X的样本，样本函数g(X1, X2, …, Xn)是样 本的实体函数，且不含有任何未知参数，则称这类样本函数g(X1, X2, …, Xn)为统计量。
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即对 一次具体的观测或试验，它们都是具体的数值，但当脱离开具体的某 次观测或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量。
n i 1
( xi
x )2
1n (
n 1 i1
xi2
nx 2 )
。
（3）样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
它的观测值记为 s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
。
（6-5）
（4）样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k
1，2 ，3，
)
它的观测值记为 ak
解 将样本的观察值由小到大排列为 1 2 3 3 4 4 4 5 6 8
所以样本的频率分布如表所示
X
1
2
3
4
5
6
8
fn
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
例1 设总体服从泊松分布，容量为10的样本观察值如下：
214 3 5 6 4 8 4 3 试构造样本的分布函数F10(x)。
例1 设随机变量 X ~ (0 ，1) 分布，求D(X)。
解 因为 X ~ (0 ，1)
所以 又
E(X ) p E( X 2 ) 0 (1 p) 12 p p
概率论与数理统计教材第六章习题
X σ0 n
~ N(0,1)
对于置信水平1- ，总体均值的置信区间为 对于置信水平 -α，总体均值 的置信区间为
X
σ0
n
uα < < X +
2
σ0
n
uα
2
(2)设总体 ～ N(,σ 2 ), 未知 ，求的置信区间。 设总体X～ 未知σ， 的置信区间。 设总体 的置信区间
σ 0 ，则样本函数 t = X ~ t(n 1) 用 S 代替 S n
i =1
n1
n1
F
1
α ∑ Yj 2
2 j =1
n2
(
)
2
n2
10
2 2 及 （1）设两个总体 ～ N(1,σ1 ) 及Y～ N(2 ,σ 2 ), 未知 1 2， ）设两个总体X～ ～
2 σ1 的置信区间。 求 2 的置信区间。 σ2
选取样本函数 选取样本函数
2 2 S1 σ1 F = 2 2 ~ F(n1 1, n2 1) S2 σ2
∑x
i =1
n
i =1
i
n = 0.
1 p
得 p 的极大似然估计值为 p =
n
∑x
i =1
n
1 = x
i
12
1 θ 2. 设总体 服从拉普拉斯分布：f ( x;θ ) = e ,∞< x < +∞, 设总体X 服从拉普拉斯分布： 2θ 求参数 θ 其中 > 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,L, xn , 求参数θ
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念 1 定义：取样本的一个函数θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 如果以它的观测 定义：
概率论与数理统计-第6章-第4讲-区间估计
5
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
《概率与数理统计》第06章 - 样本及抽样分布
(3)g( x1, x2 ,L xn )是统计量g(X1, X2 ,L Xn )的观察值
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估计法的 理论根据
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,L .
(3)证明：E(S2 )
定义 设X1 , X2 ,L , Xn是来自总体X的一个样本， g( X1 , X 2 ,L , X n )是X1 , X 2 ,L , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1 , X 2 ,L , X n )称是一 个统计量.
