概率论习题解答

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概率论第六章习题解答
1、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在与之间的概率。

解 因为2(52,6.3)N ，所以
2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <
解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5
1
14(12,)55
i
i X X N ==∑
所求概率为
（2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 51((1.5))=-Φ51(0.9332)0.2923=-=. （3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <
3、求总体(20,3)N 的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值不超过的概率。

解 设容量为10的样本均值为X ，样本容量为15的样本均值为Y ， 则 3
(20,
)10
X
，3
(20,
)15
Y ，331()(0,
)(0,)10152
X Y N N -+= 4、（1）设126,,,X X X 样本是来自总体(0,1)N ，
22123456()()Y X X X X X X =+++++，
试确定常数C ，使CY 服从2χ分布。

（2）设125,,
,X X X 来自总体(0,1)N 样本，121
22
22345
()
()
C X X Y X X X +=
++，试确定常数
C 使Y 服从t 分布。

（3）已知()X
t n ，求2(1,)X F n
解 （1）因为126,,,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，
由2(,)i
i i X N μσ知22
2
121212()
(,)N n n X X X N μμμσσσ++
+++
+++
+）
故 123(0,3)X X X N ++，456
(0,3)X X X N ++，
且相互独立，因此
(0,1)
N (0,1)N
且两者相互独立，由222
12,,,n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，则统计量
由2χ分布的定义知
即
2(2)3
Y
χ，所以13
C =。

（2）因为设125,,
,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本12
(0,2)X X N +，
(0,1)
N ，
又有 22
2234
5(3)X X X χ++
且
，22
234
5X X X ++相互独立，于是由t 分布的定义知
因此所求常数为 C =。

（3） 因为()X
t n ，故X
其中(0,1)Z N ，2()Y n χ，且Z ，Y 相互独立，按F 分布的定义知
2
(1,)X F n 。

5、（1）已知某种能力测试的得分服从正态分布2(,)N μσ，随机地取10个人 参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这10个人得分的平均值小于μ的概率。

（2）在（1）中设62μ=，225σ=，若得分超过70就能得奖，求至少有一人得奖 的概率。

解 设i X 表示参加测试的i 个人的得分（1,2,
,10i =），则2(,)i
X N μσ，
22
()2()x X f x μσ--=，0σ>，x -∞<<∞
由于1210,,,X X X 相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为
又 101110i i X X ==∑，1010
11
11()()()1010i i i i E X E X E X μ=====∑∑
故2
(,
)10
X N σμ，则
（2） 因为(62,25)i
X N ，若一人得分超过70就能得奖，则一人得奖的
概率为
则10个人得奖可以看作是一个二项分布：(10,0.0548)b ，设A 表示没有人
得奖，则
即至少有一得奖的概率为。

6、设总体(1,)X
b p ，12,,
,n X X X 是来自总体的样本。

（1）求12(,,
,)n X X X 的分布律；
（2）求1
n
i i X =∑的分布律；
（3）求()E X ，()D X ，2()E S 解 （1）因为12,,
,n X X X 相互独立，且有(1,)i
X b p ，1,2,
,i n =，
即i X 具有分布律 1{}(1)i i x x i P X x p p -==-，0,1i x =，
因此12(,,
,)n X X X 分布律为 （各个样本的分布律的乘积）
（2）因为12,,,n X X X 相互独立，且有(1,)i
X b p ，故1
(,)n
i
i X b n p =∑，
其分布律为 7、设总体2()X
n χ，1210,,
,X X X 是来自X 的样本，求()E X ，()D X ，
2()D S 。

解 因为2()X
n χ，所以2()()i E X E n χ==，2()()2i D X D n χ==
1,2,
,10i =
因为 222()()(())2i i i E X D X E X n n =+=+
所以 102
2211()((2)10())95
i n
E S n n n ==+-+∑
8、总体2(,)X
N μσ，1210,,
,X X X 是来自X 的样本，
（1）写出1210,,,X X X 的联合分布密度；
（2）写出X 的概率密度。

解 （1）1210,,
,X X X 联合概率密度
（2）因为 ()E X μ=，2
()10
D X σ=
，
所以
2
2
2
5()()x X f x μσ--=
=。

一般地 2(,)X N μσ
，2()X f x =。

9、设在总体2(,)X
N μσ中抽取一容量为16的样本，这里μ，2σ均为未知。

（1）求2
2{ 2.041}S P σ≤；其中2S 为样本方差。

（2）2()D S 。

解 （1）设1216,,
,X X X 为总体的一个样本，则由教材P143定理二知
从而
22
22
{ 2.041}{1515 2.041}
S S
P P
σσ
≤=⨯≤⨯（n-1＝15）
（查表，115
n-=，2(1)30.615
n
α
χ-=，得0.01
α=）
（2）由于
2
2
2
1
(1)
1
S
n
n
χ
σ
-
-
，故
2
2
(1)
()2(1)
n S
D n
σ
-
=-（因为2
()2
D n
χ=）
即
44 2
2
2(1)2 ()
(1)1
n
D S
n n
σσ
-
==
--
10题和11题略去。