请注意 :
(1)X1, X2 ,L
X
是样本，也是随机变量
n
(2)统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
1
e
(
xi 2
2
)2
2
n
( xi )2
1
e i1 2 2
n
2
第二节
抽样分布
概率论 第六章 样本及抽样分布
函数Fn(x)为 Fn(x)=S(x)/n , -∞<x< +∞。
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
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y0 y0
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24
X 试证明： 例7 设随机变量 X ~ N ( , 2 ) ，
的线性函数 Y aX b (a 0) 也服从正态分布。 证
X 的概率密度为
f X ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
, x
1 P{Y 0} P{ X 0} P{ X 0} , 4
2
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4
P{Y 1} P{ X 1} P{( X 1) ( X 1)}
2
1 1 1 P { X 1} P { X 1} , 4 4 2 1 2 P{Y 4} P{ X 4} P{ X 2} , 4
2 称 Y 服从自由度为1的 分布。
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17
例5 设随机变量 X 的密度函数为 f X ( x ) ,
且 Y X ，试求随机变量 Y 的密度函数 fY ( y )
解 设随机变量 X 的分布函数为 FX ( x ) ，
随机变量 Y 的分布函数为 FY ( y )
fY ( y ) f X (ln y ) (ln y )
2 1 ln y 1 exp 2 2 y 2
因此，随机变量 Y e X 的密度函数为
2 1 ln y exp 2 fY ( y ) 2 y 2 0
1. 由于 Y X 2 0 , 故当 y 0 时，FY ( y ) 0
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15
2 y 0 2.当 时，FY ( y ) P{Y y} P{ X y}
P{ y X
y}
y
y
f X ( x )dx
所以
1 [ f X ( y ) f X ( y )] fY ( y ) 2 y 0 y0 y0
(2) Y=-2X的分布律为 Y 2 0 -2 -4 3/10 25/4 3/10 -5 (3) Y=X2的分布律为 Y 0 P 1/10 1 3/10 4 3/10
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9
例2 设
X
1
1
2
pk
1 6
2 6
3 6
求 Y X 2 5 的分布律.
1 1 e | a | 2
yb )2 a 2 2 (
1 2 | a |
2
e
[ y ( a b )]2 2( a )2
即
Y aX b ~ N a b,(a )
FY ( y ) P Y y P X y
（1）若 y 0 ，则
FY ( y ) P Y y P X y P ( ) 0
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18
（2）若 y 0 ，则 FY ( y ) P Y y P X y
y8 y8 fY ( y ) f X ( )( ) 2 2
x , 0 x4 f X ( x) 8 其它 0,
y8 1 y 8 1 ) , 0 4 ( 8 2 2 2 0, 其它
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13
整理得 Y 2 X 8 的概率密度为
21
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于是得Y的概率密度
f X h( y ) h( y ) fY ( y ) 0
y
其他
若g(x)<0, 同理可证
f X h( y) h( y) fY ( y ) 0
y
其他
合并两式，即得证。 若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假 设在[a，b]上恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)， 此时
Y
g
Ig
X
g ( x ) y
X
再由FY(y)进一步求出Y的概率密度
fY y FY ( y)
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11
例3
设随机变量
X 具有概率密度
x , 0 x4 f X ( x) 8 其它 0,
试求 Y 2 X 8 的概率密度。 解 (1) 先求
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y0 y0
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19
当函数y=g(x)可导且为单调函数时，我们有下面一 般结果
2. 特殊方法
定理 设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数 g(x)单调（恒有g(x)>0 或恒有g(x)<0) ，且处处 可导，则Y=g(X)的概率密度为
f X h y h y fY y 0
xk pk
则 Y g( X )的分布律为
Y g( X ) pk
g( x1 ) p1
g ( x2 ) g ( xk ) p2 pk
若 g( xk ) 中有值相同的, 应将相应的 pk 合并.
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6
此时
P{Y yk } pk
y8 , 8 y 16 fY ( y ) 32 其它 0,
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14
例4 设随机变量 X 具有概率密度
f X ( x ) ( x )
求 Y X 2 的概率密度。 解
2 Y X (1) 先求 的分布函数 FY ( y )
P{
i:g ( xi ) yk
X xi }
i:g ( xi ) yk
P{ X xi } pi
i:g ( xi ) yk
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7
例: 设离散型随机变量X的分布律为
X P -1 1/5 0 1 2 5/2 1/10 1/10 3/10 3/10
又因为 y g( x ) ax b , g( x ) a 满足定理条件
yb 1 y g ( x ) 的反函数为 x h( y ) 且 h( y ) a a
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25
由定理的结论得
1 yb fY ( y ) f X [h( y )]| h( y ) | fX ( ) |a| a
2 x
2 2
x
由于函数 y e x 是严格单调增加的， 它的反函数为 x ln y
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23
当 X 在区间( , ) 上变化时，Y 在区间 (0, ) 上变化， 所以，当 y (0, ) 时，
Y 2 X 8 的分布函数
FY ( y ) P{Y y }
y8 P{2 X 8 y } P{ X } 2
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12
FY ( y )
y8 2
f X ( x )dx
（2）利用 fY y FY y 得
第六章 随机变量的函数及其分布
§ 6.1 一维随机变量的函数及其分布
§6.2 二维随机变量的函数及其分布
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1
§ 6.1 一维随机变量的函数及其分布
在实际问题中往往需要讨论随机变量的函数 的变化规律.例如某影剧院每次演出所售出的门票 数是一个随机变量,而票房收入就是售出门票数的
故 Y 的分布律为
Y
p
0 1 4 1 1 1 4 2 4
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.
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5
离散型随机变量的函数的分布
如果 X 是离散型随机变量 , 其函数 Y g( X ) 也是离散型随机变量 .若 X 的分布律为
X pk
x1 p1
x2 p2
求 (1)Y=X-1; (2)Y=-2X; (3)Y=X2 的分布律
解: 由X的分布律可得下表
P
X
1/5
-1
1/10
0
1/10
1
3/10
2
3/10
5/2
X-1 -2X
X2
-2 2
1
-1 0
0
0 -2
1
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1 -4
4
3/2 -5
25/4
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8
(1) Y=X-1的分布律为 Y -2 P 1/5 -1 1/10 0 1/10 1 3/10 3/2 3/10
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
ming , g , maxg , g
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20
证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-≦,+ ≦)严 格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单
问题
如何根据随机变量X 的分布 求得随机变量Y f ( X ) 的分布?
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3
一、 离散型随机变量函数的分布律
例1 设 X 的分布律为
y0 y0
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X 试证明： 例7 设随机变量 X ~ N ( , 2 ) ，
的线性函数 Y aX b (a 0) 也服从正态分布。 证
X 的概率密度为
f X ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
, x
1 P{Y 0} P{ X 0} P{ X 0} , 4
2
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4
P{Y 1} P{ X 1} P{( X 1) ( X 1)}
2
1 1 1 P { X 1} P { X 1} , 4 4 2 1 2 P{Y 4} P{ X 4} P{ X 2} , 4
2 称 Y 服从自由度为1的 分布。
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例5 设随机变量 X 的密度函数为 f X ( x ) ,
且 Y X ，试求随机变量 Y 的密度函数 fY ( y )
解 设随机变量 X 的分布函数为 FX ( x ) ，
随机变量 Y 的分布函数为 FY ( y )
fY ( y ) f X (ln y ) (ln y )
2 1 ln y 1 exp 2 2 y 2
因此，随机变量 Y e X 的密度函数为
2 1 ln y exp 2 fY ( y ) 2 y 2 0
1. 由于 Y X 2 0 , 故当 y 0 时，FY ( y ) 0
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15
2 y 0 2.当 时，FY ( y ) P{Y y} P{ X y}
P{ y X
y}
y
y
f X ( x )dx
所以
1 [ f X ( y ) f X ( y )] fY ( y ) 2 y 0 y0 y0
(2) Y=-2X的分布律为 Y 2 0 -2 -4 3/10 25/4 3/10 -5 (3) Y=X2的分布律为 Y 0 P 1/10 1 3/10 4 3/10
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9
例2 设
X
1
1
2
pk
1 6
2 6
3 6
求 Y X 2 5 的分布律.
1 1 e | a | 2
yb )2 a 2 2 (
1 2 | a |
2
e
[ y ( a b )]2 2( a )2
即
Y aX b ~ N a b,(a )
FY ( y ) P Y y P X y
（1）若 y 0 ，则
FY ( y ) P Y y P X y P ( ) 0
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（2）若 y 0 ，则 FY ( y ) P Y y P X y
y8 y8 fY ( y ) f X ( )( ) 2 2
x , 0 x4 f X ( x) 8 其它 0,
y8 1 y 8 1 ) , 0 4 ( 8 2 2 2 0, 其它
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整理得 Y 2 X 8 的概率密度为
21
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于是得Y的概率密度
f X h( y ) h( y ) fY ( y ) 0
y
其他
若g(x)<0, 同理可证
f X h( y) h( y) fY ( y ) 0
y
其他
合并两式，即得证。 若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假 设在[a，b]上恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)， 此时
Y
g
Ig
X
g ( x ) y
X
再由FY(y)进一步求出Y的概率密度
fY y FY ( y)
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例3
设随机变量
X 具有概率密度
x , 0 x4 f X ( x) 8 其它 0,
试求 Y 2 X 8 的概率密度。 解 (1) 先求
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y0 y0
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当函数y=g(x)可导且为单调函数时，我们有下面一 般结果
2. 特殊方法
定理 设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数 g(x)单调（恒有g(x)>0 或恒有g(x)<0) ，且处处 可导，则Y=g(X)的概率密度为
f X h y h y fY y 0
xk pk
则 Y g( X )的分布律为
Y g( X ) pk
g( x1 ) p1
g ( x2 ) g ( xk ) p2 pk
若 g( xk ) 中有值相同的, 应将相应的 pk 合并.
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6
此时
P{Y yk } pk
y8 , 8 y 16 fY ( y ) 32 其它 0,
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例4 设随机变量 X 具有概率密度
f X ( x ) ( x )
求 Y X 2 的概率密度。 解
2 Y X (1) 先求 的分布函数 FY ( y )
P{
i:g ( xi ) yk
X xi }
i:g ( xi ) yk
P{ X xi } pi
i:g ( xi ) yk
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例: 设离散型随机变量X的分布律为
X P -1 1/5 0 1 2 5/2 1/10 1/10 3/10 3/10
又因为 y g( x ) ax b , g( x ) a 满足定理条件
yb 1 y g ( x ) 的反函数为 x h( y ) 且 h( y ) a a
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由定理的结论得
1 yb fY ( y ) f X [h( y )]| h( y ) | fX ( ) |a| a
2 x
2 2
x
由于函数 y e x 是严格单调增加的， 它的反函数为 x ln y
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当 X 在区间( , ) 上变化时，Y 在区间 (0, ) 上变化， 所以，当 y (0, ) 时，
Y 2 X 8 的分布函数
FY ( y ) P{Y y }
y8 P{2 X 8 y } P{ X } 2
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FY ( y )
y8 2
f X ( x )dx
（2）利用 fY y FY y 得
第六章 随机变量的函数及其分布
§ 6.1 一维随机变量的函数及其分布
§6.2 二维随机变量的函数及其分布
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§ 6.1 一维随机变量的函数及其分布
在实际问题中往往需要讨论随机变量的函数 的变化规律.例如某影剧院每次演出所售出的门票 数是一个随机变量,而票房收入就是售出门票数的
故 Y 的分布律为
Y
p
0 1 4 1 1 1 4 2 4
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.
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离散型随机变量的函数的分布
如果 X 是离散型随机变量 , 其函数 Y g( X ) 也是离散型随机变量 .若 X 的分布律为
X pk
x1 p1
x2 p2
求 (1)Y=X-1; (2)Y=-2X; (3)Y=X2 的分布律
解: 由X的分布律可得下表
P
X
1/5
-1
1/10
0
1/10
1
3/10
2
3/10
5/2
X-1 -2X
X2
-2 2
1
-1 0
0
0 -2
1
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1 -4
4
3/2 -5
25/4
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(1) Y=X-1的分布律为 Y -2 P 1/5 -1 1/10 0 1/10 1 3/10 3/2 3/10
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
ming , g , maxg , g
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证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-≦,+ ≦)严 格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单
问题
如何根据随机变量X 的分布 求得随机变量Y f ( X ) 的分布?
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一、 离散型随机变量函数的分布律
例1 设 X 的分布律为